Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .03 Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#79773Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что число

2 2 2 (2020⋅2021) + (2020⋅2021⋅(2020⋅2021+ 1)) +(2020 ⋅2021+ 1)

является квадратом некоторого натурального числа.

Решение получить алгебраически, не привлекая вычислительных средств (калькулятора).

Источники: САММАТ - 2021, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что нам бросают песок в глаза. Нам незачем таскать за собой произведение 2020*2021, поэтому стоит заменить его на a.

Подсказка 2

Теперь надо работать с a²+(a(a+1))²+(a+1)². Давайте раскроем крайние квадраты: (a(a+1))²+2a²+2a+1.

Подсказка 3

Хммм... А ведь 2a²+2a=2a(a+1). Воспользуйтесь формулой квадрата суммы и радуйтесь жизни!

Показать доказательство

Обозначим $2020 ⋅2021= a,$ тогда число из условия равно

2 2 2 2 2 2 2 a +(a(a +1))+ (a+ 1) = a + a(a +2a+ 1)+ a +2a+ 1=

4 3 2 2 2 2 2 (a +2a + a)+ (2a + 2a)+1 =(a + a) + 2(a + a)+1 =

(a2+ a+ 1)2

и является квадратом.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#94265Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4 ) √3-- ∘3--- ∘3--- 3∘ ------ x + x+ 1( 80 − 0,01)= 2( 5,12+ 0,03375)

Источники: БИБН - 2021, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что решать в лоб данное уравнение, сначала поделив на константу, равную второй скобке, как-то очень грустно (оно даже не биквадратное). Впрочем, если вы знаете метод Феррари, то можно сойти с ума, но сделать. Но лучше посмотрим на числа. Не просто же так, наверное, дали ровно такие числа. Может быть это какие-то хорошие числа. Вот 5,12 - это по сути 8³, но разделённое на 100. Подождите, но ведь 80 это…

Подсказка 2

80 это 20³ разделенное на 100. Что тогда нужно сделать, чтобы привести все константы к нормальному виду, если они тут так красиво подобраны?

Подсказка 3

Надо домножить всё уравнение на кубический корень из 100, ведь тогда получится, что 19 сократится в обеих частях и выйдет очень даже решаемое уравнение четвёртой степени. Победа!

Показать ответ и решение

Умножим обе части уравнения на $√3100-:$

( 4 ) 3√---- 3√- 3√ --- 3∘ ---- x +x +1 ( 8000− 1)= 2( 512+ 3,375)

( 4 ) 19⋅ x +x +1 = 2(8 +1,5)

4 x + x+ 1= 1

x (x3+ 1)= 0

Таким образом, $x1 = 0,x2 = −1$ .

Ответ: -1; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#102482Максимум баллов за задание: 7

Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.

Источники: Росатом - 2020, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем найти явную формулу для разложения числа. Чтобы было удобно, можно попробовать выражать слагаемые через некоторое число n. Какие тогда можно сложить кубы, чтобы результат получится "красивым" (многое в сумме сократилось)?

Подсказка 2

Попробуйте сложить кубы чисел, которые по модулю отличаются друг от друга на не более, чем 2. Тогда, если аккуратно раскрыть результат по формулам сокращенного умножения, многое сократится.

Подсказка 3

Что получится, если сложить кубы чисел, по модулю равных (n+1) и n? Какой вывод из этого можно сделать и как быть с остальными числами?

Подсказка 4

Отлично, мы пришли к тому, что числа вида 6n можно выразить в виде суммы четырёх кубов! Осталось лишь аккуратно придумать, как "добрать" отстаток по модулю 6 у остальных чисел при помощи кубов и выразить 2020 по придуманным формулам!

Показать доказательство

Заметим, что для любого $n∈ Z$

3 3 3 3 (n+ 1) +(n− 1)+ (−n) +(−n) = 6n

т.е. любое целое число вида $a= 6n$ можно представить в виде суммы кубов четырех, а значит, с учетом нуля, и пяти целых чисел. Числа вида $a =6n± 1$ могут быть представлены в форме

3 3 3 3 3 a= (n +1) + (n − 1) +(−n) + (− n)+ (±1)

Числа вида $a= 6n +2 =6(n− 1)+8$ представляются суммой пяти кубов:

3 3 3 3 3 a =n + (n− 2) + (−n+ 1)+ (−n+ 1)+ 2

Для чисел вида $a= 6n− 2=6(n+ 1)− 8$ справедливо представление:

a= (n+ 2)3+ n3+ (− n− 1)3+ (− n− 1)3+ (− 2)3

Наконец, для $a= 6n+ 3= 6(n − 4)+ 27$ справедливо представление:

a= (n − 3)3+(n− 5)3+(−n +4)3+(−n +4)3+(3)3

Представление числа $a= 2020 =337⋅6− 2$ может быть получено по формуле (3) для $n= 337$ :

2020= (339)3+ 3373 +(−338)3+ (−338)3+ (− 2)3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#30987Максимум баллов за задание: 7

При каком наименьшем натуральном $k$ выражение

2017⋅2018⋅2019⋅2020 +k

является квадратом натурального числа?

Источники: ОММО-2019, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что это задача на оценку + пример. В этой задаче пока непонятно, как делать оценку и двигаться в сторону нужного k. Давайте попробуем для начала поискать подходящее k и попробуем какие-то маленькие k перебрать.

Подсказка 2

Для k = 1 попробуем доказать, что оно подходит. Для этого нам потребуется разложить имеющееся выражение как квадрат некоторого числа. Чтобы вам не приходилось оперировать огромными произведениями, давайте для удобства заменим 2017 на n.

Подсказка 3

Тогда нам осталось разложить на множители:
n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1. В случае успеха нам даже не придется делать никакую оценку (Почему?)

Показать ответ и решение

Достаточно показать, что для $k =1$ условие выполнено, поскольку это наименьшее натуральное число. Действительно, обозначим $n =2017,$ тогда

2 2 n(n+ 1)(n +2)(n +3)+ 1= (n + 3n)(n + 3n+2)+ 1=

2 2 2 2 2 = (n +3n) + 2(n + 3n)+1= (n + 3n +1)

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#82703Максимум баллов за задание: 7

Про вещественные числа $a,b$ и $c$ известно, что

abc+a+ b+ c= 10 и ab+ bc+ac= 9

Для каких чисел $x$ можно утверждать, что хотя бы одно из чисел $a,b,c$ равно $x?$ (Найдите все такие числа $x$ и докажите, что других нет.)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имея системы уравнений, стоит сначала уравнения попробовать складывать и вычитать, может получится что-то красивое.

Подсказка 2

Если мы нашли уже какое-то значение x, то можем его подставить вместо какой-либо из переменных и поискать оставшиеся.

Подсказка 3

Если из первого уравнения вычесть второе, то получим выражение (a-1)(b-1)(c-1) = 0, как отсюда найти возможный x?

Показать ответ и решение

Из условия имеем систему

{ abc +a+ b+ c= 10 ab+bc+ ac= 9

Из первого уравнения системы вычтем второе, получится

abc+ a+ b+c− ab− bc− ac= 1

Заметим, что

(a− 1)(b− 1)(c− 1)= abc +a+ b+ c− ab− bc− ac− 1

Тогда полученное выше уравнение эквивалентно

(a − 1)(b− 1)(c− 1)=0

Таким образом, хотя бы одно из чисел $a,b,c$ равно $1.$ Значит, $x= 1$ нам подходит. Докажем, что это значение $x$ единственно. Предположим, что существует некоторое $x⁄= 1$ такое, что хотя бы одно чисел $a,b,c$ равно $x.$

Для начала подставим, например, $a= 1$ и получим

{ bc+ 1+ b+c= 10 b+ bc+c =9

В системе у нас два одинаковых уравнения, поэтому можно оставить только одно:

bc+ b+ c= 9

Подбором находим два решения этого уравнения. Например, $b=2,$ $c= 7 3$ и $b= 1,$ $c= 4.$ По предположению в разных парах $(b,c)$ должно быть повторяющееся число. Но его нет, поэтому получено противоречие.

Таким образом, для $x⁄= 1$ нельзя утверждать, что хотя бы одно из чисел равно $x.$

Ответ:

только для $x= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#42925Максимум баллов за задание: 7

Про число $x$ известно, что оно является решением уравнения $x4− 2x3+ 1= 0$ . Какие значения может принимать величина $x3− x2 − x$ ? В ответ внесите возможные значения через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2018, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем разложить исходный многочлен. Какой корень легко угадывается, чтобы потом поделить на него многочлен?

Подсказка 2

У нас получилось что произведение равно 0. Разберем каждый случай и получим ответ для x^3 - x^2 - x.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x4− 2x3+ 1= (x − 1)(x3− x2− x− 1)$ , если $x= 1$ , то $x3− x2− x =− 1$ , иначе из второй скобки $x3− x2− x= 1$ .

Ответ: -1 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#82685Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $a$ , $b$ , $c$ и натуральное число $n$ таковы, что

a+ b+c =1

a2+b2+ c2 = 2n +1

Докажите, что $a3+ b2 − a2− b3$ делится на $n$ .

Источники: Олимпиада Эйлера, 2018, ЗЭ, 5 задача(см. old.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что в выражении $a3+ b2− a2− b3$ нет переменной $c.$ Попробуем от неё избавиться и в исходных условиях. Для этого из $a+ b+ c= 1$ выразим $c= 1− a− b.$ Теперь подставим полученное во второе условие:

2 2 2 a + b +(1− a− b) = 2n+ 1

Раскрываем скобки и получаем:

2 2 2 2 a + b+ 1+ a +b − 2a− 2b+ 2ab= 2n +1

Приводим подобные слагаемые и после делим уравнение на 2:

a2+b2− a− b+ab= n

Вернёмся к выражению $a3+ b2− a2− b3.$ В нём группируем кубы и квадраты, пользуемся формулами сокращенного умножения:

(a3 − b3)+(b2− a2)= (a − b)(a2+ ab+b2)+(b− a)(b+ a)

Вынесем $a− b$ из обеих скобок:

2 2 (a− b)(a +ab+ b − a − b)

Выше мы уже нашли, что вторая скобка равна $n,$ тогда получаем

2 2 (a− b)(a +ab+ b − a − b)= n(a − b)

$a− b$ — целое число, поэтому $n(a− b)$ делится на $n.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#97665Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a2+ b2 =c2+ d2 = 1$ и $ac +bd= 0$ для некоторых действительных чисел $a,b,c,d.$ Найдите все возможные значения выражения $ab+ cd.$

В ответ запишите все возможные значения выражения через пробел, если их нет, введите « $−$ ».

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, речь идет о какой-то симметрии... Попробуйте выразить ab+cd через выражения из условия

Подсказка 2

ab+cd=ab*1+cd*1=...

Подсказка 3

ab+cd=(bc+ad)(bd+ac). Докажите это.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $a2 +b2 = c2 +d2 = 1,$ и распишем искомое выражение следующим образом:

( 2 2) (2 2) ab+ cd =ab⋅1+ cd ⋅1 =ab c +d + cda + b =

2 2 2 2 = abc + abd + a cd+ b cd =ac⋅bc+ad⋅bd+ ac⋅ad +bc⋅bd =

= ac(bc+ad)+ bd (ad+ bc)= (bc+ ad)(bd+ ac)

По условию $bd+ac= 0,$ получается:

ab+cd= (bc +ad)(bd+ ac) =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#98455Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b$ и $c$ удовлетворяют условию $a+ bc= (a+ c)(a+b).$ Докажите, что они также удовлетворяют условию $b+ ac= (a+ b)(b+ c).$

Показать доказательство

Раскроем скобки в выражении из условия, получим после вычитания из обеих частей $bc$ равенство $a= a2 +ac+ ab.$ Разделим на $a⁄= 0,$ получим $1= a+ b+ c.$ Домножим это равенство на $2 b:b= b +ab+ bc.$ Добавив к обеим частям по $ac$ и сгруппировав, придем к доказываемому равенству $b+ ac= (a+ b)(b+ c).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#38890Максимум баллов за задание: 7

Числа $a$ , $b$ , $c$ и $d$ таковы, что $a+b =c+ d⁄= 0$ , $ac= bd$ . Докажите, что $a+ c=b +d$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть равенство a+b=c+d, и при это мы знаем, что ac=bd. Надо их как-то связать. Может надо на что-то умножить первое равенство...

Подсказка 2

Давайте умножим его на c: ac+bc=c(c+d). Мы знаем, что ac=bd. Было бы разумно теперь заменить ac на bd...

Подсказка 3

После замены получаем, что bd+bc=c(c+d). Но bd+bc=b(c+d). Как тогда связаны b и с если вспомнить, что c+d≠0?

Подсказка 4

Получается, что b=c. Попробуйте сами довести решение до конца!

Показать доказательство

Умножим первое равенство на $c$ и получим, что $ac+ bc= c(c+ d)$ . Заменим в левой части $ac$ на $bd$ , так как они по условию равны, и после этого получим: $bd+ bc= b(c+ d)= c(c+d)$ . По условию, $c +d⁄= 0$ , тогда можем поделить на него обе части равенства и получим, что $b= c$ . Но тогда в первом равенстве из условия сделаем замену $b$ на $c$ в левой части, и замену $c$ на $b$ в правой части, получая требуемое: $a+c =a +b= c+ d= b+d$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#82699Максимум баллов за задание: 7

На доске записаны 10 различных чисел. Профессор Odd вычислил всевозможные произведения нескольких записанных чисел, взятых в нечетном количестве (по 1, по 3, по 5, по 7, по 9), сложил все эти произведения и полученную сумму записал на листок. Аналогично профессор Even вычислил все возможные произведения нескольких чисел, записанных на доске, взятых в четном количестве (по 2, по 4, по 6, по 8, по 10), сложил все эти произведения и полученную сумму записал на свой листок. Оказалось, что сумма на листке профессора Odd на 1 больше, чем сумма на листке профессора Even. Докажите, что одно из чисел, выписанных на доске, равно 1.

Источники: КМО - 2017, третья задача второго дня для 8-9 классов, автор Кожевников П.А. по мотивам фольклора (cmo.adygmath.ru)

Показать доказательство

Пусть $a ,a,...,a 1 2 10$ - числа на доске.

Сумма чисел у профессора Odd равна

Sodd = a1+ a2+...+a10+a1a2a3+...

Сумма чисел у профессора Even равна

Seven = a1a2+a2a3+ ...+ a1a2a3a4 +...+ a1a2...a10

По условию $Sodd− Seven =1.$

Попробуем доказать, что

(a1 − 1)(a2− 1)...(a10− 1) =0

Из каждой скобки мы выбираем число из нашего набора или $− 1$ и перемножаем, а результат - слагаемое после раскрытия скобок. Если выбрано нечетное количество чисел из набора, то нечетное число раз выбрана $− 1,$ так как всего у нас 10 скобок. Таким образом, все слагаемые, в произведении которых нечетное количество чисел из набора, имеют знак минус после раскрытия скобок.

Аналогичным рассуждением получаем, что все слагаемые с произведением четного количества чисел с доски имеют знак плюс, в том числе и слагаемое 1, которое получается выбором $− 1$ из каждой скобки.

Тогда получается, что наша сумма равна $Seven +1− Sodd.$ Но по условию это выражение равно нулю. Тогда верно равенство

(a1− 1)(a2− 1)...(a10− 1)= 0,

откуда следует, что на доске написано число $1.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#30980Максимум баллов за задание: 7

Найдите величину выражения $-1---+ -1---+--2--, 1+x2 1+y2 1 +xy$ если известно, что $x ⁄= y$ и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.

Источники: Всесиб-2016, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите условие задачи о сумме первых двух дробей и попробуйте привести его к общему знаменателю, перемножить по правилу пропорции и преобразовать! Наша цель - разложить на множители левую и правую часть так, чтобы в множителях было (х-у) (ведь на него мы спокойно можем сокращать)

Подсказка 2

После перемножения по правила пропорции и сокращения подобных мы получим 2xy +y³x+ x³y =x²+ y² + 2x²y². Тогда перенесем 2xy вправо, а 2x²y² влево и разложим на множители обе части!

Показать ответ и решение

Сначала напишем равенство суммы первых двух слагаемых третьему, и преобразуем его.

--1-- --1-- --2-- 1+ x2 + 1+ y2 = 1+ xy

2 2 ---2+2-y2+x-2-2 =--2-- 1+ x + y +x y 1+ xy

2+y2+ x2+ 2xy +y3x+ x3y =2 +2x2+ 2y2 +2x2y2

2xy+y3x+ x3y = x2+y2+ 2x2y2

xy(x2+ y2− 2xy)= x2+ y2− 2xy

xy(x− y)2 =(x− y)2

Так как по условию $x⁄= y,$ то на $2 (x− y)$ можно сократить. Получаем $xy = 1.$

Подставив в самую верхнюю строчку вычислений, получим, что сумма первых двух дробей равна $2 1+1 =1,$ и третья дробь тоже равна $1.$ Значит, сумма трёх дробей равна $2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#82702Максимум баллов за задание: 7

Про действительные числа $x,y,z$ известно, что

xy +z = yz+ x= zx+ y

Докажите, что какие-то два из чисел $x,y,z$ равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, не совсем понятно, как работать с тремя равенствами. Давайте перепишем их в виде системы из двух уравнений: первую часть равенства приравняем ко второй части, вторую часть — к третьей.

Подсказка 2

Попробуем поработать с уравнениями системы. Возможно, получится удобно сгруппировать слагаемые?

Подсказка 3

Сгруппировали, получили уравнения вида (x-z)(y-1)=0. Это значит, что либо две переменные равны между собой, либо третья равна единице. Разберите каждый из случаев.

Показать доказательство

Предположим, что числа попарно различны.

Рассмотрим первую часть равенства:

xy+ z = yz +x

Переносим все слагаемые влево и группируем:

y(x− z)− (x− z)= 0

Выносим $x− z$ за скобки:

(x− z)(y− 1)= 0

Тогда один из множителей $x− z$ или $y− 1$ равен 0. Но, по предположению, все числа попарно различны, поэтому $x − z ⁄= 0.$ Тогда $y =1.$

Аналогичным образом из равенства $yz+x =zx +y$ получаем равенство $(y− x)(z− 1)= 0,$ откуда аналогичными рассуждениями приходим к выводу о том, что $z =1.$

Получилось, что $z =y =1,$ хотя, по предположению, числа $x,y,z$ попарно различны - противоречие.

Тогда получаем, что какие-то два числа из $x,y,z$ равны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#92078Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Чему может быть равно произведение $abc$ ?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть что-то очень сильно напоминает. Какое-то симметричное произведение... Какое же?

Подсказка 2

Точно! (a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1. Что же тогда мы можем сделать с нашим уравнением?

Подсказка 3

Именно! Добавить +1 к обоим частям, получим (a+1)(b+1)(c+1) = 165 = 5*3*11. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 4

Воспользуемся натуральностью чисел и получим единственный ответ. Также не забудьте учесть всевозможные перестановки. Успехов!

Показать ответ и решение

(a+ 1)(b+1)(c+1)= 165 =5 ⋅33= 5⋅3⋅11

Числа $a+ 1, b+ 1, c+1$ натуральные и больше 1. Число 165 раскладывается ровно на 3 простых множителя, поэтому $a+ 1, b+ 1, c+ 1$ являются числами 3, 5 и 11 в каком-то порядке, $a, b, c$ являются числами 2, 4 и 10 в каком-то порядке и $abc= 80$ .

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#60540Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если числа $x,y$ и $z$ — целые, то число

1( 4 4 4) 2 (x − y) +(y− z)+ (z− x)

является квадратом некоторого целого числа.

Источники: Ломоносов-2013, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что сумма выражений под четвёртыми степенями равна нулю. Тогда как вместо трёх неизвестных сделать две?

Подсказка 2

Можно обозначить числа в скобках как a, b, -(a+b). Теперь раскройте четвёртую степень суммы a+b и поразмышляйте, квадратом какого числа может быть выражение из условия

Подсказка 3

Оно симметрично от перестановки a и b, при этом имеет четвёртую степень. Значит, надо пробовать собирать квадрат какого-то симметричного многочлена от a и b второй степени. Используйте сумму квадратов и произведение чисел ab

Показать доказательство

Первое решение.

Обозначим $a =x − y,b= y− z,c= z− x.$ Видно, что $a +b+ c= 0.$ Тогда надо понять, почему число

1 4 4 4 2(a + b +(−a− b))=

1 = 2(a4+ b4+ a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4) =a4+ 2a3b+ 3a2b2+ 2ab3+ b4

является полным квадратом. Утроенное произведение $a2b2$ разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

(a4+ a3b+a2b2)+(a3b +a2b2 +ab3)+(a2b2+ ab3+b4)=

=a2(a2 +ab+ b2)+ ab(a2+ ab+b2)+b2(a2+ ab+ b2)=

= (a2 +ab+ b2)2

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

$1 4 3 22 3 4 4 3 22 3 4 2(x − 4x y+ 6xy − 4yx +y + y − 4y z+ 6yz − 4zy +z + +z4− 4z3x+ 6x2z2− 4x3z +x4)= =x4+ y4+ z4+3(x2y2+ z2y2+x2z2)− 2(x3y +y3x+ z3x +x3z+ y3z +z3y)$

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом $2 2 2 x ,y,z ,xy,zy,xz$ , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат $2 2 2 x +y + z − xy− zx− zy$ , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых $x2,y2,z2,xy,zy,xz$ , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для $x2$ и $y2$ или для $xy$ и $zy$ , ведь это испортило бы симметрию!

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#30985Максимум баллов за задание: 7

Сумма чисел $x,y,z$ отлична от нуля. Докажите, что сумма дробей

x(y−-z) y(z−-x) z(x-− y) y +z + z+x + x+ y

равна нулю тогда и только тогда, когда она определена и хотя бы два из чисел $x,y,z$ равны.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно доказать, что хотя бы два из тройки чисел x, y, z равны? Это означает, что разность каких-то двух чисел обращается в ноль. Тогда давайте попробуем получить равенство (x-y)(y-z)(z-x) = 0.

Подсказка 2

Поработаем с равенством из условия: по-честному приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки и видим, что одночлены имеют четвёртую степень (сумма степеней у всех переменных равна 4). А в выражении (x-y)(y-z)(z-x)=0 только третья! И тут вспоминаем условие: сумма чисел x, y, z отлична от 0. Как его использовать?

Подсказка 3

Можно домножить левую часть уравнения (x-y)(y-z)(z-x)=0 на ненулевое число x + y + z и поработать с этим!

Показать доказательство

Условие на равенство каких-то двух чисел из $x,y,z$ эквивалентно равенству

(x− y)(y− z)(z− x)= 0

А так как по условию $x +y +z ⁄= 0,$ то это равносильно

(x − y)(y− z)(z− x)(x+ y+ z)=0

x3y− x3z +y3z− xy3 +xz3− yz3 =0 (*)

Сумма дробей из условия после приведения к общему знаменателю выглядит так:

x(y− z)(z-+x)(x-+y)+-y(z−-x)(y+-z)(x+-y)+-z(x−-y)(y+-z)(x+-z)= (y+ z)(z+ x)(x+ y)

3 3 3 3 3 3 = x-y− x-z+-y-z− xy-+-xz-− yz (y+z)(z +x)(x +y)

Заметим, что числитель совпадает с выражением (*).

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#82695Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

63 62 61 2 63 (x +1) +(x+ 1) (x − 1)+ (x +1) (x− 1) + ...+ (x − 1) =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Конкретно нам поможет формула для aⁿ - bⁿ. Попробуйте вместо a и b подставить (x + 1) и (x - 1).

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

n n n−1 n−2 n−2 n−1 a − b =(a− b)(a + a b+ ...+ ab + b )

Пусть $a= x+1,$ $b= x− 1$ и $n= 64.$ Тогда в разложении вторая скобка равна левой части в уравнении из условия задачи. Тогда умножим и разделим исходное уравнение на $a− b= (x +1)− (x − 1).$

--1- n−1 n−2 n−2 n−1 a − b ×(a− b)(a +a b+ ...+ab + b )= 0

Применим формулу, приведенную выше:

1 a−-b × (an− bn)= 0

Так как $a− b= (x +1)− (x − 1)= 2,$ то на $a− b$ можно сократить, и уравнение примет вид $an = bn.$

Так как $n =64,$ то получаем два случая:

$a =b,$ то есть $x+ 1= x− 1,$ что невозможно.
$a =− b,$ то есть $x+ 1= −x+ 1,$ откуда $x= 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#30986Максимум баллов за задание: 7

Является ли число $49+610+ 320$ простым?

Источники: ММО-1998, 9.1, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас спрашивают, является ли число простым, хорошим первым шагом будет попытка пойти от противного и попробовать разложить его на множители. Думаем, как можно было бы разложить эту сумму на множители. Может быть, это выражение похоже на какую-то извествую вам формулу сокращенного умножения?

Показать ответ и решение

Докажем, что оно является полным квадратом большего единицы числа:

9 10 20 2 9 9 10 20 9 10 2 4 + 6 +3 = (2 ) +2⋅2 3 +3 = (2 + 3 )

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#30981Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $n$ является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Докажите, что число $n2$ тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самый главный вопрос - как нам так разложить n²! Давайте запишем его как (a²+b²+c²)² и раскроем скобки! Получившиеся слагаемые необходимо сгруппировать в три квадрата.

Подсказка 2

Заметим, что a⁴, b⁴, c⁴ получились тогда из одного из этих квадратов. Но это не мог быть (a²+b²+c²)² , значит попробуем (a²+b²-c²)². Тогда посмотрите, какие слагаемые еще останутся, если часть мы сгруппируем в такой квадрат, и попробуйте остальное тоже разложить как квадраты!

Показать доказательство

Сделаем обозначения по условию: $n =a2+ b2+ c2,a≥ b≥c.$ Если мы упорядочим так переменные, то натуральным будет число $2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b − c ≥ 2b− c > b− c ≥ 0 =⇒ a + b − c ≥ 1.$ Попробуем собрать его квадрат с ещё двумя другими натуральными:

2 ( 2 2 2)2 4 4 4 2 2 22 22 n = a +b + c = a + b+ c + 2a b +2b c +2a c =

(4 4 4 22 22 2 2) 22 22 = a +b + c+ 2a b− 2bc − 2ac +4b c +4a c =

(2 2 2)2 2 2 = a + b − c +(2bc) + (2ac)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если число $n$ является суммой квадратов двух натуральных чисел, то число $n2$ уже не обязательно является суммой квадратов двух натуральных чисел, например,

2 2 2 (1 + 1) = 4= 1+ 3=2 +2,

несмотря на справедливость схожего с решением по виду тождества

(a2+b2)2 =(a2− b2)2+ (2ab)2

Замечание.

В виде суммы четырёх квадратов целых чисел можно представить уже любое натуральное число. Это одна из теорем Лагранжа.

Предыдущая подтема

Следующая подтема