Десятичная запись и цифры

Предположим, что можно. Заметим, что цифр в палиндромах может быть или 50 и 50, или 50 и 51 (в других случаях или слишком мало, или слишком много). Тогда палиндром, в котором 50 знаков, всегда делится на 11 (по признаку делимости на 11 знакопеременная сумма цифр будет равняться 0). Но 20162016…2016 не делится на 11, так как его знакопеременная сумма равна и не делится на 11.

Числа, получаемые друг из друга перестановкой цифр, имеют одинаковый остаток от деления на 9, то есть их разность делится на 9. Поэтому и сумма цифр разности, равная n, делится на 9, откуда .

Значение получается, например, так: .

Сумма цифр следующего числа отличается от суммы цифр текущего на где это или натуральное число, так как все последние девяток в текущем числе превращаются в а цифра до девяток увеличивается на Тогда должно быть кратно Минимальное при котором это выполняется, равняется То есть в искомом числе должно быть или более девяток, стоящих в конце. Минимальное число, заканчивающееся на девятки и с суммой цифр, кратной равняется Можно легко проверить, что следующее число имеет сумму цифр тоже кратную

Рассуждение. Хочется взять все числа одинаковыми, но 111 на 51 не делится. Заметим, что — это чуть больше 2. Попробуем взять много двоек и один или несколько раз по 11 (у нас должно быть хоть одно нечётное число).

Решение

Из 50 двоек делаем сумму

Первая цифра года всегда будет равна , поэтому дата-палиндром должна иметь вид . Далее посмотрим на третью и пятую цифры. Они могут быть равны только или так как иначе номер месяца будет слишком большим. То есть даты бывают только двух видов и . Дата второго вида может быть только одна иначе год будет не из XXI-го века. Но как видим, в такой дате будет «нулевое» число — противоречие. Значит, даты бывает только первого вида: . Второй месяц это февраль и в нём дней. Любой из них даст одну возможную дату палиндром, так как год будет лежать в нужных переделах. Осталось только проверить возможную дату с февраля. Это будет в , что выпадает на високосный год, а поэтому такая дата корректна. Итого, получили возможных дат.

Раз одно из чисел делится на , то оно оканчивается на . Оба числа не могут оканчиваться на , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид и . Тогда их сумма равна , откуда . Значит, их разность равна .

Посчитаем на каких позициях останутся цифры после двух стираний. После первого стирания на доске останутся только цифры стоящие на нечётные местах. После второго стирания мы вычеркнем цифры на , , , …местах. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули цифру на месте , то останутся цифры на местах , , а следюущая — -ая будет вычеркнута. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все цифры ,позиции которых дают остаток при делении на , так как первое вычеркнутое цифра будет -ой. То есть оставшиеся цифры разбиваются на пары, в которых первая позиция даёт остаток при делении на , а второая — . А при делении на их позиции дают остаток . Это означает, что остались цифры стоящие на местах, которые дают остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся цифр, то в паре с номером будут стоять цифры на местах вида и . Цифры стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут цифры и исходного числа.

Теперь найдём что за цфиры там стоят. Числа от до занимают цифр, далее от до — ещё цифр, всего , числа от до — = и всего цифр. Числа от до дают нам цифр, а значит в этом промежутке стоит искать. Первая цифра встретится в числе , причём так как целое число, то это будет последней цифрой в . Вторая цифра, соотвественно, будет цифра в числе . В итоге получаем сумму .

В результате сложения однозначного и двузначного чисел получилось трехзначиное число. Это возможно только в случае переполнения в десятках. Значит, в разряде сотен стоит .

При прибавлении к двухначному числу однозначного могло получиться трехзначное только если в разряде двузначного числа стояла цифра , и в разряде единиц также произошло переполнение.

Так как в разряде единиц произошло переполнение, то сумма цифр, стоящих в разряде единиц, равна . Это возможно только в том случае, когда в разряде единиц стояли две девятки.

Получаем ответ

Подставим во вторую строку вместо квадратов круг и треугольник (из первой строки следует, что они равны), а вместо шестиугольников два круг и треугольник (из третьей строки следует, что они равны)

Заметим, что с левой стороны и справой стороны по два круга. Вычеркнем их из равенства. Останется два треугольника слева и один справа.

Вычеркнем по треугольнику с обеих сторон и получим, что треугольник равен .

Суммы цифр в первой, второй и третьей строках равны. Так как все цифры в квадрате различны суммы этих сумм равны . Значит, суммы цифр в строках (а также в столбцах и диагоналях) равны .

A =

Г =

В =

Б = - В =

Д = - Б =

Е = - Д =

Например, подойдёт число . Оно делится на , а его сумма цифр равна .

Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это Так как первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: в которой период равен 4. Тогда на 2022 месте будет цифра 6, так как Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят Тогда последняя цифра числа 8.

Пусть где — некоторая перестановка чисел Тогда

Если то

Отсюда следует, что делится на 9.

Одна из двух различных цифр ненулевая, поэтому

Значит,

Вспомним, что — некоторая перестановка чисел поэтому сумма всех цифр равна — нечётна. Тогда

Следовательно, цифра чётна, а цифра — нечётная цифра.

Чтобы понять сколько цифр содержится в записи натурального числа , надо найти такое неотрицательное целое число что будет справедливым неравенство Такое число очевидно, единственно. (Например, поэтому в записи числа 992 три цифры.)

Итак, надо найти такое целое неотрицательное что По условию Возведя обе части в степень получим Значит, в десятичной записи числа содержится 31 цифра.

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. А ноль —- четное число.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Обозначим три различные цифры как Всевозможные двузначные числа:

По условию

Приведем общие слагаемые

То есть Так как это различные цифры, Следовательно Переберем возможные значения

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

В случаях, когда или перебирая всевозможные подходящие пары цифр получаем уже найденные ранее тройки.

Пусть где числа записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа равна и делится на Тогда

где числа записываются только нулями и единицами. Поскольку содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в этой сумме равно Эти слагаемые легко находятся для числа Умножая на три, получим: Умножая на степени 1000 и складывая, получим

Рассмотрим десятичную запись числа Пусть число оканчивается на нулей. Если последняя ненулевая цифра числа равна , то у числа последняя ненулевая цифра будет Если предпоследняя цифра , то у числа предпоследняя цифра будет и т.д. А в начале числа будут идти цифры числа

Далее легко видеть, что сумма цифр будет равна .

Таким образом, условию удовлетворяет число .

Посмотрим на задачу с другой стороны. Будем выкидывать из точных квадратов различными способами цифр и получать какие-то натуральные числа.

Заметим, что мы можем получить числа от до только лишь из квадратов чисел Действительно, число состоит из цифр, то есть после выкидывания из него не более цифр получится число с хотя бы цифрами, а у всего цифра.

У каждого числа из набора не более цифр, а значит у квадратов этих чисел — не более цифр. Следовательно, из каждого квадрата можно получить не более чисел выкидыванием десяти цифр. Значит, всего можно получить не более чисел. Покажем, что После сокращения на и расписывания цешки неравенство примет вид: Очевидно, что: Таким образом, мы не сможем получить все числа от до отсюда следует отрицательный ответ.