Десятичная запись и цифры

Пусть число имеет вид тогда по условию имеем: Следовательно, Цифра делится на и не может быть потому что это первая цифра числа. Значит, и

Пусть числа имеют вид и тогда по условию Таким образом, то есть Цифра не может быть и делится на то есть и

Допустим, что нашлось хорошее число где Тогда

Числа и нечётны, а суммы их цифр равны Эти суммы отличаются на значит одна из них чётна. То есть одно из нечётных чисел или делится на чётное число, противоречие.

Пусть – число двоек, – число троек, – число четвёрок.

Тогда

Отсюда Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на Пусть – сумма цифр. Тогда

Пусть – искомое трёхзначное число. Тогда по условию Отсюда получаем , поэтому делится на 5. Но не может равняться нулю, поскольку иначе произведение цифр также равно нулю. Следовательно, Таким образом, имеем

Число при делении на 5 даёт остаток 4, поэтому число при делении на 5 даёт остаток 2. Это возможно лишь в случае, если или Случай не подходит, так как иначе число должно быть чётным, что неверно. Итак, , и для получаем уравнение

Заметим, что . Так как 101 и 14 взаимно просты, то делится на 14 . Максимальное значение .

Положим Через обозначим сумму цифр числа Отметим простое свойство которое сразу видно, если числа и сложить в столбик.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Пусть — натуральное число, и пусть натуральное число кратно Тогда

Доказательство. Индукция по База очевидна.

Предположим, что и что утверждение доказано для всех чисел, меньших Докажем его и для Пусть последние цифр числа образуют число (возможно, с ведущими нулями), а все остальные — число (иначе говоря, ). Поскольку делится на то и (положительное) число

также кратно Поэтому по предположению индукции, а тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для решения задачи осталось взять такое что и заметить, что если и то делится на и, значит,

Из условия следует, что поскольку произведение цифр натурального числа не может быть отрицательным. Следовательно, числа и не содержат нулей в десятичной записи. Тогда эти числа отличаются лишь последней цифрой, причём у числа она больше на один. Таким образом, Если то, рассуждая аналогично, мы получим, что это противоречит доказанному выше. Следовательно, Тогда и в десятичной записи числа все цифры равны 1. Отсюда следует, что в числе последняя цифра — двойка, а остальные цифры — единицы, поэтому Значит, и число состоит лишь из единиц. Но тогда число не содержит нулей в десятичной записи. Однако, произведение его цифр равно нулю, противоречие.

Так как в результате ошибки число уменьшилось, то запятая была сдвинута влево. При этом число уменьшилось в раз. Пусть получилось число , тогда искомое число — это По условию: , значит, , тогда

Число делится на , если оно делится и на , и на . Так как сумма цифр равна , то сумма двух недостающих цифр должна равняться или Учитывая, что число должно делиться на а предпоследняя цифра равна то последняя цифра может быть лишь или или Тогда ответами будут числа:

a) Последовательность начинается с , рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с -ой, равна последней цифре суммы предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма предыдущих), то остатки изменяются следующим образом . Так как цифра определяется однозначно по предыдущим, то заметим, что в последовательности остатков возникает период .

Но тогда подряд числа не могли встретиться, их остатки при делении на равны соответственно, а такой подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом .

b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по предыдущим. Тогда исходная последовательность цифр периодична.

Также по четырём рядом стоящим цифрам однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю с Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод - совпадал с несколькими последними цифрами периода , но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период и тогда не было бы предпериода.

Предпоследняя цифра числа равна так как число без последней цифры делится на Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться по условию. Также это число не может равняться и так как числа вида и не делятся на Для существует единственный пример:

Пусть меньшее из простых чисел равно . Заметим, что так как число хотя бы 4-значное, то . Тогда может оканчиваться на 1, 3, 7 и 9. В этих случаях будут оканчиваться на 5, 1, 7 и 7 соответственно. Так как последнее из чисел не содержит 7, то не может оканчиваться на 7 и 9. Если оканчивается на 1, то оканчивается на 5, простое и больше 10?! Значит, оканчивается на 3 и равно . Тогда число на доске равно . Значит, последнее написанное число равно 21.

Если , то число на доске подходит

Если , то число на доске , 18192021, 161718192021, 15161718192021, 131415161718192021, 12131415161718192021 или 101112131415161718192021 делится на 3, но у числа должны быть только 2 простых делителя и оба больше 10.

Если , то число на доске 1718192021 делится на 7, но у числа должны быть только 2 простых делителя и оба больше 10.

Если , то первое число будет 14?!

Если , то число на доске будет 1112131415161718192021 делится на 11, но точно не равно или .

Что происходит, когда при увеличении на меняются последних разрядов? Можно посмотреть на это так: мы к каждому из последних разрядов прибавляем по модулю Способ кодирования Фрэнка состоит в том, что вместо прибавления ко всем разрядам мы прибавляем только к самому левому из них.

Тогда и способ декодирования становится понятен: как получилось число Мы раз прибавляли к разряду тысяч, — к разряду сотен, — к разряду десятков, — к разряду единиц. Тогда число получается, когда мы раз прибавляли к разряду тысяч, — к разряду сотен, — к разряду десятков, — к разряду единиц. Получается, что ответ

a) Например, подходят числа . Тогда соответствующие разности равны , .

б) Пусть — исходные числа. Обозначим через сумму цифр числа . По признаку делимости на 9 числа и имеют равные остатки при делении на 9 , и значит, разность кратна 9.

По условию разности равны числам соответственно. Тогда их сумма

должна делиться на 9 . С другой стороны, эта сумма равна и на 9 не делится, противоречие.

Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки с номером 1. Значит, в ней может находиться только число 2. Карточка с числом 2 должна указывать на карточку с числом 3, так как указывает только на карточку и на карточку с числом 9, то в должно быть записано 3. Карточка с числом 3 должна указывать на карточку с числом 4, так как указывает на карточки и то в одной из них должно быть записано число 4. Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки Значит, чтобы были заполнены все карточки, то в может быть записано только число с карточки + 1, так как на написано 3, то на будет Сама карточка указывает на и но свободна только Значит, на нужно записать число 5. Так как указывает только на то на карточке должно быть написано число 6. Стрелки показывают на но она уже занята числом 5, и на Значит, в записываем 7. Карточка указывает только на поэтому в ставим 8, и оно как раз указывает на карточку с числом 9, как просили в условии. Значит, мы верно расставили все числа.

Поскольку надо найти ближайшее четырёхзначное число, попробуем найти его в виде . Тогда число должно быть точным квадратом. Отсюда следует, что и должно быть точным квадратом. Ясно, что под это условие не подходят, а подходит. Значит, ответ в задаче - число 1832.

Замечание. Тот же ответ можно было получить, доказав, что для некоторого натурального .

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Чтобы число делилось на 4, число, образованное его последними двумя цифрами, тоже должно делится на 4. Значит, последнее число, которое напишет София, должно делиться на 4.

Ближайшее число, которое делится на это , но число имеет сумму цифр 158, т.е. не делится на 3. Следующее число, которое делится на это . Сумма цифр числа равна 216, т.е. всё число делится на 3 .

Очевидно, в числе нет 0. Если в числе есть цифра 1, то её можно убрать и увеличить какую-нибудь из оставшихся цифр на 1, от этого сумма не изменится, а произведение увеличится. Если в числе есть цифра , то её можно заменить на цифры 2 и , и произведение увеличится: при . Наконец, если в числе хотя бы три двойки или двойка и четверка, то их можно заменить на две тройки. Если в числе хотя бы две четверки, то их можно заменить на 3,3 и 2.

Таким образом, в числе с максимальным произведением помимо троек может быть или не более одной четверки, или не более двух двоек. Это возможно только если в числе 7 троек и либо одна четверка, либо две двойки (в обоих случаях произведения одинаковы). Наименьшим из полученных чисел является 33333334.

Обозначим — искомое число, - сумма его цифр. Тогда Следовательно, делится нацело на По признаку делимости на число делится на Но тогда делится на По признаку делимости на делится на Так как искомое число пятизначное, то для возможны вариантов: Для каждого соответственно, находим: Первое и последнее — не пятизначные, у четвёртого сумма цифр не равна Подходящие: