Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 261#127152Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение: $cosx⋅(2cosx− cos3x)= 1.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла:

3 cosx(2cosx− 4cosx +3cosx)=1

2 4 5cos x− 4cosx =1

Сделаем замену $t= cos2x≥ 0,$ получаем биквадратное уравнение:

4t2− 5t+1 =0

t= 1; 1 4

Делаем обратную замену

⌊ ⌈ cosx =± 1 cosx =±12

⌊ x= πk |⌈ π , k ∈ℤ x= ±3 + πk

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

cosx(2cosx− cos3x)= 1

2cos2x − cosxcos3x− 1= 0

Воспользуемся формулой преобразование произведение косинусов в сумму косинусов:

2cos2x− 1− 1(cos4x+ cos2x)= 0 2

cos4x− cos2x =0

Применим формулу двойного угла:

2cos22x− cos2x− 1= 0

Сделаем замену $t= cos2x:$

2t2− t− 1= 0

1 t= −2; 1

Сделаем обратную замену

⌊ 2π |⌈ 2x= ±-3 +2πk , k ∈ℤ 2x= 2πk

⌊ x= ± π+ πk |⌈ 3 , k∈ ℤ x= πk

Ответ:

$πk, ± π+ πk , k∈ ℤ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 262#31976Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

-----cos3x---- 2 2 (2cos2x − 1)cosy = 5 + cos (x +y)

----sin3x----= 3 +sin2(x+ y). (2cos2x+ 1)siny 5

Найдите все возможные значения выражения $cos(x +3y)$ , если известно, что их не менее двух.

Источники: Физтех 2019, 13.2 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Снизу у нас 2cos(2x)-1, а сверху cos(3x). Попробуйте выразить и то, и то через cos(x) и что-то заметить.

Подсказка 2

Как можно заметить, cos(3x)/(2cos(2x)-1)=cos(x). Попробуйте сделать тоже самое со вторым уравнением. Что можно сделать после подобных преобразований с этой системой?

Подсказка 3

Второе уравнение можно преобразовать, если выразить все через sin(x). Теперь, когда мы преобразовали, нужно подумать, как дальше решать подобную систему. Обычно системы решаются либо выражением каких-то переменных и последующей подстановкой, либо сложение/умножением целых равенств из этой системы. Подстановка здесь не кажется удачной идеей, так как синус и косинус не очень явно связаны друг с другом и подставляя, к примеру, синус, выраженный из второго равенства, сложно будет полностью избавиться от икса в первом. Громоздко. Умножение также не кажется интересным, так как слева у нас как раз дробь, справа слагаемые. Будет много слагаемых после раскрытия скобок. Тоже не удобно. Остается сложение:)

Подсказка 4

Действительно, если сложить эти два неравенства, то слева будет сумма дробей, а справа 2(сумма констант, равная 1, плюс по ОТТ единичка). Приведем к общему знаменателю и домножим на него. Что это дает? Какие случаи нужно рассмотреть?

Подсказка 5

Выходит, что sin(x+y)=sin(2y). Отсюда два варианта: 1)x+y=2y+2pi*k; 2)x+y=pi-2y+2pi*k. Второй случай сразу дает ответ на задачу. А что насчет первого? Получается, что x=y+2pi*k. Значит cos(x+3y)=cos(4y)=2cos^2(2y)-1. Осталось найти cos^2(2y) и задача решена. Попробуйте подставить в первое уравнение, доказанное ранее, x=y+2pi*k.

Показать ответ и решение

Заметим, что $sin3x= sinx(4cos2x − 1)= sinx(2cos2x+ 1)$ , а $cos3x =cosx(4cos2 x− 3)= cosx(2cos2x − 1)$ . Значит, нам дано

cosx 2 2 sinx 3 2 cosy = 5 + cos(x+ y) и -siny = 5 +sin (x+ y)

и некоторые ограничения на $x$ и $y$

Сложим эти 2 уравнения:

cosx+ sin-x= 2 cosy sin y

cosxsiny+ sinxcosy =2cosysiny

sin(x+y)= sin2y

Если $x +y =2y+ 2πk$ , то по условию
$1= 2+ cos2(x +y)= 2 +cos2(2y) и 1 = 3 +sin2(x+ y)= 3+ sin2(2y) 5 5 5 5$
Тогда $2 1 cos(x +3y)= cos4y = 2cos(2y)− 1= 5$ .
Если $x +y =π − 2y+ 2πk$ , то $cos(x+ 3y) =− 1$ .

Значит, возможные значения — это $− 1$ и $1 5$ . Какие-то из них могли бы не достигаться из-за ОДЗ, но мы точно знаем, что значений хотя бы 2 и поэтому они оба достигаются.

Ответ:

${1∕5;−1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 263#42924Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

1 sinxcosy = cosxsiny = 2.

Найдите $cos2x− sin2y$ . В ответ внесите возможные значения через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2019, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Части нашего равенства sin(x)cos(y)=cos(x)sin(y) подозрительно напоминают нам разложение sin(x-y)... Что это нам дает?

Подсказка 2

Верно, sin(x-y)=0! Получается, что x и y отличаются на πn, а значит sin(x) не может сильно отличатся от sin(y). Как тогда можно переписать равенство cos(x)sin(y)=1/2?

Подсказка 3

Верно, sin(2x)=(-1)ⁿ! Аналогично sin(2y)=(-1)ⁿ. Какие тогда значения может принимать выражение cos(2y)-sin(2x)?

Подсказка 4

Т.к. cos(2y)=0 ⇒ cos(2y)-sin(2x)=-(-1)ⁿ. Получается, что все возможные значения это 1 и -1. Предъявите x и y, при которых они достигаются, и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Из первого равенства имеем $sin(x− y) =0 ⇐⇒ x =y+ πn,n∈ ℤ$ , то есть $siny = (−1)n sinx,cosy = (−1)n cosx$ . Отсюда

n n sin2x= 2sinxcosx= 2⋅(− 1) sinx cosy = (−1)

и $sin 2y =(−1)n$ , откуда могут быть только значения

cos2x− sin2y = 0± 1

Равенства достигаются, например, при $(x,y)= (− π4,3π4 ),(π4,π4)$ .

Ответ: -1 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 264#43270Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения, которые может принимать выражение

3arcsin x− 2arccosy

при условии $x2+ y2 = 1$ .

Источники: ОММО-2019, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 1. Если бы мы рисовали график этой фигуры, мы получили бы окружность радиуса 1, единичную окружность (тригонометрия!) - чистый намек на то, что (x; y) (точка на окружности) - это синус и косинус какого-то угла, например, угла t. То есть x = sin(t), y = cos(t). Теперь нам важно рассмотреть, что произошло с выражением из условия.

Подсказка 2

Рассмотрим 4 вида углов, в зависимости от того, в какой координатной четверти находится t, начнем с первой. Тогда arcsin(sin(t)) = t, arccos(cos(t)) = t. Легко и просто определяем, в каких пределах это выражение лежит. Поработаем со второй координатной четвертью: с arccos(cos(t)) ничего не меняется, а вот arcsin(sin(t)) так просто не получится - ведь итоговое выражение должно лежать в пределах значений арксинуса, а это значит, что мы должны подогнать угол в синусе так, чтобы он был от -π/2 до π/2 (помним, что sin(α) = sin(π-α)).

Подсказка 3

Продолжаем в том же духе, менять что-то вскоре придется и в арккосинусе: так, для 3 и 4 координатных четвертей угол будет от π до 2π, а нам нужно получить арккосинус, то есть от 0 до π. Значит, нужно будет заменить аргумент в арккосинусе на 2π - х (вспоминаем здесь свойства косинуса, а также то, что его период равен 2π).

Подсказка 4

Таким образом, для каждого угла у нас получилось возможные значения выражения из условия - остается только сделать объединение этих отрезков, что и будет нашим ответом.

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $x2+y2 = 1$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $φ ∈[0;2π]$ такое, что $x =sin φ,y =cosφ$ . Тогда выражение из условия приобретает вид

3arcsinsin φ− 2arccoscosφ.

Разберём несколько случаев:

- $φ∈ [0;π]: 2$ тогда $arcsin sinφ= φ,arccoscosφ= φ$ , a $3arcsinsinφ − 2arccoscosφ = 3φ − 2φ = φ$ следовательно, при $φ ∈[0;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[0;π] 2$ ;

- $φ∈ [π;π] 2$ : тогда $arcsinsinφ =π − φ,arccoscosφ =φ$ , a $3arcsinsinφ − 2 arccoscosφ= 3(π − φ)− 2φ= 3π− 5φ;$ следовательно, при $φ ∈[π;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[−2π;π] 2$ ;

- $[ 3π] φ∈ π; 2$ : тогда $arcsin sinφ= π− φ,arccoscosφ= 2π− φ$ , a $3arcsinsinφ− 2arccoscosφ =3(π− φ)− 2(2π− φ)= −π− φ;$ следовательно, при $[ 3π-] φ ∈ π;2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[ 5π ] −2 ;−2π$ ;

- $[3π- ] φ∈ 2 ;2π$ : тогда $arcsinsin φ= φ− 2π,arccoscosφ = 2π − φ$ , a $3arcsinsin φ− 2arccoscosφ= 3(φ − 2π)− 2(2π− φ)= −10π+ 5φ;$ следовательно, при $[3π ] φ ∈ 2 ;2π$ выражение $(∗)$ принимает все значения из промежутка $[ 5π ] − 2 ;0$ .

Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение $(∗)$ при $φ∈ [0;2π]$ принимает все значения из промежутка $[ 5π-π ] − 2 ; 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Переберём случаи

$x,y ≥ 0$ . $π arcsinx ∈[0,2]$ и $√----2 cos(arcsinx)= 1− x = y$ . Тогда $arcsinx= arccosy$ и $π 3arcsinx− 2arccosy =arcsinx∈ [0,2].$
$x ≥0 ≥y$ . $π arcsinx∈ [0,2]$ и $√ ----- cos(arcsinx)= 1− x2 =− y$ . Тогда $π − arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx− 2π ∈ [−2π,π2].$
$y ≥0≥ x$ . $arcsinx∈ [− π2,0]$ и $√ ----- cos(arcsin x)= 1− x2 =y$ . Тогда $arcsinx= − arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx∈ [− 5π2 ,0].$
$x,y ≤ 0$ . $arcsinx ∈(− π2,0]$ и $√----- cos(arcsinx)= 1− x2 = −y$ . Тогда $π +arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =arcsinx− 2π ∈[− 5π2 ,−2π].$

Ответ:

$[− 5π,π]. 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 265#63999Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 8sin x +8cos x= 8cos2x+ 9

Источники: Вместо ЕГЭ - 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами уравнение с двумя триг. функциями. А можем ли как-то перейти всего к одной? С одним неизвестным выражением проще работать.

Подсказка 2

Можем раскрыть косинус двойного угла и применить ОТТ ко всем синусам (или ко всем косинусам), ведь они в удобных степенях! Но пока перед нами все же уравнение 4ой степени. А как можно упростить его внешний вид?

Подсказка 3

Конечно, ввести замену квадрата триг. функции! Получим обычное квадратное уравнение, которое легко решится. Остается только добить до ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим $cos2x = t$ и получаем

2 2 8(1− t) + 8t =8(2t− 1)+9

2 2 8(1− 2t+t )+8t − 16t− 1= 0

16t2− 32t+7= 0

√---- t = 16±-16⋅9 =1 ± 3 16 4

Так как $0≤ t≤ 1,$ то может быть только $t= 1. 4$ Получаем

cosx= ±1 ⇐⇒ x =± π+ πn,n∈ ℤ 2 3

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 266#67505Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘----x----1 ∘------1 ∘ ----x---------- cos2018 − 2 + cosx− 2 = cos 2018 + cosx − 1

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заменим два подкоренных выражения левой части на a и b - тогда хорошо выразится и подкоренное выражение в правой части. Пора возводить в квадрат обе части!

Подсказка 2

Верно, оказывается, что либо а, либо b должно быть равно нулю, и получится, что один из косинусов равен 1/2, а второй из них дает существование корню - то есть он не меньше, чем 1/2.

Подсказка 3

Случай, когда cos(x/2018) = 1/2, нам не подойдёт, потому что тогда другой косинус будет меньше 1/2. Рассмотрите второй случай, когда cos(x) = 1/2. Ответом будет x = ± π/3 + 2πk, k - целое, при этом нужно решить cos(x/2018) ≥ 0. Отсюда у нас появится ограничение на k, будем использовать для этого еще одну целую переменную n. Таким образом, мы и получили ответ!

Показать ответ и решение

Возведём обе части в квадрат

x 1 1 ∘ ----x---1- ∘------1 x cos2018 − 2 + cosx− 2 + 2 cos2018-−2 ⋅ cosx− 2 = cos2018 + cosx− 1

∘---------- ∘ ------- cos-x--− 1⋅ cosx− 1 =0 2018 2 2

Найдём решения первого уравнения

-x--= ±π +2πn 2018 3

( π ) x =± 673π −3 + 4036πn

Заметим, что при каждом таком значении $x$ выполнено $1 cosx − 2 < 0$ , поэтому найденная серия не подходит под ОДЗ. Поэтому остаётся второе уравнение

cosx= 1 2

x =± π+ 2πk 3

Для выполнения условий ОДЗ нужно найти такие значения $x$ , что

--x- 1 cos2018 ≥ 2

π x π 2πn− 3 ≤ 2018-≤2πn +3

Подставим

( π) π ( π) 2018⋅ 2πn − 3 ≤ ±3 +2πk ≤2018⋅ 2πn + 3

1 1 1 2018n− 3363 ≤ ±6 +k ≤2018n +3363

Заметим, что числа в левой и правой части находятся от ближайшего целого числа на расстоянии $13 > 16$ , поэтому $± 16$ можно убрать — решения при целых $k$ не изменятся. В результате получим $k∈ [2018n − 336,2018n+ 336]$ .

Ответ:

${± π+ 2πk|k∈ [2018n− 336,2018n+ 336], k,n∈ ℤ} 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 267#71248Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения неравенства

2018 −2019 2018 − 2019 sin x+ cos x ≥cos x+ sin x,

принадлежащие отрезку $[− π;7π]. 4 4$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, правая и левая часть неравенства очень похожи, но всё-таки не до конца. Давайте перенесем всё с синусами в одну сторону, а с косинусами - в другую. Что можно заметить и как можно иначе переписать данное неравенство?

Подсказка 2

На самом деле в правой и левой части у нас одна и та же функция f(t) = t^2018 - 1/t^2019, а наше неравенство можно переписать как f(sinx) ≥ f(cosx). Что мы можем сказать про f(t) на промежутке от -1 до 1, если возьмем производную?

Подсказка 3

Если взять производную, то станет понятно, что f(t) - возрастающая с точкой разрыва в 0. Рассмотрите два случая, когда t ∈ [-1; 0) и t ∈ (0; 1]. Подумайте, что можно сказать про значения функции на данных промежутках.

Подсказка 4

Мы можем утверждать, что f(t) на положительных значениях всегда будет меньше, чем при отрицательных. Значит наше неравенство можно переписать в виде совокупности двух других: 1) При sinx > 0, sinx >= cosx 2) При sinx < 0, cosx>0.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

2018 −2019 2018 −2019 sin x− sin x ≥cos x− cos x

Нетрудно видеть, что мы решаем неравенство $g(sinx)≥ g(cosx)$ и $g(t)= t2018− 21019- t$ , где $t∈ [−1;1]$ , возьмём производную этой функции

g′(t)= 2018t2017+ 2019-≥ −2018 +2019= 1> 0 t2020

То есть функция всюду монотонно возрастает, имея разрыв в точке $t= 0.$

Что же происходит при разных знаках $t?$ Если $t< 0,$ то $g(t)≥ g(−1)= 2;$ при $t> 0$ получаем $g(t)≤ g(1)= 0,$ следовательно, $g$ всегда меньше на положительных $t,$ чем на отрицательных.

Тогда решениями $g(sinx)≥ g(cosx)$ будут

⌊ | sinx ≥cosx> 0, ||| 0{> sinx≥ cosx, ⌈ sinx <0, cosx> 0.

Получаем решения

π π π 5π- x ∈(−2 + 2πn,2πn)∪[4 + 2πn,2 + 2πn)∪(π+ 2πn,4 + 2πn),n∈ ℤ

Значит, ответ на периоде от $π − 4$ до $7π 4$ выглядит так:

[ π ) [π π ) ( 5π ] ( 3π 7π ] − 4;0 ∪ 4;2 ∪ π;4- ∪ 2-;4-

Ответ:

$[− π;0)∪[π;π )∪ 4 4 2$ $(π;5π]∪ (3π;7π] 4 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 268#77696Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ ---- ∘-------2-- cosx− siny− sin y− sinx ≥1

Источники: ШВБ - 2019, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену u = cos(x) и v = sin(y). К какому неравенству придём и как будем его решать?

Подсказка 2

u - sqrt(v) >= sqrt(u^2 + v - 1) + 1 >= 0. Каким неравенством связаны u и v? Как будем решать предпоследнее неравенство?

Подсказка 3

Возведем обе части в квадрат! Теперь-то мы знаем, как применить связь между u и v.

Подсказка 4

Получается, что u*sqrt(v) = 0 и u^2 + v - 1 = 0. Подумаем, какие решения имеет данная система? Мы на финишной прямой!

Показать ответ и решение

Так как

∘ ---- ∘-------2-- cosx≤ 1, − siny− sin y− sin x≤ 0,

то сумма этих выражений может быть не меньше 1 только в случае равенства:

{ cosx= 1 √---- ∘ -------2-- − siny− siny− sin x= 0

{ cosx =1, sin2x =0 siny =0

{ x= 2πn,n ∈ℤ y =πk,k∈ ℤ

Ответ:

$(2πn;πk),n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 269#80581Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

arcsin(sin|x|)≥arccos|cos3x|

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте заметить симметрию.

Подсказка 2

Если x нам подойдет, тогда -x — тоже. Будем теперь считать, что x ≥ 0. Какой еще значение может подойти, если x подходит?

Подсказка 3

Если x — подходит, тогда и x + 2π подходит. Будем считать, что x меньше 2π.

Подсказка 4

Оцените величины аркфункций на интервале [0; 2π).

Подсказка 5

Заметим, что интервал (π; 2π) нам не подходит.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $x$ подходит, то и $− x$ подходит. Тогда давайте считать, что $x≥ 0$ .

Так же если $x$ , $x +2π$ больше 0 и $x$ подходит, то и $x+ 2π$ подходит. Значит, можно считать, что $x∈ [0,2π)$ .

Теперь заметим, что $x ∈(π,2π)$ не подходит, так как тогда $arcsin(sin|x|)<0 ≤arccos|cos3x|$ .

Нарисуем график для $x∈[0,π]$ . На этом интервале нам подходят $[π 3π] x∈ 4,4$ . Значит, на интервале $[0;2π]$ нам подходит только $[π 3π] x ∈ 4, 4$ . Осталось распространить это на всю прямую. Значит,

[π 3π ] [ −3π π ] x∈ ∪k≥0 4 + 2πk,4 +2πk ∪k≥0 -4-− 2πk,− 4p− 2πk

Ответ:

$[π + 2πk,3π+ 2πk]∪[−3π− 2πk,− πp− 2πk],k∈ {0} ∪ℕ 4 4 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 270#32378Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

siny +cosx= sin3x и sin2y− sin2x= cos4x − cos2x.

Какое наименьшее значение может принимать сумма $cosy+ sinx$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что задача на некие тождественные преобразования, то есть что-то выразить, куда-то подставить и получить ответ. Посмотрим на оба уравнения. Что из этого наиболее приятно для преобразований? Первое? Вряд ли, cos(x) и sin(3x) почти никак не связаны, что то общее вынести вряд ли получится. А вот второе… Да, там ,сущностно, косинусы двойного угла и обычного (2х и 4х) и синус обычного. С этим можно поработать. К примеру расписать разность косинусов.

Подсказка 2

Расписав разность косинусов, мы получим 2sin(x)3x. Но ведь в синусе двойного угла тоже есть 2sin(x). То есть можно вынести. А что останется в скобках после вынесения? Где это еще есть?

Подсказка 3

В скобках останется cos(x)-sin(3x). Но ведь мы можем подставить значение этого из первого уравнения. А еще, ведь это все мы преобразовывали равенство sin(2y)=sin(2x)+cos(4x)-cos(2x)=-2sinx*sin(y). При этом sin(y) есть и слева и справа. Значит, преобразовывая это выражение, мы получили, что либо sin(y)=0 , либо sin(x)+cos(y)=0. Второй случай сразу дает один из ответов. А что делать в первом?

Подсказка 4

Конечно, подставлять, что же тут еще делать) А куда? В первое, поскольку тогда получим уравнение на x. Выходит, что cos(x)=sin(3x). Значит, cos(x)=cos(pi/2-3x). Значит +-x=pi/2-3x+2pi*k, y=pi*n. Осталось найти значения cos(y) и sin(x) для найденных выше решений и выбрать наименьший из всех.

Показать ответ и решение

Из второго равенства

sin2y = sin2x+ (cos4x− cos2x)= 2sinxcosx− 2sin3xsinx= 2sin x(cosx− sin 3x)

Подставим $cosx− sin3x$ в первое равенство из условия

2sin ycosy =sin2y =− 2sinxsiny ⇐⇒

[ siny =0 sinx +cosy = 0

Во втором случае искомое по условию выражение равно нулю. Посмотрим, будет ли оно меньше в первом случае.

В первом случае $y =πn,n ∈ℤ$ , и тогда из первого равенства

( ) cosx− sin3x= 0⇐⇒ cosx− cos π− 3x = 0⇐⇒ 2sin(π − x)sin(π − 2x)= 0 2 4 4

То есть $x= π+ πk,k∈ℤ 4$ или $x = π+ πk,k∈ℤ. 8 2$

Минимум суммы получаем при $cosy = −1 ⇐⇒ y = π+ 2πn,n∈ ℤ$ и $x= − 3π+ 2πk,k ∈ℤ. 8$

Посчитаем синус:

( ) ∘ --√-- cos 2⋅ 3π =cos3π =− 1√--=1 − 2sin2 3π =⇒ sin 3π-=-2+--2 8 4 2 8 8 2

Тогда искомое по условию выражение равно

∘2+-√2 cosy+ sinx =−1 − --2----

Получили значение меньше, чем во втором случае (меньше нуля), поэтому оно является ответом.

Ответ:

$− 2+√2+√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 271#33098Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

ctgx+ ctgy =3 и 2sin(2x+2y)= sin2xsin2y.

Найдите $ctgxctgy$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем с первым уравнением. Сразу хочется привести все к общему знаменателю, так и поступим! А далее давайте попробуем как-то преобразовать числитель полученной дроби, может быть удастся заметить какую-то формулу?

Подсказка 2

В числителе у нас синус суммы, который мы теперь можем выразить через sinx и cosx! А можем ли мы во втором уравнении выделить синус суммы?

Подсказка 3

Разложим sin(2x + 2y) по формуле синуса двойного угла, подставим туда полученное выражение для sin(x + y) и поделим все на общий ненулевой множитель. Как нам теперь нужно преобразовать оставшийся косинус для того, чтобы удалось выделить произведение котангенсов?

Подсказка 4

Воспользуемся формулой косинуса суммы, поделим все на произведение синусов и отсюда найдём ответ!

Показать ответ и решение

На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:

cosxsiny+-cosy-sinx sinxsiny = 3

sin(x +y)= 3sinx siny.

Преобразуем второе равенство:

4sin(x+ y)cos(x+ y)= 4sinxsiny cosxcosy.

Подставляем в левую часть $3sinxsin y$ вместо $sin(x +y)$ и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу ОДЗ $sinxsiny ⁄=0$ ):

12sinxsin ycos(x+y)= 4sinx sinycosx cosy

3cos(x+ y) =cosxcosy

3cosxcosy− 3sinx siny = cosx cosy

2cosxcosy = 3sinxsin y

3 ctgxctgy = 2

Ответ:

$3 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 272#39084Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $sin y = 3sinx + 2 cosx,cosy = 2 sinx+ 3cosx. 2 3 3 2$ Найдите $sin2x.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус двойного угла равен удвоенному произведению косинуса и синуса обычного угла. Для аргумента х это также работает. Откуда нам получить произведение синуса и косинуса, если у нас уже есть сумма?

Подсказка 2

Конечно, из квадрата суммы. А он откуда возьмется? Точно! У нас же есть синус и косинус игрек, который равен как раз сумме косинуса и синуса от икс(с некими коэффициентами). А что еще мы знаем про синус и косинус игрек (они с коэффициентами равными)?

Подсказка 3

Да! Мы знаем ОТТ! Значит можно его записать, там будет сумма квадратов синуса и косинуса х с равными коэф-ами (которые опять по ОТТ можно приравнять к 1) и произведение синуса и косинуса икс. Осталось посчитать значение двойного угла.

Показать ответ и решение

Используем основное тригонометрическое тождество, возведя равенства в квадрат и сложив

( 3 2 )2 ( 2 3 )2 1 =sin2y +cos2y = 2sinx + 3cosx + 3sinx+ 2 cosx =

( ) = 9+ 4 (sin2x+ cos2x)+ 4sinxcosx 4 9

− 61 =2sin2x ⇐⇒ sin2x= − 61 36 72

Полученное значение единственно, потому проверка не нужна, поскольку по условию известно, что описанная конфигурация возможна.

Ответ:

$− 61 72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 273#43267Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 3 4) 3 arcsin5 − arccos5 ⋅x +π =2arctg3+ arctg4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем со скобкой слева. Подумаем, чему она вообще равна: для этого найдем cos(arcsin(3/5)), потому что закрадывается мысль, что на самом деле эти арксинус и арккосинус равны между собой по модулю. Остается обратить внимание на то, какого знака этот арксинус.

Подсказка 2

И да, так оно и оказывается, что скобка равна нулю. Значит, уравнение по сути независимо от х, и нам остается убедиться в том или опровергнуть то, что правая сторона равна π. Для этого, во-первых, надо понять, в каких пределах находится правая скобка.

Подсказка 3

Заметим, что по сути мы складываем три арктангенса с положительными аргументами, значит, их сумма положительна и сверху ограничена 3π/2. Из этого понимаем, что все-таки это выражение вполне может быть равно π (если бы оно было, например, от -π/2 до π/2, то тогда оно бы точно не равнялось π - значит, мы бы сразу ответ дали). Тогда посчитаем tg(2arctg(3)), используя формулу тангенса двойного угла, а затем посчитаем тангенс от всей правой части. Кажется, теперь мы смогли решить эту задачу!

Показать ответ и решение

Так как $cos(arcsin 3)= ∘1−--9= 4 5 25 5$ , а $arcsin 3∈(0,π) 5 2$ , то $arcsin 3= arccos4 5 5$ . Тогда уравнение выглядит как $π = 2arctg 3+arctg 3 4$ , то есть надо проверить, либо это тождество и подходят любые значения $x$ , либо это неверное равенство, так что решений нет.

Очевидно, что $3 ( 3 ) 2arctg3+ arctg 4 ∈ 0,2π$ по определению арктангенса и так как аргумент положительный. При этом

6 3 tg(2arctg(3))= 1−-9 = − 4

( ) tg 2arctg3 +arctg 3 = 0 4

Значит, $2arctg3+arctg 34 = πk$ и $2arctg 3+arctg 34 ∈(0,32π)$ . Пересекая эти условия, получаем $2arctg3+ arctg 34 = π$ .

Ответ:

$x ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 274#43268Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

π (2 ) arcsin(2x)+ arccos(2x)≥ 4 ⋅y − 2 .

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусом/арккосинусом -> они должны существовать, отсюда получаем ограничение на х. Затем увидим, что левая часть равна π/2 (почему?).

Подсказка 2

Обработав условие на у, получаем, что |y| и |x| ограничены сверху, и если мы перенесем доступные нам значения х и у на координатную плоскость, то получим прямоугольник, площадь которого легко считается.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1. 2$

Заметим, что $π arcsin(2x)+arccos(2x)= 2.$

Значит, нас интересует фигура $2 y − 2≤ 2$ и $1 |x|≤ 2.$

Это прямоугольник $|y|≤ 2$ и $1 |x|≤ 2$ . Его площадь равна $4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 275#43271Максимум баллов за задание: 7

Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства

( 2 2 ) ( 2 2 ) y − arcsin (sinx) ⋅ y − arcsin(sin(x +π∕3))⋅

( 2 2 ) ⋅ y − arcsin(sin(x− π∕3)) <0.

Источники: ОММО-2018, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусами, в аргументах которых синусы -> прибавление к аргументу синуса 2π (или вычитание) ничего не изменит. Значит, нам достаточно работать только с отрезком длины 2π, возьмем, например, от -π/2 до 3π/2. Посмотрим на то, как именно раскрывается arcsin(sin(x)) на отрезках от -π/2 до π/2 и от π/2 до 3π/2.

Подсказка 2

На первом отрезке арксинус превратится в х², а на втором - в (π-х)². Тогда мы можем, грамотно применив разность квадратов, нарисовать области, которые нам подходят. Достаточно будет выбрать одну, и если она не будет подходить, то все соседние к ней подойдут, ведь при переходе через "ноль" будет меняться знак исходного выражения.

Подсказка 3

Важно отметить, что скобки отличаются собой только аргументами синуса, а это значит, что графики этих выражений будут идентичны и смещены друг от друга на расстояние π/3. Поэтому получится очень много квадратиков (так как изначально график любой изначальной скобки и составлял цепочку квадратов), и именно отсюда, после получения цепочек квадратиков нужно будет найти один подходящий, а затем дважды переходить через "ноль" и закрашивать нужную область.

Показать ответ и решение

Выражение слева не меняется при изменении $x$ на период $2π$ . Поэтому достаточно разобраться с графиком на отрезке длины $2π$ , например, $π 3π [−2; 2 ].$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то $2 2 arcsin (sinx)= x .$

Если $π 3π x∈ [2; 2 ],$ то $2 2 arcsin (sinx)= (π − x) .$

Рассмотрим в выражении из условия первую скобку, для второй и третьей построение будет аналогично, но со сдвигом на $π 3.$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то получаем неравенство $(y− x)(y+ x)<0.$

Если $π 3π x∈ [2;-2 ],$ то получаем неравенство $(y +π − x)(y +x− π)< 0.$

Теперь рассмотрим график ниже, отметим области под одной прямой и над другой:

$PIC$

$y2 − arcsin2(sinx)< 0$ в квадратах.

Для второй и третьей скобки будут те же квадраты, только сдвинутые на $π3$ и на $− π3$ по оси $x.$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 276#63599Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение $|x− y|$ при условии

( 4 )( 4 ) 3 2 cosx +1 4cos y+ 1 = 8cos xcosy,

[π 3π] x ∈[π;2π], y ∈ 2;2

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить левую часть уравнения. Что напоминают слагаемые в скобках?

Подсказка 2

Складываются квадраты — очень похоже на разложение квадрата суммы или разности:) А мы ведь помним, что квадрат неотрицателен!

Подсказка 3

Оцените каждую скобку левой части при помощи удвоенного произведения слагаемых.

Подсказка 4

Итак, левая часть не меньше, чем 8cos²xcos²y. Это очень похоже на выражение справа, но можно провести ещё одну оценку ;)

Подсказка 5

В каком случае в цепочке неравенств достигаются равенства? Осталось решить систему!

Показать ответ и решение

Так как при любых значениях $x,y$ верны неравенства:

{ (cos2x − 1)2 ≥0 ⇐ ⇒ cos4x+ 1≥2cos2x (2cos2y − 1)2 ≥ 0 ⇐ ⇒ 4cos4y+ 1≥4 cos2y

то

(cos4 x+1)(4cos4y +1)≥ 8cos2xcos2 y

А так же в силу $cos2x≥ cos3x$ в итоге получаем, что левая часть уравнения

(cos4 x+1)(4cos4y+ 1)= 8cos3xcos2 y

всегда не меньше правой части, а равенство может достигаться если только если в каждом из неравенств выше достигается равенство. То есть уравнение равносильно системе:

(| (cos2x− 1)2 ≥ 0 (|| cosx= ±1 { (2cos2y− 1)2 ≥ 0 ⇐⇒ { cosy = ±√1 |( cos2x= cos3x ||( cosx= 0 и2ли cosx =1

{ { cosx= 1 ⇐ ⇒ x= 2πn,n ∈ℤ cosy = ±√12 y = π4 + πm2-,m ∈ ℤ

На заданных в условии промежутках

x ∈[π;2π], y ∈ [π∕2;3π∕2]

получаем

x= 2π,y ∈{3π∕4,5π∕4}

Нетрудно видеть, что минимальное значение модуля разности равно $3π- 4 .$

Ответ:

$3π 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 277#70300Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-tgt-- tg5t cos25t − cos2t = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2t⋅cos5t⁄= 0⇔ t⁄= π +πn,t⁄= π-+ πn,n∈ ℤ 2 10 5$

Преобразуем на ОДЗ:

tgt tg 5t sint sin5t cos25t − cos2t = 0⇔ cos25tcost − cos2tcos5t = 0

sintcost− sin5tcos5t ----cos25tcost---- =0

sin 2t= sin10t

[ π- πk t= 1π2k + 6 ,k∈ℤ t= 4 ,k∈ ℤ

⌊ | t= ±1π2 + 2πk || t= ±5π12 +2πk ||| t= ±7π12 +2πk || t= ±111π2 + 2πk ||| t= ±π4 + 2πk || t= ±π2 + 2πk |⌈ t= ±3π4 +2πk t= πk

Пересекая с ОДЗ, получим:

⌊ π t=± 12 + 2πk ||| 5π- ||t= ± 12 + 2πk |||t= ± 7π-+ 2πk || 12 |||t= ±11π+ 2πk || 1π2 ||| t= ±4 +2πk ||t= ± 3π-+ 2πk |⌈ 4 t=πk

⌊ π πk |t= 12 +-6 ,k∈ ℤ ⌈ t= πk,k∈ℤ

Ответ:

$-π+ πk,πk; k∈ ℤ 12 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 278#70301Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 2019 2018 sin (2025x)+ cos (2016x)⋅cos (2025x) =1

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

ОТТ: $sin2(2025x)+cos2(2025x)= 1$

Чтобы из ОТТ получить исходное, нужно домножить первое слагаемое на $2 sin (2025x)$ , а второе на $2016 2019 cos (2025x)⋅cos (2016x)$ . Заметим, что при этом левая часть точно не увеличилась. Следовательно, чтобы сохранилось равенство, возможны только следующие случаи:

Либо одно из слагаемых 0 и тогда не важно, на что его домножаем, но важно, чтобы другое слагаемое было равно 1 и домножилось на 1. Либо домножили оба слагаемых на 1.

$2 2 1)1+ 0= 1.Заметим, чтоsin(2025x)= 1 при cos (2025x)=0.$ Поэтому имеем:

π πk cos(2025x)=0 ⇔ x= 4050 + 2025

$2)0+ 1= 1:$

{ { { cos2016(2025x)⋅cos2019(2016x)= 1 ⇔ cos(2025x)=±1 ⇔ 2025x= πn,n ∈ℤ ⇒ cos2(2025x)= 1 cos(2016x)=1 2016x= 2πk,k∈ ℤ

⇒ 2025k= 1008n⇒ k ...1008⇒ k =1008t,t∈ ℤ

Подставим в систему, получим: $x = πt.$ Проверим, что подходит:

2025πt= πn⇔ n = 2025t,n∈ ℤ

3) Оба слагаемых домножили на 1:

{ sin2(2025x)= 1 cos2019(2016x)⋅cos2016(2025x)= 1

sin2(2025x)= 1⇒ cos(2025x)= 0

Система не имеет решений.

Ответ:

${-π-+ -πk,πk,k ∈ℤ} 4050 2025$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 279#73450Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,π), 2$ при которых достигается минимум выражения

( √ - )( √- )2 ( )4 √---3siny--+ 1 -2sinx-+ 1 sin√(x+-y)+1 2sin(x +y) 3 siny 7 3sinx

Источники: ДВИ - 2018, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с того, что подумаем, как мы можем найти минимальное значение выражения. Через производную? Нет, конечно, это будет очень сложно. Как ещё можно найти минимальное значение?

Подсказка 2

Через неравенство! Но какое здесь можно применить? Давайте попробуем самое популярное — неравенство о средних!

Подсказка 3

Применим это неравенство отдельно для каждой скобки. В первой скобке применим неравенство для двух чисел, во второй представим 1 как три дроби 1/3, применим неравенство для 4 чисел, в третьей аналогично представим 1 как семь дробей 1/7 и применим неравенство для 8 чисел. Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Подсказка 4

Когда все числа равны! Тогда дробь в первой скобке равна 1, во второй — 1/3, в третьей — 1/7. Теперь осталось решить систему.

Подсказка 5

Выразим x из второго уравнения (это будет арксинус от синуса y, делённого на корень из 2) и подставим в третье уравнение. Получаем одно уравнение с одной неизвестной!

Подсказка 6

Раскроем синус суммы, воспользуемся тем, что при наших ограничениях cos(arcsin(t)) = √(1 - t²).

Подсказка 7

sin(y) не равен 0, можем на него поделить. Получилось обычное иррациональное уравнение. Тут корень равен выражению, которое больше 0. Можем возвести в квадрат.

Подсказка 8

Находим y и через него x, не забудьте подставить их в первое уравнение и проверить, подходят ли они.

Показать ответ и решение

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: $a+ b≥ 2√ab.$ Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка $( π) 0,2 ,$ а значит аргументы синусов лежат в промежутке $(0,π),$ то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на $4$ слагаемых, а третью — на $8,$ то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

√- ∘ --√------- √--3sin-y--+ 1≥2 √--3siny--, 2sin(x+ y) 2 sin(x+ y)

√ - √ - ∘ √--------- --2sinx +1= --2sinx +3⋅ 1 ≥4 4-2sinx ⋅ 13, 3siny 3siny 3 3siny 3

sin(x+ y) sin(x +y) 1 ∘8sin(x+-y)-1- -7√3sinx + 1= 7√3sin-x + 7⋅7 ≥8 -7√3-sinx ⋅77

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения $x,y,$ при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

√ - √- √---3siny--= 1,-2sin-x= 1,sin√(x+-y)= 1 2sin(x +y) 3siny 3 7 3sinx 7

Из второго равенства, учитывая, что $x∈ (0,π), 2$ получаем $x =arcsin(sin√y). 2$

В третье равенство подставим $x= arcsin(si√n2y)$ и получим: $∘ -- sin(y+ arcsin(si√n2y))= 32siny.$ Раскроем синус суммы: $∘ -- sinycos(arcsin(si√n2y))+ cosysin(arcsin(sin√y2 ))= 32 siny.$ Пользуясь равенствами $cos(arcsint)= √1−-t2-$ при $t∈[0,1]$ и $sin(arcsint)=t$ получим:

∘ -------- sin2y siny ∘ 3- sin y 1− --2- +cosy⋅√2--= 2 siny

По условию $y ∈ (0,π2),$ то есть $siny ⁄= 0,$ а значит на него можно сократить:

∘-------- sin2y cosy- ∘ 3- 1− 2 + √2- = 2

Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на $√ - 2$ ):

∘ ------- √- 1+ cos2y = 3 − cosy

Заметим, что правая часть всегда больше $0,$ то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:

2 √- 2 1+ cosy =3− 2 3cosy+ cos y

Полученное уравнение имеет решение $cosy = √1, 3$ то есть $y =arccos√1, 3$ откуда $x= arcsin 1√-. 3$

Ответ:

$y =arccos√1,x= arcsin 1√ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 280#80582Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

6tgx− tg2x+ 5ctg3x =0

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть и тангенс, и котангенс, быть может, попробуем из связать при помощи какой-то замены?

Подсказка 2

Сделайте замену ctg(x) = t.

Подсказка 3

После замены у нас получится выражение с дробями, у которого, если привести всё к общему знаменателю, можно заметить кое-что интересное в числителе со степенями t ;)

Подсказка 4

Степени в числителе только чётные! Тогда мы можем вновь сделать замену для удобства дальнейшего решения ;)

Подсказка 5

После замены y = t² получим кубическое уравнение, в котором несложно найти один из корней! Тогда выражение можно будет разложить на множители!

Показать ответ и решение

Если $ctgx= t,$ то