Векторы —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#25070

Даны векторы: $⃗a = {3;− 2}$ , $⃗b = {4;1}$ . Найдите модуль (длину) вектора $⃗c = ⃗a + ⃗b$ . (Ответ округлить до сотых).

Показать ответ и решение

Вектор $⃗c = ⃗a + ⃗b = {3 + 4;− 2 + 1} = {7;− 1}$
Модуль вектора можем найти через теорему Пифагора:

∘ ------- ∘ ----------- √ --- |⃗c| = c2 + c2= 72 + (− 1 )2 = 50 x y

Ответ: 7,07

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#25071

Даны векторы: $⃗a = {7;4}$ , $⃗b = {− 5;6}$ , $⃗c = {− 3;0}$ . Найдите модуль (длину) вектора $⃗d = ⃗a + ⃗b + ⃗c$ . (Ответ округлить до сотых).

Показать ответ и решение

Вектор $d⃗= ⃗a + ⃗b + ⃗c = {7 − 5 − 3;4 + 6 + 0} = {− 1;10}$
Модуль вектора можем найти через теорему Пифагора:

∘ -------- ∘ -------------- √---- |⃗d| = d2 + d2 = (− 1)2 + (10 )2 = 101 x y

Ответ: 10,05

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#25072

Даны векторы: $F⃗1 = {10;0}$ , $F⃗2 = {− 6;− 2}$ . Найдите модуль (длину) вектора $F⃗3 = ⃗F1 + ⃗F2$ . (Ответ округлить до сотых).

Показать ответ и решение

Чтобы найти координаты вектора суммы векторов, нужно сложить координаты этих векторов:

⃗ ⃗ ⃗ F3 = F1 + F2 = {10 − 6;0 − 2} = {4;− 2}

Модуль вектора можем найти через теорему Пифагора:

∘ ------------ ⃗ 2 2 ∘ -2--------2 √--- |F3| = F3x + F3y = 4 + (− 2) = 20 ≈ 4,47

Ответ: 4,47

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#25073

На рисунке изображен вектор $⃗v$ .
1) Найдите проекцию $vx$ вектора $⃗v$ на ось $Ox$ .
2) Найдите проекцию $v y$ вектора $⃗v$ на ось $Oy$ .
В ответ запишите два числа без пробелов и запятых.

Показать ответ и решение

1) Опустим перпендикуляры из начала и конца вектора на ось $Ox$ .

Из полученного чертежа видно, что проекция равна

5 − 1 = 4

2) Опустим перпендикуляры из начала и конца вектора на ось $Oy$ .

Из полученного чертежа видно, что проекция равна

1 − 3 = − 2

Ответ: 4-2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#25074

На рисунке изображены векторы. Найдите координаты (проекции) векторов. (В ответ запишите сумму проекций).

Показать ответ и решение

Опустим перпендикуляры из начала и конца каждого вектора на соответсвущие оси. Отобразим это на новом чертеже:

Найдем сумму проекций на обе оси для каждого вектора отдельно:
Для $F⃗ 1$ :

F = 0, F = 4 − 1 = 3 1x 1y

F1x + F1y = 0 + 3 = 3

Для $F⃗2$ :

F2x = 4 − 1 = 3, F2y = 0

F2x + F2y = 3 + 0 = 3

Для $F⃗3$ :

F3x = 5 − 7 = − 2,F3y = 4 − 1 = 3

F3x + F3y = − 2 + 3 = 1

Для $F⃗4$ :

F4x = 2 − 4 = − 2,F4y = 0

F4x + F4y = − 2 + 0 = − 2

Тогда сумма всех проекций:

3 + 3 + 1 + (− 2) = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#25075

Тело массой $m = 10 кг$ движется по наклонной плоскости с углом наклона $α = 30 ∘$ .
1) Найдите проекцию силы тяжести на ось $Ox$ .
2) Найдите проекцию силы тяжести на ось $Oy$ .
(Ответ дайте в ньютонах, округлив до целых). В ответ запишите два числа без пробелов и запятых.

Показать ответ и решение

1) Проекция силы тяжести на ось $Ox$ вычисляется по формуле :

mg ⋅ sinα = 10 к г ⋅ 10 Н/ кг ⋅ 0,5 = 50 Н

Причем проекция положительна, т.к. тело движется сонаправленно с осью $Ox$ .

2) Проекция силы тяжести на ось $Oy$ вычисляется по формуле :

− mg ⋅ cosα = 10 кг ⋅ 10 Н/ кг ⋅ 0,866 = − 86,6 Н

Причем проекция отрицательна, т.к. сила тяжести противоположно направлена оси $Oy$ .

Ответ: 50-87

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#25076

Тело находится на наклонной плоскости. Угол наклона $α = 30∘$ . На него действует сила реакции опоры $N = 50 Н$ .
1) Найдите проекцию силы реакции опоры $N$ на ось $Ox$ .
2) Найдите проекцию силы реакции опоры $N$ на ось $Oy$ .
(Ответ дайте в ньютонах, округлив до целых).

Показать ответ и решение

1) Спроецируем силу реакции опоры $⃗N$ на ось $Ox$ : Таким образом, $Nx = 0 Н$ .

2) Спроецируем силу реакции опоры $N⃗$ на ось $Oy$ : Таким образом, $Ny = N = 50 Н$ .

Ответ: 050

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#25077

Тело скользит по наклонной плоскости вверх. Угол наклона $α = 60∘$ . На него действует сила реакции опоры $N = 100 Н$ . Коэффициент трения равен $μ = 0,4$ . Модуль силы трения $F тр$ вычисляется по формуле $F = μN тр$ .
1) Найдите проекцию силы трения $Fтр$ на ось $Ox$ .
2) Найдите проекцию силы трения $Fтр$ на ось $Oy$ .
(Ответ дайте в ньютонах, округлив до целых).

Показать ответ и решение

1) Спроецируем силу трения $⃗Fтр$ на ось $Ox$ :

Таким образом, $Fтрx = Fтр = μN = 100 Н ⋅ 0,4 = 40 Н.$

2) Спроецируем силу трения $⃗F тр$ на ось $Oy$ :

Таким образом, $Fтрy = 0 Н.$

Ответ: 400

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#25078

Тело массой $m = 40 кг$ скользит по наклонной плоскости. Угол наклона $α = 60∘$ . На него действует сила реакции опоры $N = 200 Н$ . Коэффициент трения равен $μ = 0,5$ . Найдите сумму проекций всех сил, действующих на тело. (Ответ дайте в ньютонах, округлив до целых).

Показать ответ и решение

Спроецируем силы, действующие на тело, на оси $Ox$ и $Oy$ :

Проекции сил на ось $Oy$ :

(N⃗)y = N (F⃗тр)y = 0 (m⃗g)y = − mg cosα

Проекции сил на ось $Ox$ :

(⃗N )x = 0 (⃗Fтр)x = − Fтр (m ⃗g)x = mg sin α

Найдем сумму этих проекций:

N + 0 + (− mg cos α) + 0 + (− F тр) + mg sin α (1)

Сила трения находится по формуле:

Fтр = μN (2 )

Подставим (2) в (1):

N − mg cos α − μN + mg sin α = N (1 − μ) + mg (sin α − cos α)

2 ∘ ∘ 200 Н ⋅ (1 − 0,5) + 40 к г ⋅ 10 м/ с ⋅ (sin60 − cos 60 ) ≈ 246 Н

Ответ: 246

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#25079

На точку $O$ действуют две равные по модулю силы $⃗F1$ и $⃗F2$ , направленные под углом $120 ∘$ друг к другу ( $F1 = F2 = 40 Н$ ). Чему равен модуль равнодействующей этих сил? Ответ дать в ньютонах.

Примечание: Равнодействующая сил – это векторная сумма всех сил, действующих на тело.

Показать ответ и решение

Изобразим силы, действующие на точку $O$ . Найдем равнодействующую сил $⃗F1$ и $F⃗2$ по правилу параллелограмма:

По теореме косинусов:

F 2 = F 2+ F 2− 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos 60∘ 1 2

∘ -------------------------------------- F = (40 Н )2 + (40 Н )2 − 2 ⋅ 40 Н ⋅ 40 Н ⋅ 1-= 40 Н 2

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#25080

Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью $v = 100 м/с$ под углом $α = 30∘$ к горизонту. Найти вертикальную и горизонтальную составляющие скорости самолёта. (В ответ записать произведение составлящих и округлить до целого).

Показать ответ и решение

Обозначим вертикальную составляющую вектора скорости $⃗v$ как $vy$ , а горизонтальную — как $vx$ (рис. 1).

Используя факт, что треугольник прямоугольный, проекции можно выразить через угол $α$ (рис. 2).
Синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = vy-⇒ v = v sin α v y

Косинус угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos α = vx-⇒ vx = v cosα v

Найдем произведение составляющих $vx$ и $vy$ :

vy ⋅ vx = v sin α ⋅ v cosα

∘ ∘ vy ⋅ vx = 100 м/ с ⋅ sin 30 ⋅ 100 м/ с ⋅ cos30 ≈ 4330

Ответ: 4330

01 Векторы