Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 361#78854Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

∘-------- 5 -1-- 5tgx+ 10= 2sin x+ cosx

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком уравнении больше всего хочется возвести обе части в квадрат, так давайте сделаем это! Только не забудем условия для равносильности такого перехода (в левой части корень, значит, в правой части нашего уравнения тоже должна быть величина неотрицательная).

Подсказка 2

После возведения в квадрат у нас уничтожатся 5tg(x) с обеих сторон. Сразу же напрашивается замена, чтобы дальше мы решали обычное уравнение от одной переменной, а не тригонометрическое.

Подсказка 3

Путь t = sin²x, теперь мы получаем уравнение, которое можно привести к общему знаменателю, а дальше решить как квадратное. Не забудьте про ограничение на t, когда получите его корни!

Показать ответ и решение

Левая часть неотрицательна, поэтому и правая должна быть неотрицательна:

5 -1-- 2sin x+ cosx ≥0

5sinxcosx+ 2 ---cosx----≥ 0

Если обе части неотрицательны, то можно возвести в квадрат:

5 tgx +10= 25sin2x +5tgx+ --12-- 4 cosx

25sin2x+ --4--− 40= 0 cos2x

25 sin2x+ ---4-2-− 40=0 1− sin x

После замены $t= sin2x$ уравнение принимает вид:

25t+ -4--− 40= 0 1− t

25t(1−-t)+-4−-40(t− 1) 1− t =0

25t− 25t2+4− 40+ 40t -------1−-t------- =0

2 25t − 65t+ 36 =0,t⁄= 1

t= 4или t= 9 5 5

При обратной замене остаётся только

2 4 sin x= 5,

откуда получаем

2 x = ±arcsin √5 + πk,k∈ℤ

Вспомним условие

5sinxcosx+-2≥ 0 cosx

√ - (±2 +2)⋅± 5≥0

Окончательно получаем, что надо исключить из найденных решений серию $x= π+ arcsin√2-+ 2πk,k ∈ℤ. 5$

Ответ:

$− arcsin √2-+πk, arcsin√2-+2πk, k ∈ℤ 5 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 362#79126Максимум баллов за задание: 7

Числа $− sin x,4sin x⋅ctg2x,cosx$ являются членами арифметической прогрессии с номерами $k,k+ 1,k +2$ соответственно. Найти все значения $x$ и $k,$ если седьмой член этой прогрессии равен $1 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Три подряд идущих члена арифметической прогрессии... Конечно же, сразу хочется переписать это условие в виде уравнения с тремя данными в условии функциями. Далее, естественно будет это уравнение преобразовать к более приятному виду!

Подсказка 2

Если Вы всё правильно сделали, то должно было получиться 2 значения для ctg(x) — 1 и -4/3. Случай ctg(x) = 1 рассматривается просто, а со вторым нужно быть повнимательнее.

Подсказка 3

План рассмотрения случая ctg(x)=-4/3. Нам нужно выписать 2 серии решений (рассматриваем далее каждую по отдельности), для них выразить все нужные тригонометрические функции и подставить всё в условие для 7-го члена арифметической прогрессии. Отсюда и находятся значения x и k!

Показать ответ и решение

Из условия задачи получаем уравнение

cos2x 8 sinx⋅ctg2x= cosx− sinx ⇐⇒ 8sinx⋅ sin2x = cosx − sin x

cos2x 4⋅-cosx-= cosx − sinx ⇐ ⇒ 4cos2x= cos2x− cosx sinx

3cos2x +cosxsinx − 4sin2x =0 ⇐ ⇒ 3ctgx+ ctgx− 4= 0

Из последнего уравнения получаем:

[ ctgx =1 4 ctgx =− 3

Случай 1 $π π ctgx= 1, x= 4 +πn, 2x = 2 + 2πn, n∈ ℤ.$ Видно, что в этом случае прогрессия имеет вид либо $√2 √2- − 2 ; 0; 2 ,$ либо $√2- √2- 2 ; 0; − 2 .$

Пусть для данных значений $x$ существует искомое $k,$ указанное в условии задачи. Тогда получаем соотношения:

{ √-} d∈ ± -2- — разность прогрессии 2

ak+1 = a1+ dk= 0

Отсюда ${ √2 } a1 = −d, k∈ ∓ 2 ⋅k .$ Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 a7 = a1+ 6d = 5

Отсюда вытекает противоречие с иррациональностью числа $√- 2.$ . Значит, в случае $1$ не существует искомых значений $x$ и $k.$

Случай 2 $ctgx= − 43.$ Выделим две серии решений этого уравнения

(a) $( ) x= arcctg − 43 +2πn$

(b) $( ) x= π+ arcctg − 43 +2πn, n ∈ℤ$

В случае (a) $sinx= 35, cosx= − 45.$ Тогда $ctg2x= −274,$ и прогрессия имеет вид $− 35; − 710; − 45.$ Разность равна $d =− 110.$ Далее

ak+1 = a1+dk= − 7-, 10

Отсюда $a1 = −dk− 710-= k1−07.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1, 5$ получаем соотношение

a7 = a1+ 6d = 1 ⇐⇒ k−-7− -6= 1 =⇒ k= 15 4 10 10 5

Итак, получаем первое решение задачи:

( ( ) ) (x,k)= (x,k)= arcctg − 4 +2πn, 15 3

В случае (a) $sinx= − 3, cosx= 4. 5 5$ Тогда $ctg2x= −-7, 24$ и прогрессия имеет вид $3; 7-; 4. 5 10 5$ Разность равна $d= -1. 10$ Далее

7 ak+1 =a1+ dk= 10,

Отсюда $7 −k+7 a1 = −dk+ 10-=-10-.$

Теперь из условия, что седьмой член прогрессии равен $1 5,$ получаем соотношение

1 − k+7 6 1 a7 =a1+ 6d= 4 ⇐⇒ --10- + 10 = 5 =⇒ k= 11

Итак, получаем второе решение задачи:

( ( 4) ) (x,k)= π +arcctg − 3 + 2πn, 11

Ответ:

$(x,k)∈ {(arcctg(− 4) + 2πn, 15) ,( π+ arcctg(− 4) +2πn, 11)}, n ∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 363#115881Максимум баллов за задание: 7

Среди корней уравнения

cos2πx 1+-tgπx-= 0

найти тот, который имеет наименьшее расстояние от числа $√ -- 13$ на числовой прямой.

Показать ответ и решение

Все решения исходного уравнения содержатся среди решений уравнения $cos2πx= 0,$ т. е. среди чисел $x = 1+ n,n∈ ℤ. 4 2$

Если $n= 2m,$ то $1 x = 4 + m,m ∈ℤ,$ и $π tgπx= tg 4 = 1,$ и поэтому все числа $1 x= 4 + m,m ∈ℤ,$ являются решениями исходного уравнения. Если же $n= 2m− 1,$ то $1 x =− 4 + m,m ∈ℤ,$ а $( π) tgπx= tg − 4 = −1,$ и поэтому ни одно из чисел $1 −4 +m,$ $m ∈ℤ,$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Итак, множество решений исходного уравнения состоит из чисел $1 4 +m, m∈ ℤ.$

Выберем теперь среди них число, ближайшее к $√ -- 13.$ Так как очевидно, что справедливы неравенства

13 1 √ -- 1 17 4-= 3+ 4 < 3,5 < 13< 4<4 + 4 = 4-,

то искомый корень есть либо $143,$ либо $147 .$ Легко проверить, что справедливо неравенство $√-- √-- 13− 134 < 174 − 13$ (оно выполняется одновременно с неравенством $√-- 13< 145,$ которое проверяется возведением в квадрат). Таким образом, $134-$ есть ближайший к $√-- 13$ корень исходного уравнения.

Ответ:

$13 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 364#84448Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $-------12------ sin237∘ +sin2 127∘.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представьте 127 градусов как сумму 90 градусов и угла меньшего 90 градусов.

Подсказка 2

Используя формулу приведения, преобразуйте второе слагаемое знаменателя.

Подсказка 3

Вспомните ОТТ и преобразуйте знаменатель. Ответ готов!

Показать ответ и решение

По формулам приведения и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

12 12 12 sin237∘+-sin2127∘ = sin237∘+-sin2(90∘+-37∘) = sin237∘+-cos237∘-= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 365#63884Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 sin α+ 2sin3α+ sin5α= 4sin3αcos α

Показать ответ и решение

Поскольку $sinα +sin 5α = 2sin3αcos2α$ , то уравнение примет вид

2 2sin3α(cos2α+ 1)=4 sin3αcos α

То есть либо $sin3α= 0⇐ ⇒ α= πn,n∈ ℤ 3$ , либо $cos2α+ 1= 2cos2α$ , что является тождеством, так что подходит любое $α.$

Ответ:

$α ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 366#84446Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $-14cosα−-4sin-α−-7-, − 21cosα + 6sinα + 4$ если $tgα = 7. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данном выражении используются как синус, так и косинус, причём всё в первой степени — ОТТ нам тут вряд ли поможет

Подсказка 2

Зато мы знаем тангенс, то есть отношении синуса к косинусу. Выразите одну функцию через другую и подставьте в исходное выражение. Если всё сделано верно, тригонометрические функции сократятся!

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

7 sinα 2 = tg α= cosα ⇒ sinα = 3,5cosα.

Тогда после подстановки в исходное выражение получаем

14cosα−-4⋅3,5cosα−-7-= -14cosα−-14cosα−-7-= −1,75. −21cosα+ 6⋅3,5 cosα + 4 − 21 cosα + 21 cosα + 4

Ответ: -1,75

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 367#84447Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $---(-353π2)----25π. sin −-4- ⋅cos 4--$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представьте дроби -35π/4 и 25π/4 в смешанном виде и воспользуйтесь периодичностью тригонометрических функций: sin(2π + x) = sin(x) и cos(2π + x) = cos(x). Также можете воспользоваться формулами приведения.

Подсказка 2

После преобразований получатся табличные значения. Подставьте их и получите ответ

Показать ответ и решение

Так как синус — нечетная функция, то

( 35π ) 35π sin(−α )= − sin α ⇒ sin −-4- = − sin -4-.

Воспользуемся разложениями

35π 36π-−-π- π- 4 = 4 = 9π − 4, 25π = 24π-+-π= 6π + π. 4 4 4

Тогда по формулам приведения получим

35π ( π) π sin-4- = sin 9π − 4-= sin 4, 25π ( π) π cos-4- = cos 6π + 4-= cos4-.

Значит, исходное выражение равно

----32----= -√-32√--= − 64. − sin π-cos π −--2⋅--2 4 4 2 2

Ответ: -64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 368#84449Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $√- 15π 15π- 7 2 ⋅sin 8 cos 8 .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В какой известной тригонометрической формуле встречается произведение синуса на косинус?

Подсказка 2

Конечно же в формуле синуса двойного угла, а недостающий коэффициент мы всегда можем сами искусственно добавить, умножив и разделив на 2! Останется лишь аккуратно преобразовать выражения и получить ответ.

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла имеем:

√ - 15π- 15π 7 2⋅sin 8 cos 8 = 7√2- 15π 15π- = 2 ⋅2 sin 8 cos 8 = 7√2 15π 7√2 ( π) = -2--sin-4- = -2--sin − 4- = √ - √ - = − 7-2⋅--2= − 3,5. 2 2

Ответ: -3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 369#91348Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) arcsin 6x − 12x +6 + 2arcsin(x− 1)< 0

Показать ответ и решение

Раз мы можем взять $arcsin$ от $6(x− 1)2$ , то $6(x− 1)2 ≤ 1$ . Значит, $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ . Изначальное условие можно переписать как

( 2 ) arcsin 6x − 12x+ 6 < −2arcsin(x− 1)= 2arcsin(1− x)

Так как $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ , то $arcsin(6x2− 12x +6)$ и $2arcsin(1− x)$ лежат в $(− π,π) 2 2$ . Синус на этом интервале возрастает. Значит, достаточно проверить