Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Десятичная запись и цифры

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Десятичная запись и цифры

Ребусы

Последняя цифра

Перенос, замена, приписывание, стирание цифр

Работа с длинными числами

Работа с суммой цифр

Уравнения с десятичной записью

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#61178Максимум баллов за задание: 7

Найдите четырехзначное число, две средние цифры которого образуют число, в $5$ раз большее числа тысяч и в $3$ раза большее числа единиц.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть нужное нам число это аbcd (это запись цифр, а не произведение), тогда какие два равенства можно записать из условия?

Подсказка 2

Верно, bc (с чертой) = 5a = 3d. Что получаем из последнего равенства?

Подсказка 3

Да, понимаем, что d кратно 5, при этом стоит учесть, что а ≠ 0. Отсюда и получаем ответ!

Показать ответ и решение

Запишем число в виде $abcd.$ По условию $bc-=5a= 3d.$ Заметим, что $d$ не может быть $0,$ потому что в противном случае $a$ также будет равна $0,$ а это первая цифра числа. Также $d$ делится на $5.$ Следовательно, $-- d= 5,a =3,bc =15.$

Ответ:

3155

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#61482Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли такие двузначные числа $ab,cd$ , что $ab⋅cd-=abcd$ ? ( $abcd$ это записанные друг за другом в десятичной записи данные двузначные числа без знака умножения)

Показать ответ и решение

Перепишем условие в более удобном виде. Пусть $x =ab,y = cd$ , тогда

xy = 100x+ y ⇐⇒ y = x(y − 100)

Так как число $y$ двузначное, то $y− 100< 0$ , так что правая часть равенства выше отрицательна. При этом левая положительна. Значит, решений нет.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#63947Максимум баллов за задание: 7

Десятичная запись суммы $3 +33+ 333 +...+ 33...3$ оканчивается на $2023.$ Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима-2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на эту сумму по модулю 10000: она должна быть равной 2023. С другой стороны, чему она равна, если у нас, например, n слагаемых в ней?

Подсказка 2

Она равна 3+33+333+3333(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 3333)

Показать ответ и решение

Пусть в последнем слагаемом $n$ цифр. По условию десятичная запись суммы $3+ 33+333+ ...+ 33...3 ◟ ◝◜n-◞$ оканчивается на $2023:$

2023 ≡ 3+ 33 +333+ ...+3◟3.◝.◜.3◞ ≡ 3+ 33+ 333+ 3333(n − 3) 10000 n 10000

то есть при некотором натуральном $m$ верно

3+ 33 +333+ 3333(n − 3)= 2023 +10000m = 2023+ 3333⋅3m + m

2023− (3+-33+333)+m n= 3+ 3m+ 3333

откуда с учётом натуральности $m$ сразу следует условие для сократимости дроби

2023− (3 +33+ 333)+ m ≥3333 ⇐⇒ m ≥1679

Следовательно,

n≥ 3+ 3⋅1679+ 1= 5041

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Ответ: 5041

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#67941Максимум баллов за задание: 7

Обозначим через $s(n)$ число цифр в десятичной записи натурального числа $n.$ Найдите сумму

2023 2023 s(2 )+s(5 )

Источники: Ломоносов-2023, 11.5(см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что количество цифр в числе n, это такое k, что 10ᵏ > n > 10ᵏ⁻¹. А какую еще знакомую нам функцию можно связать с k?

Подсказка 2

Логарифм! И правда, ведь получается, что k > log₁₀(n) > k-1. Тогда получается, что k = log₁₀(n) + a, где 0 < a < 1. Как теперь выражается искомая сумма?

Подсказка 3

Получается, что наша сумма это log₁₀(2²⁰²³) + log₁₀(5²⁰²³) + a+b = 2023 + a + b, где 0 < a+b < 2. Остается вспомнить, что количество цифр - это целое число, и станет понятно чему равно a+b!

Показать ответ и решение

Заметим, что

2023 2023 s(2 )= lg(2 )+a =2023lg2+ a, где 0< a< 1

Аналогично,

2023 2023 s(5 ) =lg(5 )+b =2023lg5 +b, где 0< b< 1

Тогда

s(22023)+ s(52023)= 2023(lg2+ lg 5)+ a+ b= 2023+ (a+b)

Значит, число $(a+ b)$ целое, причем $0< a+ b< 2,$ так как $0< a< 1,0 <b <1.$ Отсюда $a +b= 1,$ а ответ равен $2024.$

Ответ:

$2024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#68238Максимум баллов за задание: 7

Найдите все восьмизначные числа $A = aa-...a-, 12 8$ $a ∈ {1,2,...,9} i$ такие, что $8⋅A+ a = B, 8$ где $B =b-b-...b 12 8$ , $b = 10 − a . i i$ Решение обоснуйте.

Источники: Верченко-2023 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, как устроены цифры B относительно цифр A. Какое выражение с использованием A и B можно составить, которое не будет зависеть от конкретных цифр в числе А?

Подсказка 2

A+B! А дальше просто решается задачка, нахождением последней цифры числа A)

Показать ответ и решение

Заметим, что

108−-1- A+ B =1◟1.◝.◜.1 ◞0 = 9 ⋅10. 8

Тогда из условия $8⋅A +a8 = B$ получим

9A +a8 = 11...10. ◟-◝8◜ ◞

Следовательно, по признаку делимости на 9

a8 = 1◟+1-+◝.◜..+-1◞= 8. 8

Разделим число $1◟1.◝8.◜.1 ◞0 − 8$ на $9$ . Получим число $12345678.$

Ответ: 12345678

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#68515Максимум баллов за задание: 7

Назовем натуральное число специальным, если в его десятичной записи каждая пара последовательных цифр образует двузначное число, делящееся на $17$ или на $43$ . Например, число $8685$ является специальным, а число $8684$ — нет. Найдите количество $2022$ -значных специальных чисел.

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что не существуют двузначных чисел, делящихся на $17$ или $43$ , содержащих $0$ , $2$ или $9$ в своей записи. Поэтому в специальных числах таких цифр быть не может. Заметим, что рядом с цифрой $3$ в специальном числе может идти только цифра $4$ , а рядом с цифрой $4$ может идти только цифра $3$ . То есть специальных чисел, содержащих $3$ или $4$ , ровно $2$ (в которых чередуются $3$ и $4$ ). Заметим, что не существует двузначных чисел, делящихся на $17$ или на $43$ , начинающихся на цифру $7$ . Поэтому цифра $7$ может стоять в специальном числе только на последнем месте. Перед ней будет $1$ , перед $1$ будет $5$ , перед $5$ цифра $8$ , дальше $6$ , потом опять $8$ , и так далее. Аналогично все однозначно восстанавливается, если в конце специального числа стоят цифры $1,5,8,6$ . Таким образом, всего специальных чисел $5 +2= 7$ .

Ответ:

$7$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#68994Максимум баллов за задание: 7

Рассмотрим алгебраическое выражение $F (a,...,x),$ содержащее переменные, скобки и операции умножения и вычитания. Числовые константы не используются. Заменим один из знаков операции на $⊥,$ другой — на $⊳⊲.$ Назовем полученное выражение «формулой». Например, формулой будет выражение $(a⊳⊲b)⊥ c,$ причем один из знаков обозначает разность, а другой - умножение.

а) существует ли формула, которая при любых значениях переменных (и любом из смыслов знаков) дает значение 0?

б) существует ли формула, которая при любых значениях переменных дает значение 1 ?

Источники: КФУ-2023, 11.5 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), Подсказка

Попробуйте придумать такую формулу, в которой будет содержаться только одна переменная. Для этого надо вспомнить, когда a*a (где * - операция) дает ноль в разных случаях)

Пункт б), Подсказка

А теперь подумайте про четность чисел, и как она меняется или не меняется в зависимости от операций и от самих чисел) Вдруг можно подобрать такие числа что никогда не будет 1...

Показать ответ и решение

a) Рассмотрим формулу $A= a ⊥a$ . Если $⊥$ - вычитание, то выражение тождественно равно $0$ . Если $⊥$ - умножение, то $A= 0$ при $a =0$ . Поэтому выражение $N =(a⊥ a)⊳⊲ (a ⊥a)$ равно $0$ при любом смысле знаков $⊥$ и $⊳⊲$ . Действительно, если $⊥$ - вычитание, то $N = 0⋅0= 0$ . Если же $⊥$ - умножение, то $⊳⊲$ - вычитание, тогда $N = a⋅a− a⋅a= 0$ .

б) Предположим, что переменным $a,b,...$ приданы четные значения. Тогда и $a⊳⊲b$ , и $a⊥ b$ , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Ответ: а) Да; б) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#71019Максимум баллов за задание: 7

Дарья Дмитриевна готовит зачёт по теории чисел. Она пообещала каждому студенту дать столько задач, сколько слагаемых он создаст в числовом примере

a1+ a2+...+an = 2021,

где все числа $ai$ — натуральные, больше 10 и являются палиндромами (не меняются, если их цифры записать в обратном порядке). Если студент не нашёл ни одного такого примера, он получит на зачёте 2021 задачу. Какое наименьшее количество задач может получить студент?

Источники: Изумруд-2023, 11.1 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Легко можно придумать пример для трех. Например, 22+888+1111. Попробуйте доказать, что меньше трех придумать невозможно.

Подсказка 2

Пример на одного числа невозможен, так как 2021 - не палиндром. Если же чисел будет два, то одно число обязательно должно быть четырехзначным. Рассмотрите несколько вариантов того, как может выглядеть это четырехзначное число. Подумает, как при этом должно выглядеть второе число в сумме.

Показать ответ и решение

Одну задачу студент получить не может, так как 2021 не является палиндромом. Предположим, что он может получить две задачи, тогда хотя бы одно из чисел $a1,a2$ — четырёхзначное. Если оно начинается на 2, то вторая цифра 0 и само число равно 2002. В таком случае второе число равно 19, что не палиндром. Если же число начинается с 1, то его последняя цифра также 1 и у второго числа последняя цифра должна быть нулём, что неверно для палиндромов. Значит две задачи студент получить не мог. Пример на 3 задачи существует, например, $1111+ 888+ 22= 2021.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#76730Максимум баллов за задание: 7

Десятичная запись суммы $1+ 11+ 111+ ...+ 11...1$ оканчивается на 2023. Каким наименьшим может быть количество цифр в последнем слагаемом?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Она равна 1+11+111+1111(n-3), где n какое-то натуральное число. Как из этого выразить n через m?

Подсказка 3

Осталось понять, при каком минимальном m у нас найдётся такое n, выделив целую часть или посмотрев по модулю 1111)

Показать ответ и решение

Указанную сумму обозначим через $S$ , а количество слагаемых в ней (совпадающее с количеством цифр в последнем слагаемом) - через $n$ . Тогда сумма остатков слагаемых от деления на 10000 равна $123 +1111(n− 3)$ , и дает при делении на 10000 такой же остаток, что и $S$ .

Поэтому выполнено равенство $123+ 1111(n− 3)= 10000m+ 2023$ , где $m$ - некоторое натуральное число. Отсюда

10000m + 2023− 123 m + 789 n− 3= ------1111------= 9m + -1111- +1

Наименьшее $m$ , при котором $m+ 789$ делится на 1111, равно 1111-789=322.

Следовательно, искомое решение $n$ равно $3+ 9322 +1+ 1= 2903$ .

Ответ: 2903

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#83231Максимум баллов за задание: 7

На доску выписаны числа $1,2,3,...,2 00...0 2 1◟00◝н◜ул ◞ей$ . Можно ли покрасить половину этих чисел в красный цвет, а оставшиеся в синий так, чтобы сумма красных чисел делилась на сумму синих?

Источники: КМО - 2023, третья задача первого дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим самое большое выписанное число через $2n$ . Минимальная сумма синих чисел равна

n(n+-1)- 1+ 2+...+n = 2 .

Максимальная сумма красных чисел равна

(n+ 1)+(n+ 2)+...+ (n+ n)=n ⋅n+ 1+2 +...+ n=

2n2+ n(n+ 1) 3n2+ n = -----2-----= ---2--

Так как $3n(n +1)> 3n2+ n$ , отношение суммы красных чисел к сумме синих меньше трех, значит, если все-таки сумма красных чисел делится на сумму синих, частное равно 1 или 2.

В первом случае мы получаем, что суммы красных чисел и синих чисел должны быть равны, поэтому сумма всех выписанных на доску чисел должна быть четна. При этом половина, а именно $1 0◟0 ◝..◜.0◞ 1 100нулей$ , чисел нечетна. Поэтому сумма всех чисел на самом деле нечетна, и частное не может быть равно 1.

Во втором случае обозначим сумму синих чисел через $S$ . Сумма красных чисел равна $2S$ , а сумма всех выписанных чисел равна $3S$ , то есть делится на 3. На самом же деле сумма выписанных чисел равна

2n(2n+-1) 1 +2+ 3+ ...+ 2n = 2

Признак делимости на 3 гласит: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $2n= 210◟000.◝◜ну..л0◞ей 2$ равна 4 , а сумма цифр числа $2n+ 1$ равна 5 . Поэтому оба этих числа не делятся на 3 , тогда и сумма всех выписанных чисел на 3 не делится, и второй случай также невозможен.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#89867Максимум баллов за задание: 7

Несократимые дроби $a b$ и $c d$ записали в виде чисто периодических десятичных дробей. Оказалось, что любая конечная последовательность подряд стоящих цифр, встречающаяся в первой десятичной дроби после запятой, встречается и во второй (тоже подряд и тоже после запятой). Докажите, что $b= d.$

Показать доказательство

Давайте для удобства считать, что $0≤ a< b$ и $0 ≤c< d$ , иначе вычтем целую часть дробей, не изменив дробную часть, получив $a$ и $c$ в нужном диапазоне (условие на несократимость дробей останется). Скажем, что

a c b = 0,(T1) d = 0,(T2),

(1)

$m1$ — количество цифр в записи $T1$ , $m2$ – количество цифр в записи $T2$ ( $T1$ и $T2$ — периоды наших дробей).

Рассмотрим последовательно написанный $T1$ $m2$ раз (такая последовательность в первой дроби есть), по условию она же есть, и во второй, причём в ней $m1m2$ цифр, значит, во второй дроби эта последовательность является сдвигом $T2$ , записанным $m1$ раз. Тогда скажем, что во второй дроби построенная последовательность перед первым $T2$ имеет кусок $k1$ , оставшийся кусок из $T1$ назовём $k2$ , то есть $---- T1 = k1k2$ . Тогда эта же последовательность во второй дроби выглядит как $k1$ , $T2$ , написанный $m1− 1$ раз, и остаток $k$ , причём $--- T2 =kk1$ . Обозначим рассматриваемую последовательность за $T$ ( $--------- -------- k1k2...k1k2 =T = k1k...k1k$ ), тогда:

a =0,(k1k2)=0,(T) b

(2)

c --- d =0,(kk1)= 0,k(T)

(3)

Скажем, $m$ — количество цифр в $T$ , $n$ —- количество цифр в $k$ . Тогда верно следующее:

a⋅10m =T,(T ) b

(4)

c ⋅10n = k,(T) d

(5)

c --- d ⋅10n+m = kT,(T)

(6)

Вычитая (2) из (4) и (5) из (6) соответственно, получаем:

a ⋅(10m − 1)= T b

(7)

c⋅10n(10m − 1)= T +k(10m − 1) d

(8)

Подставим $T$ из (7) равенства в (8), получим:

c⋅10n(10m − 1)= a ⋅(10m− 1)+k(10m− 1) d b

c n a n d ⋅10 = b +k =⇒ bc⋅10 = ad+ bdk

. . ad..b и bc⋅10n..d

Вспомним, что пары чисел $(a,b)$ и $(c,d)$ взаимно просты. Значит, $d..b .$ и $b⋅10n ..d .$ .

Докажем, что $n 10$ и $d$ взаимно просты. Из (1):

c ⋅(10m2 − 1)=T2 =⇒ c⋅(10m2 − 1)= T2d =⇒ 10m2 − 1...d, d

ибо $c$ и $d$ взаимно просты.

Если НОД $(10n,d)...p$ — простое, то $10m2 − 1$ уж точно на $p$ не делится, но тогда и на $d$ делиться не может, противоречие, тогда рассматриваемый НОД равен 1, что эквивалентно искомой взаимной простоте, откуда следует, что $b⋅10n ...d ⇐ ⇒ b ...d$ . Тогда у нас $d...b$ и $b...d =⇒ b=d$ , что и требовалось.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#100776Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n3+ n,$ или в записи числа $n3− n$ последняя цифра равна нулю.

Источники: Муницип - 2023, Брянск, 7.5 (см. Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n^3 + n,$ или в записи числа $n^3 - n$)

Показать доказательство

Рассмотрим последние цифры чисел $n3+ n$ и $n3− n$ в зависимости от последней цифры числа $n$ . Результаты удобно расположить в виде следующей таблицы:


$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

$3 n$	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

$n3+ n$	$0$	2	$0$	$0$	8	$0$	2	$0$	$0$	8

$n3− n$	$0$	$0$	6	4	$0$	$0$	$0$	4	4	$0$

Из полученной таблицы непосредственно видно, что, по крайней мере, одно из чисел $n3+$ $n$ или $n3 − n$ оканчивается нулём.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#131382Максимум баллов за задание: 7

Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа $a ,a,...,a 0 1 9$ и написал на доске уравнение

9 8 2 a9x + a8x +...+a2x + a1x +a0 = ∗.

Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 10.7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Условие даёт слишком много свободы, существует множество трёхзначных и 30-значных чисел. Кажется, что пример существует.

Подсказка 2:

Есть два варианта, как можно придумать пример. Первый — придумать 30-значное число, для которого сразу найдется x, дающий это значение. Или же придумать x, дающий какое-то 30-значное число. Какой способ проще?

Подсказка 3:

Второй способ, разумеется, проще. Обратите внимание, многочлен состоит из 10 одночленов, а каждый коэффициент трёхзначный. Быть может, можно получить число, состоящее из коэффициентов, выписанных по очереди?

Показать доказательство

Пусть $x-yz- i ii$ — десятичная запись трехзначного числа $a i$ . Подстановка в левую часть уравнения $x =1000$ даёт

27 24 ------------- a9⋅10 +a8⋅10 +⋅⋅⋅+ a1⋅1000 +a0 = x9y9z9...x0y0z0.

Таким образом, после подстановки вместо звездочки $30$ -значного числа

----------------- x9y9z9x8y8z8...x0y0z0

получится уравнение, имеющее корень $1000.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#33108Максимум баллов за задание: 7

Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А от чего зависит последняя цифра произведения нескольких чисел?

Подсказка 2

Как раз от последних цифр чисел, которые мы перемножаем! Рассмотрите все возможные последние цифры двузначных чисел.

Показать ответ и решение

Среди двузначных чисел есть числа, оканчивающиеся на $0$ , например, $10$ . Если мы перемножим несколько чисел, одно из которых оканчивается на $0$ , то результат будет оканчиваться также на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#33109Максимум баллов за задание: 7

Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А от чего зависит последняя цифра суммы нескольких чисел?

Подсказка 2

От суммы последних цифр чисел, которые мы складываем! А последние цифры могут повторяться?

Подсказка 3

Да! Давайте тогда разобьём все трёхзначные числа на блоки по 10, в них последними цифрами будут 0,1,2,...,9. Посчитайте их сумму.

Подсказка 4

Cколько всего будет таких блоков?

Показать ответ и решение

Разобьем все трехзначные числа на десятки подряд идущих. Рассмотрим один десяток. В этом десятке числа оканчиваются на $0$ , $1$ , $2$ , …, $9$ . Последняя цифра суммы в этом десятке зависит только от последних цифр самих чисел. Поэтому сумма оканчивается на ту же цифру, что и $0+ 1+2+ ...+ 9= 45$ , то есть на $5$ .

Итак, в каждом десятке сумма всех чисел оканчивается на $5$ . Поэтому вместо того, чтобы складывать все трехзначные числа и честно находить последнюю цифру, мы можем сложить только пятерки в количестве, равном количеству десятков. Трехзначных чисел, как мы считали в предыдущих уроках, $900$ , поэтому десятков $900:10= 90$ . Значит, мы должны сложить $90$ пятерок. Но это то же самое, что умножить $5$ на $90$ . Результат оканчивается на $0$ , значит, и сумма всех трехзначных чисел оканчивается на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#33110Максимум баллов за задание: 7

На арифмантике юным волшебникам задали перемножить первые сто простых чисел, к результату прибавить $2019$ и найти последнюю цифру полученной суммы. Сильная волшебница Гермиона справилась с заданием с помощью магии, не перемножая числа. Какой ответ у нее получился? Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя: $1$ и само число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам нужна лишь последняя цифра суммы, то и у произведения простых чисел нужно знать только последнюю цифру. Попробуйте посмотреть на изменение последней цифры этого произведения при небольшом количестве множителей.

Подсказка 2

Отлично! Из-за того, что числа 2 и 5 простые, то наше произведение точно оканчивается на 0. Тогда чему равна последняя цифра нашей суммы?

Показать ответ и решение

Заметим, что среди первых сто простых чисел есть числа $2$ и $5$ , поэтому произведение ста простых чисел делится и на $2$ , и на $5$ . Тогда это произведение делится на $10$ , значит, оканчивается на $0$ . Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому цифра такая же, как при сложении $0$ и $9$ , то есть $9$ .

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#33111Максимум баллов за задание: 7

У Гарри и Рона есть по $9$ карточек с цифрами от $1$ до $9$ . Они составляют из этих карточек число. Своим ходом нужно положить одну из своих карточек слева или справа от уже имеющегося числа. Игра заканчивается, когда получилось $18$ -значное число, то есть когда все карточки выложены на стол. Если получившееся число делится на $5$ , то побеждает Рон, в противном случае побеждает Гарри. Начинает Гарри, кладя любую из своих карточек на стол. Кто из мальчиков может выиграть независимо от действий соперника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы число в конце делилось на 5. Тогда что можно сказать про его последнюю цифру?

Подсказка 2

Верно! Это либо 0, либо 5. Значит, выигрывает тот, кто положит цифру 5 в конец числа и сделает его 18-значным. Тогда кто же из мальчиков является победителем?

Показать ответ и решение

Заметим, что Рон сделает последних ход в этой игре, так как он ходит вторым, а ходов Гарри и Рон сделают поровну. Покажем, как на месте Рона получить последним ходом число, делящееся на $5$ . Прибережем карточку с цифрой $5$ до последнего хода, а остальными карточками будем ходить как угодно. Последним же ходом положим карточку $5$ справа от уже имеющегося числа. Таким образом, полученное $18$ -значное число будет оканчиваться на $5$ , а значит и делиться на $5$ . Значит, Рон победит.

Ответ: Рон

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#33115Максимум баллов за задание: 7

В кабинете профессора Макгонагалл написано произведение $1⋅2⋅3⋅...⋅2029$ . Какие числа надо обязательно вычеркнуть из произведения, чтобы значение полученного выражения оканчивалось на $9$ ? Сколько таких чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим, чтобы последняя цифра равнялась 9. Какие числа в произведении могут нам помешать?

Подсказка 2

Например, если оставить двойку, то число получится чётным. Значит, на 9 оно оканчиваться не будет!

Подсказка 3

Нам надо исключить все чётные числа. Что еще нам может помешать?

Подсказка 4

Если число делится на 5, то оно оканчивается либо на 5, либо на 0, что нас не устраивает.

Подсказка 5

Заметим, что числа, оканчивающиеся на 0, являются чётными, значит, в случае делимости на 5 нам достаточно рассмотреть числа с последней цифрой 5. Посчитайте количество всех чётных чисел от 1 до 2029.

Подсказка 6

Это будут числа 2, 4, 6, 8, ... , 2028. А изменится ли их количество, если все числа поделить на 2?

Подсказка 7

Нет, значит, всего чисел будет 1014. Теперь посчитайте количество чисел, оканчивающихся на 5.

Подсказка 8

Можно заметить, что в каждом десятке ровно одно такое число.

Подсказка 9

Осталось только доказать, что произведение остальных чисел действительно будет оканчиваться на 9. Какие могут быть последние цифры в оставшихся числах?

Подсказка 10

Останутся только 1, 3, 7 и 9. Чему равно их произведение?

Подсказка 11

189, как раз оканчивается на 9. Но ведь мы будем умножать не один раз... Какие степени 9 (помимо первой) будут оканчиваться на 9?

Подсказка 12

Например, третья, пятая, седьмая и так далее. Другими словами, нечётные.

Подсказка 13

Попробуйте разбить десятки чисел на пары.

Показать ответ и решение

Во-первых, надо вычеркнуть все четные числа, так как иначе результат будет четным, а значит, он не будет оканчиваться на нечетную цифру $9$ . Во-вторых, надо вычеркнуть все числа, оканчивающиеся на $5$ , иначе результат будет делиться на $5$ , значит, оканчиваться либо на $5$ , либо на $0$ , но никак не на $9$ .

Посчитаем сначала количество четных чисел от $1$ до $2029$ . Это числа $2$ , $4$ , …, $2028$ . Поделим каждое число на $2$ , тогда их количество не изменится. Получим числа $1$ , $2$ , …, $1014$ , коих ровно $1014$ штук, значит, четных чисел от $1$ до $2029$ тоже $1014$ .

Теперь считаем количество чисел от $1$ до $2029$ , оканчивающихся на $5$ . В каждом десятке такое число ровно одно, десятков от $1$ до $2000$ всего $2000:10= 200$ , и еще остались числа $2005$ , $2015$ и $2025$ . Всего получилось $203$ числа. Если сложить их с количеством четных, получится $1014+ 203= 1217$ чисел, которые точно надо вычеркнуть.

Объясним, почему все остальные числа можно оставить. В каждом десятке остались числа, оканчивающиеся на $1$ , $3$ , $7$ и $9$ . Произведение четырех таких чисел оканчивается всегда на $9$ . Поэтому произведение чисел в каждом десятке оканчивается на $9$ .

Разобьем первые $200$ десятков на пары. В каждой паре произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и $9⋅9= 81$ , то есть на $1$ . Перемножая много чисел, оканчивающихся на $1$ , мы все равно будем получать число, оканчивающееся на $1$ . Значит, произведение оставшихся чисел до $2000$ равно $1$ .

Остались еще три полных десятка. В каждом из них произведение оканчивается на $9$ , поэтому произведение оставшихся чисел будет оканчиваться на ту же цифру, что и число $1⋅9⋅9⋅9=729$ , то есть на $9$ . Значит, произведение всех оставшихся чисел после вычеркивания четных и делящихся на $5$ оканчивается на $9$ . Поэтому их смело можно оставлять.

Ответ: Все четные и делящиеся на 5. Таких чисел 1014+203=1217.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#33206Максимум баллов за задание: 7

Решите ребус $А+ БББ = АВВВ$ . Напомним, что одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. Решить всегда значит найти все решения и доказать, что других нет.

Показать ответ и решение

Обратим в первую очередь внимание на то, что в правой части стоит четырехзначное число, значит, слева при сложении происходит переход через разряд. В таком случае первая цифра четырехзначного числа может быть только $1$ . Значит, $А = 1$ .

Далее, чтобы произошел переход, трехзначное число слева должно начинаться на $9$ . Поэтому $Б =9$ , и мы имеем $1 +999= 1000$ , откуда $В= 1000$ .

Ответ: 1 + 999 = 1000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#33210Максимум баллов за задание: 7

Решите ребус $ТОРГ ⋅Г= ГРОТ$ .

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что $Т = 1$ : в противном случае в разряде тысяч появится цифра, большая $Г$ . Теперь посмотрим на последнюю цифру произведения. Она равна $1$ и получена как последняя цифра произведения двух одинаковых цифр. Перебором последних цифр находим, что такое возможно лишь в двух случаях: когда перемножаются две единицы или две девятки. Но $Г⁄= 1$ , так как уже $Т = 1$ . Поэтому $Г =9$ . Итак, пока что мы получили $1О Р9⋅9= 9РО1$ .

Теперь посмотрим на цифру $О$ . Она не равна $1$ , так как уже $Т = 1$ . Если $О> 1$ , то мы умножаем число, не меньшее $1200$ , на $9$ , в результате получится пятизначное число. Поэтому остается только вариант $О= 0$ . Итого получили $10Р9 ⋅9 =9Р01$ .

Осталось найти значение $Р$ . Во-первых, это уже можно сделать простым перебором, но мы покажем другой способ. В разряде десятков должен получить $0$ . При этом после умножения из разряда единиц в разряд десятков переносится $8$ . Поэтому результат умножения $Р$ на $9$ должен оканчиваться на $2$ , тогда как раз в сумме с $8$ получится $0$ . А это сильно упрощает перебор: достаточно рассматривать лишь четные значения $Р$ и проверять, что $Р⋅9$ оканчивается на $2$ . Это выполнено только для $Р= 8$ , и это значение подходит: получаем $1089⋅9= 9801$ .

Ответ: 1089 • 9 = 9801

Следующая подтема