Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .01 Преобразования тригонометрических выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#36671Максимум баллов за задание: 7

Докажите равенство:

∘ ∘ ctg30 + ctg75 = 2.

Показать доказательство

Первое решение.

∘ ∘ cos30∘ cos(45∘+30∘) ctg30 +ctg75 = sin30∘ + sin(45∘-+30∘) =

√ - √ - √- √- = √3+ √-6−√-2= 3+--3√-+-3-− 1 =2. 6+ 2 3+ 1

Второе решение.

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $∘ ∠A= ∠C = 75$ и $∘ ∠B = 30$ . Проведём высоту $CH$ , получим прямоугольный $△BAH$ с углом $∘ 30$ , откуда $1 1 AH = 2AB = 2BC$ . С другой стороны, из прямоугольных $△ACH$ и $△BAH$ имеем $∘ ∘ ∘ ∘ BC = BH + HC = AHctg75 +AH ctg30 =AH (ctg75 + ctg30)= 2AH$ , откуда и следует требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#39884Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

2 2 4 4 3sinα + 7cos α+ 8sin α+ 12cos α.

Показать ответ и решение

Поскольку

4 4 2 2 2 2 sinα + cos α= 1− 2sin αcosα = 1− 2cos α(1 − cosα),

то выражение примет вид

2 2 2 4 3+ 4cosα +8 − 16cosα(1− cos α)+ 4cos α=

= 20cos4α− 12cos2α +11= 20t2− 12t+ 11, t∈ [0,1]

$tверш = 1420 = 310 ∈ [0;1],$ минимальное значение равно $20⋅1900 − 12⋅130 + 11= 456$ .

Ответ:

$46 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91391Максимум баллов за задание: 7

Представьте в виде обыкновенной дроби значение выражения

( 3 49π 49π- 3 49π 49π) 49π- sin 48 cos16 + cos 48 sin 16 cos 12

Показать ответ и решение

Обозначим $α= 49π= π+ -π. 48 48$ Тогда данное выражение равно

(sin3α cos3α+ cos3αsin 3α)cos4α= ( 3 ( 3 ) 3 ( 3 )) = (sin α⋅ 4cos α− 3cosα +co)s α⋅3 sinα− 4sin α cos4α = = −3sin3αcosα+ 3cos3αsinα cos4α = = 3sinα cosα⋅(cos2α − sin2α)cos4α= 3 3 = 2sin2αcos2αcos4α= 4sin4α cos4α = 3 3 ( 8π) 3 π 3- = 8sin8α= 8sin 8π+ 48 = 8 ⋅sin6 = 16

Ответ:

$-3 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90865Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

π- 2π- 2π- 3π kπ- (k-+1)π 2019π- 2020π tg 43 ⋅tg 43 + tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 .

Источники: ОММО - 2021, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение с 2019-ю слагаемыми! Очевидно, что вручную такое не посчитать. У нас есть длинный ряд с похожими слагаемыми, что вспоминается в первую очередь, когда видим нечто подобное?

Подсказка 2

Телескопические суммы! Правда было бы славно, если бы большинство слагаемых взаимно уничтожилось? Но знаем ли мы какую-нибудь формулу для произведения тангенсов, чтобы они преобразовалось в разности? Может видели как фрагмент где-нибудь…

Подсказка 3

Тангенс разности! Осталось только выразить произведение оттуда и посчитать значение выражения!

Показать ответ и решение

Вспомним формулу

tgα− tgβ tg(α− β)= tgα-tgβ-+1-

tgαtgβ = tgα−-tgβ− 1 tg(α− β)

Значит

kπ (k+ 1)π tg (k+413)π-− tg k4π3 tg 43 ⋅tg-43-- = ----tg π43----− 1

tg π-⋅tg 2π-+ tg 2π-⋅tg 3π+ ...+ tg 2019π⋅tg 2020π-= 43 43 43 43 43 43

( 2π π ) ( 3π 2π ) ( 2020π 2019π ) =-tg43 −-tg43-+-tg43 −-tg-43-+...+-tg--43-−-tg--43-- − 2019= tg π43

tg 2020π− tg π tg(47π− π)− tg π = ---43tg π--43− 2019= ------tg43 π-----43− 2019 =−2021 43 43

Ответ: -2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#61176Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа

sin2016∘- sin2018∘- sin2017∘ и sin2019∘

Источники: ОММО-2017, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что углы нетабличные и каждое выражение явно посчитать мы не сможем. Но для сравнения можно поставить знак < или >, а потом равносильными преобразованиями свести к заведомо верному неравенству с тем же знаком. Но как же работать с таким неравенством, если у нас нет формулы деления синусов?

Подсказка 2

Домножить на знаменатели и получить в обеих частях неравенства произведения синусов! Теперь надо подумать: поменяется ли после такого домножения знак неравенства?

Подсказка 3

Для этого можно использовать формулы приведения и свести всё к острым углам. А после применения формулы произведения синусов осталось сравнить косинусы двух острых углов: можете сделать это по тригонометрической окружности :)

Показать ответ и решение

По формулам приведения $sin2016∘ = sin(360∘⋅5+ 180∘+ 36∘) =− sin36∘ < 0$ . Аналогично остальные синусы из условия тоже отрицательны.

Поэтому неравенство

sin2016∘ sin 2018∘ sin2017∘ < sin-2019∘

равносильно (умножили на произведение двух отрицательных чисел, которое положительно, поэтому знак неравенства сохраняется)

sin2016∘⋅sin2019∘ < sin2017∘⋅sin2018∘

По формулам произведения синусов получаем

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos3 − cos4035 < cos1 − cos4035 ⇐ ⇒ cos3 < cos1

Для острых углов чем больше угол, тем меньше косинус (более формально, функция $f(x)= cosx$ на промежутке $(0;π) 2$ убывает), поэтому последнее неравенство справедливо , а значит, и доказываемое неравенство верно.

Ответ:

sin2016∘ sin-2018∘ sin2017∘ < sin 2019∘

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#31042Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения:

4-π 4 5π- 4 19π 4 23π sin 24 + cos 24 + sin 24 + cos 24

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем из четырёх аргументов два, заметив, что sin⁴(x) = sin⁴(180°-x) и cos⁴(x)=cos⁴(180°-x)

Подсказка 2

Отлично, получилось sin⁴(a)+cos⁴(a)+sin⁴(b)+cos⁴(b). Есть некоторый намек на основное триг. тождество, но ведь в нём только вторые степени... Возведем ОТТ для обоих аргументов в квадрат и сложим их!

Подсказка 3

Да, получилось выражение, которое равно 2, потому что сложили два ОТТ, и в нём есть наше искомое выражение и два выражения, которые сворачиваются к виду sin²(2α)/2. Нужно применить к ним сумму синусов и остаётся только счет :)

Показать ответ и решение

По формулам приведения

4 π 4 5π 4 19π 4 23π sin 24 +cos 24 + sin 24-+ cos-24 =

π 5π 5π π = sin424 + cos424 + sin424 +cos424.

Здесь есть что-то похожее на $sin2x +cos2x =1$ , но только с четвертыми степенями, поэтому возведем это тождество в квадрат: $sin4x+cos4x+ 2cos2xsin2x= 1$ .

Так как $2 2cos2x sin2x= sin2(2x)$ , то $2 sin4x+ cos4x= 1− sin2(2x)$ . Применим это тождество к нашему выражению. Получится

2− sin2 π12 +-sin2 51π2 2

Теперь применим тождество

π sin(2 − x)= cosx

И получается

sin2 π-+cos2 π- 1 2− ----12-2----12 = 2− 2 = 1,5.

Ответ:

$1,5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#84840Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения

∘ ∘ ctg 50 − 4cos50

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите котангенс по определению и превратите выражение в дробь.

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой двойного угла.

Подсказка 3

Можно ли как-то "уменьшить" угол в 100 градусов?

Подсказка 4

Воспользуйтесь формулами приведения.

Подсказка 5

Получаем не самые приятные углы. А какими тригонометрическими формулами мы еще не пользовались?

Подсказка 6

Нам может помочь формула разности косинусов!

Показать ответ и решение

Распишем котангенс

cos50∘− 4 cos50∘sin50∘ ------sin50∘-------

Применим формулу синуса двойного угла

cos50∘− 2sin100∘ ----sin50∘-----

Подставляя $sin100∘ = sin(90∘+ 10∘)= cos10∘$ , получим

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos50-− 2c∘os10 = cos50-−-cos10∘−-cos10 sin50 sin50

По формуле разности косинусов получаем

−-2sin30∘sin20∘− cos10∘ = − sin20∘+-cos10∘ sin 50∘ sin50∘

Подставляя $cos10∘ = cos(90∘− 80∘)= sin80∘$ , получим

∘ ∘ − sin20-+-sin∘80 sin50

По формуле суммы синусов получаем

− 2sin50∘cos30∘= −√3- sin50∘

Ответ:

$− √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#49147Максимум баллов за задание: 7

Для $x= π- 2n$ найдите значение суммы

2 2 2 2 cos (x)+ cos (2x)+ cos (3x)+ ...+ cos (nx).

Источники: ОММО-2015, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Тут нам не очень удобно работать, так как в формуле квадраты косинусов. Давайте воспользуемся формулой cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 и приведем все слагаемые к бесквадратному виду.

Подсказка 2!

Теперь нам нужно посчитать сумму (1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) + ....... + 1 + cos(2nx))/2. То есть это n/2 + сумма косинусов /2. Давайте добавим и вычтем cos(0) для удобства. Теперь нам нужно просто посчитать сумму косинусов от 0 до 2nx!

Подсказка 3!

Чтобы посчитать, нужно вспомнить, что 2nx = Pi по условию! Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые :)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся тождеством $2 1+cos2t cos t= 2 .$

Тогда по условию нам надо посчитать

n+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx n− 1 S -----------------2------------------= -2--+ 2,

где $S = cos0x+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx.$

По условию $2nx= π,$ так что для любого $t$ выполнено $cos(2nx− t)= cos(π− t)= − cost.$ Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам $t< − >2nx− t,$ потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме $S$ количество слагаемых $n+ 1$ . Если $n$ нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если $n$ чётно, то паре не найдётся слагаемому $cos(nx)$ , но оно равно нулю.

В итоге $S = 0$ для любого $n,$ так что ответ $n−21.$

Второе решение.

Заметим, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 kπ + cos2 (n-− k)π =cos2 kπ +cos2 π− kπ = cos2 kπ + sin2 kπ = 1. 2n 2n 2n 2 2n 2n 2n

Если $n$ нечетно, разобьем все слагаемые, кроме $cos2(nx)$ , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму $n−1 2$ , а $cos2(nx)= cos2(π)= 0 2$ . Если же $n$ четно, то без пары остаются и $cos2(nx)= cos2(π) =0 2$ , и $cos2(π)= 1 4 2$ . И в том, и в другом случае полная сумма равна $n−-1. 2$

Ответ:

$n−1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80647Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, подумаем про периодичность синуса...Ведь мы можем разделить всё наше выражение на 6 групп, в каждой из которых синус будет давать одинаковые значения.

Подсказка 2

Что же делать теперь? Увидеть геометрическую прогрессию! Воспользоваться формулой и не перепутать табличные тригонометрические значения.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее:

sin π sin 2π sin(2021π) --23 +--232-+ ...+ --220231-- =

( √- √- √ - √ - ) = -3⋅ 1 +-3⋅-1 +0⋅-1 −--3⋅-1− --3⋅ 1-+ 0⋅ 1 + 2 2 2 22 23 2 24 2 25 26

(√- √- √- √ - ) + -3-⋅ 17 +-3-⋅ 18-+0 ⋅ 19-−-3⋅-110 −-3⋅-111 + 0⋅ 112 + ...+ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2

( √3 1 √3 1 1 √3 1 √3 1 1 ) + 2-⋅ 22011-+ 2-⋅22012 +0 ⋅22013-− 2-⋅22014 − 2-⋅22015 +0⋅ 22016- +

( √- √- √- √- ) + -3-⋅-1--+ -3-⋅-1--+ 0⋅-1--− -3-⋅-1--− -3-⋅-1-- + = 2 22017 2 22018 22019 2 22020 2 22021

√- ( ) √-( ) = -3- 1 +-12 −-14 − 15- + -3- 17 + 18 −-110-− 111 +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

√- √- = -3-(-1--+ --1-− --1- −--1-) + -3( -1--+ -1--− -1--− --1-) = 2 22011 22012 22014 22015 2 22017 22018 22020 22021

21√3-( 1 1 1 1 1 ) = -2-- 25 +211 + ...+ 22009 + 22015 + 22021 =

√- 1-( ( 1-)337) √- 21-3 25-1−--26-----= 21-3(1 − -1--) 2 1− 126 26 − 1 22022

Ответ:

$21√3(1−--1-) 26−1 22022$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#83947Максимум баллов за задание: 7

Найдите $sin 2α$ , если известно, что $sinα +cosα= 1,3$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

sin(2α) = 2sinα*cosα. На что намекает выражение вида 2ab?

Подсказка 2

Наверное, чаще всего мы видим это, когда раскрываем по формула сокращённого умножения выражение (а+b)². Попробуем как-то это связать?

Подсказка 3

Хотим получить 2sinα*cosα. Значит, возведём в квадрат (cosα + sinα). Останется сделать совсем немного. Успехов!

Показать ответ и решение

Возведём данное нам равенство в квадрат

2 2 (sinα+ cosα) = (1,3)

2 2 sin α+ 2sinαcosα+ cos α =1,69

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и тригонометрической единицей, получим

sin2α =1,69− 1= 0,69

Ответ: 0,69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#115881Максимум баллов за задание: 7

Среди корней уравнения

cos2πx 1+-tgπx-= 0

найти тот, который имеет наименьшее расстояние от числа $√ -- 13$ на числовой прямой.

Показать ответ и решение

Все решения исходного уравнения содержатся среди решений уравнения $cos2πx= 0,$ т. е. среди чисел $x = 1+ n,n∈ ℤ. 4 2$

Если $n= 2m,$ то $1 x = 4 + m,m ∈ℤ,$ и $π tgπx= tg 4 = 1,$ и поэтому все числа $1 x= 4 + m,m ∈ℤ,$ являются решениями исходного уравнения. Если же $n= 2m− 1,$ то $1 x =− 4 + m,m ∈ℤ,$ а $( π) tgπx= tg − 4 = −1,$ и поэтому ни одно из чисел $1 −4 +m,$ $m ∈ℤ,$ не входит в ОДЗ исходного уравнения. Итак, множество решений исходного уравнения состоит из чисел $1 4 +m, m∈ ℤ.$

Выберем теперь среди них число, ближайшее к $√ -- 13.$ Так как очевидно, что справедливы неравенства

13 1 √ -- 1 17 4-= 3+ 4 < 3,5 < 13< 4<4 + 4 = 4-,

то искомый корень есть либо $143,$ либо $147 .$ Легко проверить, что справедливо неравенство $√-- √-- 13− 134 < 174 − 13$ (оно выполняется одновременно с неравенством $√-- 13< 145,$ которое проверяется возведением в квадрат). Таким образом, $134-$ есть ближайший к $√-- 13$ корень исходного уравнения.

Ответ:

$13 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#84448Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $-------12------ sin237∘ +sin2 127∘.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представьте 127 градусов как сумму 90 градусов и угла меньшего 90 градусов.

Подсказка 2

Используя формулу приведения, преобразуйте второе слагаемое знаменателя.

Подсказка 3

Вспомните ОТТ и преобразуйте знаменатель. Ответ готов!

Показать ответ и решение

По формулам приведения и по основному тригонометрическому тождеству имеем:

12 12 12 sin237∘+-sin2127∘ = sin237∘+-sin2(90∘+-37∘) = sin237∘+-cos237∘-= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#84446Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $-14cosα−-4sin-α−-7-, − 21cosα + 6sinα + 4$ если $tgα = 7. 2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данном выражении используются как синус, так и косинус, причём всё в первой степени — ОТТ нам тут вряд ли поможет

Подсказка 2

Зато мы знаем тангенс, то есть отношении синуса к косинусу. Выразите одну функцию через другую и подставьте в исходное выражение. Если всё сделано верно, тригонометрические функции сократятся!

Показать ответ и решение

По формуле для тангенса имеем:

7 sinα 2 = tg α= cosα ⇒ sinα = 3,5cosα.

Тогда после подстановки в исходное выражение получаем

14cosα−-4⋅3,5cosα−-7-= -14cosα−-14cosα−-7-= −1,75. −21cosα+ 6⋅3,5 cosα + 4 − 21 cosα + 21 cosα + 4

Ответ: -1,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#84447Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $---(-353π2)----25π. sin −-4- ⋅cos 4--$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представьте дроби -35π/4 и 25π/4 в смешанном виде и воспользуйтесь периодичностью тригонометрических функций: sin(2π + x) = sin(x) и cos(2π + x) = cos(x). Также можете воспользоваться формулами приведения.

Подсказка 2

После преобразований получатся табличные значения. Подставьте их и получите ответ

Показать ответ и решение

Так как синус — нечетная функция, то

( 35π ) 35π sin(−α )= − sin α ⇒ sin −-4- = − sin -4-.

Воспользуемся разложениями

35π 36π-−-π- π- 4 = 4 = 9π − 4, 25π = 24π-+-π= 6π + π. 4 4 4

Тогда по формулам приведения получим

35π ( π) π sin-4- = sin 9π − 4-= sin 4, 25π ( π) π cos-4- = cos 6π + 4-= cos4-.

Значит, исходное выражение равно

----32----= -√-32√--= − 64. − sin π-cos π −--2⋅--2 4 4 2 2

Ответ: -64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#84449Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $√- 15π 15π- 7 2 ⋅sin 8 cos 8 .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В какой известной тригонометрической формуле встречается произведение синуса на косинус?

Подсказка 2

Конечно же в формуле синуса двойного угла, а недостающий коэффициент мы всегда можем сами искусственно добавить, умножив и разделив на 2! Останется лишь аккуратно преобразовать выражения и получить ответ.

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла имеем:

√ - 15π- 15π 7 2⋅sin 8 cos 8 = 7√2- 15π 15π- = 2 ⋅2 sin 8 cos 8 = 7√2 15π 7√2 ( π) = -2--sin-4- = -2--sin − 4- = √ - √ - = − 7-2⋅--2= − 3,5. 2 2

Ответ: -3,5

Следующая подтема