Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .04 Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#79748Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $sinx+ cosy$ и $sin y+cosx$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n,$ что $m sinx +n cosx$ — натуральное число.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 11.8(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Пусть $sinx+ cosy = a$ и $sin y+cosx= b.$ Тогда $cosy =a − sin x$ и $siny = b− cosx.$ Возведём эти равенства в квадрат и сложим их. Тогда в силу основного тригонометрического тождества получим: $2 2 1= a +b − 2a sinx− 2bcosx+ 1,$ то есть $2 2 2asinx +2bcosx= a +b .$ Пусть $N$ — НОК знаменателей чисел $a$ и $b;$ тогда, умножив полученное равенство на $2 N ,$ получим требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#80580Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).

Источники: ОММО - 2020, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть косинус и синус тройного угла, так давайте раскроем их по формуле и преобразуем выражение!

Подсказка 2

Смотрите, после переноса всего в одну часть так и просится некоторая замена, но корень из-за косинуса тащить не хочется...что будем с ним делать?

Подсказка 3

Слагаемое с косинусом можно перенести в другую часть и возвести всё в квадрат, чтобы уравнение красиво записать через t = sin(x)². Теперь нужно решить кубическое уравнение ;)

Подсказка 4

К сожалению, корни тут угадать не так просто, поэтому давайте попробуем разложить выражение на скобки!

Подсказка 5

(37t - 1)(20t² - 20t + 1) = 0. Осталось лишь понять, каким же должен быть синус у рассматриваемого в условии решения!

Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

2 2 4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

2 2 sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим $t=sin2x$ .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни $137$ , $12 − √15$ и $12 + 1√5$ . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть $sint= −√137$ . Тогда $t=arcsin−√137-$ . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как $t$ лежит в четвертой четверти, то $cost>0$ и $cost= √637$ .

( ) 4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1- −12+ 16+ 78 − 312 = 37 37 37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x). 37

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#126020Максимум баллов за задание: 7

Найти наименьшее положительное значение выражения $x+ y$ для всех пар чисел $(x;y),$ удовлетворяющих уравнению $(sinx+ cosy)(cosx− siny)= 1+ sin(x− y)cos(x+ y).$

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на данное нам уравнение. В левой части равенства хочется раскрыть скобки и применить тригонометрические формулы. Сделаем это! Раскроем скобки и сделаем преобразования, вспомнив формулу косинуса суммы, разности синусов.

Подсказка 2

Теперь подставим в исходное уравнение то, что получилось в левой части в результате преобразований. Ага! Часть выражения сократилась, и осталось совсем несложное уравнение! Решим его и найдём наименьшее возможное значение x + y.

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

(sinx+ cosy)(cosx− siny)=

1 = sinx cosx+ cosy cosx− sinxsin y− cosysiny = cos(x+ y)+ 2(sin 2x − sin2y)=

= cos(x +y)+ sin(x − y)cos(x+ y)

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

cos(x+ y)+sin(x− y)cos(x+ y)= 1+ sin(x− y)cos(x+y)

Отсюда получаем, что $cos(x+ y)=1.$ Решая это уравнение, находим

x+ y = 2πk , k∈ ℤ

Следовательно, наименьшим, положительным значением для $x+ y$ является $2π.$

Ответ:

$2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#127152Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение: $cosx⋅(2cosx− cos3x)= 1.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла:

3 cosx(2cosx− 4cosx +3cosx)=1

2 4 5cos x− 4cosx =1

Сделаем замену $t= cos2x≥ 0,$ получаем биквадратное уравнение:

4t2− 5t+1 =0

t= 1; 1 4

Делаем обратную замену

⌊ ⌈ cosx =± 1 cosx =±12

⌊ x= πk |⌈ π , k ∈ℤ x= ±3 + πk

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

cosx(2cosx− cos3x)= 1

2cos2x − cosxcos3x− 1= 0

Воспользуемся формулой преобразование произведение косинусов в сумму косинусов:

2cos2x− 1− 1(cos4x+ cos2x)= 0 2

cos4x− cos2x =0

Применим формулу двойного угла:

2cos22x− cos2x− 1= 0

Сделаем замену $t= cos2x:$

2t2− t− 1= 0

1 t= −2; 1

Сделаем обратную замену

⌊ 2π |⌈ 2x= ±-3 +2πk , k ∈ℤ 2x= 2πk

⌊ x= ± π+ πk |⌈ 3 , k∈ ℤ x= πk

Ответ:

$πk, ± π+ πk , k∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#42924Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

1 sinxcosy = cosxsiny = 2.

Найдите $cos2x− sin2y$ . В ответ внесите возможные значения через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2019, 10-11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Части нашего равенства sin(x)cos(y)=cos(x)sin(y) подозрительно напоминают нам разложение sin(x-y)... Что это нам дает?

Подсказка 2

Верно, sin(x-y)=0! Получается, что x и y отличаются на πn, а значит sin(x) не может сильно отличатся от sin(y). Как тогда можно переписать равенство cos(x)sin(y)=1/2?

Подсказка 3

Верно, sin(2x)=(-1)ⁿ! Аналогично sin(2y)=(-1)ⁿ. Какие тогда значения может принимать выражение cos(2y)-sin(2x)?

Подсказка 4

Т.к. cos(2y)=0 ⇒ cos(2y)-sin(2x)=-(-1)ⁿ. Получается, что все возможные значения это 1 и -1. Предъявите x и y, при которых они достигаются, и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Из первого равенства имеем $sin(x− y) =0 ⇐⇒ x =y+ πn,n∈ ℤ$ , то есть $siny = (−1)n sinx,cosy = (−1)n cosx$ . Отсюда

n n sin2x= 2sinxcosx= 2⋅(− 1) sinx cosy = (−1)

и $sin 2y =(−1)n$ , откуда могут быть только значения

cos2x− sin2y = 0± 1

Равенства достигаются, например, при $(x,y)= (− π4,3π4 ),(π4,π4)$ .

Ответ: -1 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#32378Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

siny +cosx= sin3x и sin2y− sin2x= cos4x − cos2x.

Какое наименьшее значение может принимать сумма $cosy+ sinx$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очевидно, что задача на некие тождественные преобразования, то есть что-то выразить, куда-то подставить и получить ответ. Посмотрим на оба уравнения. Что из этого наиболее приятно для преобразований? Первое? Вряд ли, cos(x) и sin(3x) почти никак не связаны, что то общее вынести вряд ли получится. А вот второе… Да, там ,сущностно, косинусы двойного угла и обычного (2х и 4х) и синус обычного. С этим можно поработать. К примеру расписать разность косинусов.

Подсказка 2

Расписав разность косинусов, мы получим 2sin(x)3x. Но ведь в синусе двойного угла тоже есть 2sin(x). То есть можно вынести. А что останется в скобках после вынесения? Где это еще есть?

Подсказка 3

В скобках останется cos(x)-sin(3x). Но ведь мы можем подставить значение этого из первого уравнения. А еще, ведь это все мы преобразовывали равенство sin(2y)=sin(2x)+cos(4x)-cos(2x)=-2sinx*sin(y). При этом sin(y) есть и слева и справа. Значит, преобразовывая это выражение, мы получили, что либо sin(y)=0 , либо sin(x)+cos(y)=0. Второй случай сразу дает один из ответов. А что делать в первом?

Подсказка 4

Конечно, подставлять, что же тут еще делать) А куда? В первое, поскольку тогда получим уравнение на x. Выходит, что cos(x)=sin(3x). Значит, cos(x)=cos(pi/2-3x). Значит +-x=pi/2-3x+2pi*k, y=pi*n. Осталось найти значения cos(y) и sin(x) для найденных выше решений и выбрать наименьший из всех.

Показать ответ и решение

Из второго равенства

sin2y = sin2x+ (cos4x− cos2x)= 2sinxcosx− 2sin3xsinx= 2sin x(cosx− sin 3x)

Подставим $cosx− sin3x$ в первое равенство из условия

2sin ycosy =sin2y =− 2sinxsiny ⇐⇒

[ siny =0 sinx +cosy = 0

Во втором случае искомое по условию выражение равно нулю. Посмотрим, будет ли оно меньше в первом случае.

В первом случае $y =πn,n ∈ℤ$ , и тогда из первого равенства

( ) cosx− sin3x= 0⇐⇒ cosx− cos π− 3x = 0⇐⇒ 2sin(π − x)sin(π − 2x)= 0 2 4 4

То есть $x= π+ πk,k∈ℤ 4$ или $x = π+ πk,k∈ℤ. 8 2$

Минимум суммы получаем при $cosy = −1 ⇐⇒ y = π+ 2πn,n∈ ℤ$ и $x= − 3π+ 2πk,k ∈ℤ. 8$

Посчитаем синус:

( ) ∘ --√-- cos 2⋅ 3π =cos3π =− 1√--=1 − 2sin2 3π =⇒ sin 3π-=-2+--2 8 4 2 8 8 2

Тогда искомое по условию выражение равно

∘2+-√2 cosy+ sinx =−1 − --2----

Получили значение меньше, чем во втором случае (меньше нуля), поэтому оно является ответом.

Ответ:

$− 2+√2+√2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#33098Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

ctgx+ ctgy =3 и 2sin(2x+2y)= sin2xsin2y.

Найдите $ctgxctgy$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем с первым уравнением. Сразу хочется привести все к общему знаменателю, так и поступим! А далее давайте попробуем как-то преобразовать числитель полученной дроби, может быть удастся заметить какую-то формулу?

Подсказка 2

В числителе у нас синус суммы, который мы теперь можем выразить через sinx и cosx! А можем ли мы во втором уравнении выделить синус суммы?

Подсказка 3

Разложим sin(2x + 2y) по формуле синуса двойного угла, подставим туда полученное выражение для sin(x + y) и поделим все на общий ненулевой множитель. Как нам теперь нужно преобразовать оставшийся косинус для того, чтобы удалось выделить произведение котангенсов?

Подсказка 4

Воспользуемся формулой косинуса суммы, поделим все на произведение синусов и отсюда найдём ответ!

Показать ответ и решение

На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:

cosxsiny+-cosy-sinx sinxsiny = 3

sin(x +y)= 3sinx siny.

Преобразуем второе равенство:

4sin(x+ y)cos(x+ y)= 4sinxsiny cosxcosy.

Подставляем в левую часть $3sinxsin y$ вместо $sin(x +y)$ и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу ОДЗ $sinxsiny ⁄=0$ ):

12sinxsin ycos(x+y)= 4sinx sinycosx cosy

3cos(x+ y) =cosxcosy

3cosxcosy− 3sinx siny = cosx cosy

2cosxcosy = 3sinxsin y

3 ctgxctgy = 2

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#39084Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $sin y = 3sinx + 2 cosx,cosy = 2 sinx+ 3cosx. 2 3 3 2$ Найдите $sin2x.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус двойного угла равен удвоенному произведению косинуса и синуса обычного угла. Для аргумента х это также работает. Откуда нам получить произведение синуса и косинуса, если у нас уже есть сумма?

Подсказка 2

Конечно, из квадрата суммы. А он откуда возьмется? Точно! У нас же есть синус и косинус игрек, который равен как раз сумме косинуса и синуса от икс(с некими коэффициентами). А что еще мы знаем про синус и косинус игрек (они с коэффициентами равными)?

Подсказка 3

Да! Мы знаем ОТТ! Значит можно его записать, там будет сумма квадратов синуса и косинуса х с равными коэф-ами (которые опять по ОТТ можно приравнять к 1) и произведение синуса и косинуса икс. Осталось посчитать значение двойного угла.

Показать ответ и решение

Используем основное тригонометрическое тождество, возведя равенства в квадрат и сложив

( 3 2 )2 ( 2 3 )2 1 =sin2y +cos2y = 2sinx + 3cosx + 3sinx+ 2 cosx =

( ) = 9+ 4 (sin2x+ cos2x)+ 4sinxcosx 4 9

− 61 =2sin2x ⇐⇒ sin2x= − 61 36 72

Полученное значение единственно, потому проверка не нужна, поскольку по условию известно, что описанная конфигурация возможна.

Ответ:

$− 61 72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#70300Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-tgt-- tg5t cos25t − cos2t = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2t⋅cos5t⁄= 0⇔ t⁄= π +πn,t⁄= π-+ πn,n∈ ℤ 2 10 5$

Преобразуем на ОДЗ:

tgt tg 5t sint sin5t cos25t − cos2t = 0⇔ cos25tcost − cos2tcos5t = 0

sintcost− sin5tcos5t ----cos25tcost---- =0

sin 2t= sin10t

[ π- πk t= 1π2k + 6 ,k∈ℤ t= 4 ,k∈ ℤ

⌊ | t= ±1π2 + 2πk || t= ±5π12 +2πk ||| t= ±7π12 +2πk || t= ±111π2 + 2πk ||| t= ±π4 + 2πk || t= ±π2 + 2πk |⌈ t= ±3π4 +2πk t= πk

Пересекая с ОДЗ, получим:

⌊ π t=± 12 + 2πk ||| 5π- ||t= ± 12 + 2πk |||t= ± 7π-+ 2πk || 12 |||t= ±11π+ 2πk || 1π2 ||| t= ±4 +2πk ||t= ± 3π-+ 2πk |⌈ 4 t=πk

⌊ π πk |t= 12 +-6 ,k∈ ℤ ⌈ t= πk,k∈ℤ

Ответ:

$-π+ πk,πk; k∈ ℤ 12 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#80582Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

6tgx− tg2x+ 5ctg3x =0

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении есть и тангенс, и котангенс, быть может, попробуем из связать при помощи какой-то замены?

Подсказка 2

Сделайте замену ctg(x) = t.

Подсказка 3

После замены у нас получится выражение с дробями, у которого, если привести всё к общему знаменателю, можно заметить кое-что интересное в числителе со степенями t ;)

Подсказка 4

Степени в числителе только чётные! Тогда мы можем вновь сделать замену для удобства дальнейшего решения ;)

Подсказка 5

После замены y = t² получим кубическое уравнение, в котором несложно найти один из корней! Тогда выражение можно будет разложить на множители!

Показать ответ и решение

Если $ctgx= t,$ то

1 --2t-- t3−-3t tgx= t, tg2x= t2− 1 , ctg3x= 3t2− 1;

поэтому после такой замены получаем уравнение

6 2t 5t3− 15t t − t2− 1-+ 3t2−-1-=0

Запомним условие

6(t2− 1)(3t2− 1)− 2t2(3t2− 1)+5(t3 − 3t)(t3 − t)= 0

Заменим $t2 = y ≥ 0:$

6(3y2− 4y+ 1)− 6y2+ 2y+ 5(y3− 4y2+ 3y)= 0

5y3− 8y2 − 7y+ 6= 0

(y+ 1)(5y2− 13y+6)= 0

(y+ 1)(5y− 3)(y − 2)= 0

⌊ y =2 | y =0,6 ⌈ y =− 1

При обратной замене подходят только два значения:

[ ctg2x= 2 ctg2x= 0,6

В итоге

[ x = ±arcctg√2+ πk, k∈ ℤ x = ±arcctg√0,6+ πk, k ∈ℤ

Ответ:

$±arcctg√2+ πk;±arcctg√0,6+ πk (k ∈ℤ)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#90036Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin4xcos10x= sinx cos7x.

Источники: ДВИ - 2018, задача 3 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что мы можем сделать. У всех функций аргументы разные, хотелось бы, чтобы они были одинаковыми. Какие формулы можно применить?

Подсказка 2

Формулы произведений синуса и косинуса! Два синуса сократятся. Имеем разность синусов, равную 0. Что можно сделать?

Подсказка 3

Можно приравнять синусы и раскрыть их, а можно использовать формулу разности синусов.

Показать ответ и решение

Домножим уравнение из условия на $2$ и применим к нему формулу разности синусов.

sin14x− sin6x= sin8x− sin6x.

sin14x − sin 8x = 0

Далее снова применим формулу разности синусов:

2sin3xcos11x =0

[ sin3x= 0 cos11x= 0

[ x= πk3 ,k∈ ℤ x= 2π2 + π1k1,k∈ ℤ

Ответ:

$πk ; π-+ πk(k∈ ℤ) 3 22 11$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#127153Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $tg(πcosx)= ctg(πsinx).$

Показать ответ и решение

tg(πcosx) =ctg(πsin x)

sin(πcosx) cos(πsinx) cos(πcosx) = sin(πsinx)

Сделаем замену $a= πsin x, b= πcosx.$

sinbsina− cosacosb= 0

cos(a +b)= 0

a+ b= π+ πn,n ∈ℤ 2

πsinx+ πcosx = π+ πn, n∈ ℤ 2

1 sinx +cosx= 2 + n, n∈ ℤ

√2 √2- 1 n -2-sinx +-2-cosx= 2√2 + √2-, n∈ ℤ

( π) 1+2n- sin x+ 4 = 2√2 , n ∈ℤ

Так как $− 1≤ sinα ≤1$ , имеем ограничение на $n$ :

√- √ - −2 2≤ 1+ 2n ≤2 2

√- 1 √- 1 − 2 −2 ≤ n≤ 2− 2

n =− 1;0

В итоге получаем

⌊ π -−1 | sin(x+ 4)= 2√2 |⌈ π -1- sin(x+ 4)= 2√2

⌊ π −-1 | x+ 4 = arcsin 2√2 + 2πk ||| π −1- || x+ 4 = π − arcsin 2√2 + 2πk ||| π -1- , k ∈ℤ || x+ 4 = arcsin 2√2 + 2πk ||⌈ π -1- x+ 4 = π − arcsin 2√2 + 2πk

Ответ:

$±arcsin -1√-− π +2πk, π ±arcsin-1√ − π + 2πk, k∈ℤ 2 2 4 2 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#31043Максимум баллов за задание: 7

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решать задачу с 3 переменными, конечно, полная жуть. К тому же, если нам надо найти sin(y), то удобно в конце концов получить что-то хорошее относительно него. Поэтому , используя условие на x, y, z, как мы можем облегчить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, можем обозначить x, как y-α, а z, как y+α, и подставить вместо них соответственно. Подумаем теперь над второй тройкой чисел. Они образуют геометрическую прогрессию. Но что нам известно про тройку таких членов?

Подсказка 3

Ага, ведь произведение крайних членов равно квадрату среднего. Теперь можно попробовать свести всё к решению уравнения относительно sin(y). Осталось только понять, что, если нам известно arccos(-2/5), то sin(α) и cos(α) мы без проблем найдём, учитывая ограничение.

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .

По условию $x= y− α$ и $z = y+ α$ .

Тогда

2 √21- 3+ sinx= 3+ sinycosα− cosysinα = 3− 5siny− -5- cosy

3+sin y

√ -- 3+ sinz = 3+ sinycosα+ cosysinα = 3− 2siny+--21 cosy 5 5

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида $a, at, at2$ , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

√-- √-- (3 +siny)2 = (3 − 2siny+-21 cosy)(3− 2siny− -21cosy) 5 5 5 5

2 2 2 √21 2 2 2 21 2 (3+ siny) =(3− 5sin y)− (-5-cosy)= (3− 5siny) − 25(1− sin y)

9+6siny+ siny2 = 9− 125-siny+ 425siny2− 2215 + 2215siny2

6siny =− 12siny− 21 5 25

42siny =− 21 5

siny =− 1- 10

Ответ:

$−-1 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#46084Максимум баллов за задание: 7

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сведем все к максимум двум переменным, пусть это будет y и α. Тогда, по условию, х = у-α, а z = y+α.

Подсказка 2

Основное свойство арифметической прогрессии: удвоенный член прогрессии равен сумме его двух соседей. Примените это к дробям и воспользуйтесь формулой суммы косинусов. Дальше и появится то, что мы ищем - cos(y)^2, не усложняйте себе жизнь поиском самого cos(y) :)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим

--7-= -2cosycosα-- cosy cos2α + cos2y

Раскроем двойные углы и перемножим

2 2 2 2 7 − 7cos2 α 14cosα − 7+ 14cos y− 7= 2cosycosα ⇐⇒ cosy =-7-− cosα

Подставляя $cosα= − 37$ , имеем $cos2y = 1103$ .

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#64109Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 --12-- ctg x− tg x= cos2x

Источники: ПВГ-2017, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте слева и справа получим дробь.

Подсказка 2

На ОДЗ можем умножить на знаменатели, не равные нулю.

Показать ответ и решение

Запишем тангенс и котангенс по определению и приведём к общему знаменателю:

cos4x-− sin4x -12-- cos2x⋅sin2x = cos2x

На ОДЗ уравнение равносильно

cos2x⋅(cos2x− sin2x)⋅(cos2x +sin2x)= 12cos2xsin2x

2 2 cos(2x)= 3sin (2x)

√- ctg(2x)=± 3

2x= ±π + πk,k∈ ℤ 6

x= ±-π + πk ,k ∈ℤ 12 2

Теперь проверим, что все значения входят в ОДЗ $cosx⁄= 0,sinx⁄= 0,cos2x⁄= 0.$

Ответ:

$±-π+ πn, n∈ ℤ 12 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#70302Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

4 4 3 cos8x- (1+ cosx +cos2x+ cos3x+ cos4x) +(sinx+ sin2x+ sin3x+ sin4x) = 4 + 4

Источники: ПВГ - 2017, отбор

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что здесь нужно сказать: раскрывать всё и выражать через какой-нибудь sin(x), или через основное тригонометрическое тождество всё приводить, вычислять там, скажем, sin⁴x + cos⁴x — это грустно. Оценки, которые всегда хочется применять, если видишь что-то страшное тригонометрическое, тоже не помогают. Значит нам надо воспользоваться формулами. Базовые не помогают, поэтому заметим, что если мы будем складывать крайние слагаемые в каждой скобке, то там будут получаться одинаковые аргументы 2х, при замене по формуле суммы синусов/косинусов. Попробуйте воспользоваться формулой суммы синусов/косинусов в нужном порядке и преобразовать выражение под квадратом.

Подсказка 2

Про косинусы понятно, преобразовываем, получается cos2x(1 + 2cosx + 2cos2x). С синусами то же самое, то есть хотим привести к виду многочлена, где всё зависит от 2х с точностью до множителя. Значит складывать надо первое и третье слагаемое, а оставшиеся — разложить так же, как зависимость от 2x. Получим sin2x(1 + 2cosx + 2cos2x). Как красиво вышло! Тогда преобразуем нашу левую часть, заметим, что один из множителей слева равен правой части и решим уже простое уравнение!

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов

(1 +cos4x)+ (cosx+ cos3x)+ cos2x= cos2x(2cos2x+ 2cosx +1), sin2x+ sin4x+ (sinx+ sin3x)=sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx).

Следовательно,

4 4 (1 +cosx+ cos2x+ cos3x+ cos4x) +(sinx +sin2x+ sin3x+ sin4x) = = (cos2x(2cos2x +2cosx+ 1))4+ (sin2x(1+ 2cos2x+ 2cosx))4 = = (2cos2x+ 2cosx +1)4⋅(cos4 2x +sin42x)

Тогда равенство примет вид:

2 (2cos2x+2cosx+ 1)4(cos42x+ sin42x)= 3+ 1−-2sin-4x⇐ ⇒ ( ) ( ) 4 2 4 4cos2x+ 2cosx − 1 4 cos42x+sin4 2x = 1− sin-4x ⇐⇒ ( )4( sin24x) sin24x2 4cos2x+ 2cosx − 1 1− --2-- =1 −--2-- ⇐⇒ ( 2 )4 4cos x+ 2cosx − 1 = 1⇐⇒ 4cos2x+ 2cosx − 1= ±1.

Решая квадратные (относительно переменной $cosx$ ) уравнения $2 4cosx+ 2cosx− 2=0$ и $2 4cos x+$ $2 cosx= 0$ приходим к $cosx= 1∕2;−1;0;− 1∕2$ .

Ответ:

$± π + 2πn,x= ± 2π-+2πn,x= π +πn,x= π+ 2πn,n ∈ℤ 3 3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#70303Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ∘ sinx =2sin 20 sin (170 − x)

Источники: САММАТ-2017, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой приведения и формулой синуса суммы:

∘ ∘ ∘ ∘ sin(170 − x)= sin(x +10 )= sinxcos10 + cosxsin10

Исходное равенство примет вид:

∘ ∘ ∘ sinx= 2sin 20 (sinxcos10 +cosxsin10)

sinx= 2sin20∘sinxcos10∘ +2sin20∘cosxsin10∘

sinx(1− 2sin20∘cos10∘)= 2sin20∘cosxsin 10∘

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов:

1− 2sin20∘cos10∘ = 1− sin30∘− sin10∘ =1 − 1 − sin 10∘ = 2

= sin30∘− sin10∘ = 2sin10∘cos20∘

Равенство примет вид:

2sin10∘cos20∘sinx = 2sin20∘cosxsin10∘

cos20∘sinx− sin20∘cosx =0

∘ sin(x − 20 )= 0

x= 20∘+ 180∘n

Ответ:

${π+ πn,n ∈ℤ} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#90013Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin7x+ sin6x= sinx.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 3 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас сумма синусов — быть может, преобразуем её? Какой формулой можно воспользоваться?

Подсказка 2

Распишем её как сумму синусов! Интересно, что у нас в аргументе появляется половинный угол — тогда сделаем его и в правой части уравнения! Какой формулой воспользуемся?

Подсказка 3

Распишите правую часть как синус двойного угла и вынесите общий множитель.

Подсказка 4

Итак, имеем, что произведение cos(x/2) на скобку равняется нулю. Осталось лишь разобрать случаи!

Показать ответ и решение

Запишем сумму синусов в левой части как произведение, а в правой части распишем синус как синус двойного угла:

(13x) (x) (x) (x) sin7x+ sin6x= sinx ⇐⇒ 2sin 2 cos 2 = 2sin 2 cos 2

⌊ (x) ( )( ( ) ( )) | cos 2 =0 2cos x2 sin 132x − sin x2 = 0 ⇐⇒ |⌈ (13x) ( x) sin -2- = sin 2

⌊ x= π+ 2πk,k ∈ℤ |⌈ x= πk3 ,k∈ ℤ x= π7 + 2π7k,k∈ ℤ

Ответ:

$π +2πk; πk; π + 2πk; k∈ℤ 3 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#98814Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения уравнения:

2 2 2 cos x+ cos 2x+ cos 3x= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас есть и двойной угол, и тройной угол — давайте попробуем их раскрыть по формулам и привести подобные!

Подсказка 2

Если справа останется 0, то слева будет уравнение с шестой, четвёртой и второй степенью косинуса! Как будем такое решать?)

Подсказка 3

Вынесем за скобки общий множитель! Тогда останется биквадратное уравнение, которое несложно решить ;)

Показать ответ и решение

По формулам $cos2x= 2cos2x− 1,cos3x= 4cos3x− 3cosx$ после преобразований получаем

6 4 2 8cos x− 10cos x+ 3cos x= 0,

откуда

-1- √3- cosx= 0 или cosx = ±√2 или cosx= ± 2 .

Следовательно,

x= π2 +πk или x= π4 + π2kили x= ±π6 +πk (k∈ℤ)

Ответ:

$π + πk;π + πk;± π+ πk (k∈ ℤ) 2 4 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#98815Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

----sin-36∘---- tgx= 2sin 42∘− cos36∘.

В ответе укажите наименьший положительный угол в градусах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы вообще могли бы получить такой угол. Скорее всего, мы что-то подставили вместо икса, и это что-то имеет вид 42t + 36v, потому что задача вряд ли использует что-то сложнее. Осталось понять, чему равно t и v (если мы верим, что после подстановки всё сократится).

Подсказка 2

Вряд ли это будет пара, такая, что |t| = |v| = 1, поскольку это было бы слишком очевидно и сразу бы решалось (хотя проверить стоит). Если же у нас t, v по модулю хотя бы 2, то там вылезают как минимум четвёртые степени и нас вряд ли так не любят организаторы. Поэтому все напрашивается на мысль, что скорее всего v и t — это 2 и 1 в некотором порядке записанные.

Подсказка 3

Осталось подстановкой проверить возможные варианты и найти подходящий!

Показать ответ и решение

Преобразуем знаменатель:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2sin42 − cos36 = sin42 +sin42− cos36

Так как для любого $x$ верно, что $sinx =cos(90∘− x),$ то $sin42∘ = cos48∘.$ Тогда:

sin42∘+ sin42∘− cos36∘ =sin42∘ +cos48∘− cos36∘

Воспользуемся формулой разности косинусов $cosa− cosb= −2sina+-bsina-− b 2 2$ :

sin42∘+ cos48∘− cos36∘ = sin42∘− 2sin48∘+36∘sin 48∘-− 36∘= sin42∘− 2sin42∘sin6∘ = sin42∘(1 − 2sin 6∘) 2 2

Снова заменим $sin42∘$ на $cos48∘ :$

sin 42∘(1− 2sin6∘)=cos48∘(1− 2sin6∘)

Итак, знаменатель дроби равен:

2sin42∘− cos36∘ = cos48∘(1− 2sin6∘)

Теперь преобразуем числитель $sin 36∘.$ Заменим $sin 36∘$ на $cos(90∘− 36∘)= cos54∘,$ а затем прибавим $sin48∘− cos42∘ =0.$ Мы прибавляем 0, значит, значение выражения от этого не изменится.