Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#86471Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары чисел $(x;y)$ , удовлетворяющие уравнению

(cosx +cosy)(sinx+ siny)= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уже итак довольно простое выражение, поэтому раскрывать скобки не очень-то хочется. Вам не кажется, что сейчас грех не воспользоваться формулами суммы синусов и суммы косинусов?

Подсказка 2

После применения формул слева появляются множители sin((x+y)/2) и cos((x+y)/2), которые так и просят собрать их по формуле синусa двойного угла. После привидения и сокращения одинаковых множителей слева и справа какую интересную картинку можно увидеть?

Подсказка 3

Слева у нас остается sin(x+y)*cos²((x-y)/2), а справа 1. Сразу напрашивается метод оценки, т.к. множители слева по модулю не превосходят 1. Выпишите, когда произведение наших множители слева обращается в 1, и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно

x+ y x− y x +y x− y 2cos -2--cos -2--⋅2sin--2-cos--2- =2

По формуле синуса двойного угла это превращается в

sin(x+ y)⋅cos2 x−2-y= 1

Так как $0≤ cos2 x−2y ≤1$ и $− 1 ≤sin(x+ y)≤ 1,$ то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае

{ sin(x+ y)=1 cos2 x−2y =1

{ x+ y = π+ 2πn,n ∈ℤ x− y = 22πm, m∈ ℤ

(|{ x = π4 + π(n +m ), y = π4 + π(n − m ), |( n ∈ℤ,m ∈ℤ

( |{ x= π4 + πk +2πm, | y = π4 +πk, ( k∈ ℤ,m ∈ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки в левой части:

(cosx+ cosy)(sinx +sin y)= (cosxsinx+ cosxsiny +cosysinx+ cosy siny)

Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из $4$ чисел:

a= (cosx,siny,sin x,cosy),b= (sin x,cosx,cosy,sin y)

Получим:

(a,b)=(cosxsinx+ cosxsiny+ cosysinx +cosysiny)≤

∘ ----------------------∘ ----------------------- ≤ |a|⋅|b|= cos2x +sin2y +sin2x+ cos2y sin2x+ cos2x+ cos2y+ sin2y = 2

Но левая часть неравенства равна $2$ по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для $x,y,$ удовлетворяющих условию задачи.

Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого $k$

(|| cosx= ksinx ||{ sinx =k cosy || cosy = ksiny ||( siny =k cosx

Последовательно подставляя, уравнения системы получим:

2 3 4 cosx= ksinx = kcosy = k siny = k cosx

Откуда либо $cosx =0$ , тогда $siny =cosy = cosx =0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству $0 =sin2x +cos2x ⁄=1.$

Либо $k4 = 1$ , то есть $k =±1$ .

В случае $k= −1$ получится система:

(|| cosx =− sinx ||{ sinx =− cosy || cosy =− siny ||( siny =− cosx

Подставим $cosy = − siny$ во второе уравнение системы и $cosx= − sinx$ в четвёртое

( ||| cosx =− sinx |{ sinx =sin y ||| cosy =− siny |( siny =sin x

Нетрудно проверить, что в таком случае

(cosx+ cosy)(sinx +sin y) =−2

что не подходит под условие задачи.

В случае $k= 1$ получится система:

( |||| cosx =sin x { sinx= cosy |||| cosy = siny ( siny = cosx

Которая имеет решения

(π4 +πk+ 2πm;π4 +πk),k,m ∈ ℤ

Ответ:

$(π +πk +2πm;π + πk), k,m ∈ℤ 4 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#87410Максимум баллов за задание: 7

Найдите угол $α,$ если известно, что $0< α <90∘$ и

(1+-tg2∘)(1+-tg5∘)−-2 tgα= (1− tg2∘)(1− tg5∘)− 2

Источники: СПБГУ - 2024, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что издалека напоминает уравнение из условия?

Подсказка 2

На формулу тангенса суммы! Попробуем tg(2+5) преобразить так, чтобы он еще больше стал похож на уравнение из условия ;)

Подсказка 3

А что если расписать tg(2+5) + 1? В числителе как раз появятся нужные слагаемые

Подсказка 4

Обратите внимание, что 1 - tg(5)² + tg(5) + tg(2) можно разложить на множители! Смотрите, получилось что-то очень похожее на знаменатель из условия ;)

Подсказка 5

Теперь мы знаем, что (1 - tg(5))(1-tg(2)) - 2 = -(tg(7) + 1)(1 - tg(5)tg(2)). Осталось лишь понять, как выразить знаменатель условия и дело остается за малым ;)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу тангенса суммы:

∘ -tg5∘-+tg2∘ tg7 = 1 − tg5∘tg2∘

Проведём с ней некоторые махинации:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tg7∘+ 1= 1−-tg5-tg2-+∘tg5∘+tg2-= 2-− (1−-tg2-)∘(1−∘tg5) 1− tg5 tg2 1− tg5 tg2

Домножим на знаменатель:

(1 − tg2∘)(1− tg5∘)− 2= −(tg7∘+ 1)(1− tg5∘tg2∘)

Если аналогично рассмотреть выражение $tg7∘− 1$ , то мы получим, что

(1+ tg 2∘)(1 +tg5∘)− 2= (tg7∘− 1)(1− tg5∘tg2∘)

Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tgα = -(tg7∘−-1)(1− tg5-t∘g2)∘-= 1−-tg7∘ =-tg45-−∘tg7-∘ = tg38∘ −(tg 7 +1)(1− tg5 tg2 ) 1+ tg7 1+ tg 45 tg7

Следовательно, $α= 38∘$ .

Ответ:

$38∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#88066Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#88164Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2cos x+ 5sinx +1 =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и синус, и косинус в выражении, как-то не очень удобно. Что надо применить, чтобы осталась только одна тригонометрическая функция?

Подсказка 2

Применим основное тригонометрическое тождество, тогда останется функция от синуса. Что делаем дальше?

Подсказка 3

В таких случаях всегда делаем замену переменной и получаем обычное квадратное уравнение, которое мы умеем решать. После этого останется лишь найти его корни и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$ . Делая замену $sinx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t− 5t− 3 =0

[ t= 3 не подходит t= − 1 2

sinx= − 1 2

[ x= − π+ 2πk, k∈ ℤ x= 7π6+2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$− π + 2πk, 7π-+ 2πk, k ∈ℤ 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#88165Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2sin x+cos4x= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

cos(4x) — что-то очень страшное… Как с этим можно бороться?

Подсказка 2

Точно, у нас же есть формула двойного угла, давайте применять!

Подсказка 3

Такс, а у нас теперь уже косинус двойного угла. И нам мешает только синус. А давайте вспомним еще одну формулу для косинуса двойного угла, с помощью которой мы сократим этот синус! Что останется?

Подсказка 4

Останется лишь решить квадратное уравнение: 2t² - t = 0, где t = cos(2x)

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos4x= 2cos22x− 1$ . А также $2 sin2x= 1− cos2x$ . Делая замену $cos2x= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t − t= 0

[ t= 0 t= 1 2

⌊ x= π+ πk, k∈ℤ ⌈ 4π 2 x= ±6 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ± π+ πk, k∈ ℤ 4 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#88166Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2cos2x+ 4cosx =sin x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что не нравится в этом выражении? От чего хотелось бы избавиться?

Подсказка 2

Косинус двойного угла здесь выбивается из общей картины. Поэтому давайте применим формулу косинуса двойного угла! Получится квадратное уравнение, какие у него корни?

Подсказка 3

Корни этого уравнения не самые приятные. Про один из них точно видно, что он меньше единицы! А вот второй — как раз от -1 до 1. Так что надо воспользоваться обратной тригонометрической функцией.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла $cos2x = 2cos2x− 1$ . Делая замену $cosx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 5t+ 4t− 3 =0

⌊ −2+-√19- || t= 5√-- ⌈ t= −2−--19-< −2−-3= −1 5 5

−2+-√19- cosx = 5

−2+ √19 x =± arccos---5---+ 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$−2+-√19- ±arccos 5 +2πk, k ∈ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#88167Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

5+ 2sin2x− 5cosx = 4sinx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В формуле у нас почти везде участвует просто синус или косинус. Что тогда можно сделать с синусом двойного угла?

Показать ответ и решение

Применяя формулу двойного угла для синуса, получаем

5 +4sinx cosx− 5cosx − 4sinx= 0

5(1− cosx)− 4sin x(1− cosx)= 0

(1− cosx)(5− 4sinx)= 0

⌊ cosx= 1 ⌈ sinx = 5-нет решений 4

Итого, $x= 2πk, k∈ ℤ$

Ответ:

$2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#88168Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

6− 5sin2-x cos2x = 5tgx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать в задаче это записать условие на косинус. Он должен быть не равен нулю. Дальше какое естественное действие хочется сделать с тангенсом?

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ cosx⁄= 0 2 6− 5sin x= 5sinx cosx

Подставляя $6= 6(sin2x +cos2x)$ во второе уравнение, получаем

2 2 sin x+6 cos x− 5sinxcosx= 0

$cos2x= 0$ не является решением, поэтому поделив обе части неравенства на $cos2x⁄= 0$ , имеем

tg2 x− 5 tgx +6= 0

[ tgx= 2 tgx= 3

[ x = arctg2 +πk, k ∈ℤ x = arctg3 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$arctg2 +πk, arctg3+ πk, k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#88704Максимум баллов за задание: 7

Найдите точки плоскости, обе координаты которых являются натуральными числами, меньшими двадцати, и через которые проходит график функции

2 (πx) y =4sin 12 .

Укажите все возможные варианты и объясните, почему нет других вариантов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать функцию? Какие значения она принимает?

Подсказка 2

Применим формулу косинуса двойного угла. Попробуем разобрать, какие значения принимает косинус и при каких аргументах

Подсказка 3

Что если х=12? А если он взаимнопрост с 6?

Подсказка 4

При х, взаимнопростых с 6, значение y иррационально. Осталось лишь проверить остальные значения x!

Показать ответ и решение

Применим формулу косинуса двойного угла

2 πx πx y =4sin(12)= 2− 2cos(6 )

Заметим, что $y > 0$ при $πx cos(6-)⁄= 0$ , то есть $x ⁄=12k$ . Так как $x$ — натуральное число меньше $20$ , то это условие означает, что $x ⁄=12$ .

Далее заметим, что при взаимнопростых с шестью $x$ (то есть $x≡ 1,5 (mod 6)$ ) число $πx cos(-6 )$ - иррациональное число (для $x =1,5,7,11,13,17,19$ ) , так как в таком случае

√- cos(πx)=cos(± π+ πk)= ±-3- 6 6 2

При остальных значениях $x$ число $y$ будет натуральным, что можно проверить подстановкой.

Итого получаем пары:

(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4).

Ответ:

$(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#88705Максимум баллов за задание: 7

Найти решения неравенства

-1-- --1- ∘ ---------2- sinx − cosx > 1+(tgx− 1),

принадлежащие интервалу $( π) 0;2 .$

Источники: САММАТ - 2024, 11.3 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Косинусы, синусы, тангенс и еще корень, не очень приятно со всем этим работать. Давайте тангенс заменим на sin(x)/cos(x) и избавимся от корня, не забыв про ограничения.

Подсказка 2

Если не раскрывать (cos(x) - sin(x))^2, то после преобразований это выражение можно вынести за скобки и тогда в правой части неравенства останется 1. А на что похож другой множитель, получившийся после того, как вынесли (cos(x) - sin(x))^2?

Подсказка 3

Вспоминаем ОТТ и получаем, что это ctg(x)^2 , который позволит нам избавится от cos(x)^2. Осталось дело за малым, решить обычное тригонометрическое неравенство, не забывая про ограничения

Показать ответ и решение

Запишем неравенство в виде:

∘ -------------2 cosx−-sinx > 1+ (cosx−2sinx)- sin xcosx cosx

Возведём в квадрат, учитывая ограничение $cosx >sin x$ :

(cosx-− sinx)2> 1+ (cosx-− sinx)2 sin2x cos2x cos2x

Преобразуем:

(cosx− sinx)2--1- cos2x (sin2x − 1)> 1

По ОТТ вторая скобка левой части равна $2 ctg x$ , который сократит $2 cosx$ и в знаменателе окажется $2 sin x$ :

(cosx− sinx)2 ---sin2x----> 1

Домножим на знаменатель и извлечём квадратный корень, перенесём все в одну часть и напишем разность квадратов:

cosx(cosx − 2sin x) >0

В силу ограничений косинус положителен, а значит, нужно решить неравенство $cosx> 2sinx$ . Равенство достигается в $x= arctg 12$ . С помощью тригонометрической окружности определяем, что нам подходят $x∈ (0;arctg 12)$ . Нетрудно проверить, что этот отрезок подходит под ограничения.

Ответ:

$(0;arctg 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#88917Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $cos2(π− x)− sin(3π +x) = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π-;− π . 3 2$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Используя формулы приведения преобразуем косинус и синус, а также приведем все тригонометрические функции к одному виду пользуясь основным тригонометрическим тождеством

Подсказка 2

После решения получившегося уравнения мы получили серии решений. Воспользуемся тригонометрической окружностью для поиска корней на данном в условии промежутке и выпишем ответ

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0 2 2 cos⌊ x+ cosx= 0 cosx =0 ⌈ cosx =− 1 ⌊ π- | x= 2 + πn,n∈ ℤ ⌈ x= π + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни на отрезке $[ 5π π-] − 3 ;−2$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

− 5π≤ π-+ πn≤ − π- 3 2 2 − 13≤ n ≤− 1 6 n = −2;−1 ⇒ x = − 3π;− π 2 2

Для второй серии решений:

− 5π ≤ π+ 2πm ≤ − π 3 2 4 3 − 3 ≤ m ≤− 4 m = −1 ⇒ x = −π

Следовательно, на отрезке $[ 5π π] − 3 ;− 2$ лежат корни $3π π- − 2 ;−π;− 2.$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $π+ 2πm,$ $m ∈ℤ$

б) $3π − -2 ;$ $− π;$ $π − 2-$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#88920Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 6sin x+8 cosx= 5(tg x+ ctg x)

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $10:$

3 4 1 2 2 5sinx +5 cosx = 2(tg x+ ctg x)

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( 3 ||{ cosφ = 5 || 4 ( sinφ= 5

Тогда получаем:

cosφsinx +sin φcosx = 1(tg2x+ ctg2x) 2

( ) sin(x+ φ)= 1 tg2x+ -1-- 2 tg2x

Заметим, что левая часть не больше $1,$ а правая часть как минимум $1,$ так как сумма взаимно обратных не менее $2.$ Тогда равенство возможно тогда, когда левая и правая части равны $1.$ Получаем систему:

( (| π (| π ( 3) |{ sin(x +φ)= 1 |{ x +φ = 2 + 2πk, k∈ ℤ =⇒ |{ x= 2 − arccos 5 + 2πk, k∈ ℤ |( 1(tg2x+ -1-)= 1 =⇒ ||( x = π+ πn, n ∈ℤ ⇐⇒ ||( π π 2 tg2x 4 2 x= 4 + 2n, n ∈ℤ

Подставим $x$ во второе уравнение.

π π π ( 3) π π 4 + 2n = 2 + 2πk ⇐⇒ arccos 5 = 4 +2πk− 2 n

Получили, что $(3) arccos 5$ можно выразить с помощью рациональных коэффициентов и $π,$ что невозможно. Значит, решений нет.

Ответ: нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#88921Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(5sinx+ 12cosx)(100+ 48cosx− 13cos2x)= 1757

Показать ответ и решение

Поделим исходное уравнение на $13:$

( 5 12 ) 2 1757 13sin x+ 13-cosx (100+ 48 cosx− 13(2cosx − 1))=-13--

Воспользуемся методом вспомогательного угла. Пусть

( ||{ sinφ = 5- | 13 |( cosφ= 12 13

Получили следующее:

cos(x− φ )(−26cos2x+ 48cosx +113)= 1757 13

Проанализируем второй множитель. Это квадратное уравнение относительно $cosx,$ ветви параболы направлены вниз. Найдем наибольшее значение.

абсцисса вершины:= −48 = 12 −52 13

При $cosx= 1123 :$

(12)2 12 1757 −26 13 + 48⋅13 + 113=-13--

Получили, что первый множитель не более $1,$ второй множитель не более $171573 ,$ а правая часть равна $175137.$ Такое возможно только если выполняется следующая система:

( |{ cos(x− φ)= 1 (12) | 12 ⇐⇒ x= arccos 13 +2πk, k∈ ℤ ( cosx= 13

Ответ:

$x =arccos(12) +2πk, k ∈ℤ 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#89484Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin8x− cos6x= 3(sin6x+ cos8x)

Показать ответ и решение

Преобразуем, чтобы воспользоваться методом вспомогательного аргумента

√- √- sin8x− 3cos8x = 3sin6x+ cos6x

1 √3- √3- 1 2sin 8x − 2 cos8x = 2 sin6x+ 2cos6x

Применим формулы синуса разности и суммы

( π) ( π) sin 8x− 3 = sin 6x+ 6

( ) ( ) sin 8x− π3 − sin 6x+ π6 =0

Используем формулу разности синусов

( ) ( ) | 2x− π2| |14x− π6| 2sin( --2--) cos(---2--) = 0

( π) ( π) sin x− 4 cos 7x− 12 = 0

⌊ ( π ) ⌊ π | sin x −4 = 0 | x − 4 = πk ⌈ cos(7x− -π) =0 ⇐ ⇒ ⌈ 7x −-π = π+ πk ,k∈ ℤ 12 12 2

⌊ x= π+ πk || 4 ,k ∈ℤ ⌈ x= π-+ πk 12 7

Ответ:

$π + πk, π-+ πk,k∈ ℤ 4 12 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#90015Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos3x-+sin5x- cosx+ sin3x = −1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ. Но как обойтись с синусом тройного угла?

Подсказка 2

Формулы приведения помогут нам сделать синус из cos(x). А потом можно применить формулу преобразования суммы триг. функций в произведение.

Подсказка 3

С ОДЗ разобрались! Теперь умножим левую и правую части на cos(x) + sin(3x) ≠ 0. Что дальше можно сделать, чтобы упростить выражение?

Подсказка 4

Применим формулы преобразования суммы в произведение, после чего сразу можно будет вынести за скобки общий множитель. Что тут ещё можно сделать?

Подсказка 5

Попробуем раскрыть sin(4x) по формуле двойного угла — так у нас появится ещё один общий множитель: cos(2x). Осталось совсем немного и задача убита!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(π ) cosx +sin 3x ⁄= 0 ⇐ ⇒ sin 2 − x + sin3x⁄= 0

( π+ 4x) (π− 8x) ( π) (π ) 2sin --4-- cos --4-- ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x + 4 cos 4 − 2x ⁄= 0 =⇒

( |{ x⁄= 3π4 + πk, k∈ ℤ | ( x⁄= 3π8 + πm2-, m ∈ℤ

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

cos3x+ sin5x= − cosx− sin3x ⇐⇒ 2cosxcos2x= −2sin4xcosx

cosx(cos2x+ sin4x)=0 ⇐ ⇒ cosx(cos2x+2sin2xcos2x)= 0

⌊ | cosx= 0 cosxcos2x(1+2sin 2x)= 0 ⇐⇒ ⌈ cos2x =0 sin2x =− 12

⌊ π | x= 2 + πn, n ∈ℤ ||| x= π+ πn, n∈ℤ || 4 2 ||| x= − π-+ πn, n∈ ℤ |⌈ 12 x= − 51π2 + πn, n ∈ℤ

После пересечения с ОДЗ исключается серия $x= 3π4 + πk(k ∈ℤ),$ а подходящие серии $π4 + πn,− π12 + πn,− 5π12 + πn(n ∈ℤ)$ можно объединить в $π4 + πn3 (n∈ ℤ).$

Ответ:

$π + πn; π + πn, n∈ ℤ 2 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#90407Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√3 1 sin11x+ -2-sin7x+ 2cos7x= 0.

Показать ответ и решение

Вспомним, что

π 1 π √3 sin6 = 2, cos 6 =-2-

Тогда преобразуем равенство из условия:

sin11x +cosπsin 7x +sin πcos7x= 0 6 6

sin11x +sin(7x+ π)= 0 6

Применим формулу суммы синусов:

2sin(9x+ π-)cos(2x− -π)= 0 12 12

[ 9x+ π12 = πk,k ∈ℤ 2x− π12 = π2 + πk,k∈ ℤ

[ π πk x= −7π108 +πk-9 ,k∈ ℤ x= 24 +-2 ,k∈ ℤ

Ответ:

$x =−-π-+ πk,7π+ πk (k ∈ℤ) 108 9 24 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#90410Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 sin x+ 4cos x− 2sin2x+ sinx − 2cosx= 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас имеется какое-то выражение 2 степени с синусами и косинусами. При этом у нас ровно два члена 2 степени, поэтому разумно будет попытаться выделить с ними полный квадрат. Сделайте это и посмотрите на то, что останется...

Подсказка 2

После собирания полного квадрата у нас чудесным образом выделяется выражение sinx-2cosx. Тогда, заменив его на t, получаем квадратное уравнение на t. Скорее решайте его!

Подсказка 3

Получается, что возможны всего два варианта: sinx-2cosx=1 и sinx-2cosx=-2. Решить их уже не составляет никакого труда, ведь все мы знаем прекрасный метод вспомогательного угла! Или можно использовать прекрасные формулы универсальной тригонометрической подстановки...

Показать ответ и решение

Раскроем синус двойного угла

2 2 sin x+4 cos x− 4sinxcosx+sinx− 2cosx= 2,

и выделим полный квадрат

2 (sinx− 2cosx) + (sin x− 2cosx)− 2= 0.

Сделаем замену $t= (sin x− 2cosx)$ . Тогда наше уравнение имеет вид

t2+ t− 2 =0.

Получается, $t= 1$ или $t=− 2$ . Дальше можно решить задачу по-разному.

Первое решение.

Воспользуемся методом вспомогательного угла:

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Решим это уравнение с помощью введения дополнительного угла. Для этого поделим обе части на $√12-+22 = √5 :$

√1-sinx− √2-cosx= √1-. 5 5 5

Поскольку верно равенство $(√1)2+ (√2)2 = 1, 5 5$ то существует такой угол $α,$ что $sinα= √2- 5$ и $cosα = 1√-. 5$ Будем считать, что $α =arccos√1. 5$ Получается

cosα sinx− sinαcosx= √1-. 5

По формуле синуса разности:

sin(x− α)= √1. 5

⌊ 1 | x− α= arcsin √5 + 2πk, ⌈ x− α= π− arcsin 1√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

⌊ 1-- -1- |⌈ x= arcsin √5 + arccos√5 +2πk, k∈ ℤ. x= π− arcsin 1√-+ arccos 1√-+2πk, 5 5

Воспользуемся тем, что $arcsinφ + arccosφ = π 2$

⌊ π x = 2 + 2πk, |⌈ 3π- -1- k ∈ℤ. x = 2 − 2arcsin√5-+ 2πk,

2) Аналогично решим уравнение $sinx− 2cosx =− 2.$

1 2 − 2 √5-sinx− √5-cosx= √5-.

sin(x− α)= −√2. 5

⌊ −2- |⌈ x− α= arcsin √5 + 2πk, k∈ ℤ. x− α= π− arcsin −√2+ 2πk, 5

⌊ ⌈ x= 2πk, x= π+ 2arcsin 2√-+ 2πk, k∈ ℤ. 5

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой ( $x= π+ 2πk$ ( $k$ - целое) не подходит): пусть $k= tg x 2$ , тогда $sinx= -2k2,cosx= 1−k22. 1+k 1+k$

$1)sin x− 2cosx= 1.$ Получается

-2k-- 1−-k2 1+ k2 − 2⋅1+ k2 = 1.

Решив квадратное уравнение, получим

[ x tg2x = −3, tg2 = 1.

[ x =− 2arctg3 +2πn, x = π + 2πn,n∈ ℤ. 2

2)Аналогично решим уравнение $sinx − 2cosx= −2.$

2 --2k2 − 2⋅ 1-− k2 = −2. 1 +k 1 +k

⌊ tg x2 = 0, ⌈ tg x= − 1 . 2 2

[ x= −2arctg 1+2πn, x= 2πn,n∈ 2ℤ.

Ответ:

$− 2arctg3+ 2πn;π+ 2πn;− 2arctg 1+ 2πn;2πn, n ∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#91148Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos3x− cos2x= sin3x

Показать ответ и решение

cos(3x)− sin(3x)= cos(2x)

Воспользуемся формулой косинуса и синуса тройного угла, а так же косинусом суммы

3 3 2 2 4cosx− 3cosx+ 4sin x− 3sinx= cos x− sin x

4(cosx+sinx)(1− cosxsin x)− 3(cosx+ sinx)= (cosx− sinx)(cosx+sinx)

⌊ cosx+ sinx= 0 ⌈ 1− 4cosxsinx= cosx − sin x

Рассмотрим первое уравнение

cosx+ sinx =0

√ - ( π ) 2cos x −4 = 0

x− π = π+ πk, k∈ ℤ 4 2

x = 3π-+ πk, k∈ ℤ 4

Теперь рассмотрим второе уравнение

1− 2sin(2x)= cosx− sinx

Заметим, что $sin(2x)=1 − (cosx− sinx)2$

1− 2(1− (cosx− sinx)2)=cosx− sinx

Сделаем замену $t= cosx− sinx :$

2t2− t− 1= 0

(t− 1)(2t+ 1)= 0

⌊ | t= 1 ⌈ t= − 1 2

Сделаем обратную замену:

⌊ | cosx− sinx= 1 ⌈ 1 cosx− sinx= −2

⌊ ( π) 1 | cos x+ 4 = √2- |⌈ ( π) 1 cos x+ 4 = −2√2-

⌊ π π | x+ 4 = 4 + 2πk, k∈ ℤ || π 7π ||| x+ 4 = 4-+ 2πk, k∈ ℤ || π ( -1-) ||| x+ 4 = arccos − 2√2 +2πk, k ∈ℤ |⌈ π ( 1 ) x+ 4 = − arccos −2√2 + 2πk, k∈ ℤ

⌊ x =2πk, k ∈ℤ || 3π ||| x =-2 +2πk, k ∈ℤ || ( 1 ) π ||| x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( ) x =− arccos −-1√- − π4 + 2πk, k∈ ℤ 2 2

В итоге окончательным ответом будет

⌊ x = 3π +πk, k∈ℤ ||| 4 || x =2πk, k ∈ℤ ||| 3π || x = 2 +2πk, k ∈ℤ ||| ( -1-) π || x =arccos − 2√2- − 4 +2πk, k ∈ℤ |⌈ ( -1-) π x =− arccos −2√2 − 4 + 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$3π +πk,2πk,3π+ 2πk,arccos(−-1√-)− π +2πk,− arccos(−-1√-)− π +2πk, k∈ ℤ 4 2 2 2 4 2 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#91149Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

| 2 2 | |3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений $x.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

| 2 | |2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть $( ) φ =2x − arccos √-a--- , a2 +1$ тогда

||∘ -2--- || | a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({ √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3 √----- ( a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

( ||{ sin φ≤ √1−2-a- a + 1 ||( sin φ≥ −√-52− a a + 1

Так как при фиксированном $a$ выражение $( ) φ= 2x− arccos √-a--- a2+ 1$ может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений $x$ тогда и только тогда, когда