Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 181#68636Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

( 1 1)2 (x y) x + y − 3⋅ y + x + (x+ y)2

при условии, что

1+ 1 =3. x y

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, с дробями такого вида работать не очень удобно, да и вообще не особо понятно, что тут делать. Самый первый и очевидный шаг это привести всё к общему знаменателю.

Подсказка 2

Если всё правильно привести к общему знаменателю, то из условия мы можем найти, что x+y = 3xy. Что теперь хочется сделать с этим равенством?

Подсказка 3

Подставим в наше исследуемое выражение 3xy вместо x+y. Теперь мы получили многочлен, который зависит от переменной xy. Исследуйте его на минимальное значение и получите возможный ответ. Осталось проверить, что такие неизвестные-минимизаторы удовлетворяют заданному условию

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение: $(x+y)2− 3⋅ (x+y)2−2xy+ (x+y)2 xy xy$ .

Из условия следует, что $x+ y = 3xy$ , подставляя, получим

(3xy)2 (3xy)2− 2xy -xy- − 3⋅----xy----+ (3xy)2 =9− 3⋅(9xy − 2)+ 9(xy)2 =9 ⋅(xy)2 − 27xy+ 15

Это квадратный трехчлен относительно $xy$ , принимает минимальное значение $− 5,25$ при $xy = 32$ . Можно показать, что такие $x,y$ существуют, решив соответствующую систему уравнений:

{ { 1x + 1y = 3 x+yx−y3xy = 0 xy = 32 ⇐⇒ xy = 32 ⇐⇒

⌊ { √-- { | x= 9+4√57 ⇐⇒ x+ y = 92 ⇐ ⇒ || { y = 9−4√57 xy = 32 |⌈ x= 9−4√57 y = 9+457

Ответ: -5,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 182#80647Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, подумаем про периодичность синуса...Ведь мы можем разделить всё наше выражение на 6 групп, в каждой из которых синус будет давать одинаковые значения.

Подсказка 2

Что же делать теперь? Увидеть геометрическую прогрессию! Воспользоваться формулой и не перепутать табличные тригонометрические значения.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее:

sin π sin 2π sin(2021π) --23 +--232-+ ...+ --220231-- =

( √- √- √ - √ - ) = -3⋅ 1 +-3⋅-1 +0⋅-1 −--3⋅-1− --3⋅ 1-+ 0⋅ 1 + 2 2 2 22 23 2 24 2 25 26

(√- √- √- √ - ) + -3-⋅ 17 +-3-⋅ 18-+0 ⋅ 19-−-3⋅-110 −-3⋅-111 + 0⋅ 112 + ...+ 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2

( √3 1 √3 1 1 √3 1 √3 1 1 ) + 2-⋅ 22011-+ 2-⋅22012 +0 ⋅22013-− 2-⋅22014 − 2-⋅22015 +0⋅ 22016- +

( √- √- √- √- ) + -3-⋅-1--+ -3-⋅-1--+ 0⋅-1--− -3-⋅-1--− -3-⋅-1-- + = 2 22017 2 22018 22019 2 22020 2 22021

√- ( ) √-( ) = -3- 1 +-12 −-14 − 15- + -3- 17 + 18 −-110-− 111 +...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

√- √- = -3-(-1--+ --1-− --1- −--1-) + -3( -1--+ -1--− -1--− --1-) = 2 22011 22012 22014 22015 2 22017 22018 22020 22021

21√3-( 1 1 1 1 1 ) = -2-- 25 +211 + ...+ 22009 + 22015 + 22021 =

√- 1-( ( 1-)337) √- 21-3 25-1−--26-----= 21-3(1 − -1--) 2 1− 126 26 − 1 22022

Ответ:

$21√3(1−--1-) 26−1 22022$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 183#30985Максимум баллов за задание: 7

Сумма чисел $x,y,z$ отлична от нуля. Докажите, что сумма дробей

x(y−-z) y(z−-x) z(x-− y) y +z + z+x + x+ y

равна нулю тогда и только тогда, когда она определена и хотя бы два из чисел $x,y,z$ равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно доказать, что хотя бы два из тройки чисел x, y, z равны? Это означает, что разность каких-то двух чисел обращается в ноль. Тогда давайте попробуем получить равенство (x-y)(y-z)(z-x) = 0.

Подсказка 2

Поработаем с равенством из условия: по-честному приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки и видим, что одночлены имеют четвёртую степень (сумма степеней у всех переменных равна 4). А в выражении (x-y)(y-z)(z-x)=0 только третья! И тут вспоминаем условие: сумма чисел x, y, z отлична от 0. Как его использовать?

Подсказка 3

Можно домножить левую часть уравнения (x-y)(y-z)(z-x)=0 на ненулевое число x + y + z и поработать с этим!

Показать доказательство

Условие на равенство каких-то двух чисел из $x,y,z$ эквивалентно равенству

(x− y)(y− z)(z− x)= 0

А так как по условию $x +y +z ⁄= 0,$ то это равносильно

(x − y)(y− z)(z− x)(x+ y+ z)=0

x3y− x3z +y3z− xy3 +xz3− yz3 =0 (*)

Сумма дробей из условия после приведения к общему знаменателю выглядит так:

x(y− z)(z-+x)(x-+y)+-y(z−-x)(y+-z)(x+-y)+-z(x−-y)(y+-z)(x+-z)= (y+ z)(z+ x)(x+ y)

3 3 3 3 3 3 = x-y− x-z+-y-z− xy-+-xz-− yz (y+z)(z +x)(x +y)

Заметим, что числитель совпадает с выражением (*).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 184#47063Максимум баллов за задание: 7

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Составляем уравнения для чисел a и b в соответствии с условием. (a+b)/2 = 2 √3 и √(ab) = √3.

Подсказка 2!

Остается найти числа, зная их сумму и произведение! Например, по известной теореме о корнях многочленов!

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 185#97424Максимум баллов за задание: 7

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее – полусумме соседних чисел. Чему равна сумма красных чисел?

Источники: Всеросс, РЭ, 2008, 10.6

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c$ — три числа, стоящие подряд. Если $b$ — красное, то $b= a+c$ , а если $b$ — синее, то $2b= a+c$ . Запишем такие равенства для всех троек последовательных чисел и сложим их.

В правой части получится удвоенная сумма всех чисел, а в левой — сумма красных плюс удвоенная сумма синих. Тогда, если $R$ — сумма всех красных чисел, а $B$ — сумма всех синих, то мы получим равенство $R+ 2B =2(R+ B)$ , откуда $R = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 186#78857Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

2xy(x3+ y3) (x+ y)(x4 − y4) -x2− xy+-y2 +---x2−-y2----

при

x= −1,6◟. ◝..◜6 ◞7 и y = −1,3◟. ◝..◜3 ◞ 44 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите дроби к одному знаменателю.

Подсказка 2

Вспомните формулы сокращенного умножения.

Показать ответ и решение

2xy(x3+ y3) (x +y)(x4− y4) x2−-xy-+y2-+ ---x2−-y2---=

2 2 2 2 2 2 = 2xy(x-+y2)(x-−-xy2+-y) + (x+-y)(x-+2-y-)(2x-− y-)= x − xy+ y x − y

= 2xy(x+ y)+(x+ y)(x2+ y2) =

=(x+ y)(x2+ 2xy +y2)= (x+ y)3

Подставим

x= −1,6◟-..◝.◜6 ◞7 и y = −1,3◟..◝◜.3◞: 44 45

3 3 (− 1,6◟..◝◜.6◞7+(−1,3◟. ◝..◜3 ◞)) = (−3) =− 27 44 45

Ответ:

$− 27$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 187#100191Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

(x− y)(x4− y4) 2xy(x3 − y3) ----x2− y2---− x2+-xy+-y2-

при

x= 1,2◟-..◝.◜22◞, y = −2,7◟-..◝.◜7 ◞8. 46 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Показать ответ и решение

По формулам разности квадратов и разности кубов выражения из условия равно

(2 2) 2 3 (x− y)x + y − 2xy(x− y)= (x− y)(x− y)= (x− y) =

3 3 =(1,2◟..◝4.◜622◞+2,7◟..◝◜45.7◞8) = 4 = 64

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 188#82695Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

63 62 61 2 63 (x +1) +(x+ 1) (x − 1)+ (x +1) (x− 1) + ...+ (x − 1) =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Конкретно нам поможет формула для aⁿ - bⁿ. Попробуйте вместо a и b подставить (x + 1) и (x - 1).

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

n n n−1 n−2 n−2 n−1 a − b =(a− b)(a + a b+ ...+ ab + b )

Пусть $a= x+1,$ $b= x− 1$ и $n= 64.$ Тогда в разложении вторая скобка равна левой части в уравнении из условия задачи. Тогда умножим и разделим исходное уравнение на $a− b= (x +1)− (x − 1).$

--1- n−1 n−2 n−2 n−1 a − b ×(a− b)(a +a b+ ...+ab + b )= 0

Применим формулу, приведенную выше:

1 a−-b × (an− bn)= 0

Так как $a− b= (x +1)− (x − 1)= 2,$ то на $a− b$ можно сократить, и уравнение примет вид $an = bn.$

Так как $n =64,$ то получаем два случая:

$a =b,$ то есть $x+ 1= x− 1,$ что невозможно.
$a =− b,$ то есть $x+ 1= −x+ 1,$ откуда $x= 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 189#68247Максимум баллов за задание: 7

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа $a,b,c,d,$ для которых числа $a2+ 2cd +b2$ и $c2 +2ab+d2$ являются полными квадратами.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что оба наших выражения очень уж похожи на квадрат суммы. Вот только попарные произведения отличается. Вот если бы в первом выражении было не cd , а ab, то наше выражение свернулось бы в полный квадрат. И наоборот, если во втором выражении было бы не ab, а cd, то второе выражение свернулось бы в полный квадрат. Но, к сожалению, «реальность полна разочарований», вот только если не «мы сами определяем реальность». Нам же дали свободу выбора a,b,c,d. Может, можно исправить нашу проблему?

Подсказка 2

Да, действительно, если мы возьмем такие числа, что ab=cd, то оба выражения свернутся в полный квадрат, и это как раз то, что нам нужно. Значит, остаётся подобрать такие различные числа a,b,c,d, что ab=cd. Но это сделать совсем просто!

Показать ответ и решение

Достаточно найти такие $a,b,c$ и $d,$ что $cd =ab,$ тогда оба выражения свернутся в полный квадрат. Например, можно взять $a =1,b= 6,c= 2,d= 3.$

Ответ: (1, 6, 2, 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 190#30986Максимум баллов за задание: 7

Является ли число $49+610+ 320$ простым?

Источники: ММО-1998, 9.1, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас спрашивают, является ли число простым, хорошим первым шагом будет попытка пойти от противного и попробовать разложить его на множители. Думаем, как можно было бы разложить эту сумму на множители. Может быть, это выражение похоже на какую-то извествую вам формулу сокращенного умножения?

Показать ответ и решение

Докажем, что оно является полным квадратом большего единицы числа:

9 10 20 2 9 9 10 20 9 10 2 4 + 6 +3 = (2 ) +2⋅2 3 +3 = (2 + 3 )

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 191#30981Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $n$ является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Докажите, что число $n2$ тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самый главный вопрос - как нам так разложить n²! Давайте запишем его как (a²+b²+c²)² и раскроем скобки! Получившиеся слагаемые необходимо сгруппировать в три квадрата.

Подсказка 2

Заметим, что a⁴, b⁴, c⁴ получились тогда из одного из этих квадратов. Но это не мог быть (a²+b²+c²)² , значит попробуем (a²+b²-c²)². Тогда посмотрите, какие слагаемые еще останутся, если часть мы сгруппируем в такой квадрат, и попробуйте остальное тоже разложить как квадраты!

Показать доказательство

Сделаем обозначения по условию: $n =a2+ b2+ c2,a≥ b≥c.$ Если мы упорядочим так переменные, то натуральным будет число $2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b − c ≥ 2b− c > b− c ≥ 0 =⇒ a + b − c ≥ 1.$ Попробуем собрать его квадрат с ещё двумя другими натуральными:

2 ( 2 2 2)2 4 4 4 2 2 22 22 n = a +b + c = a + b+ c + 2a b +2b c +2a c =

(4 4 4 22 22 2 2) 22 22 = a +b + c+ 2a b− 2bc − 2ac +4b c +4a c =

(2 2 2)2 2 2 = a + b − c +(2bc) + (2ac)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если число $n$ является суммой квадратов двух натуральных чисел, то число $n2$ уже не обязательно является суммой квадратов двух натуральных чисел, например,

2 2 2 (1 + 1) = 4= 1+ 3=2 +2,

несмотря на справедливость схожего с решением по виду тождества

(a2+b2)2 =(a2− b2)2+ (2ab)2

Замечание.

В виде суммы четырёх квадратов целых чисел можно представить уже любое натуральное число. Это одна из теорем Лагранжа.

Следующая подтема