Тема №24. Геометрические задачи на доказательство

04 Четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №24. геометрические задачи на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93808

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD = 16.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию $BC$ и $AD$ — основания трапеции $ABCD.$ Тогда $BC ∥AD.$

$ABCD41664$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA.$ В них:

1.: $∠CBD = ∠BDA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$
2.: $BC- = 4-= 16 = BD-. BD 16 64 AD$

Следовательно, треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#28215

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 27

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, $BC ∥AD.$

$ABCDOKM$

Рассмотрим треугольники $BKO$ и $DMO :$

1.: $BO = OD,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠BOK = ∠DOM$ как вертикальные.
3.: $∠KBO = ∠MDO$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD.$

Тогда треугольники $BKO$ и $DMO$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $BK = DM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94482

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Источники: Банк ФИПИ, Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 21

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны параллельны. В частности, $AB ∥CD.$

$ABCDOEF$

Рассмотрим треугольники $AOE$ и $COF :$

1.: $AO = OC,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2.: $∠AOE = ∠COF$ как вертикальные.
3.: $∠OAE = ∠OCF$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC.$

Тогда треугольники $AOE$ и $COF$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $AE = CF$ как соответственные элементы равных треугольников.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94484

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N,$ лежащей на стороне $CD.$ Докажите, что $N$ — середина $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $AD = BC$ и $AB ∥ CD.$

$ABCDN$

Углы $CBN$ и $ABN$ равны, так как $BN$ — биссектриса угла $ABC.$ При этом $∠ABN =∠BNC$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AB$ и $CD$ и секущей $BN.$ Тогда

∠CBN = ∠ABN = ∠BNC.

Следовательно, треугольник $CBN$ — равнобедренный, в котором равны стороны $CB$ и $CN.$

Углы $DAN$ и $BAN$ равны, так как $AN$ — биссектриса угла $BAD.$ При этом $∠BAN =∠AND$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AB$ и $CD$ и секущей $AN.$ Тогда

∠DAN = ∠BAN = ∠AND.

Следовательно, треугольник $DAN$ — равнобедренный, в котором равны стороны $DA$ и $DN.$

Таким образом,

CN = BC = AD = DN.

Итого, $CN = ND.$ Тогда точка $N$ — середина стороны $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94485

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на стороне $AD.$ Докажите, что $M$ — середина $AD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $AB = CD$ и $BC ∥AD.$

$ABCDM$

Углы $ABM$ и $CBM$ равны, так как $BM$ — биссектриса угла $ABC.$ При этом $∠CBM = ∠BMA$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $BM.$ Тогда

∠ABM = ∠CBM = ∠AMB.

Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, в котором равны стороны $AB$ и $AM.$

Углы $DCM$ и $BCM$ равны, так как $CM$ — биссектриса угла $BCD.$ При этом $∠BCM = ∠CMD$ как внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $CM.$ Тогда

∠DCM = ∠BCM = ∠CMD.

Следовательно, треугольник $DCM$ — равнобедренный, в котором равны стороны $DC$ и $DM.$

Таким образом,

AM = AB = CD = DM.

Итого, $AM = DM.$ Тогда точка $M$ — середина стороны $AD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#46331

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD.$ Точка $K$ — середина стороны $AB.$ Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 27

Показать доказательство

Так как $K$ — середина $AB,$ то $AK =KB.$ По условию $AB = 2AD,$ значит,

KB = AK = AD

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AKD.$ $AK = AD,$ следовательно, треугольник $AKD$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKD =∠ADK.$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и $AB ∥ CD,$ то $∠AKD = ∠KDC.$

Таким образом,

∠ADK = ∠AKD = ∠KDC

Значит, $DK$ — биссектриса $∠ADC.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#54131

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB.$ Точка $G$ — середина стороны $AD.$ Докажите, что $BG$ — биссектриса угла $ABC.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Так как $G$ — середина $AD,$ то $AG = GD.$ По условию $AD = 2AB,$ значит,

AG = GD = AB

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABG.$ $AB = AG,$ следовательно, треугольник $ABG$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ABG = ∠AGB.$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и $AD ∥ BC,$ то $∠CBG =∠BGA.$

Таким образом,

∠ABG =∠BGA = ∠CBG

Значит, $BG$ — биссектриса $∠ABC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#58570

Биссектрисы углов $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ лежащей на стороне $AD.$ Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $CD.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведём $OM ⊥ BC,$ $OL ⊥ AB$ и $ON ⊥ CD.$

$ABDMOLCN$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMC$ и $ONC.$ В них $OC$ — общая гипотенуза, $∠MCO = ∠NCO,$ так как $CO$ — биссектриса $∠C.$ Следовательно, треугольники $OMC$ и $ONC$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $OM = ON$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $OMB$ и $OLB.$ В них $BO$ — общая гипотенуза, $∠OBM =∠OBL,$ так как $BO$ — биссектриса $∠B.$ Следовательно, треугольники $OMB$ и $OLB$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда $OM = OL$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем, что

OL = OM = ON.

Значит, точка $O$ равноудалена от прямых $AB,$ $BC$ и $CD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37458

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BF C$ и $AF D$ равна половине площади трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CD.$ Тогда $AM =MB,$ $CN = ND$ и $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD.$ Точка $F$ по условию лежит на $MN.$

Проведем через точку $F$ высоту $KL$ трапеции $ABCD.$ Тогда $KL ⊥ BC$ и $KL ⊥AD.$

По свойству средней линии трапеции $MN ∥AD$ и $MN ∥ BC.$ Тогда по теореме Фалеса для параллельных прямых $BC,$ $MN$ и $AD :$

KF-= AM--= 1 . FL MB 1

Значит, $KF = FL = 1KL. 2$

$abhhABCDMKLFN$

Пусть $BC =a,$ $AD = b,$ $KF = F L= h.$ Тогда $KL = 2h.$

Площадь трапеции $ABCD$ равна

SABCD = BC-+-AD- ⋅KL = a+-b⋅2h =h ⋅(a +b). 2 2

Рассмотрим треугольник $BF C.$ В нём $FL$ — высота. Тогда

1 1 SBFC = 2 ⋅F L⋅BC = 2ah.

Рассмотрим треугольник $AF D.$ В нём $FK$ — высота. Тогда

SAFD = 1⋅F K ⋅AD = 1bh. 2 2

Найдём сумму площадей этих треугольников:

1 1 SBFC + SAFD = 2ah+ 2bh = h 1 = -2 ⋅(a+ b) = 2SABCD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45345

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Проведем высоту параллелограмма $KL,$ проходящую через точку $E.$ Тогда $KL ⊥BC$ и $KL ⊥ AD.$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому пусть $BC =AD = a.$ Пусть $KL = h,$ а $KE =x.$ Тогда $EL = h− x.$

$aaxhABCDEKL − x$

По формуле площади треугольника

$pict$

Тогда

1 1 SBEC + SAED = 2ax+ 2a(h− x)= a ah = 2 ⋅(x +h − x) = 2-.

С другой стороны, по формуле площади параллелограмма

SABCD = AD ⋅KL = ah.

Значит,

SBEC + SAED = ah = 1SABCD. 2 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#58608

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Опустим высоты $BH$ и $CT$ трапеции $ABCD.$

$ABCDOHT$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD.$ В них проведены высоты $BH$ и $CT$ соответственно. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то

1 SABD = 2 ⋅AD ⋅BH SACD = 1 ⋅AD ⋅CT 2

Заметим, что $BH = CT$ как расстояние между двумя параллельными прямыми. Значит,

SABD = SACD.

Тогда

SAOB = SABD − SAOD = = SACD − SAOD = SCOD.

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#58566

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

По условию четырёхугольник $ABCD$ — выпуклый. Тогда точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от $AB.$ Известно, что $∠BCA = ∠BDA,$ при этом они опираются на сторону $AB,$ следовательно, около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

$ABDC$

Тогда $∠ABD = ∠ACD$ как вписанные, опирающиеся на дугу $AD.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45960

В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $BE$ к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно, при этом $BH =BE.$ Докажите, что $ABCD$ — ромб.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённой к этому основанию, поэтому

SABCD = AD ⋅BH SABCD = CD ⋅BE

Значит, $AD ⋅BH = CD ⋅BE.$

Так как $BH =BE,$ то $AD = CD$

По свойству параллелограмма $AB = CD,$ $AD =BC.$ Так как $AD = CD,$ то $AB = BC =CD = DE.$ Значит, $ABCD$ — ромб по определению.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45961

В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K.$ Докажите, что площадь параллелограмма $ABCD$ в четыре раза больше площади треугольника $AKD.$

Показать доказательство

Проведём через точку $K$ высоту $MN$ параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $MKB$ и $NKD :$

1.: $∠MBK = ∠NDK$ как накрест лежащие при параллельных прямых;
2.: $∠MKB = ∠NKD$ как вертикальные;
3.: $BK = KD,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Тогда треугольники $MKB$ и $NKD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. $KM = KN = 12MN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

1 1 1 SAKD = 2KN ⋅AD = 2 ⋅2MN ⋅AD = 1 1 = 4MN ⋅AD = 4SABCD ⇒ SABCD = 4SAKD

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#45959

Дана равнобедренная трапеция $ABCD.$ Точка $M$ лежит на основании $AD$ и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что $M$ — середина основания $AD.$

Показать ответ и решение

Так как точка $M$ равноудалена от концов основания $BC,$ то $BM = MC.$ Тогда треугольник $BMC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠MBC =∠MCB.$

$PIC$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то

∠AMB = ∠MBC = ∠MCB = ∠CMD

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому $∠BAD = ∠CDA.$

По теореме о сумме углов треугольника

∠ABM = 180∘− ∠BAM − ∠BMA = = 180∘− ∠CDM − ∠CMD = ∠DCM

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $CDM.$ $AB = CD,$ так как трапеция равнобедренная, $BM = CM,$ $∠ABM =∠DCM.$ Тогда треугольники $BAM$ и $CDM$ равны по двум сторонам и углу между ними. $AM = MD$ как соответственные элементы равных треугольников. Значит, точка $M$ — середина основания $AD.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#111978

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $O.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна половине площади параллелограмма.

Показать доказательство

Проведем высоту параллелограмма $KL,$ проходящую через точку $O.$ Тогда $KL ⊥AB$ и $KL ⊥ CD.$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому пусть $AB = CD = a.$ Пусть $KL = h,$ а $KO =x.$ Тогда $OL = h− x.$

$aaxhBCDAOKL − x$

По формуле площади треугольника

$pict$

Тогда

1 1 SAOB +SCOD = 2a(h − x) + 2ax= a ah = 2 ⋅(h − x +x) = 2-.

С другой стороны, по формуле площади параллелограмма

SABCD = AB ⋅KL = ah.

Значит,

SAOB + SCOD = ah = 1SABCD. 2 2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2