Тема АЛГЕБРА

Логарифмы → .02 Сложные логарифмические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Сложные логарифмические уравнения

Базовые логарифмические неравенства и сравнения

Метод рационализации

Сложные логарифмические неравенства

Системы с логарифмами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90687Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

log (27x2) x9 x 3 = 81.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как всегда начнём с ОДЗ! После этого попробуйте подобрать удобное основание для логарифмирования и воспользуйтесь свойствами логарифмов, чтобы максимально упростить уравнение.

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами логарифмов: log₃(x) = 1/logₓ3 и сделайте замену

Подсказка 3

Решите рациональное уравнение и сделайте обратную замену!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 27x2 > 0 |||{ x> 0 | =⇒ x> 0 |||( x9> 0 81

Преобразуем уравнение:

3+2log3x 9 −4 x =x ⋅3

Возьмем $logx$ от обеих частей

logx(x3+2log3x)=logx(x9⋅3−4)

3+2 log3x= 9+ logx3−4 =⇒ 3+ 2log3x =9 − 4logx3

3+ 2log3x= 9− --4-- log3x

Сделаем замену $log3x =t, t⁄= 0.$ Тогда

3+ 2t=9− 4 =⇒ 3t+2t2 = 9t− 4 t

2 2 2t − 6t+ 4= 0 =⇒ t − 3t+ 2= 0

Следовательно,

[ t= 1 =⇒ log3x =1 =⇒ x= 3 t= 2 =⇒ log3x =2 =⇒ x= 9

Ответ: 3; 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#38130Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (3 ) log7x−6 7x +x − 6 ⋅logx+1 x +1 = log7x−6 7x +x− 6 + logx+1 x + 1

Источники: Физтех-2014, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на то как выглядит наше уравнение. Хмм… Мы видим, что , по сути, здесь есть две конструкции. Собственно два этих логарифма. Слева их произведение, справа их сумма. А что можно сделать, если мы знаем что сумма двух чисел равна их произведению?

Подсказка 2

Конечно, можно заменить и разложить. ab=a+b => (a-1)(b-1)=1. А как можно сократить единицу, если мы знаем чему равно а и b(логарифмам)? А что это даст?

Подсказка 3

Видим, что log_(7x-6)(7x^2+x-6)=1+log_(7x-6)(x+1). Аналогично со вторым. На выходе получаем уравнение (log_(7x-6)(x+1))*(log_(x+1)(x^2-x+1))=1. Хмм… х+1 много где встречается… Ах, есть же свойство!

Подсказка 4

Свойство о смене оснований в произведении логарифмов. Тогда наше уравнение преобразуется в вид log_(7x-6)(x^2-x+1)=1. А такое мы точно умеем решать. Остается проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x− 6 >0,x+ 1> 0,7x− 6⁄= 1,x+1 ⁄=1$ . Поскольку

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) log7x−6 7x + x− 6 =1+ log7x−6(x +1) и logx+1 x + 1 = 1+logx+1 x − x+ 1

то для замены $a= log (x +1),b=log (x2− x+ 1) 7x− 6 x+1$ уравнение примет вид

(a+ 1)(b+ 1)=a +b+ 2 ⇐⇒ ab= 1

То есть

log (x+1)log (x2− x+1)= log (x2− x +1)= 1 7x−6 x+1 7x−6

или $7x− 6 =x2 − x+ 1 ⇐⇒ x2− 8x +7 =0 ⇐ ⇒ x ∈{1;7}.$ После проверки ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#38131Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(2 ) 3 2 log5x x +9x+ 15 +log125x x = x.

Источники: Физтех-2013, 11.1 (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в основании логарифмов пятерки в некоторых степенях. А это как-то можно исправить? Когда в основании логарифма показательная функция работать не так удобно, как с константой там же.

Подсказка 2

Ну конечно, можно. По свойству логарифмов. Что-то мы забыли… Ах, да! Найти ОДЗ! Ведь вынеся степень из основания оно точно будет использоваться.

Подсказка 3

Ого, какое простое ОДЗ, х>0. А значит можно домножить на х и не потерять корней. Теперь у нас остается что сумма наших логарифмов равна 2. Но они по одному основанию! Значит их можно преобразовать в один и приравнять к логарифму по основанию 5, равному двойке.

Подсказка 4

В итоге получаем кубическое уравнение, которое остается решить (к примеру угадать один из корней) и не забыть учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x> 0

Вынесем из оснований и аргументов логарифмов показатели степеней, получим

1log (x2+ 9x +15)+ 3-log x = 2 ⇐⇒ log (x3+ 9x2+15x)= log 25 x 5 3x 5 x 5 5

Что эквивалентно равенству

3 2 2 2 x + 9x + 15x− 25= 0 ⇐⇒ (x − 1)(x + 10x+ 25)= 0 ⇐⇒ (x− 1)(x +5) = 0

Получается $x= 1,x =− 5$ , но только $x =1$ входит в ОДЗ исходного уравнения.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#38132Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( ( 2 )) log3(x+1)⋅log3(2x − 1)⋅ 3− log3 2x + x− 1 = 1

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, конечно, запишем ОДЗ. Откуда сразу про одну из скобок понятно, что она больше нуля. Давайте обратим внимание на квадратный трёхчлен в логарифме. Попробуем его разложить и посмотрим, что получится. Какое тогда действие само напрашивается для упрощения нашей жизни?

Подсказка 2

Верно, у нас ведь будут одинаковые части с логарифмами, которые мы можем заменить, например, буквами a и b. Теперь не очень понятно, что с этим делать... Но будем думать с точки зрения того, что задачу нам дали решаемую, иначе как-то грустно. В итоге, у нас получилось уравнение с двумя переменными. Тогда раз мы знаем, что решение существует, как мы можем его решать?

Подсказка 3

Ага, мы ведь можем посмотреть на него, как на квадратное уравнение относительно b, и сказать, что дискриминант должен быть больше нуля. Решая неравенство на дискриминант, получим промежуток... Обидно. Мы надеялись, что значение выйдет какое-то одно, а получилось так. Но давайте не будем отчаиваться и попробуем доказать, что промежуток не подходит. У нас слева произведение скобок, а справа 1. Может быть получиться противоречие со знаком справа и слева у равенства? Исходя от а, попробуйте оценить х и посмотреть, что выйдет.

Подсказка 4

Верно, получилось, что тогда х больше или равен 80. Но отсюда оценкой выходит, что две скобки положительны, а последняя отрицательна. А справа 1. Победа! Осталось только найти х при единственном а и сделать проверку.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x+ 1> 0,2x− 1> 0 ⇐⇒ x> 1 2$ . Из ОДЗ $x +1 >1$ , то есть $log (x+ 1)> 0 3$ . Пусть $log(x+ 1) =a >0,log (2x− 1)= b 3 3$ , тогда получим

2 2 ab(3 − a− b)=1 ⇐ ⇒ ab + (a − 3a)b+ 1= 0

Это квадратное уравнение относительно $b$ , напишем дискриминант, который должен быть неотрицателен

4 3 2 2 2 Db = a − 6a + 9a − 4a= a(a − 1)(a − 5a+ 4) =a(a− 1) (a − 4)≥ 0

Поскольку $a> 0$ , то имеем $a∈ {1}∪[4,+∞ )$ . Если $a≥ 4$ , то $x+ 1≥ 34 ⇐ ⇒ x ≥80$ . При этом $log3(2x − 1)> 0$ , но $3− log3(2x2+ x− 1)≤3 − log3(802 − 1)< 0$ , поэтому произведение не может быть положительным. То есть может подойти только $a =1 ⇐⇒ x =2$ , остаётся его подставить и проверить, что равенство выполнено.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#49596Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|| 2 || 1 |log12(x)− 2|− |log2(x)+ 2|=2 log√12 x.

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно приглядитесь к логарифмам. Может быть, у них больше общего, чем кажется на первый взгляд?

Подсказка 2

Давайте каждый логарифм приведем к log₂x и сделаем замену t = log₂x. Какого вида мы получили уравнение и как его можно решить?

Подсказка 3

Подобные уравнения можно решить, рассмотрев все возможные интервалы знакопостоянства модулей. Также не забудьте сделать обратную замену и проверить ОДЗ для ответа.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

После замены $t= log2x$ получаем

|2t+ 2|− |t+ 2|=− t

Рассмотрим случаи

$t< −2$ . Все модули раскроются с минусами
$−2t− 2+ t+ 2= −t ⇐⇒ 0= 0$
Подходят все такие $t$ .
$− 2 ≤t< −1$ . Здесь
$−2t− 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= −2$
$t≥ −1$ . В этом случае
$2t+ 2− t− 2= −t ⇐⇒ t= 0$

В итоге $t∈(−∞, −2]∪ {0} ⇐ ⇒ x ∈(0,14]∪ {1}.$

Ответ:

$(0,1]∪ {1} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#71666Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию $3$ от этих чисел равна $10.$ Найдите эти числа, если

log3b1⋅log3b5 =3

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?

Подсказка 2

Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?

Подсказка 3

Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то $q > 0$ . Тогда члены прогрессии: $2 3 4 b1, qb1, qb1, qb1, q b1$

По условию

2 3 4 log3b1+ log3qb1+log3q b1+log3qb1+ log3qb1 = 10

5 10 log3b1 ⋅q = 10

2 9- b1q =9 =⇒ b1 = q2

Подставляя во второе условие получаем

9 9 log3q2 ⋅log3q4⋅q2 =3

log3-92 ⋅log3 9q2 = 3 q

(2− log q2)⋅(2+ log q2)= 3 3 3

log2q2 = 1 3

q2 = 3±1

И так как

q >0,

то

q = 3±0.5; b1 = 9 q2

Легко видеть, что прогрессии

1.5 2 2.5 3 3, 3 , 3 , 3 , 3

3 2.5 2 1.5 3 , 3 , 3 , 3 , 3

удовлетворяют условию про сумму логарифмов и условию на первый и пятый члены.

В ответ можно записать найденные числа, они одинаковые для обеих подходящих прогрессий.

Ответ:

$3, 31.5, 32, 32.5, 33$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#80649Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2)log3x x5 x = 9

Источники: Вступительные на социологический факультет МГУ, 2008

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что у нас в задаче фигурирует логарифм с x в аргументе. Быть может, тогда выразим x² и x⁵ через него?

Подсказка 2

Итак, теперь у нас везде фигурирует 3 в некоторой степени и иногда в степени встречается логарифм по основанию 3. Давайте для удобства сделаем замену логарифма!

Подсказка 3

Теперь у нас слева и справа есть 3 в некоторой степени, зависящей от t = log₃(x): 3^(2t²) = 3^(5t-2). А как найти корни?

Подсказка 4

А что если исследовать на монотонность функцию 3^a? Решаем квадратное уравнение и не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Начнем с нахождения ОДЗ: $x> 0.$

Сделаем замену $t= log3x$ . Тогда наше уравнение будет иметь вид:

( 2t)t 35t 3 = 32-

2 32t = 35t−2

В силу монотонности функции $3α$ получаем:

2 2t− 5t+2 =0

t= 2 или t= 1 2

x= 9 или x= √3

Полученные $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$x =9 или x= √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#80050Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

( 2 ) ∘ --------2 2 2log3 x − 4 +3 log3(x+ 2) − log3(x− 2)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите (x²-4) по формуле разности квадратов.

Подсказка 2

Запишите разность 2 логарифмов.

Подсказка 3

Сделайте замену.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение к виду

2 ∘--------2 log3(x+ 2) + 3 log3(x+ 2) = 4

Пусть $∘ --------2 t= log3(x +2) ≥ 0.$ Тогда $2 t + 3t− 4= (t− 1)(t+ 4)= 0.$ Следовательно, $t= 1$ и $2 (x+2) = 3.$ Получаем $√- x= −2± 3,$ причем $√ - x =− 2+ 3$ не является решением, так как $2 √- √- x − 4=( 3 − 4) 3< 0$ и $( 2 ) log3 x − 4$ не определен, а $√- x= −2− 3−$ решение.

Ответ:

$− 2− √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#79279Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

x log22 + log2(21x− 2)= 2log21x2−2x8

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нужно записать первым делом? А потом подумайте: не видите ли вы чего-то похожего в аргументах и основаниях логарифмов? Что тогда можно сделать?

Подсказка 2

Первым делом, конечно, пишем ОДЗ! А ещё, если сложить логарифмы слева, аргумент будет почти такой же, как основание логарифма справа) Тогда можно это и сделать, а потом при помощи небольших преобразований получить уравнение с одним логарифмом

Подсказка 3

И этот логарифм можно заменить на t, а потом решить получающееся квадратное уравнение, не забыв проверить корни на соответствие ОДЗ

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| x >0 |||{ 2 | 21x−2 2> 0 |||( 21x2− 2x ⁄=1 21x − 2x >0

(| x > 0 |||{ x > 2- | x ⁄= 211±-√22- |||( x ∈(−2∞1; 0)∪ (2;+∞ ) 21

Преобразуем левую часть уравнения:

log x +log(21x− 2)= log ( 21x2−-2x) 22 2 2 2

(21x2−-2x) 2 log2 2 = log2(21x − 2x)− 1

Теперь воспользуемся тем, что $1 logab= logba$ и сделаем замену $2 t= log2(21x − 2x)$ , тогда наше уравнение примет вид:

6 t− 1= t

Домножим на $t$ и получим квадратное уравнение: $t2− t− 6 =0,$ корни которого будут равны $t1 = 3, t2 =− 2$

При $t1 = 3$ нужно решить уравнение $log2(21x2− 2x)= 3$ . Пропотенциируем и получим $21x2− 2x− 8= 0$ . Корни этого уравнения $x1 = 2 3$ и $x2 =− 4 7$ . $x2$ не будет входить в ОДЗ, поэтому оставляем лишь $x1$

При $t2 = −2$ нужно решить уравнение $2 log2(21x − 2x)= −2$ . Так же потенциируем и получаем $2 1 21x − 2x− 4$ . Корни этого уравнения $x3 = 1 6$ и $x4 =− 1- 14$ . $x4$ нам не подходит, так как этот корень не попадает в ОДЗ.

Ответ:

$x = 1; x= 2 6 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#63474Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

log x+2 x 2 = 256

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не кажется ли число 256 подозрительно знакомым? В каком виде мы чаще с ним встречаемся?

Подсказка 2

Конечно, в виде 2⁸! Давайте тогда и левую часть представим в виде 2 в некоторой степени. Что нам в этом поможет?

Подсказка 3

Можем х представить по основному логарифмическому тождеству как 2 в некоторой степени! Остается перейти к равенству показателей и решить квадратное уравнение. При необходимости можно сделать замену t = log₂(x) и решать относительно t.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0.$ Обе части положительны, поэтому можно взять логарифм по основанию 2 от обеих частей:

log x+2 log2(x 2 )= log2256

(log2 x+2)log2x =8

После замены $t= log2x$ получаем

t2+2t− 8= 0 ⇐⇒ t=2,t= −4

Получаем $x =22 =4,x= 2−4 = 116.$

Ответ:

$-1;4 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#63475Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 log2x+ (x− 1)log2x= 6− 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение имеет интересный вид. Попробуйте решать его относительно log₂(x). При необходимости можно сделать замену t = log₂(x) и решать относительно t.

Подсказка 2

При таком решении получаем совокупность из двух уравнений log₂(x) = -2 и log₂(x) = (-х + 3). Для первого уравнения легко находим корень через определение логарифма, а для решения второго попробуйте воспользоваться монотонностью и подберите корень.

Показать ответ и решение

Перенесём в левую часть и попробуем разложить на множители:

2 log2x+ (x − 1)log2x+ 2x− 2− 4 =0

2 (log2x− 4)+ (x− 1)log2x+ 2(x − 1)= 0

(log x− 2)(log x +2)+ (x− 1)(log x +2)= 0 2 2 2

(log x+ 2)(log x− 2+ x− 1)= 0 2 2

Отсюда либо

log2x +2= 0 ⇐⇒ x= 2−2 = 1, 4

либо

x+ log2x= 3 ⇐⇒ x= 2.

Единственность решения можно объяснить монотонностью фукнции $f(x)= x+log2x$ — каждое значение (в том числе $3$ ) эта сумма может принимать не более одного раза.