Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .01 Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#58026Максимум баллов за задание: 7

Даны два числа (не обязательно целые), не равные $0.$ Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем наше условие в виде уравнений. Получится (a+1)(b+1)=2ab. Если записать то, что мы хотим найти, то получится (a^2-1)(b^2-1). Как теперь это преобразовать?

Подсказка 2

Да, можно разложить в разность квадратов и получить (a-1)(b-1)(a+1)(b+1). Отлично, произведение последних двух скобок известно, осталось как-то найти произведение первых двух скобок....

Подсказка 3

Раскройте скобки в изначальном условии и попробуйте его привести к равенству со скобками (a-1)(b-1)

Показать ответ и решение

Обозначим данные числа через $a$ и $b.$ По условию

(a+ 1)(b+ 1)= ab+ a+ b+ 1= 2ab

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

ab− a− b− 1= 0

Тогда

(a− 1)(b− 1)= ab− a− b+ 1= (ab − a − b − 1)+ 2= 0 +2 = 2 ( 2 )(2 ) a − 1 b− 1 = (a− 1)(b− 1)(a + 1)(b+ 1)= 2⋅2ab= 4ab

Ответ:

в $4$ раза

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#68640Максимум баллов за задание: 7

Простые числа $p,q$ и $r$ таковы, что

2 2 2 p< q,p +q =r,p +q = r − 116

Найдите $p,q$ и $r.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть условие на сумму p+q, есть условие на сумму их квадратов, что хочется сразу сделать?

Подсказка 2

Возвести в квадрат p+q! Тогда будет нетрудно выразить 2pq, получившиеся в квадрате суммы. Каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 3

Простотой p и q! 2pq = 116 = 4 * 29. Остается лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в квадрат:

2 2 2 p +2pq+ q = r

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

2 2pq =116= 2 ⋅29

Значит, учитывая, что $p< q,$ получаем:

p= 2,q = 29⇒ r= p+ q = 31

Ответ:

$p =2,q = 29,r= 31$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#89774Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90319Максимум баллов за задание: 7

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#97661Максимум баллов за задание: 7

Уравнение $x4− 7x− 3= 0$ имеет ровно два действительных корня $a$ и $b,$ $a> b.$ Найдите значение выражения $a4−b4. a−b$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что a и b - корни x⁴ - 7x - 3 = 0. Как можно переформулировать условие?

Подсказка 2

Это то же самое, что a⁴ - 7a - 3 = 0 и b⁴ - 7b - 3 = 0.

Подсказка 3

Рассмотрите разность этих двух выражений.

Показать ответ и решение

Так как число $a$ и $b$ является корнем уравнения $x4− 7x − 3 =0,$ то $a4− 7a− 3=0$ и $b4− 7b− 3 =0.$ Рассмотрим разность двух получившихся выражений:

(4 ) ( 4 ) a − 7a− 3 − b − 7b− 3 = 0

4 4 a − b− 7a+ 7b =0

a4− b4 = 7(a− b)

a4−-b4= 7 a− b

Мы смогли поделить обе части уравнения на $a− b,$ так как по условию числа $a$ и $b$ различны.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#30977Максимум баллов за задание: 7

Два различных числа $x$ и $y$ (не обязательно целых) таковы, что

2 2 x − 2000x= y − 2000y

Найдите сумму чисел $x$ и $y.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть квадрат х слева и квадрат у справа. Давайте поэтому перенесем квадраты в одну сторону, а 2000х и 2000у - в другую.

Подсказка 2

Тогда давайте разложим на множители обе части выражений, а затем вспомним, что х и у это различные числа и используем это.

Показать ответ и решение

В данном выражении квадраты $x2$ и $y2$ изначально находятся с разных сторон от равенства. Давайте перенесём их в одну часть и разложим по формуле разности квадратов, а остальное выражение соберём в правой части:

2 2 x − y = 2000x − 2000y

(x− y)(x+ y)=2000(x − y)

В последнем выражении мы получили разность $x− y$ как множитель с обеих сторон равенства. Сократим на этот общий множитель: он не равен 0 из условия, что числа $x$ и $y$ различны. Получим $x+ y = 2000,$ а именно эту сумму нас и просили найти.

Ответ:

$2000$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#30978Максимум баллов за задание: 7

Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна $0.$ Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишите условия задачи через равенства (составьте их исходя из условий) - это уже половина нашего успеха. Нам нужно найти a+ b - 1/a − 1/b.

Подсказка 2

Запишем первое условие как равенство суммы четырех дробей нулю. Тогда мы можем привести дроби к общему знаменателю и рассмотреть получившийся числитель! Ведь как раз он и будет равняться нулю.

Подсказка 3

Аналогично мы можем преобразовать и a+ b - 1/a − 1/b, приведя к общему знаменателю! Попробуйте найти связь между получившимися двумя дробями (этой и из подсказки 2)

Показать ответ и решение

Пусть нам даны числа $a$ и $b.$ Перепишем условие через равенства. Нам дано:

--1- --1- --1- --1- a+ 1 + b+ 1 + a− 1 + b− 1 = 0

Нужно найти $1 1 a+ b− a − b.$

Заметим, что выражение $a+ b− 1a − 1b$ определено, так как числа $a$ и $b$ ненулевые. Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Значит

2 2 -1--+ -1--+ -1--+ -1--= -22a--+ -22b--= 2a(b-−2-1)+-22b(a-−-1)= 0 a+ 1 b+ 1 a− 1 b− 1 a − 1 b − 1 (a − 1)(b − 1)

Итак, знаменатель не равен нулю — $a$ и $b$ не равны $±1$ — а числитель $2a(b2− 1)+ 2b(a2− 1) =2(ab2+ a2b− a − b)= 2(a+ b)(ab− 1)= 0$ равен нулю. Теперь нам нужно посчитать, чему равно $a +b− 1a − 1b = a2b+aab2b−a−b,$ но это выражение равно нулю, так как числитель равен нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#30982Максимум баллов за задание: 7

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна $1000.$ Какие числа записаны в вершинах треугольника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введите эти натуральные числа через переменные x, y, z. Попробуйте догадаться, во что тождественно можно преобразовать полученное из условия уравнение. Как будто чего-то не хватает...

Подсказка 2

Аааа, точно, нужно прибавить единичку к этой всей сумме, тогда все сведется к (x+1)(y+1)(z+1), а дальше сами :)

Показать ответ и решение

Обозначим числа в вершинах через $x,y$ и $z.$ Тогда на сторонах будут написаны числа $xy,yz$ и $zx,$ а внутри — $xyz.$ По условию,

x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = 1000

Добавим к обеим частям по единице и разложим на скобки:

1+ x+ y+z +xy+ yz+ zx +xyz = (1+x)(1+y)(1 +z)= 1001

Так как числа $x,y,z$ — натуральные, то каждая скобка больше $1.$ Число $1001 =7⋅11⋅13,$ и так как $7,11,13$ — простые числа, других разложений в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, у числа $1001$ нет. Значит, скобки равны $7,11$ и $13$ в каком-то порядке, а числа $x,y$ и $z$ — $6,10$ и $12.$

Ответ:

$6$ , $10$ и $12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#30994Максимум баллов за задание: 7

Даны три числа. Если их все увеличить на $1,$ то их произведение тоже увеличится на $1.$ Если все исходные числа увеличить на $2,$ то их произведение тоже увеличится на $2.$ А на сколько увеличится произведение, если все исходные числа увеличить на $3?$

Показать ответ и решение

Пусть исходные числа это $a,b$ и $c$ , тогда:

(| (a+ 1)(b+ 1)(c+1)= abc+1 { (a+ 2)(b+ 2)(c+2)= abc+2 |( (a+ 3)(b+ 3)(c+3)= abc+x

(| a+b +c+ ab+bc+ ac=0 { 4(a+ b+ c)+ 2(ac+ bc+ab)+6 =0 |( 9(a+ b+ c)+ 3(ab+ bc+ac)+27= x

Из первых двух уравнений можно заключить

a+ b+c =− 3,ab+ bc+ ac= 3,

тогда из последнего

x= 27+9⋅(−3)+ 3⋅3= 9

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#35453Максимум баллов за задание: 7

Петя перемножил три подряд идущих натуральных числа, а к результату прибавил среднее число. Докажите, что получился куб какого-то натуральное числа.

Показать доказательство

Обозначим наши числа через $a− 1,a,a+1.$ Тогда Петя получил число $(a− 1)a(a +1)+ a= a3 − a+ a= a3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#35456Максимум баллов за задание: 7

Сумма четырех целых чисел равна $0.$ Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $− 1,$ равна удвоенному квадрату целого числа.

Показать доказательство

Обозначим наши числа через $x,y,z,t,$ и пусть они стоят по кругу именно в таком порядке.Обозначим через $s =x +z = −(t+ y).$ Тогда наша сумма равна

2 x(y+t)+ z(y+ t)+y(x+ z)+ t(x+ z)= 2(x+ z)(y+ t) =− 2s

То есть, если умножить нашу сумму на $− 1,$ то получится удвоенный квадрат целого числа.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#90132Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее целое число, большее, чем $√√17+3. 17−3$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для того, чтобы удобно было оценивать наше число, избавимся от иррациональности в знаменателе: на что удобно для этого домножить нашу дробь?

Подсказка 2

Умножьте дробь на такое выражение, чтобы в знаменателе образовалась разность квадратов.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулами сокращённого умножения, чтобы раскрыть скобки в числителе и в знаменателе, можно ли сократить получившуюся дробь?

Подсказка 4

Осталось оценить √17 и можно записывать ответ!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе

√17-+3 26 +6√17 13 +3√17 T = √17-− 3 =--8----= ---4----

Поскольку $√-- 4< 17< 5$ , то

(13+ 12)∕4< T <(13+15)∕4

6< 25∕4< T < 7

Тогда ответом будет $7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#89287Максимум баллов за задание: 7

Для различных положительных действительных чисел $a,b$ справедливо равенство

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

Найдите значение выражения

13− a2b− b2a -2+-a2b+-b2a-

Источники: Бельчонок - 2020, 11 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично задаться целью узнать, чему равно (a^2)b+(b^2)a, ведь тогда посчитается искомое выражение. Что вообще можно сделать с равенством, которое дано?

Подсказка 2

Верно, знаменатели нам не полезны, поэтому домножим на них. Дальше логично перенести всё в одну часть и разложить на скобки.

Подсказка 3

Получаем (b-a)((a^2)b+(b^2)a-1)=0. a и b по условию не равны, следовательно нулю равна вторая скобка, цель достигнута, осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

Из условия имеем:

---a---- ---b--- a3+ a+ 1 = b3+b+ 1

ab3+ ab+ a= a3b+ ab+b

3 3 ab − a b+ a− b =0

(b− a)(a2b+ ab2− 1)= 0

Так как по условию $a⁄= b,$ то

a2b+ b2a =1.

В результате имеем:

13− a2b− ab2 13− 1 -2+-a2b+-ab2-= -2+1-= 4

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#63905Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $a+ b+ c=5$ и $ab+ bc+ac= 4$ . Найдите $a2 +b2+ c2.$

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то, что нам дано и что мы хотим найти. Подумайте о том, какие формулы могут связывать произведения чисел, сами числа и их квадраты?

Подсказка 2

Верно, это формула квадрата суммы трех слагаемых! Воспользуйтесь ей и преобразуйте выражение так, чтобы можно было из того, что нам дано найти то, что у нас просят!

Показать ответ и решение

$(a+ b+c)2 = a2+b2+ c2 +2(ab+bc+ ac)$ , откуда $a2+ b2+ c2 =52− 2⋅4= 17.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#92872Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $a,b,c,d$ известно, что $a+ b= b+2c= c+ 3d= d+4a.$ Какое из чисел $a,b,c,d$ — наибольшее?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Из первого равенства $a= 2c.$ Из последнего $c+3d =d+ 8c,$ откуда $d =3,5c.$ Из второго $b+ 2c= c+10,5c,$ откуда $b= 9,5c.$

Ответ:

$b$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#93567Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны сто обыкновенных дробей, все они больше $0.$ Если перевернуть все дроби с чётными знаменателями, то произведение всех ста дробей будет равно $3∕20.$ Если бы вместо этого перевернули все дроби со знаменателями, кратными $5,$ произведение всех ста дробей было бы $4∕15.$ Во сколько раз произведение дробей с чётными знаменателями больше произведения дробей со знаменателями, кратными $5?$

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — произведение дробей с чётными знаменателями, не кратными $5;b$ — произведение дробей с нечётными знаменателями, кратными $5;c$ — со знаменателями, кратными $10;d$ — со знаменателями, взаимно простыми с $10$ (если дробей какого-то вида нет, соответствующее произведение положим равным $1).$

При переворачивании дробей с чётными знаменателями, а также со знаменателями, кратными $5,$ соответствующие произведения заменяются на обратные. Поэтому $bd∕ac= 3∕20,ad∕bc= 4∕15.$ Поделив второе равенство на первое, получим $2 (a∕b) =16∕9,$ откуда $a∕b= 4∕3.$ Искомое отношение равно $ac∕bc= a∕b= 4∕3.$

Ответ:

В $4∕3$ раза

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#96611Максимум баллов за задание: 7

Написаны $2017$ чисел. Известно, что сумма квадратов любых $7$ из них равна $7,$ сумма любых $11$ из них положительна, а сумма всех $2017$ чисел делится на $9.$ Найдите эти числа.

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какими могут быть числа, если сумма квадратов любых 7 из них равна 7?

Подсказка 2

Конечно же, квадраты равны единицам. Значит, это числа ±1.

Подсказка 3

Что можно сказать о количестве -1?

Подсказка 4

Их количество не превосходит 5, так как сумма любых 11 чисел положительна. Проанализируйте делимость на 9.

Показать ответ и решение

Сумма квадратов любых 7 чисел равна 7. Отсюда следует, что все эти квадраты равны 1. Все эти числа равны $± 1$ .

Сумма 11 положительна, значит, количество $− 1$ не превосходит 5.

Если все будут равны 1, то сумма равна 2017 и на 9 не делится.

Если поменять знак у одной единицы, то сумма уменьшится на 2. Сделав так 5 раз, получим 2007, которое делится на 9.

Ответ:

пять чисел равны $− 1,$ остальные равны $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#126636Максимум баллов за задание: 7

Что больше:

√ ---- ∘------√---- √---- ∘-----√----- 2016+ 2015+ 2016 или 2015+ 2016+ 2015?

Показать ответ и решение

Давайте обозначим $a= √2016,$ $b= √2015.$ Тогда сравнение примет вид:

∘ -2--- ∘ 2---- a+ b + a∨b+ a +b.

Запишем его так:

a− b ∨∘a2-+b− ∘b2+-a.

Домножим и поделим правую часть на сопряженное, а также разложим числитель на множители:

a− b∨√(a-− b)(a+√b−-1)-. a2 +b+ b2+ a

Поскольку $a> b,$ на $a− b$ можно поделить:

----a+b-− 1--- 1∨ √a2+-b+ √b2+-a

Ясно, что числитель у дроби справа меньше $a+ b,$ а знаменатель — больше, потому что $√ ----- √----- a2+b >a, b2+ a> b.$ Значит, дробь меньше $1.$ Таким образом, выражение слева больше.

Ответ:

выражение слева

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#80511Максимум баллов за задание: 7

Даны 2014 положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если перемножить набор выражений, каждое из которых меньше единицы, то произведение будет тоже меньше единицы!

Подсказка 2

Мы знаем, что произведение любых 35 чисел меньше единицы. Какие удобные числа мы можем выбрать?

Подсказка 3

Давайте запишем систему неравенств. Сначала возьмём первые 35 чисел, потом набор из следующих 35 чисел и т.д..

Показать доказательство

Пусть даны числа $x ,x,...,x 1 2 2014$ . Тогда

x1x2⋅...⋅x35 < 1

x x ⋅...⋅x < 1 2 3 36

...

x1981x1982⋅...⋅x2014x1 < 1

Перемножим все эти неравенства и получится

(x1x2...x2014)34 <1

Тогда

x1x2...x2014 < 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#82684Максимум баллов за задание: 7

Учитель написал на доске 10 чисел. Вася увеличил каждое из чисел на 1 и сумма их квадратов не изменилась. Как изменится сумма квадратов чисел, если каждое увеличить на 2?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте распишем искомую величину и определим, что нам нужно найти для того, чтобы получить ответ.

Подсказка 2

Если раскрыть скобочки и привести подобные слагаемые, видно, что нам достаточно узнать лишь сумму наших чисел, как можно это сделать из данного нам условия?

Подсказка 3

Давайте запишем равенство суммы квадратов чисел, увеличенных на 1, и суммы квадратов исходных чисел, раскроем скобочки и выразим отсюда необходимую нам сумму, подставим её в искомое выражение и получим ответ!

Показать ответ и решение

Пусть написанные на доске числа — $a ,a ,...,a . 1 2 10$