Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .04 Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#30995Максимум баллов за задание: 7

Для каждого натурального $n ≥2$ вычислите сумму

1 1 1 -1- -1- ---1---- ----1--- 1 + 2 + ...+ n + 1⋅2 +1 ⋅3 +...+ (n − 1)⋅n + ...+ 1⋅2⋅...⋅n.

(В знаменателях стоят все возможные произведения нескольких из чисел $1$ , $2$ , …, $n$ . Произведение одного числа равно самому этому числу.)

Показать ответ и решение

Рассмотрим произведение скобок

( 1) ( 1) ( 1) S = 1+ 1 1+ 2 ... 1+ n

Можно заметить, что при их раскрытии получится сумма прозведений по всем подмножествам (включая пустое - произведение по нему будем считать равным 1) множества ${ } 11,12 ...1n$ - для получения каждого множества достаточно взять его элементы из скобок, где они стоят, а из остальных скобок единицы.

Значит, чтобы получить из $S$ искомую сумму, надо вычесть 1, тогда искомая сумма равна:

S− 1= 2⋅ 3 ⋅ 4...n-+1 − 1 = n+1-− 1 =n 1 2 3 n 1

Ответ:

$n$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32983Максимум баллов за задание: 7

Найдите значение выражения

( 1)( 1) ( -1) ( -1-) 1− 4 1 −9 1− 16 ... 1− 1002

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В знаменателях встречается 4, 9, 16 и тд. Полные квадраты. Это намек на то, чтобы в этих скобках применить разности квадратов.

Подсказка 2

Отлично, вот мы их записали. Возьмем - и посчитаем скобки: тогда получатся дроби вида 1/2, 2/3, 3/4 и тд, а также будут дроби вида 3/2, 4/3 и тд. Будто суммы каким-то образом создают дроби, которые являются обратными к дробям, которые создаются разностями. Воспользуемся этим.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим

( 1)( 1)( 1) ( 1) ( -1-)( -1-) 1− 2 1+ 2 1 −3 1+ 3 ... 1− 100 1+ 100

Сгруппируем суммы и разности в скобках отдельно:

= 1⋅ 2 ... 99-⋅ 3⋅ 4...101=-1-⋅ 101= 101 2 3 100 2 3 100 100 2 200

Ответ:

$101 200$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32984Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-22- -42 62- -1002-- 1⋅3 + 3⋅5 + 5⋅7 + ...+ 99 ⋅101

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно выделить целую часть в каждой дроби, для этого надо как-то поработать с знаменателями. Смотрите: 1*3 = 2²-1, а, например, 5*7=6²-1. Найдем ли мы такие знаменатели в числителях?

Подсказка 2

Да запросто: в каждой дроби числитель получился на единичку больше, чем знаменатель. Дробей, как четных чисел от единицы до сотни, ровно 100/2 = 50, значит, в нашем выражении выделяется целая часть 50, а также остаются дроби с числителями, равными 1. Теперь остается обработать только эти дроби.

Подсказка 3

Вернем знаменатели дробей к первоначальному виду и подумаем, как можно представить дробь вида 1/(k*(k+2)) через дроби со знаменателями k и k+2. Сначала, наверное, будет легче поработать с дробью 2/(k*(k+2)), а потом результат разделить на 2. Тогда и сработает телескоп :)

Показать ответ и решение

Для начала давайте в каждой дроби выделим целую часть:

----k2---- ----1----- (k − 1)(k+ 1) = 1(k− 1)(k+1).

Отдельно сложим целые части, получим 50. Осталось посчитать оставшиеся дроби. Заметим, что

--1-− --1- = ----2-----, k− 1 k+ 1 (k− 1)(k+ 1)

поэтому после умножения всех дробей на 2 их сумму можно представить как

1− 1+ 1 − 1 + 1− 1+ ...+ 1-−-1-= 1 −-1-= 100. 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101

Тогда сумма исходных дробей равна

100 -50- 50 +101 :2 =50101.

Ответ:

$5100 101$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#32985Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правда ли, что tg(α)*ctg(α) = 1? Естественно, правда. Только, правда, пока что здесь не видно подобных связок. Но что, если начать группировать первый с последним, второй с предпоследним и тд?

Подсказка 2

Конечно, tg(89°)=ctg(1°), а tg(1°)*ctg(1°) = 1, ура, классно зателескопили! Правда, один момент мы не учли. Он в серединке всего этого выражения. Когда его учтем, тогда задача и будет решена.

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#33907Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

--3-- --5-- --7-- --9-- ---199-- 12⋅22 + 22⋅32 + 32⋅42 + 42⋅52 +...+992⋅1002.

Показать ответ и решение

Поскольку каждая дробь имеет вид $-2k+1--= (k+1+k)(k+1−-k)-= (k+1)2−k2= -1− --1-- k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2 (k+1)2$ , то можно переписать выражение так:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 9999 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + ...+ 992 − 1002-= 1− 10000 = 10000.

Ответ:

$0,9999$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#35238Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-1- -1- -1- --1--- 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ...+ 99 ⋅100

Показать ответ и решение

Рассмотрим каждую из дробей и представим в виде разности:

--1--- 1 --1- k(k+ 1) = k − k +1.

Теперь заметим, что у соседних дробей есть общие слагаемые, которые мы можем взаимно уничтожить:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 − 1 + 1− 1 + 1− 1 +...+ 1-− 1-- = 1 2 2 3 3 4 99 100

= 1− -1-= -99- 1 100 100

Ответ: 99/100

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#35239Максимум баллов за задание: 7

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+3 ⋅5 +5⋅7+ ...+ 99⋅101)− (1 + 3 +5 + ...+ 99)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, хорошо бы "переделать" эту задачу из подсчёта разности в подсчёт суммы. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Верно, можно разбить числа из двух скобок на пары понятным образом(первое с первым, второе со вторым и т.д.). Теперь же попробуйте понять, как они взаимосвязаны между собой. Не будет ли лучше понять, что происходит с такими группами чисел в общем виде?

Подсказка 3

Верно, если записать в общем виде, то слагаемые превращаются в k(k+2) - k² = 2k. Значит, у нас просто получается сумма 2 + 6 + 10 + ... + 198, которую уже не сложно посчитать самостоятельно. Победа!

Показать ответ и решение

Сгруппируем разности по парам: $k ⋅(k+ 2)− k2 = 2k$ . В отличие от первого примера, здесь разности меняются. Чтобы посчитать их сумму, вынесем двойку и получим

2⋅(1+ 3+ 5+...+99)= 2⋅100⋅25= 5000,

где сумму с многоточием мы посчитали, разбив слагаемые на пары вида $k$ и $100− k$ .

Полезно отметить, что мы в частном случае вывели формулу

2 1+ 3+ 5+ ...+(2n− 1)=n ,

что верно при любом $n$ .

Ответ: 5000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#35240Максимум баллов за задание: 7

Чему равно $(1+ 1)(1 + 1)(1 + 1) ...(1+-1-)? 2 3 4 100$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надеюсь первое, что пришло вам в голову это привести дроби к общему знаменателю в каждой скобке, а не раскрывать скобки в выражении. Попробуйте это проделать, кажется там получается что-то очень хорошее!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю видим, что у нас почти все числа одинаковые во всём выражении, поэтому они сократятся. Осталось только понять, что остаётся, и победа!

Показать ответ и решение

В каждой скобке приведём сумму к одной дроби. Получим

3 4 5 101 101 2 ⋅3 ⋅4 ⋅...⋅100 = 2

где при последнем переходе мы сокращаем числитель текущей дроби со знаменателем следующей. Не сокращаются только первый знаменатель и последний числитель. $101 -2-= 50,5.$

Ответ:

$50,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#35241Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

-1- -1- --1- --1--- 1⋅4 + 4⋅7 + 7⋅10 + ...+ 97⋅100

Показать ответ и решение

Попробуем представить дробь вида $---1-- k(k+ 3)$ через разность:

1 -1-- ---3-- k − k+ 3 = k(k+ 3).

Получается, что точно такого же представления нет, в числителе появляется лишняя тройка. Но ведь эта тройка появится во всех дробях: она там появилась как разность между сомножителями знаменателя, то есть $k$ и $k +3$ . Поэтому мы можем домножить исходную сумму на 3 и уже после этого представить каждую дробь как разность

1 − 1+ 1− 1+ 1 −-1 +...+-1 −-1- = 1− -1-= 99. 1 4 4 7 7 10 97 100 1 100 100

Осталось учесть, что мы посчитали утроенную сумму. Значит, исходная сумма равна $-33-. 100$

Ответ: 33/100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#67504Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.

Подсказка 2

Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#70487Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше:

--3-- --5-- --87--- --89--- A= (1⋅2)2 + (2⋅3)2 + ...+ (43⋅44)2 + (44⋅45)2

или

∘6---√-- 3∘ √---- B = --4−-2-3√⋅---3+-1? 32

Источники: Ломоносов-2022, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

«Какой олимпиадник не любит длинных телескопов…». Действительно, то, что написано выше, это ведь очень похоже на стандартный телескоп с разложением на дроби вида 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1). Как тогда преобразовать наше равенство выше к дробям вида k/(n^2*(n+1)^2)?

Подсказка 2

Верно, это по сути две дроби, у которых разность между знаменателями равна 2n + 1. Значит, 1/n^2 - 1/(n+1)^2 = (2n+1)/(n^2*(n+1)^2). Заметим теперь, что это ровно дроби нашего вида. Чему тогда равна наша сумма-телескоп?

Подсказка 3

Верно, она равна 1/1^2 - 1/45^2 = 2024/2025. Значит, получили сумму в явном виде. Теперь посмотрим на дробь. Кажется, преобразовать можно только первое подкошенное выражение, так как все остальное выглядит слишком атомарно. При этом, у нас все, кроме первого корня имеет степень 1/3, а корено - степень 1/6. Значит, нам хотелось бы преобразовать подкоренное выражение в квадрат некоего числа, чтобы извлечь корень и занести все числа под кубический корень. Попробуйте преобразовать первый корень.

Подсказка 4

Верно, он преобразовывается в квадрат числа (sqrt(3) - 1). А значит, после нехитрых преобразований, получаем, что дробь равна 1. При этом, сумма наша равна 2024/2025. Ответ получен!

Показать ответ и решение

Так как

--2n+-1-- 1- ---1-- (n(n +1))2 = n2 − (n+ 1)2

Находим $A$

( ) ( ) ( ) ( ) A = 12 − 12 + -12 −-12 +...+ -12 −-12 + 12-−-12 = 12-− 12-= 1 2 2 3 43 44 44 45 1 45

= 452-− 1-= 2024 452 2025

Найдём $B$

6∘----√- ∘3√---- 6∘-√-----2 3∘√---- 3√---- B =--4−-2-33√⋅---3+-1 = -(-3−-1)3√-⋅---3+1-= -3√3− 1-=1 2 2 2

Получаем, что $A <B.$

Ответ: B

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#74657Максимум баллов за задание: 7

Найдите целую часть числа

---1--- ---1--- -----1---- √1 +√2-+ √3+ √4 +⋅⋅⋅+√623-+√624

Источники: Бельчонок-2022, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Гораздо удобнее работать с целочисленными знаменателями-> что нужно сделать, чтобы они стали именно такими? Попробуем оценить число А другим число так, чтобы нам было удобно оценивать их разность двумя способами. Тогда мы сможем прийти к оценке числа А!
----—

Подсказка 2

Рассмотрим число В такое, что оно получено из А циклическим сдвигом корней в знаменателях в А(т.е. в числе В первое слагаемое равно 1/(sqrt(2)+sqrt(3)). Как можно выразить В через А и как оценить их разность?

Подсказка 3

А+В=24(почему?). Теперь мы можем оценить их разность, группируя соответствующие слагаемые.

Подсказка 4

Их разность меньше 1, а сумма равна 24. Осталось ли ль сделать соответствующие выводы)

Показать ответ и решение

Обозначим

--1---- ---1--- ----1----- A = √1+ √2 +√3-+ √4 + ⋅⋅⋅+ √623+ √624

Возьмём число

B = √--1√--+ √-1-√-+ ⋅⋅⋅+ √---1-√--- 2+ 3 4+ 5 624+ 625

Число слагаемых одинаково, каждое слагаемое в $A$ больше соответствующего слагаемого в $B,$ поэтому $A > B.$ Избавимся от иррациональности в знаменателях:

A= √2-− √1-+√4 − √3+ ⋅⋅⋅+ √624− √623

B =√3-− √2-+ √5− √4+ ⋅⋅⋅+ √625− √624

Очевидно, $√ --- √- A+ B = 625 − 1 =24.$ Оценим $A − B.$

( ) ( A− B =√--1-√-− √--1-√-− √--1√-- − ⋅⋅⋅− √---1-√---− 1+ 2 2+ 3 3 + 4 622+ 623

− √---1-√---)− √---1-√---< √--1√--< 1 623+ 624 624+ 625 1+ 2

Подставим $B = 24 − A :$

A− 24+ A< 1,

отсюда $A < 12,5.$ Но $A > B,$ значит, $A >12.$ Следовательно, целая часть числа $A$ равна 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#74948Максимум баллов за задание: 7

Дана арифметическая прогрессия $a = 25,a ,a,...,a = 2025. 1 2 3 2022$ Вычислите

----1--- ----1--- -----1------- √a1+ √a2 +√a2-+√a3-+ ⋅⋅⋅+ √a2021+ √a2022

Источники: САММАТ-2022, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все числа прогрессии можем найти, но подставлять их в знаменатель и возиться с кучей корней.. врагу не пожелаешь. И вообще корни в знаменателе это очень неприятно, как бы это исправить? Вместо этого можно провернуть трюк с избавлением от иррациональности в знаменателях - всё-таки с корнями в числителях лучше работается, чем с корнями в знаменателях

Подсказка 2

Ага, можно просто домножить числитель и знаменатель на сопряжённые! И при этом у нас же прогрессия была, тогда мы знаем знаменатели! И всё красиво сокращается

Показать ответ и решение

Найдем разность прогрессии

2025−-25 2000 d = 2022 − 1 = 2021

Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим

1 1 1 √a--+√a--+ √a-+-√a-+ ⋅⋅⋅+ √a---+-√a----= 1 2 2 3 2021 2022

√-- √-- √ -- √ -- √---- √---- = -a1−--a2 +--a2−--a3+ ⋅⋅⋅+ -a2021−--a2022-= d d d

√a2022−-√a1- (45−-5)2021 2021- = d = 2000 = 50 = 40,42

Ответ:

$40,42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#91393Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

( -1-) (-2--) (2020) f 2020 + f 2020 + ...+ f 2020 ,

где

3 f(x)= x2+9x-− 2. x − x+ 2

Показать ответ и решение

Представим $f(x)$ в виде

-8x-− 4- 3 f(x)= x+ 1+ x2− x+ 2 = 2 + g(x)

где

( ) ( 1) g(x)= x− 1 + (8-x−)22--- 2 x − 12 + 74

Заметим, что $(1 ) (1 ) g 2 + x = −g 2 − x$ при любых $x.$ Следовательно,

( 1 ) (2019) ( 2 ) ( 2018) g 2020 =− g 2020 ,g 2020- = −g 2020- ( 1009) (1011) ..., g 2020- = −g 2020

поэтому

(-1--) (--2-) ( 2020) f 2020 + f 2020 + ...+ f 2020 = = 3 ⋅2020+ g(-1-)+ g( -2-) +...+ g( 2020) = 2 ( 20)20 ( 202)0 ( 20)20 =3030+g 1010- + g 2020 = 3030 +g 1 + g(1)= 2020 2020 2 =3030+0 + 5 = 3032,5 2

Ответ: 3032,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#99201Максимум баллов за задание: 7

Задана числовая последовательность:

1 -1-- x0 = n и xk = n− k (x0+x1+ ...+ xk−1),

где $k =1,2,...,n− 1.$ Найти

Sn = x0+ x1 +...+ xn−1,

если $n =2022.$

Источники: Газпром - 2022, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти ответы для маленьких n. Сравните их с коэффициентами из условия.

Подсказка 2

Докажем по индукции, что ответ — 1/(n-k).

Подсказка 3

Для того, чтобы произвести шаг индукции, достаточно к предыдущей сумме добавить новое слагаемое, которое также выражается через эту сумму!

Показать ответ и решение

С помощью математической индукции докажем, что

1 x0+x1+ ...+ xk−1+ xk = n−-k.

Для $k= 0$ это равенство выполняется. Для $k =1$ :

x0+ x1 = 1 +-1- ⋅ 1=--1-. n n − 1 n n − 1

Предположим, что это равенство выполняется для всех $m ≤k,$ тогда оно должно выполняться и для $k+ 1.$ Проверим это:

(x0+x1+ ...+ xk)+xk+1 =--1- +xk+1 =--1- + ---1----(x0 +x1+ ...+ xk)= n − k n − k n− (k+ 1) =--1- + ------1------= ----1--- n − k (n − k − 1)(n − k) n − (k+ 1)

Значит, это равенство выполняется и для $k+ 1.$ Следовательно, наше предположение, что

-1-- x0+ x1+...+xk−1+ xk = n− k

верно. Тогда при $n= 2022$ и $k =n − 1 =2021:$

1 S2022 = x0+x1+ ...+ x2021 = 2022− 2021 = 1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#80264Максимум баллов за задание: 7

Найдите

f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13),

если

3 2 f(n)= 4n − 6n + 4n+ 13.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то у нас слишком массивное выражение для f(n), может, попробуем его немного упростить? У нас есть последовательно идущие коэффициенты 4, 6, 4 - на что это нам намекает?

Подсказка 2

Конечно, эти же коэффициенты встречаются при разложении разности четвёртой степени. Теперь нужно только аккуратно выделить такую четвёртую степень в выражении для f(n) и вычесть лишнее. Смотрите, теперь при подстановке f(n) в изначальную сумму многое сокращается, и остаются только несложные вычисления

Показать ответ и решение

Попробуем сгруппировать $4n3− 6n2+4n +13.$ Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты $4, 6, 4,$ тогда попробуем собрать многочлены $4$ степени. Получаем

3 2 4 4 f(n) =4n − 6n +4n +13= n − (n − 1) +14

Посчитаем искомое выражение:

4 4 4 4 4 4 f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13)= 1 +2 + ...+ 13 − (0 +1 + ...+ 12)+ 14⋅13 =

134+14⋅13= 28743

Ответ: 28743

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#99153Максимум баллов за задание: 7

Доказать неравенство:

1- 1- 1- -1--- 12 + 22 + 32 + ...+ 20212 < 2.

Источники: Газпром - 2021, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хотелось бы как-то красиво "собрать" сумму и по возможности что-то сократить. Как можно оценить квадраты, чтобы знаменатели стали более похожими друг на друга?

Подсказка 2

Квадрат числа больше, чем произведение его на число, меньшее на единицу.

Подсказка 3

Нам хочется, чтобы многие дроби сократились. Для этого нам нужно представить наше выражение в виде разностей и сумм. Попробуем тогда выразить в виде разности выражения вида 1/(x(x+1)).

Подсказка 4

1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1). Смотрите, теперь в нашем выражении многое сокращается ;)

Показать доказательство

Перепишем неравенство в виде

1- 1- -1--- 22 + 32 +...20212 <1.

Справедливо неравенство

1 1 1 1 1 1 1 22 + 32 +...20212 < 1⋅2 +2-⋅3 + 3⋅4 + ...2020-⋅2021

Так как

-1-+ -1- +-1- +...+ ---1----= 1⋅2 2⋅3 3 ⋅4 2020⋅2021

( ) ( ) ( ) ( ) = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...+ -1--− -1-- = 2 2 3 3 4 2020 2021

= 1− -1--= 2020, 2021 2021

то

1-+ 1-+ ...--1--< 2020-<1. 22 32 20212 2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#101417Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее натуральное число $n,$ для которого верно неравенство

(3 3 3) 1 + 2 + ⋅⋅⋅+n − 106(1+ 2+ ⋅⋅⋅+n)+ 105≤ 0

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия становится понятно, что нам пригодится формула суммы кубов;) Если Вы её забыли — не беда, можно выразить её по индукции или через сумму четвёртых степеней. Но для этого нам понадобится, например, формула суммы последовательных квадратов.

Подсказка 2

После того, как мы выразим обе суммы в виде дробей, можно будет заметить, что у них есть общий множитель, а справа стоит 0. Это нам намекает на то, что нужно попытаться разложить левое выражение на множители! Осталось лишь разобрать знаки скобочек и записать новое неравенство на x ;)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму $12 +22+ ⋅⋅⋅+ n2 :$

∑n n∑ ( ) 13+23+ ⋅⋅⋅+ n3+ (n +1)3 = 1+ (1+k)3 = 1+ 1+ 3k+ 3k2+ k3 = k=1 k=1

3(n-+1)n ∑n 2 ∑n 3 = 1+ n+ 2 + 3k=1k +k=1k

Заметим, что сумма кубов до $n$ вся сокращается, и остаётся только $(n +1)3.$ Отсюда выразим сумму квадратов.

3∑n k2 = (n+ 1)3− 1− n− 3(n+-1)n k=1 2

n ∑ k2 = n(n-+1)(2n-+1) k=1 6

Теперь проделаем аналогичные преобразования для вычисления суммы $3 3 3 1 +2 + ⋅⋅⋅+ n :$

n+∑1k4 =1+ ∑n (1+ k)4 = 1+∑n (1+ 4k +6k2+ 4k3 +k4)= k=1 k=1 k=1

n n n = 1+ n+ 4(n-+1)n+ 6∑ k2+ 4∑ k3 +∑ k4 2 k=1 k=1 k=1

n∑ 4 k3 = (n+ 1)4− 1− n− 4(n-+1)n− n(n+ 1)(2n +1)= k=1 2

( 3 2 ) = (n+ 1) (n+ 1) − 1− 2n − 2n − n

∑n 3 n2(n +1)2 k = ---4---- k=1

Все эти формулы, конечно, желательно и так помнить, но если забыли, то можно будет вывести так или по индукции. Тогда возвращаясь к неравенству

(13+ 23+⋅⋅⋅+n3)− 106(1+ 2+⋅⋅⋅n)+ 105≤ 0⇔

n2(n+-1)2-− 106n(n+-1)-+105≤ 0 4 2

( n(n-+1)- )( n(n-+1)- ) 2 − 1 2 − 105 ≤ 0

n2 +n − 210≤ 0

(n+ 15)(n− 14)≤ 0

Отсюда получаем, что наибольшее натуральное значение, при котором верно равенство, равно $14.$

Ответ:

$n =14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#65465Максимум баллов за задание: 7

Для всех неотрицательных значений вещественной переменной $x$ функции $f(x)$ выполняется условие

-----43---- f(x+ 1)+1= f(x)+(x+ 1)(x+ 2)

Вычислите $101 f(2020)$ , если $f(0)= 2020$ .

Источники: ШВБ-2020, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В равенстве из условия можно выразить f(x+1) через f(x). Кажется, это намекает на какую-то рекурсию, попробуем выразить f(x) через f(x-1) и т.д. Заметна ли какая-то закономерность?

Подсказка 2

Да, на самом деле для натурального n можно выразить f(n) через f(0) = 2020, получится равенство f(n) = 2020 - n + 43(1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n×(n+1))). Подумайте, как можно свернуть сумму дробей в скобках.

Подсказка 3

Попробуйте каждую дробь из суммы расписать как разность двух дробей так, чтобы при суммировании почти все члены сокращались.

Подсказка 4

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1), тогда все члены сокращаются, кроме первого и последнего, получаем f(n) = 2020 - n + 43(1 - 1/(n+1)). Что можно применить, чтобы доказать эту формулу для любого натурального n?

Подсказка 5

Конечно же, индукцию! База легко проверяется, переход также несложно доказывается. Остаётся посчитать f(2020) :)

Показать ответ и решение

Докажем по индукции, что

-1-- f(n)= 2020− n +43(1− n+ 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База очевидна:

f(0)= 2020− 0 +43(1 − 1)= 2020

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход несложно доказать:

43 ( 1 ) 43 f(n+ 1)=− 1+f(n)+ (n-+1)(n-+2)-=2020− n +43 1− n+1- − 1+ (n-+1)(n-+2) =

( ) ( ) 2020− (n+ 1)+ 43 1+ -----1-----− --n-+2---- = 2020− (n +1)+ 43 1− ---1---- (n+ 1)(n+ 2) (n +1)(n +2 (n+ 1)+ 1

_____________________________________________________________________________________

Таким образом, по доказанной формуле

f(2020)= 2020− 2020+ 43(1−--1---)= 2020= 101⋅20- 2020+ 1 47 47

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Вот как прийти к решению:

f(n)=f(n− 1)− 1+---43---= f(n − 2)− 2+43(--1---+---1---)= n(n+ 1) n(n+ 1) n(n− 1)

1 1 1 = f(n− 3)− 3+ 43(n(n+-1) + (n-− 1)n + (n−-2)(n−-1))=

= f(0)− n+ 43(--1---+ ---1---+...+ -1-)= n(n+ 1) (n− 1)n 1⋅2

1 --1- --1- 1 1 1 =f(0)− n +43(n − n+ 1 + n − 1 − n + ...+ 1 − 2)=

1 =2020− n+43(1− n+-1)

Ответ:

$47 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#71931Максимум баллов за задание: 7

Сумму

2 2 ⋅5 2 ⋅5 ⋅...⋅2015 3⋅6 +3-⋅6-⋅9 +...+3-⋅6-⋅...⋅2019

записали в виде десятичной дроби. Найдите первую цифру после запятой.

Источники: СпбОШ - 2020, задача 11.4(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте представить каждое слагаемое в виде разности так, чтобы большинство членов взаимно уничтожались. Для этого достаточно посмотреть на последние множители числителя и знаменателя.

Подсказка 2

Итак, вы получили разность 2/3 и какой-то большой дроби. Эту дробь хочется оценить. Глобальная идея такая: попробуйте рассмотреть ещё какие-то дроби, похожие на неё и оцените её снизу и сверху произведениями этих дробей (которые должны быть равны чему-то более-менее простому, то есть большинство множителей должно сократиться).

Подсказка 3

Пусть дробь, которую нужно оценить, равна C, а четыре другие — A, B, D, E. Подберите их так, что A < B < C < D < E и ABC < C³ < CDE.

Показать ответ и решение

Для начала упростим данную сумму. Каждое слагаемое запишем в виде разности