Десятичная запись и цифры

Во-первых сразу отметим, что так как произошел переход через разряд, . Поэтому в разряде сотен суммы может стоять либо , либо , в зависимости от того, произошел ли переход через разряд. С другой стороны, эта же буква стоит в разряде единиц, а число должно быть четным, так как оно равно сумме двух одинаковых чисел. Поэтому . Пока имеем .

Теперь посмотрим на букву . Чтобы на конце получилась цифра , или . Но так как уже , то остается только второй вариант . Получили . В разряде тысяч переход точно не произойдет, поэтому , откуда . Наконец все цифры слева восстановлены, поэтому считаем сумму и находим, что , а зашифрованная сумма — .

Сложим числа столбиком. Последняя цифра суммы зависит только от последнего столбика. А в этом столбике записаны только последние цифры слагаемых, значит, только от них и зависит последняя цифра.

Так как число больше цифры в раз, то оно делится на . А число, делящееся на , оканчивается либо на , либо на . Если число оканчивается на , то оно в раз больше , значит, само равно , но число не натуральное. Если же число оканчивается на , то само оно в раз больше, чем , то есть равно .

Приписать справа цифру  — то же самое, что умножить число на . Поэтому ответ на первый вопрос: число увеличится в раз. Если же приписать вместо нуля любую другую цифру , то эту операцию можно представить так: сначала число умножается на , а потом к числу прибавляется цифра .

Обозначим исходное число через . Приписать справа от числа цифру  — то же самое, что умножить его на и прибавить к результату . Поэтому новое число равно . По условию, разность между полученным числом, то есть , и исходным, то есть , равна . Поэтому мы можем записать равенство . Отсюда , или . Значит, исходное число было равно .

Так как количество отметок “Превосходно”, полученных Гермионой, является трехзначным и начинается на , то оно не меньше и может быть представлено в виде , где  — целое число от до .

Посмотрим, как изменилось число после того, как перенесли первую его цифру в конец. Операция переноса первой цифры может быть представлена так. Сначала стираем первую цифру, при этом остается число . Затем эта цифра приписывается в конец, значит, число увеличивается в раз и к результату прибавляется цифра . Поэтому новое число равно  — именно столько отметок “Удовлетворительно” получил Рон. По условию, исходное число на больше нового. Поэтому мы можем записать равенство

Итак, , значит, Гермиона за время учебы получила отметку “Превосходно”.

Приписать справа к числу цифру  — то же самое, что умножить число на и прибавить к результату . Поэтому новое число, полученное Драко, равно . По условию, если его сложить с исходным, то есть с , получится . Тогда мы можем составить уравнение

Итак, , и именно его нам и нужно было найти.

Когда к двузначному числу приписывается слева цифра , оно увеличивается на сотен, то есть на . Поэтому, если обозначить исходное число через , то новое число будет равно . По условию, это в раз больше исходного числа. Поэтому мы имеем равенство

Итак, мы получили, что , значит, исходное число равно .

Приписав справа к числу цифру Крэбб получил число Если бы Крэбб выполнил сложение, то он бы получил число Разница между этими числами составляет а по условию эта разница равна Поэтому откуда

Замечание. Обратите внимание, что саму цифру мы найти не можем: она в равенстве слева взаимоуничтожается, поэтому цифра может быть любой.

Обозначим исходное число через , где и  — цифры десятков и единиц соответственно. После того, как в число вставили , получилось , или . По условию сказано, что это число в раз больше исходного. Исходное же расстояние можно представить как . Тогда мы можем написать равенство

Заметим, что тогда делится на , а так как  — цифра, то либо , либо . Если , то , чего не может быть, так как число не может начинаться с нуля. Значит, , и тогда . Таким образом, исходное число равно , и именно столько километров составляет путь от Норы до Лондона.

Будем складывать числа, выписанные Гарри, по разрядам. Заметим, что в разрядах единиц все цифры от до встречаются по одному разу. Поэтому сумма всех цифр в этом разряде будет равна .

То же верно и для других разрядов: цифры в разряде десятков тоже в сумме дают , поэтому к сумме девяти чисел они дадут . Цифры в разряде сотен дадут к сумме десяти чисел . Сложим полученные по разрядам суммы: , только такой и может быть сумма чисел, выписанных Гарри.

Как такое представление придумать? Можно заметить, что это стозначное число составляет примерно треть от числа , которое легко записать так, чтобы сумма цифр была маленькой.

Также не надо бояться большого количества цифр: многие из них могут не нести принципиального значения.

Рассмотрим само число . Пусть наш палиндром оканчивается на . Если нулей будет хотя бы 8, то число точно поделится на , так как последние 12 цифр образуют число, делящееся на .

Осталось сделать это число палиндромом. Пусть число начинается на 6904, а остальные цифры будут нулями. Тогда искомое число — , где нулей между 4-значными числами 92 штуки.

Заметим, что . Поэтому в квадрат мы будем возводить именно такое представление числа . Получаем, что . Числитель равен , где 8 стоит на 101-й позиции. При делении на 9 все девятки превратятся в единицы (в количестве 99 штук), а число . Поэтому после деления на 9 получится число , где единиц и восьмерок по 99 штук. Сумма же цифр такого числа равна .

1)

2)

3)

1)

2)

Возьмем . Тогда все наше число делится на , а значит, и на любое число вида , где . Значит, наше число делится на числа и на их произведение (так как суммарная степень по двойкам и пятеркам равна 55). Тогда число , где отлично от от всех других сомножителей.

Сумма цифр , так как каждая ненулевая цифра встречается по 10 раз в разряде единиц и в разряде десятков, а единица еще участвует в числе 100.

Умножение на два — это сложение . Заметим, что при сложении в каждом переходе через разряд мы теряем 9 из удвоенной суммы цифр числа . Посчитаем количество переходов через разряд. Переход случается только при складывании хотя бы 5 в этом числе. Тогда количество переходов = количеству 5, 6, 7, 8 и 9 в этом числе. Как мы раньше узнали, количество таких цифр в числе = . Тогда сумма цифр .

Пусть это число . Если (то есть в ровно знаков), то , то есть в числе или знаков. Так как у нас 2016-значное число (то есть четное), то .

.

Рассмотрим . Возьмем . Тогда . В этом числе видно, что на среднее число 2016 ничто не наложится.

Предположим, что можно. Заметим, что цифр в палиндромах может быть или 50 и 50, или 50 и 51 (в других случаях или слишком мало, или слишком много). Тогда палиндром, в котором 50 знаков, всегда делится на 11 (по признаку делимости на 11 знакопеременная сумма цифр будет равняться 0). Но 20162016…2016 не делится на 11, так как его знакопеременная сумма равна и не делится на 11.