Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#83951Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

Показать ответ и решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

81sin2x+ 811−sin2x = 30

81sin2x+ 81⋅81− sin2x = 30

Сделаем замену $2 a= 81sinx,$ тогда получим

a+ 81a = 30

a2− 30a +81= 0

По теореме Виета корнями будут $a= 3$ и $a= 27,$ делаем обратную замену

[ sin2x 81sin2x= 3 81 = 27

⌊ 2 1 || sin x = 4 ⌈ 2 3 sin x = 4

⌊ 1 | sin x= ±2 |⌈ √3 sin x= ±-2-

⌊ π x= ±6 +2πk ||| 5π || x= ±-6 +2πk ||| π , k∈ℤ || x= ±3 +2πk |⌈ x= ±2π +2πk 3

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#83952Максимум баллов за задание: 7

Решите систему:

{ tgx= √2sin y; ctgx= √2cosy.

Показать ответ и решение

Пусть $t= tg2 x$ . Тогда $ctg2x= 1 t$ . Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их:

1 t+ t = 2

t=1

Отсюда

tgx= ±1

x =± π+ πn,n∈ ℤ 4

Тогда из системы

siny =cosy = ±√1 2

y = π +πk,k∈ ℤ 4

Ответ:

$(π + πn;π +πk),k,n ∈ℤ 4 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#84368Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 3sin x+ 5sinxcosx− 2cos x= 2

Показать ответ и решение

Представим 2 в правой части как $2cos2x+ 2sin2x$ . Получим:

2 2 2 2 3sin x +5sin xcosx− 2cosx =2 cos x+ 2sin x

sin2 x+5 sinxcosx − 4cos2x= 0

1 случай.) $cosx =0$

Тогда $sin2x= 1− cos2x= 1$ . Подставим это в получившееся уравнение:

0= sin2x+ 5sinxcosx− 4cos2x= 1+ 5⋅0− 4 ⋅0 =1

Получаем противоречие, решений нет.

2 случай.) $cosx ⁄=0$

Разделим обе части уравнения на $cos2x⁄= 0$ .

2 sin2x+ 5⋅ sin-x− 4= 0 cos x cosx

Сделаем замену $scinoxsx = t$ .

t2+ 5t− 4= 0

Решив квадратное уравнение, получим следующие корни:

√-- √-- t1 = −5+-41- t2 = −-5−-41 2 2

√-- √-- sinx-= −5+--41- sinx-= −5−--41- cosx 2 cosx 2

−5+ √41 −5− √41 tg x= ---2---- tg x= ---2----

−5+ √41 −5− √41 x= arctg ---2---+ πn x = arctg ---2---+ πn n ∈ℤ

Ответ:

${arctg −5+√41+ πn,arctg −5−-√41-+πn |n∈ ℤ} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#84837Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#84839Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos4xcos5x = cos6xcos7x

Показать ответ и решение

По формуле произведения косинусов получаем

1 1 2(cos9x+ cosx)= 2(cos13x+ cosx)

cos13x − cos9x= 0

По формуле разности косинусов получаем

− 2sin11xsin2x= 0

[ sin11x= 0 sin2x= 0

[ x= π1k1, k∈ ℤ x= π2k, k∈ ℤ

Ответ:

$πk ;πk; k∈ ℤ 11 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#85175Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения $∘ 3-sin141-. cos129∘$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Углы не табличные, значит, нужно как-то избавляться от sin(141°) и cos(129°)

Подсказка 2

Нам помогут формулы приведения! Заметим, что 141 = 270 - 129, теперь мы можем применить соответствующую формулу!

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

3sin141∘ 3sin(180∘ − 39∘) cos129∘-= -cos(90∘-+39∘)-= ∘ = 3-sin39∘ =− 3. − sin39

Ответ: -3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#85306Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ ------- 3x √ - 2π 1+ cos6x⋅sin 2 = 2 2cos 3

Показать ответ и решение

Сразу посчитаем правую часть:

√ - 2π √ -( 1) √ - 2 2cos 3 = 2 2 − 2 = − 2

Оценим левую часть:

√------- √ - 1+ cos6x ≤ 2, |sin 3x|≤1 2

Подытожим оценку:

|√1+-cos6xsin3x|≤√2- 2

Тогда наше равенство равносильно системе, так как, чтобы уравнение было верным, все неравенства должны стать равенствами:

√------- 3x √- ({ √1+-cos6x= √2 1+ cos6xsin 2-= − 2 ⇐ ⇒ ( sin3x =−1 2

( √ ------- √- { 1+cos6x= 2 ( 3x = − π +2πk, k∈ ℤ 2 2

Заметим, что из второго уравнения системы следует первое:

( ) cos6x= cos 3x-⋅4 = cos(−2π+ 8πk)=1, k∈ℤ 2

Значит, все условия в системе соблюдаются при

3x π 2 = − 2 + 2πk, k ∈ℤ

π 4πk x= − 3 +-3-, k∈ ℤ

Ответ:

$− π + 4πk k∈ ℤ 3 3 ,$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#85336Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

π 1 cos(2x+ 5)= 2

Показать ответ и решение

π π 2x + 5 = ±3 + 2πk, k ∈ℤ

[ π- x= 154 +π πk x= −15 + πk

Ответ:

$-π +πk; − 4π+ πk, k∈ ℤ 15 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#85337Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x sin x =0

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно следующей системе

{ sin3x= 0 sinx⁄= 0

({ x= πk, k ∈ℤ ( 3 x⁄= πn, n ∈ℤ

Отсюда получаем

πk 3-⁄= πn ⇐⇒ k⁄= 3n

То есть $k= 3n+1$ или $k= 3n+ 2$ и тогда подставляя в $πk x= 3-$ , получаем

[ π x= 32π+πn,n∈ ℤ x= -3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn; 2π +πn, n ∈ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#85338Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 4− cos x= 4sinx

Показать ответ и решение

Выразим по основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$

2 sin x− 4 sinx+ 3= 0

(sin x− 1)(sinx− 3)=0

[ sinx= 1 sinx= 3

Но $|sinx|≤ 1$ , поэтому уравнение $sin x= 3$ не имеет решений. Итого получаем

x = π+ 2πk, k∈ℤ 2

Ответ:

$π + 2πk, k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#85339Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- x 5 − 2cosx= 5 2sin 2

Показать ответ и решение

Применим формулу двойного угла $cosx = 1− 2sin2 x 2$

2 x √- x 4 sin 2 − 5 2sin 2 + 3= 0

⌊ x 1 ⌈ sin2 =√2- sinx2 =23√2

Заметим, что $23√2 > 1$ , поэтому второе уравнение не имеет решений. Решением первого уравнения являются точки

[ x2 = π4 + 2πk x2 = 34π+ 2πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + 4πk; 3π+ 4πk, k∈ℤ 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#85340Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 4 1 sin x+ cos x= sin2x− 2

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 4 4 2 2 1= (sin x+ cos x) =sin x +cos x+2sin xcos x

Подставляя в исходное уравнение, получаем после применения формулы синуса двойного угла

sin22x 1 1− 2 = sin2x− 2

sin22x+2 sin2x− 3 =0

[ sin2x= 1 sin2x= 3 не имеет реш ений

Ответ:

$π + πk, k∈ Z 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#85341Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1− sinx= cosx − sin2x

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

1− sinx= cosx − 2sin xcosx

На скобки разложить пока не получается, поэтому распишем $1$ по основному тригонометрическому тождеству и получим

2 2 sin x+ cos x+ 2sinxcosx− sinx− cosx =0

(sinx+ cosx)2− (sinx +cosx)=0

[ sinx +cosx= 0 sinx +cosx= 1

Если $cosx =0$ , то $sinx± 1$ , поэтому эта серия не является решением первого уравнения. Поэтому поделив его на $cosx ⁄= 0$ , получим $tgx =− 1$ , что равносильно $x = 3π4-+πk, k∈ℤ$

Второе уравнения возведем в квадрат

sin2x+ cos2x+ 2sinx cosx= 1

cosxsinx = 0 ⇐ ⇒ sin2x= 0

πn x= 2 , n∈ ℤ

Но возведение в квадрат — не равносильное преобразование, поэтому проверим полученные решения.

⌊ | x= 2ππn ||| x= 2 +2πn ⌈ x= π3+π 2πn x= -2 + 2πn

Из полученных серий только $π x= 2 +2πn$ и $x= 2πn$ удовлетворяют исходному $sinx+ cosx =1.$

Ответ:

$π + 2πn; 2πn; 3π+ πn, n ∈ℤ 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#85342Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- tg(3x+ π∕2)= 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда тангенс равен √3?

Подсказка 2

Весь аргумент под тангенсом должен равняться pi/3 + pi*n при любых целых n

Подсказка 3

Так давайте же это запишем, получим понятное нам уравнение, в котором останется только выразить x!

Показать ответ и решение

π π 3x + 2 = 3 +πn, n ∈ℤ

π πn x= −18 +-3 ,n ∈ℤ

Ответ:

$−-π+ πn, n ∈ℤ 18 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#85343Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- ( 8 7 ) 2 2 cos x +x + 1 = 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аргумент косинуса выглядит страшно, поэтому по началу может быть не понятно, как подступиться к такой задаче. В таких случаях нужно смотреть на всё уравнение: а чему вообще должен быть равен косинус?

Подсказка 2

Поделим обе части уравнения на 2√2 и получится, что косинус равен 3/2√2. Вспомните, что косинус по модулю не превышает единицу, и поймите, может ли он равняться 3/2√2.

Показать ответ и решение

Заметим, что $-3√-≥ 1 2 2$ . Действительно,

√- 3 9 2≤ 2 ⇐ ⇒ 2 ≤4 ⇐⇒ 8≤9

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#85344Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1+4 cosx= cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева cosx, справа cos(2x)... а хочется, чтобы неизвестные были одинаковыми. Как можно выразить cos(2x) через cosx?

Подсказка 2

cos(2x) = 2cos²x - 1. Теперь в уравнении всего одна неизвестная - cosx, и мы может решить его с помощью замены переменной.

Показать ответ и решение

По формуле $cos2x = 2cos2x− 1$ получаем уравнение

2 2cos x− 4cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx, t∈ [−1;1]$ и решим получившееся квадратное относительно $t$ уравнение

2 √- t − 2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t= 1± 2

Но $t= 1+ √2≥ 1$ следовательно, не является решением.

Сделаем обратную замену: $cosx= 1− √2$

x= ±arccos(1 − √2)+ 2πn, n∈ Z

Ответ:

$±arccos(1− √2)+ 2πn, n∈ Z$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#85345Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ - 2 x 2 √ - 2 3sin 2 +2= 2sin x + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим квадратное уравнение на синус, только вот у него неудобные коэффициенты у аргумента из-за чего не получается сделать замену, но x/2 это половина x, что наталкивает на формулы, которые помогут исправить наше уравнение.

Подсказка 2

Да, можно же понизить степень, вылезет косинус, но так как у нас остался ещё синус в квадрате, то не составит труда и его заменить на косинус, и у нас наконец получится квадратное уравнение на косинус, которое легко решается.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла

2 x cosx= 1− 2sin 2

x 1− cosx sin22 = --2----

Поэтому исходное равенство можно записать в виде

2√3⋅ 1-− cosx+ 2= 2(1− cos2x)+ √3 2

−√3cosx= −2cos2x

cosx(2cosx− √3)= 0

[ cosx =0√- cosx = 23

[ π x = 2 +π πn,n ∈ℤ x =± 6 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ±π +2πk,k∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#85346Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1-- cosx − cosx= tg x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в знаменателе стоит косинус х, значит он точно не равен нулю, то есть мы можем домножить на него обе части уравнения. Что в таком случае получится в левой части?

Подсказка 2

Получится (1 - cos²x), что по основному тригонометрическому тождеству равно sin²х. А чтобы преобразовать правую часть, нужно вспомнить, чему по определению равен тангенс.

Подсказка 3

Тангенс равен sinx/cosx ! Получается правая часть равна просто синусу. Теперь в нашем уравнении одна неизвестная - sinх, и мы можем решить его с помощью замены переменной, не забывая, что косинус не равен нулю!

Показать ответ и решение

-1-- -sinx cosx − cosx =cosx

1− sinx -cosx--= cosx

{ 1− sinx= cos2x cosx ⁄=0

1− sinx= 1− sin2x

sin x= 0 или sinx= 1

учитывая, что $cosx ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x⁄= ±1$ , подойдет только $sinx =0.$

Ответ:

$πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#85551Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 36cos(x+ cosx)cos(x− cosx)+ 9= π

и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $[π;7π] 3 4$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?

Подсказка 2

Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?

Подсказка 3

Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!

Подсказка 4

Какой является эта функция и где она монотонна?

Подсказка 5

Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?

Показать ответ и решение

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

π2 1 cos2x+ cos(2cosx)= 18 − 2

Пусть $t=cosx$ , тогда левая часть уравнения равна $2 f(t)= 2t − 1+ cos2t$ . Функция $f$ возрастает на $[0;1]$ (так как $′ f (t)= 2(2t− sin2t$ ) >0 при $t>0$ ) и является чётной, причём $(π) π2 1 f 6 = 18 − 2$ . Следовательно, корнями уравнения $π2 1 f(t)= 18 − 2$ на отрезке $[−1;1]$ являются числа $π t= ±6$ . Возвращаясь к переменной $x$ , находим