Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .09 Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#127155Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары действительных чисел $(x,y),$ удовлетворяющих равенству

π ( ( 2 2)) 2 − arcsin 1 +log2 x + y = 1+ log2(xy).

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( xy >0 ( xy > 0 |{ 2 2 ⇐⇒ |{ |( x + y > 0 2 2 |( x1,y ∈ℝ2 2 − 1≤ 1+log2(x + y)≤ 1 4 ≤ x +y ≤ 1

Заметим, что

( 2 2) [ π π ] arcsin 1+ log2(x + y )∈ −2;2 ,

тогда

π 2 2 2 − arcsin(1+log2(x + y))≥ 0

Значит, правая часть равенства также должна быть неотрицательной:

1+log2(xy)≥0

2xy ≥1

Так как $(x− y)2 = x2+ y2− 2xy ≥ 0$ при любых $x$ и $y,$

x2 +y2 ≥ 2xy

Причём равенство возможно только в случае равенства $x$ и $y.$ В данной задаче имеем:

1≥x2 +y2 ≥ 2xy ≥ 1

2 2 x +y =2xy = 1,

1- x =y = 2x

2 2 4x = 1= 4y

√2 x = y = ±-2

Ответ:

$( √2- √2) ±-2-;± -2-$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#47233Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(-5 ) ( 10- ) arcsin 2π arccosx > arccos 3π arcsinx

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим арки от сложных аргументов, при том, внутри друг друга. Что нужно сделать первым делом? Конечно, записать ОДЗ. Что можно тогда сказать, в силу ОДЗ? Какие значения принимает арксинус и арккосинус?

Подсказка 2

Верно, только положительные, поскольку иначе, в силу ОДЗ, не будет выполнено свойство, что arccos(x)+arcsin(x)=pi/2. Кстати, мы вспомнили это свойство. Видно, что аргументы арков слева и справа в неравенстве делятся на pi. Значит, если пробовать вводить замену на арксинус, то как ее стоит вводить? Не просто ведь t?

Подсказка 3

Стоит ввести замену arcsin(x)=pi*t, тогда pi сократится и получится и слева и справа выражение, зависящее только от t. При этом, и слева и справа у нас понятные функции(arccos и arcsin, которые выражаются друг через друг друга). Вот когда мы работаем с логарифмами, есть одно действие, чтобы преобразовать выражение и свести его к чему-то более понятному и без степеней(в общем то за степени и отвечает логарифм, грубо говоря). А какое действие нужно сделать здесь, чтобы избавиться от арков и перейти к аргументам?

Подсказка 4

Нужно взять синус от обеих частей. При этом, нужно учесть, что arcsin(5/4-5t/2)<=pi/2, а значит, arccos(10t/3)<=pi/2, а значит t<=3pi/20 . Тогда, после взятия синуса от обеих частей у нас выйдет неравенство 5/4-5t/2>sqrt(1-100t^2/9). Осталось учесть, что если arccos(x)<=2pi/5, по ОДЗ, то arcsin(x)>=pi/10, а также arcsin(x)<=3pi/10, решить неравенство на t, перевести его на арксинус, потом на х, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Для начала запишем ОДЗ:

(| |x|≤1 { | 5-arccosx|≤ 1 |( 21π0 |3π arcsinx|≤ 1

Отсюда следует, что $arccosx≤ 2π,arcsinx ≤ 3π, 5 10$ поэтому $arcsin x> 0,arccosx> 0$ , ведь иначе не выполняется известное тождество $arccosx+ arcsinx = π. 2$

Обозначим $t= arcsinx (t> 0), π$ тогда $arccosx= π − πt. 2$ Неравенство из условия принимает вид

(5 5) ( 10) arcsin 4 − 2t > arccos 3 t

Если $(10 ) π arccos 3 t ≥ 2,$ то неравенство не может выполняться в силу области значений арксинуса.

Нам могут подойти только $10t π 10t π 3π arccos-3 ≤ 2 ⇐⇒ -3 ≤ 2 ⇐⇒ t≤ 20.$

Возьмём синус обеих частей полученного выше неравенства. На промежутке $[π2;π2]$ синус является монотонно возрастающей функцией, поэтому знак неравенства не изменится:

∘-------- 5− 5t> 1 − 100t2 4 2 9

При $5 − 5t< 0 4 2$ решений нет, иначе при $t≤ 1 2$ возведём в квадрат

( 2) ( 100-2) 25 1− 4t+ 4t > 16 1− 9 t

3 3 9 t∈ [− 10,10]∖{50}

arcsinx∈ [− 3π-,3π-]∖ {9π-} 10 10 50

Остаётся учесть, что $arcsinx,arccosx> 0,$ а из условия $arccosx ≤ 2π5-$ следует $arcsinx≥ π10.$

Ответ:

$[sin π-,sin9π)∪(sin9π,sin3π] 10 50 50 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#98293Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

tgarccosx ≤sin arctg x.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем левую и правую часть, чтобы это были выражения, которые мы бы могли выразить через х без тригонометрических функций, пользуясь тем, что tg(x) = sin(x)/cos(x).

Подсказка 2

Получили неравенство √(1 - x²)/x ≤ x/√(1 + x²).

Подсказка 3

Лучше всего здесь, чтобы не думать над знаком икса, привести всё к общему знаменателю, после чего избавиться от иррациональности в числителе и получить стандартное неравенство. Важно не забыть ОДЗ корня и ОДЗ тангенсов в условии!

Показать ответ и решение

В силу тождеств

sinarccosx √1-− x2 tgarccosx = cosarccosx =---x--; sinarctgx =tgarctgx⋅cosarctgx = √-x--- 1+ x2

неравенство принимает вид

√1−-x2 x √1-− x4− x2 --x---≤ √1-+x2 ⇔ --x√1-+-x2-≤ 0 ⇔ (| ( 1)( 1) ⇔ -(-1-− 2x4-)-≤ 0 ⇔ { -x−4√2--x+√42--≥ 0, x √1−-x4+ x2 |( −1≤ x≤x1.

По методу интервалов

[ ) [ ] x ∈ − 1√-;0 ∪ 1√-;1 42 42

Ответ:

$[− 1√-;0)∪[-1√-;1] 42 42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#43270Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения, которые может принимать выражение

3arcsin x− 2arccosy

при условии $x2+ y2 = 1$ .

Источники: ОММО-2019, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 1. Если бы мы рисовали график этой фигуры, мы получили бы окружность радиуса 1, единичную окружность (тригонометрия!) - чистый намек на то, что (x; y) (точка на окружности) - это синус и косинус какого-то угла, например, угла t. То есть x = sin(t), y = cos(t). Теперь нам важно рассмотреть, что произошло с выражением из условия.

Подсказка 2

Рассмотрим 4 вида углов, в зависимости от того, в какой координатной четверти находится t, начнем с первой. Тогда arcsin(sin(t)) = t, arccos(cos(t)) = t. Легко и просто определяем, в каких пределах это выражение лежит. Поработаем со второй координатной четвертью: с arccos(cos(t)) ничего не меняется, а вот arcsin(sin(t)) так просто не получится - ведь итоговое выражение должно лежать в пределах значений арксинуса, а это значит, что мы должны подогнать угол в синусе так, чтобы он был от -π/2 до π/2 (помним, что sin(α) = sin(π-α)).

Подсказка 3

Продолжаем в том же духе, менять что-то вскоре придется и в арккосинусе: так, для 3 и 4 координатных четвертей угол будет от π до 2π, а нам нужно получить арккосинус, то есть от 0 до π. Значит, нужно будет заменить аргумент в арккосинусе на 2π - х (вспоминаем здесь свойства косинуса, а также то, что его период равен 2π).

Подсказка 4

Таким образом, для каждого угла у нас получилось возможные значения выражения из условия - остается только сделать объединение этих отрезков, что и будет нашим ответом.

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $x2+y2 = 1$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $φ ∈[0;2π]$ такое, что $x =sin φ,y =cosφ$ . Тогда выражение из условия приобретает вид

3arcsinsin φ− 2arccoscosφ.

Разберём несколько случаев:

- $φ∈ [0;π]: 2$ тогда $arcsin sinφ= φ,arccoscosφ= φ$ , a $3arcsinsinφ − 2arccoscosφ = 3φ − 2φ = φ$ следовательно, при $φ ∈[0;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[0;π] 2$ ;

- $φ∈ [π;π] 2$ : тогда $arcsinsinφ =π − φ,arccoscosφ =φ$ , a $3arcsinsinφ − 2 arccoscosφ= 3(π − φ)− 2φ= 3π− 5φ;$ следовательно, при $φ ∈[π;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[−2π;π] 2$ ;

- $[ 3π] φ∈ π; 2$ : тогда $arcsin sinφ= π− φ,arccoscosφ= 2π− φ$ , a $3arcsinsinφ− 2arccoscosφ =3(π− φ)− 2(2π− φ)= −π− φ;$ следовательно, при $[ 3π-] φ ∈ π;2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[ 5π ] −2 ;−2π$ ;

- $[3π- ] φ∈ 2 ;2π$ : тогда $arcsinsin φ= φ− 2π,arccoscosφ = 2π − φ$ , a $3arcsinsin φ− 2arccoscosφ= 3(φ − 2π)− 2(2π− φ)= −10π+ 5φ;$ следовательно, при $[3π ] φ ∈ 2 ;2π$ выражение $(∗)$ принимает все значения из промежутка $[ 5π ] − 2 ;0$ .

Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение $(∗)$ при $φ∈ [0;2π]$ принимает все значения из промежутка $[ 5π-π ] − 2 ; 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Переберём случаи

$x,y ≥ 0$ . $π arcsinx ∈[0,2]$ и $√----2 cos(arcsinx)= 1− x = y$ . Тогда $arcsinx= arccosy$ и $π 3arcsinx− 2arccosy =arcsinx∈ [0,2].$
$x ≥0 ≥y$ . $π arcsinx∈ [0,2]$ и $√ ----- cos(arcsinx)= 1− x2 =− y$ . Тогда $π − arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx− 2π ∈ [−2π,π2].$
$y ≥0≥ x$ . $arcsinx∈ [− π2,0]$ и $√ ----- cos(arcsin x)= 1− x2 =y$ . Тогда $arcsinx= − arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx∈ [− 5π2 ,0].$
$x,y ≤ 0$ . $arcsinx ∈(− π2,0]$ и $√----- cos(arcsinx)= 1− x2 = −y$ . Тогда $π +arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =arcsinx− 2π ∈[− 5π2 ,−2π].$

Ответ:

$[− 5π,π]. 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#80581Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

arcsin(sin|x|)≥arccos|cos3x|

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте заметить симметрию.

Подсказка 2

Если x нам подойдет, тогда -x — тоже. Будем теперь считать, что x ≥ 0. Какой еще значение может подойти, если x подходит?

Подсказка 3

Если x — подходит, тогда и x + 2π подходит. Будем считать, что x меньше 2π.

Подсказка 4

Оцените величины аркфункций на интервале [0; 2π).

Подсказка 5

Заметим, что интервал (π; 2π) нам не подходит.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $x$ подходит, то и $− x$ подходит. Тогда давайте считать, что $x≥ 0$ .

Так же если $x$ , $x +2π$ больше 0 и $x$ подходит, то и $x+ 2π$ подходит. Значит, можно считать, что $x∈ [0,2π)$ .

Теперь заметим, что $x ∈(π,2π)$ не подходит, так как тогда $arcsin(sin|x|)<0 ≤arccos|cos3x|$ .

Нарисуем график для $x∈[0,π]$ . На этом интервале нам подходят $[π 3π] x∈ 4,4$ . Значит, на интервале $[0;2π]$ нам подходит только $[π 3π] x ∈ 4, 4$ . Осталось распространить это на всю прямую. Значит,

[π 3π ] [ −3π π ] x∈ ∪k≥0 4 + 2πk,4 +2πk ∪k≥0 -4-− 2πk,− 4p− 2πk

Ответ:

$[π + 2πk,3π+ 2πk]∪[−3π− 2πk,− πp− 2πk],k∈ {0} ∪ℕ 4 4 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#43267Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 3 4) 3 arcsin5 − arccos5 ⋅x +π =2arctg3+ arctg4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем со скобкой слева. Подумаем, чему она вообще равна: для этого найдем cos(arcsin(3/5)), потому что закрадывается мысль, что на самом деле эти арксинус и арккосинус равны между собой по модулю. Остается обратить внимание на то, какого знака этот арксинус.

Подсказка 2

И да, так оно и оказывается, что скобка равна нулю. Значит, уравнение по сути независимо от х, и нам остается убедиться в том или опровергнуть то, что правая сторона равна π. Для этого, во-первых, надо понять, в каких пределах находится правая скобка.

Подсказка 3

Заметим, что по сути мы складываем три арктангенса с положительными аргументами, значит, их сумма положительна и сверху ограничена 3π/2. Из этого понимаем, что все-таки это выражение вполне может быть равно π (если бы оно было, например, от -π/2 до π/2, то тогда оно бы точно не равнялось π - значит, мы бы сразу ответ дали). Тогда посчитаем tg(2arctg(3)), используя формулу тангенса двойного угла, а затем посчитаем тангенс от всей правой части. Кажется, теперь мы смогли решить эту задачу!

Показать ответ и решение

Так как $cos(arcsin 3)= ∘1−--9= 4 5 25 5$ , а $arcsin 3∈(0,π) 5 2$ , то $arcsin 3= arccos4 5 5$ . Тогда уравнение выглядит как $π = 2arctg 3+arctg 3 4$ , то есть надо проверить, либо это тождество и подходят любые значения $x$ , либо это неверное равенство, так что решений нет.

Очевидно, что $3 ( 3 ) 2arctg3+ arctg 4 ∈ 0,2π$ по определению арктангенса и так как аргумент положительный. При этом

6 3 tg(2arctg(3))= 1−-9 = − 4

( ) tg 2arctg3 +arctg 3 = 0 4

Значит, $2arctg3+arctg 34 = πk$ и $2arctg 3+arctg 34 ∈(0,32π)$ . Пересекая эти условия, получаем $2arctg3+ arctg 34 = π$ .

Ответ:

$x ∈ℝ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#43268Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

π (2 ) arcsin(2x)+ arccos(2x)≥ 4 ⋅y − 2 .

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусом/арккосинусом -> они должны существовать, отсюда получаем ограничение на х. Затем увидим, что левая часть равна π/2 (почему?).

Подсказка 2

Обработав условие на у, получаем, что |y| и |x| ограничены сверху, и если мы перенесем доступные нам значения х и у на координатную плоскость, то получим прямоугольник, площадь которого легко считается.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1. 2$

Заметим, что $π arcsin(2x)+arccos(2x)= 2.$

Значит, нас интересует фигура $2 y − 2≤ 2$ и $1 |x|≤ 2.$

Это прямоугольник $|y|≤ 2$ и $1 |x|≤ 2$ . Его площадь равна $4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#43271Максимум баллов за задание: 7

Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства

( 2 2 ) ( 2 2 ) y − arcsin (sinx) ⋅ y − arcsin(sin(x +π∕3))⋅

( 2 2 ) ⋅ y − arcsin(sin(x− π∕3)) <0.

Источники: ОММО-2018, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусами, в аргументах которых синусы -> прибавление к аргументу синуса 2π (или вычитание) ничего не изменит. Значит, нам достаточно работать только с отрезком длины 2π, возьмем, например, от -π/2 до 3π/2. Посмотрим на то, как именно раскрывается arcsin(sin(x)) на отрезках от -π/2 до π/2 и от π/2 до 3π/2.

Подсказка 2

На первом отрезке арксинус превратится в х², а на втором - в (π-х)². Тогда мы можем, грамотно применив разность квадратов, нарисовать области, которые нам подходят. Достаточно будет выбрать одну, и если она не будет подходить, то все соседние к ней подойдут, ведь при переходе через "ноль" будет меняться знак исходного выражения.

Подсказка 3

Важно отметить, что скобки отличаются собой только аргументами синуса, а это значит, что графики этих выражений будут идентичны и смещены друг от друга на расстояние π/3. Поэтому получится очень много квадратиков (так как изначально график любой изначальной скобки и составлял цепочку квадратов), и именно отсюда, после получения цепочек квадратиков нужно будет найти один подходящий, а затем дважды переходить через "ноль" и закрашивать нужную область.

Показать ответ и решение

Выражение слева не меняется при изменении $x$ на период $2π$ . Поэтому достаточно разобраться с графиком на отрезке длины $2π$ , например, $π 3π [−2; 2 ].$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то $2 2 arcsin (sinx)= x .$

Если $π 3π x∈ [2; 2 ],$ то $2 2 arcsin (sinx)= (π − x) .$

Рассмотрим в выражении из условия первую скобку, для второй и третьей построение будет аналогично, но со сдвигом на $π 3.$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то получаем неравенство $(y− x)(y+ x)<0.$

Если $π 3π x∈ [2;-2 ],$ то получаем неравенство $(y +π − x)(y +x− π)< 0.$

Теперь рассмотрим график ниже, отметим области под одной прямой и над другой:

$PIC$

$y2 − arcsin2(sinx)< 0$ в квадратах.

Для второй и третьей скобки будут те же квадраты, только сдвинутые на $π3$ и на $− π3$ по оси $x.$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#101251Максимум баллов за задание: 7

Сколько корней имеет уравнение

πx- arcsin(sin x) = m ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем искать решения для удобных нам m, например, для m > 0. Разбираться с отрицательными решениями не очень хочется, поэтому будем считать положительные (почему так можно?). Слева, должно быть, периодическая дробь, давайте найдём ее период, чтобы сделать рисунок ;)

Подсказка 2

У функции слева период равен 2pi! Причём на промежутках такой длины она монотонна. Давайте сделаем рисунок!

Подсказка 3

Функция слева имеется "зубчатый" рисунок, а наибольшее значение по модулю равно pi/2. А какой график у функции справа? Подумаем, как они могут пересекаться?

Подсказка 4

Попробуйте посчитать количество промежутков монотонности, на которых прямая пересекает нашу "пилу". Но есть ли тут какой-то крайний случай?

Подсказка 5

Проверьте, когда же на крайнем для нас промежутке монотонности есть решение.

Подсказка 6

Это зависит от чётности количества промежутков, которые пересекает прямая!

Показать ответ и решение

Заметим, что количество положительных решений равно количеству отрицательных, ввиду нечётности функций в обеих частях уравнения, а $x= 0$ является решением, так как $π- arcsin (sin0)= 0= 0⋅m .$ Поэтому будет искать корни при $x >0.$ Так же из-за нечётности функций количества решений при $m$ и при $− m$ равны, поэтому будем искать число решений для положительного $m.$

На промежутке $[ π π] −2;2$ левая часть уравнения равна просто $x$ по определению арксинуса. Пусть $x= α +2πn,$ где $[ π π ] α ∈ − 2;2 ,n ∈ℤ.$ Тогда

arcsin(sinx)= arcsin(sinα +2πn)= arcsin(sinα)= α

Получается, функция $f(x)= arcsin(sinx)$ — это периодическая функция с периодом $2π$ и наибольшим значением равным

( π ) π arcsin sin2 = 2,

достигаемым при

π x= 2 +πn,n ∈ℤ

При этом на промежутках $[ ] π2 +πn;3π2 + πn$ функция $f(x)$ монотонна и принимает все значения от $− π2$ до $π2.$

$PIC$

Функция $g(x)= πmx$ — это возрастающая прямая, проходящая через точки $(0;0)$ и $(m2 ;π2).$ Получается, прямая может пересекать $f(x)$ только при $x< m2-.$ Более того, на промежутке $(0;π2)$ есть ровно одно решение уравнения — нулевое. Отсюда, все положительные решения лежат в промежутке $[π2;m2 ].$

Заметим, что на каждом промежутке монотонности может быть не более одного решения. Посчитаем, сколько промежутков монотонности $f(x)$ до $m-. 2$ Пусть

k ∈ℤ : π+ πk≤ m-< π +π (k +1) 2 2 2

Тогда $k$ — единственное целое число на промежутке

[ ) m-− 3π;m-−-π 2π 2π

Тогда количество промежутков монотонности $f(x)$ до $m- 2$ равно $k.$

Если $k$ — чётное, то $π π f(2 +πk)= 2,$ и на последнем промежутке монотонности $[π π ] 2 + πk;2 + π(k+ 1)$ есть решение, а если $k$ — нечётное, то решения на этом промежутке нет.

Итак, количество положительных решений равно $k+ (1− r),$ где $r$ — остаток при делении $k$ на 2. Тогда всего решений

2(k+ (1− r))+ 1

Пример расположения графиков $f$ и $g$ относительно друг друга при $m = 38:$

$PIC$

Ответ:

$2(k+ (1 − r))+1,$ где $k$ — единственное целое число на промежутке $[m−3π;m−π), 2π 2π$ $r$ — остаток при делении $k$ на 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#43269Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения уравнения

2 2 π2 arcctg x= 3arctg x+ 36.

Источники: Ломоносов-2016, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, так сказать, основное арктригонометрическое тождество (если что, это про то, что arctg(x)+arcctg(x)=π/2) :) и сделаем интересную замену t = arctg(x)/π, а потом оценим t.

Подсказка 2

Да, так как арктангенс по модулю меньше π/2, то t будет по модулю меньше 1/2. Сведём уравнение к t, решим относительно t и сделаем обратную замену с учетом его возможных значений.

Показать ответ и решение

Вспомним, что $arctgx+ arcctgx = π. 2$

Обозначим $arctgx t= π ,$ тогда $π arcctgx = 2 − πt$ и получим

(π )2 22 π2 1 2 2 1 2 2 2 − πt = 3π t+ 36 ⇐ ⇒ 4 − t+ t = 3t + 36 ⇐⇒ 2t+ t− 9 = 0

Имеем $16 25 −1±5 D =1 +-9 =-9 =⇒ t1,2 =-4-3-$ .

В силу области значений арктангенса $1 1 t∈ (− 2,2)$ и из уравнения нам подходит только $1 π 1 t= 6 ⇐⇒ arctgx= 6 ⇐ ⇒ x = √3.$

Ответ:

$√1- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#98294Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Складывать удвоенный арктангенс и арксинус? Ну нет, мы так не умеем. Зато мы умеем, например, с помощью формулы тангенса суммы складывать арктангенсы. Тогда давайте подумаем, как выразить арктангенс через арксинус?

Подсказка 2

Вспомним, что мы хорошо умеем связывать тангенс в квадрате и косинус в квадрате. А из этого соотношения и тангенс в квадрате и синус в квадрате. Значит, имея арксинус, мы умеем считать тангенс. А из него и арктангенс.

Подсказка 3

Пусть arcsin(4/5)=α. Тогда sin(α)=4/5. С помощью этой информации найдём tg(α) и arctg(α).

Подсказка 4

Теперь осталось подумать, как нам посчитать сумму двух арктангенсов? Давайте попробуем для начала найти тангенс исходного выражения

Подсказка 5

Если arctg(2)=β, то tg(β)=2, и тангенс исходного выражения можно переписать как tg(2β+α), что мы умеем представлять в терминах tg(α) и tg(β), а их мы знаем из условия задачи!

Подсказка 6

Вспомним формулы тангенса суммы и тангенса двойного угла. По очереди применим их. Например, можем отдельно посчитать тангенс двойного угла, а потом раскрыть тангенс суммы и туда подставить все известные нам значения.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

$PIC$

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $∘ OCD :∠ODC = 90$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#101249Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4) √-- ( √10) 5sin 2x +arcsin 5 + 10cos x− arcsin 10- = 7

В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку $(3π;13π) 2 6$ , при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока что в выражении у нас присутствуют, казалось бы, никак не связанные аргументы арксинуса. Быть может, преобразуем первую скобку так, чтобы аргументы arc-функций стали одинаковыми?

Подсказка 2

Воспользуйтесь переходом от sin к cos и формулой понижения степени, чтобы прийти к √10/10 !

Подсказка 3

Отлично, теперь наше выражение приняло вид, где есть косинус от двойного угла (и от самого угла). Так решим же его при помощи несложной замены ;)

Подсказка 4

Обратите внимание на то, как связаны найденное значение косинуса и аргумент arcsin из выражения, которое мы заменяли.

Подсказка 5

(3√10/10)² + (√10/10)² = 1! Тогда x будет выражаться довольно приятно :)

Показать ответ и решение

Заметим, что

( √10) ( √10) 1 3 3 2sin arcsin -10- ⋅cos arcsin -10- =2 ⋅√10 ⋅√10-= 5,

поэтому

3 √10- arcsin 5 = 2arcsin 10 ,

так что

( ) ( ) ( ) ( √ -) sin 2x+arcsin4 =sin 2x+ π− arccos4 =sin 2x + π− arcsin3 = sin 2x+ π − 2 arcsin-10 5 2 5 2 5 2 10

Следовательно, после замены $α =x − arcsin √10 10$ уравнение из условия преобразуется в

(π ) √-- 5sin 2 − 2α + 10cosα= 7

5cos(2α)+ √10cosα − 7= 0

√-- 10cos2α+ 10cosα − 12= 0.

$4√10- cosα =− 10$ невозможно, так как $4√10 − 10 < −1,$ поэтому остаётся только решение

( √--) √ -- cos x− arcsin -10 = 3-10 10 10

3√10- x= 2πn,n∈ ℤ или x =2 arccos 10 +2πn,n∈ ℤ

При этом в указанный в условии промежуток попадает только $2π$ , так как

3√10- π 2arccos -10-> 6

( √--) sin 2arccos3-10 = 3> 1 10 5 2

По условию для записи в ответ надо округлить

2π ≈ 6,28.

Ответ: 6,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#101253Максимум баллов за задание: 7

Известно, что единственным решением уравнения

π (-x) 4 =arcctg2+ arcctg5+ arcctg13 +arcctg34+arcctg89+ arcctg 14

является натуральное число. Найдите его.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

-x arcctg1− arcctg2− arcctg5− arcctg13− arcctg34 − arcctg89= arcctg14

Так как арккотангенс — убывающая функция, оба числа положительны и не превосходят $π,$ то $0 <arcctgx− arcctgy <π,$ если $x <y.$

Поэтому последовательно воспользуемся формулой

1+ xy arcctgx− arcctgy =arcctgy-− x

Тогда

arcctg1 − arcctg2= arcctg 1+1-⋅2-= arcctg3 2− 1

1+3-⋅5- arcctg3 − arcctg5= arcctg 5− 3 = arcctg8

arcctg8− arcctg13 =arcctg21

arcctg21 − arcctg34= arcctg55

arcctg55− arcctg89 =arcctg144

Таким образом, получаем

x- arcctg144= arcctg 14

Тогда

-x 14 =144

x =2016

Ответ:

2016

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#80514Максимум баллов за задание: 7

Найдите главный (наименьший положительный) период функции

−5 y = (arcsin(sin(arccos(cos3x)))) .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим найти период, попробуйте отталкиваться от cos(3x).

Подсказка 2

Что, если подставить x + π/3?

Показать ответ и решение

Заметим, что

( π) −5 −5 y x+ 3 = arcsin(sin(arccos(cos3x+ π)))) = arcsin(sin(arccos(− cos3x)))) =

= arcsin(sin(π− arccos(cos3x))))−5 = arcsin(sin(arccos(cos3x)))−5

если заменить $x$ на $π x+ 3$ , то ничего не изменится. Значит, период $π- a= 3n$ . Если $n ≥2$ , то $π a≤ 6$ и $−5 −5 y(a)=(arcsin(sin(arccos(cos3a)))) = (3a) = y(0)= 0$ . Значит, $π a= 3$ .

Ответ:

$π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#77989Максимум баллов за задание: 7

Выясните, какое из чисел больше:

√- √ - 7√3 arctg( 3+ 2)+arcctg( 3− 2) или -4-

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в аргументах у нас сопряженные числа с разными знаками. Может, как то связать их через тангенс и котангенс?

Подсказка 2

Давайте докажем, что в левой части у нас число π.

Подсказка 3

Теперь нужно аккуратно оценить двойным неравенством корень из 3, получить оценку на правую часть и сравнить с числом π.

Показать ответ и решение

Обозначим $φ= arctg(√3-+ 2).$ Тогда

1 √3 − 2 √ - ctgφ = √3+-2 =-3−-4 =2 − 3

Поэтому

arcctg(√3-− 2)= π− arcctg(2− √3)= π− φ

первое число из условия равно $π.$ Так как $√- 3< 1,76,$ то второе число из условия $√- 743< 3,08$ и меньше $π.$

Ответ:

$arctg(√3+ 2)+arcctg(√3 − 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#80515Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

∘ ------ √ ------ arcsiny ≤ arccosx.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Избавьтесь от корней. Попробуйте рассмотреть некоторые значения x.

Подсказка 2

Например, что, если x ≤ 0?

Подсказка 3

Тогда получится, что arcsin(y) ≤ π/2 ≤ arccos(x). Найдите соответствующие x и y.

Подсказка 4

Рассмотрите другой случай, примените синус к обеим сторонам неравенства.

Показать ответ и решение

По ОДЗ $y ≥ 0$ .

arcsiny ≤arccosx

Заметим, что если $x≤ 0$ , то $arcsiny ≤ π≤ arccosx ⇐ ⇒ y ∈[0;1],x ∈[−1;0] 2$ .

Значит, $x,y ≥0$ и $arcsiny, arccosx ∈[0,π] 2$ . Применим синус к обеими сторонам. Так как обе части в интервале $[0,π] 2$ и синус на нем возрастает, то получится равносильное неравенство

∘ ---2- y ≤ 1− x

y2+ x2 ≤ 1

Площадь такой фигуры при условии $x,y ≥0$ равна $π4.$ Значит, общая площадь $1+ π4.$

Ответ:

$1+ π 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#98296Максимум баллов за задание: 7

Выясните, сколько корней имеет уравнение:

( sinx) ∘ ------------ 21x− 11+ 100 ⋅sin(6arcsinx)⋅ (π− 6x)(π+ x)=0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение 3 чисел равняется нулю. Когда такое возможно?

Подсказка 2

Надо рассмотреть случай равенства каждого множителя нулю.

Подсказка 3

Не забывайте проверять выполнение ОДЗ для корня.

Показать ответ и решение

1) $∘ (π-− 6x)(π-+x)= 0⇐ ⇒ x= π;−π 6$ . Но так как $− π < −1$ , то для корня $x =− π$ не определен $arcsinx$ и только $x= π 6$ является корнем исходного уравнения.

2) $sin(6arcsinx)= 0⇐⇒ 6arcsinx= πk,k =0,±1,±2,±3$ . Но так как $π x ≤ 6$ , то корнями исходного уравнения будут только следующие числа: $√3 1 − 1,− 2 ,±2,0$ .

3) Рассмотрим уравнение $sinx 100 =11− 21x$ . На промежутках $(− ∞;0]$ и $[1;+ ∞)$ оно не имеет решений, так как на первом из них

sinx 100-< 1< 11 − 21x,

а на втором

sin-x> −1> 11− 21x. 100

На промежутке $(0;1)$ уравнение имеет единственное решение $x0$ , так как здесь левая часть — возрастающая функция, правая часть — убывающая и, кроме того, при $x= 0$

sinx-= 0< 11 =11− 21x, 100

а при $x= π 6$

sinx-= -1-> 11 − 3,5⋅3,1415> 11− 3,5π = 11− 21x 100 200

И соответственно получается, что $x0 < π6.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#38687Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения уравнения

|| πx|| |arcsin(cos4)− 2|= 4.

Источники: Ломоносов-2012, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем arcsin(cos(4)). Можно ли привести это выражение к более приятному виду.

Подсказка 2

Попробуйте превратить косинус в синус с помощью формул приведения.

Подсказка 3

cos(t) = sin(π/2 - t) = sin(π/2 + t) = sin(t - 3π/2).

Подсказка 4

Выходит, что arcsin(cos(4)) = 4 - 3π/2. Осталось только раскрыть модуль.

Показать ответ и решение

Поскольку $arcsincos4∈ [− π,π] 2 2$ , то $arcsin cos4= 4− 3π 2$ (пользуемся тем, что $cost= sin(π − t)= sin(t+ π)= sin(t− 3π) 2 2 2$ ). Тогда

||(3+ x)π || 3 +x 16 ||--2---− 4||=4 ⇐ ⇒ --2-π =0,8 ⇐⇒ x∈ {−3,π-− 3}

Ответ:

$− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#48592Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения уравнения

|| πx|| |arccossin 6− 2 |=6.

Источники: Ломоносов-2012, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно четко понять, чему равен этот арккосинус. Знаем, что нам приятнее взять арккосинус от косинуса, чем от синуса -> превратите синус в косинус!

Подсказка 2

Верно, получился cos(π/2 - 6). Причем мы понимаем, что cos(x) = cos(x + 2πk), k - любое целое число. Значит, когда будем брать арккосинус от этой штуки, мы получим именно π/2 - 6 + 2πk, причём k должно быть таким, что оно целое и заносит это выражение в рамки существования арккосинуса, то есть в [0; π]

Подсказка 3

Отлично, арккосинус превратился в 5π/2 - 6. Теперь раскроем модуль и найдем подходящее целое значение х.

Показать ответ и решение

Так как

5π 1) cos(arccos(sin6))= cos(2-− 6) по формуле приведения,

2) arccos(sin6)∈[0;π] в силу области значений арккосинуса,

5π 3) 2-− 6∈ [0;π] в силу эквивалентной оценки 5π ∈ [12;12 +2π]

то уравнение равносильно

|| || ||5π − 6 − πx ||=6 ⇐⇒ (5−-x)π ∈ {0;12} ⇐ ⇒ x ∈{5;5− 24-} 2 2 2 π

Нетрудно видеть, что целочисленным решением является только значение $x= 5.$

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#98295Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

( 2 ) 2arcsin(x+ 1)+arccos 3x +6x+ 2 < 0.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арксинус и арккосинус — сами по себе не самые приятные в работе вещи, так у них еще и аргументы не самые стандартные. Сумму точно разглядывать не стоит — что можно сделать?

Подсказка 2

Как минимум, можно перенести, например, арксинус, вправо, чтобы сравнивать не страшную сумму с нулем, а два страшных выражения друг с другом. Может быть, можно хотя бы у одного из выражений что-то сделать, чтобы вышло получить более простое для анализа выражение?

Подсказка 3

Почему бы не сделать замену t=x+1? Тогда и первый, и второй аргументы будут выглядеть значительно проще, да и судить об их значениях будет приятнее. Какие значения может принимать t?

Подсказка 4

Есть ли какие-то значения t, при которых даже думать не нужно — решений просто 100% не будет?

Подсказка 5

Полезно вспомнить, какие значения могут принимать арксинус и арккосинус. Есть ли значения t, при которых значения арксинуса и арккосинуса однозначно лежат в разных частых окружности, а значит. и можно сразу сделать вывод о том, походят они или нет?

Подсказка 6

Теперь осталось проанализировать неотрицательные t. Какие значения принимают при них арксинус и арккосинус?

Подсказка 7

Вышел промежуток от 0 до пи. Как на нем ведут себя синус и косинус?

Подсказка 8

Синус как возрастает, так и убывает, а вот косинус — только убывает. Тогда может быть, мы можем как-то переделать наше неравенство так, чтобы получилось избавиться от арксинуса или арккосинуса?

Подсказка 9

Так как только косинус на нужном промежутке ведет себе однозначно, то давайте найдем косинусы от обеих частей неравенства! Если с левой частью все понятно, то как можно преобразовать правую часть?

Подсказка 10

Если представить arcsin(t) = p, то можно найти, чему равен чему равен cos(-2p). Осталось решить полученное неравенство и не забыть об ограничениях на аргументы аркфункций.

Показать ответ и решение

Делаем замену $t= x+ 1$ , переносим $2arcsint$ :

( 2 ) arccos 3t − 1 <− 2arcsint

При положительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, неравенство неверно (слева неотрицательное число, справа — отрицательное).

При неположительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, обе части лежат в отрезке $[0;π]$ , где $cos$ убывает. Соответственно, неравенство на множестве неположительных $t$ , с учетом ограничений на ОДЗ, имеет вид