Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .07 Оценки в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#70301Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 2019 2018 sin (2025x)+ cos (2016x)⋅cos (2025x) =1

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

ОТТ: $sin2(2025x)+cos2(2025x)= 1$

Чтобы из ОТТ получить исходное, нужно домножить первое слагаемое на $2 sin (2025x)$ , а второе на $2016 2019 cos (2025x)⋅cos (2016x)$ . Заметим, что при этом левая часть точно не увеличилась. Следовательно, чтобы сохранилось равенство, возможны только следующие случаи:

Либо одно из слагаемых 0 и тогда не важно, на что его домножаем, но важно, чтобы другое слагаемое было равно 1 и домножилось на 1. Либо домножили оба слагаемых на 1.

$2 2 1)1+ 0= 1.Заметим, чтоsin(2025x)= 1 при cos (2025x)=0.$ Поэтому имеем:

π πk cos(2025x)=0 ⇔ x= 4050 + 2025

$2)0+ 1= 1:$

{ { { cos2016(2025x)⋅cos2019(2016x)= 1 ⇔ cos(2025x)=±1 ⇔ 2025x= πn,n ∈ℤ ⇒ cos2(2025x)= 1 cos(2016x)=1 2016x= 2πk,k∈ ℤ

⇒ 2025k= 1008n⇒ k ...1008⇒ k =1008t,t∈ ℤ

Подставим в систему, получим: $x = πt.$ Проверим, что подходит:

2025πt= πn⇔ n = 2025t,n∈ ℤ

3) Оба слагаемых домножили на 1:

{ sin2(2025x)= 1 cos2019(2016x)⋅cos2016(2025x)= 1

sin2(2025x)= 1⇒ cos(2025x)= 0

Система не имеет решений.

Ответ:

${-π-+ -πk,πk,k ∈ℤ} 4050 2025$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#73450Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,π), 2$ при которых достигается минимум выражения

( √ - )( √- )2 ( )4 √---3siny--+ 1 -2sinx-+ 1 sin√(x+-y)+1 2sin(x +y) 3 siny 7 3sinx

Источники: ДВИ - 2018, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с того, что подумаем, как мы можем найти минимальное значение выражения. Через производную? Нет, конечно, это будет очень сложно. Как ещё можно найти минимальное значение?

Подсказка 2

Через неравенство! Но какое здесь можно применить? Давайте попробуем самое популярное — неравенство о средних!

Подсказка 3

Применим это неравенство отдельно для каждой скобки. В первой скобке применим неравенство для двух чисел, во второй представим 1 как три дроби 1/3, применим неравенство для 4 чисел, в третьей аналогично представим 1 как семь дробей 1/7 и применим неравенство для 8 чисел. Когда в неравенстве о средних достигается равенство?

Подсказка 4

Когда все числа равны! Тогда дробь в первой скобке равна 1, во второй — 1/3, в третьей — 1/7. Теперь осталось решить систему.

Подсказка 5

Выразим x из второго уравнения (это будет арксинус от синуса y, делённого на корень из 2) и подставим в третье уравнение. Получаем одно уравнение с одной неизвестной!

Подсказка 6

Раскроем синус суммы, воспользуемся тем, что при наших ограничениях cos(arcsin(t)) = √(1 - t²).

Подсказка 7

sin(y) не равен 0, можем на него поделить. Получилось обычное иррациональное уравнение. Тут корень равен выражению, которое больше 0. Можем возвести в квадрат.

Подсказка 8

Находим y и через него x, не забудьте подставить их в первое уравнение и проверить, подходят ли они.

Показать ответ и решение

Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: $a+ b≥ 2√ab.$ Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка $( π) 0,2 ,$ а значит аргументы синусов лежат в промежутке $(0,π),$ то есть значения всех синусов в выражении положительны.

Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на $4$ слагаемых, а третью — на $8,$ то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:

√- ∘ --√------- √--3sin-y--+ 1≥2 √--3siny--, 2sin(x+ y) 2 sin(x+ y)

√ - √ - ∘ √--------- --2sinx +1= --2sinx +3⋅ 1 ≥4 4-2sinx ⋅ 13, 3siny 3siny 3 3siny 3

sin(x+ y) sin(x +y) 1 ∘8sin(x+-y)-1- -7√3sinx + 1= 7√3sin-x + 7⋅7 ≥8 -7√3-sinx ⋅77

Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения $x,y,$ при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:

√ - √- √---3siny--= 1,-2sin-x= 1,sin√(x+-y)= 1 2sin(x +y) 3siny 3 7 3sinx 7

Из второго равенства, учитывая, что $x∈ (0,π), 2$ получаем $x =arcsin(sin√y). 2$

В третье равенство подставим $x= arcsin(si√n2y)$ и получим: $∘ -- sin(y+ arcsin(si√n2y))= 32siny.$ Раскроем синус суммы: $∘ -- sinycos(arcsin(si√n2y))+ cosysin(arcsin(sin√y2 ))= 32 siny.$ Пользуясь равенствами $cos(arcsint)= √1−-t2-$ при $t∈[0,1]$ и $sin(arcsint)=t$ получим:

∘ -------- sin2y siny ∘ 3- sin y 1− --2- +cosy⋅√2--= 2 siny

По условию $y ∈ (0,π2),$ то есть $siny ⁄= 0,$ а значит на него можно сократить:

∘-------- sin2y cosy- ∘ 3- 1− 2 + √2- = 2

Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на $√ - 2$ ):

∘ ------- √- 1+ cos2y = 3 − cosy

Заметим, что правая часть всегда больше $0,$ то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:

2 √- 2 1+ cosy =3− 2 3cosy+ cos y

Полученное уравнение имеет решение $cosy = √1, 3$ то есть $y =arccos√1, 3$ откуда $x= arcsin 1√-. 3$

Ответ:

$y =arccos√1,x= arcsin 1√ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#71269Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y,z,t∈ (0,π∕2]$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 cos x+ cos y+ cos z+ cos t= 1.

Какое наименьшее значение может принимать величина

ctgx+ ctgy +ctgz+ ctgt?

Источники: СпбОШ - 2017, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, нам не зря дано, в какой четверти тригонометрической окружности лежат x, y, z и t. Как это можно применить?

Подсказка 2

Что если попробовать сравнить котангенс с тем самым квадратом косинуса? Это можно сделать как раз таки с использованием области значений тригонометрических функций!

Подсказка 3

Вот и получилось у нас нестрогое неравенство! Осталось лишь понять, когда тут достигается равенство и предъявить конкретные значения переменных.

Показать ответ и решение

Заметим, что

cosx 2cos2x 2cos2x 2 ctgx = sinx-=2-sinxcosx = -sin2x-≥ 2cos x.

Следовательно,

( ) ctgx +ctgy+ ctgz+ ctgt≥ 2 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t = 2.

Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше $2.$ С другой стороны, если $π x= y = 4$ и $π z =t= -2,$ то

1 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t= 2⋅2 +2⋅0 =1 ctgx+ ctgy+ ctg z+ctgt= 2⋅1+2⋅0 =2.

Ответ:

Наименьшее значение равно $2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#46082Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 (cosx− 3cos4x) =16+ sin 3x.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа какое-то большое для всяких синусов число - 16. Да и еще к нему добавляется синус в квадрате. Значит, справа число как минимум 16. Часто ли выражение слева не меньше 16?

Подсказка 2

На самом деле оно может быть только равно 16 - и только в том случае, если выражение, которое в квадрате, равно 4 или -4. И как раз коэф-ы рядом с косинусами позволяют выражению достигать 4 или -4 при граничных значениях этих косинусов. А синус справа, значит, не имеет права быть больше 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что подкоренное выражение по модулю не больше $4$ , в то же время правая часть не меньше $16$ , откуда два случая

( cosx= 1 ( cosx= −1 |{ или |{ |( cos4x =− 1 |( cos4x= 1 sin3x =0 sin3x = 0

В первом случае $x =2πn$ из первого уравнения, потому решений нет из второго. Во втором случае из первого уравнения имеем $x =π +2πn$ , что подходит во все остальные уравнения.

Ответ:

$π +2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#85305Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 (cos2x− 2cos4x) =9 +cos5x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, кажется, что если раскрыть квадрат, будет слишком тяжело дорешивать. А можно поступить хитрее?

Подсказка 2

Какие значения может принимать выражение в скобках?

Подсказка 3

3 косинуса не могут дать значения, меньшие -3 и большие 3, следовательно, квадрат не превзойдет 9.

Подсказка 4

Поскольку правая часть уравнения не меньше 9, cos²(5x) должен обратиться в 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $x$ выполняется неравенство

−3 ≤cos2x − 2cos4x≤ 3,

откуда следует, что левая часть уравнения не превосходит 9. В то же время, правая часть уравнения не меньше 9. Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий

2 (cos2x− 2cos4x) = 9

9+ cos25x= 9,

откуда

|cos2x− 2cos4x|=3,cos5x =0

Из второго уравнения получаем

x = π-+ kπ,k∈Z 10 5

Подстановкой в первое уравнение $2$ убеждаемся, что подходит только

x= π +kπ,k∈ Z 2

Ответ:

$π + kπ,k∈ Z 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#31194Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2(2013x) 2 2( 2015x) sin 2 ⋅cos (2014x)⋅sin 2 = 1

Источники: ПВГ-2014, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Так, у нас есть произведение трех множителей, которое равно 1. Вспоминаем важную особенность cos²(x) и sin²(x), они всегда ≤ 1. Какие выводы можем сделать?

Подсказка 2.

Такие: значит все наши три слагаемых = 1. Осталось решить систему! А затем найти пересечения решений, посмотрим, как тут не запутаться.

Подсказка 3.

Мы получим, чему должны быть равны 2015x/2, 2014x, 2013x/2. Но во всех трех этих сериях будут разные константы n, m, k при 2П. Тогда заметим, что 2015x/2 - 2013x/2 = x! Вычитаем, получаем
формулу для x. Осталось только подставить ее в оставшиеся уравнения и разобраться, какие должны быть константы n, k, m.

Показать ответ и решение

Так как

(| sin2(2013x)≤ 1 { cos2(20214x)≤ 1 |( 2(2015x) sin 2 ≤ 1

то $sin2(2013x)⋅cos2(2014x)⋅sin2(2015x)= 1 2 2$ , а равенство возможно тогда и только тогда, когда

(| sin2(2013x)= 1 { cos2(20214x)= 1 |( sin2(2015x)= 1 2

Первое решение.

Система равносильна

(|{ 20132x= π2 + πk,k∈ ℤ 2014x =πm,m ∈ ℤ |( 2015x= π + πn,n ∈ℤ 2 2

Тогда $x = 20125x− 20123x= π(n − k).$

Подставляя в первое, имеем $2013(n− k)= 1+2k$ , откуда $n− k$ должно быть нечётным, то есть $n− k= 2t+ 1$ при $t∈ℤ.$ Подставляем: $x= π(n− k) =π +2πt,t∈ ℤ.$

Других решений быть не может. Осталось проверить, что $x = π+ 2πt$ подходит под все три условия системы и записать ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле синуса суммы

( ) ( ) 1= sin2 2015x- = sin2 2013x-+ x = 2 2

( ( 2013x) (2013x) )2 = sin 2 cosx+ cos 2 sinx =

по основному тригонометрическому тождеству в силу первого условия системы

( ( ) )2 = sin 2013x-cosx+ 0 = cos2x 2

Поэтому достаточно рассмотреть два случая:

1) При $cosx= 1 ⇐⇒ x= 2πn,n ∈ℤ$ неверно, что $sin2(2013x)= 1 2$ , ведь этот синус равен нулю.

2) При $cosx= −1 ⇐⇒ x= π+ 2πt,t∈ ℤ$

(|{ sin2 (2013x) =sin2(2013πt+ 2013π)= 1 cos2(20214x)= cos2(2014(π +2πt2)) =1 |( sin2 (2015x) =sin2(2015πt+ 2015π)= 1 2 2

система верна при любом $t∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πt,t∈ ℤ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#101965Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

sin (x − π) 2(√3sinx−-cosx)co6s3x− cos6x−-7.

Показать ответ и решение

Используя формулу вспомогательного аргумента, преобразуем знаменатель:

sin(x − π) 4sin-(x-− π-)cos3x6−-cos6x−-7 6

Так как любое отрицательное число меньше положительного, то, мы хотим получить максимальное по модулю отрицательное число. Оценим сверху знаменатель:

4sin(x− π) cos3x− cos6x− 7= 4sin(x− π) cos3x− 2cos23x− 6= 6 6

( 2 ( π) 2( π)) 2( π) = −2 cos3x − 2sin x − 6 cos3x +sin x− 6 +2sin x− 6 − 6 =

( ( π ))2 2( π ) = −2 cos3x − sin x −-6 +2sin x− 6 − 6 ≤0 +2⋅1− 6= −4

Так как знаменатель всегда отрицателен, его модуль нужно минимизировать, а числитель — максимизировать и оставить положительным. Из оценки заметим, что знаменатель минимален по модулю при:

{ ( ) sin2x − π6(= 1, ) cos3x= sin x− π6

Поскольку числитель мы хотим положительным, то:

{ ( π) sinx −6 =(1, π) cos3x= sin x− 6 = 1

При $2π x= 3$ система выполняется, а, значит, достигается равенство оценки. Подставим:

sin(π) 1 4sin-(π)cos2π2−-cos4π-− 7 =− 4 2

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#31195Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте внимательнее посмотрим на первое уравнение. Слева квадраты обратных чисел, справа максимум 2. Вспомним, что a + 1/a >= 2! То есть у нас должно достигаться равенство двойке.

Подсказка 2!

Попробуйте использовать это и получить теперь условия на sin(y), tg(x), cos(z)!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#64372Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2|x +2|cosx =x+ 2

Источники: ОММО-2011, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется правую и левую часть равенства можно на что-то сократить. Но надо рассмотреть отдельно x = -2!

Подсказка 2

Если же x ≠ -2, то надо раскрывать модуль. Далее данное выражение можно сократить на (x - 2) и получить уже что-то весьма несложное.

Показать ответ и решение

Если $x =− 2$ , то равенство верно, иначе

$x +2> 0$
$1 π 2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐ ⇒ cosx =2 ⇐⇒ x =± 3 + 2πn(n∈ℤ) >− 2$
Подходят $x= ± π+ 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .
$x +2< 0$
$1 2π −2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐⇒ cosx= −2 ⇐⇒ x =± 3-+ 2πn(n ∈ℤ)< −2$
Здесь подойдут $x = 2π-− 2πn,n∈ ℕ 3$ , а также $x= − 2π− 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .

Ответ:

${−2;π;− π;− 2π} ∪{±π +2πn,n∈ ℕ}∪ {± 2π− 2πn,n ∈ℕ} 3 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#106962Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при $k> 10$ в произведении

k f(x)= cos(x)cos(2x)cos(3x)...cos(2 x)

можно заменить один $cos$ на $sin$ так, что получится функция $f1(x),$ удовлетворяющая при всех действительных $x$ неравенству $|f1(x)|≤ -3--. 2k+1$

Источники: Всеросс., 2007, ЗЭ, 11.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что

| 3 | | 2 | |sin3x|= |3sinx − 4sin x|= |3− 4sinx||sinx|≤ 3|sinx|

Поэтому для функции $f, 1$ полученной из $f$ заменой $cos3x$ на $sin 3x,$ выполняется неравенство

|| k|| |f1(x)|≤ 3|sin x||cosx||cos2x||cos4x||cos8x|...|cos2x|

(Мы опустили все множители $|cosnx|,$ в которых $n> 3$ и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит $1.)$ Утверждение задачи теперь следует из тождества