Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .04 Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#105071Максимум баллов за задание: 7

Найти значение выражения $A,$ если

(----1--- ----1--- ----1---) A= 19,19⋅ 1919⋅1920 +1920⋅1921 +...+2018⋅2019 .

Источники: Газпром - 2020, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с такой длинной суммой неудобно. Давайте подумаем, как можно преобразовать дроби так, чтобы многое из скобки сократилось ;)

Подсказка 2

Попробуйте представить каждую дробь в виде разности, чтобы получилась так называемая, "телескопическая сумма ". Тогда многое сократится и останутся лишь дроби со знаменателем 1919 и 2019.

Подсказка 3

1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

Показать ответ и решение

Так как

1 n +1− n 1 1 n(n-+1) =-n(n-+1) = n − n+-1,

то

( ) A = 19,19 ⋅ ---1----+ ---1----+ ...+ ---1---- = 1919⋅1920 1920 ⋅1921 2018 ⋅2019

= 19,19⋅(-1--− -1--+--1-− -1--...+ -1--− -1-) = 1919 1920 1920 1921 2018 2019

( 1 1 ) 2019− 1919 1919⋅100 1 = 19,19⋅ 1919 − 2019 = 19,19⋅1919⋅2019-= 100⋅1919⋅2019-= 2019.

Ответ:

$--1- 2019$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#80458Максимум баллов за задание: 7

Про последовательность ${a } n$ известно, что $a =1,5 1$ и $a = -1-- n n2− 1$ при $n ∈ℕ,n> 1$ . Существуют ли такие значения $n$ , что сумма первых $n$ членов этой последовательности отличается от 2,25 меньше, чем на 0,01? Если да, то найдите наименьшее из них.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуйте формулу для aₙ.

Подсказка 2

Можно расписать дробь через разность квадратов. Вычислите сумму первых n членов.

Подсказка 3

Члены последовательности увеличиваются или уменьшаются?

Показать ответ и решение

Общая формула членов последовательности (кроме первого) может быть записана так $(n≥ 2)$ :

--1-- 1( -1-- --1-) an = n2− 1 = 2 n− 1 − n+ 1

В результате сумма первых $n$ членов последовательности, кроме первого, принимает вид:

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1− 1 + 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 2 3( 2 4 ) 3 ( 5 4) 6( 5 7 )] + ...+ n-1− 3 −n-1− 1 + n−12 − 1n + n−11 − n-1+1

После сокращений для суммы $n$ первых членов последовательности можно записать:

[ ] ( ) Sn = 1,5+ 1 1+ 1 −-1−-1-- = 2,25− 1 1+ --1- 2 2 n n+ 1 2 n n+ 1

Пусть $f(n)= 1(-1+ -1-) 2 n n+1$ . Тогда поскольку $f(n)$ убывает и

1( 1-- -1-) 1(-1- -1-) -1- f(100)= 2 100 +101 < 2 100 + 100 =100 1( 1- 1-) 1( 1-- -1-) 1-- f(99)= 2 99 + 100 > 2 100 +100 = 100

искомое значение $n$ равно $100.$

Ответ:

да, $n= 100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#30988Максимум баллов за задание: 7

Вычислите значение выражения

(34+4)(74+ 4)(114+ 4)...(20154 +4)(20194+ 4) -(14+4)(54-+4)(94-+4)...(20134+-4)(20174+-4)-.

Источники: Курчатов-2018, 9.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно провести какие-то преобразования с дробью, ибо пока она никак не сокращается. Подумаем, что бы мы могли преобразовать. Давайте попробуем выражение n⁴ + 4 разложить на множители. Тогда мы сможет посокращать получившиеся множители в числителе и знаменателе, и получить более красивую дробь.

Подсказка 2

Итак, значение n⁴+ 4 , воспользуемся тем, что
n⁴ + 4= (n² + 2)² − 4n². И попробуем преобразовать это выражение, а затем и наши скобки.

Показать ответ и решение

Посчитаем сначала значение $n4+ 4$ :

4 2 2 2 2 2 2 2 n + 4= (n + 2) − 4n = (n +2 − 2n)(n + 2+ 2n)=((n− 1) + 1)((n +1) + 1)

Подставим это вместо каждой такой скобки в дробь, получим:

(22-+1)(42+-1)(62+-1)...(20202+-1) 2 (02 +1)(22+ 1)(42+ 1)...(20182+ 1) = 2020 + 1.

Ответ:

$4080401$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#41758Максимум баллов за задание: 7

Сумму $1+ 1+ 1+ ⋅⋅⋅+ -1-, 2 3 p−1$ где $p$ – нечётное простое число, представили в виде несократимой обыкновенной дроби. Докажите, что числитель этой дроби делится на число $p$ без остатка.

Источники: Муницип - 2018, Свердловская область, 11.2 (см. tasks.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Зачастую, в таких задачах, с некоторыми суммами и/или последовательностями объектов, нужно разбивать числа на пары и смотреть на объекты из пары, так как нередко, по отдельности про числа ничего не скажешь, но вот при разбитии на пары появляется ряд свойств. Попробуйте разбить числа на пары и посмотреть на сумму в каждой.

Подсказка 2

Разобьем на пары 1/t и 1/(p - t). Их сумма будет равна p/t(p - t). Вынесем р из каждой такой суммы и получится, что наша сумма равна p * (…). Получается, мы решили задачу?

Подсказка 3

Нет, не совсем. Осталось понять, почему ничто из знаменателя не может сократить р. Ну это просто, ведь каждый множитель меньше р, а значит, взаимнопрост с ним(не забываем, что р - просто число). А вот теперь - мы точно решили задачу.

Показать доказательство

Всего слагаемых здесь $p− 1,$ из условия следует, что это чётное число. Тогда мы можем разбить слагаемые на пары: первое — с последним, второе — с предпоследним и т. д. Получим $p−1- 2$ сумм вида

1 1 p t +p-− t =t(p− t)

В итоге сумма из условия равна

p∑−21 1 p t(p−-t) t=1

и кратна $p,$ ведь после приведения суммы дробей к общему знаменателю в знаменателе получится

p∏−21 t(p− t)= (p− 1)! t=1

Поскольку $p$ простое, знаменатель $(p − 1)!$ не содержит множителя $p.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#47065Максимум баллов за задание: 7

Для функции $f(x) =− -x2-- 1+ x2$ найдите сумму

( -1-) (-1--) (1) f 2018 + f 2017 + ...+ f 2 + f(1)+ f(2)+ ...+f(2017)+ f(2018).

Источники: ПВГ-2018, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем сгруппировать слагаемые, каким образом это можно было бы сделать?

Подсказка 2!

Попробуйте сгруппировать f(x) + f(1/x) и посмотреть, что получится в их сумме!

Показать ответ и решение

Пусть $n ∈ℕ$ , тогда

( 1) n2 -12 n2 1 f(n)+ f n = − 1+n2-− 1n+-1-= −n2+-1 − n2+-1 =−1 n2

Отсюда вся сумма равна

S = (−1)⋅2017+ f(1)= − 4035 2

Ответ:

$− 4035 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#75156Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-----1------- ------1------ --------1-------- √x+-2+ √x+-3 + √x-+3-+√x-+4-+...+ √x+-2017+ √x-+2018 = 42

Источники: ПВГ 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, чего хочется при виде такого выражения, это как минимум избавиться от таких знаменателей. Каким самим простым приёмом это можно сделать?

Подсказка 2

Понятно, что от корней в знаменателе ничего хорошего не будет. То есть нужно, чтобы оба корня возвели в квадрат. Какой способ "легально" позволяет это сделать?

Подсказка 3

Да, конечно, нужно умножить на сопряженное число числитель и знаменатель. Тогда в знаменателе вовсе получится единица, а далее вся сумма хорошо сократится, и останется уравнение для корней, которое уже несложно решить. Можно два раза возвести в квадрат, либо же проделать снова умножение на сопряженное и воспользоваться монотонностью. Победа!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе каждого из слагаемых, домножив каждое из них на соответственное сопряжённое. Получим:

√x+-3− √x+-2 √x-+4− √x-+3 √x-+-2018− √x-+2017 (x-+3)−-(x+-2) + (x+-4)−-(x+-3)-+...+-(x+-2018)−-(x+2017)

Заметим, что в знаменателе в каждом слагаемом стоит $1,$ а большинство слагаемых в числителях входят с чередующимися знаками плюс и минус. Тогда после приведения подобных слагаемых в левой части наше уравнение превратится в:

√x-+-2018− √x+-2= 42

Снова домножим на сопряжённое к левой части, получим:

√------- √ ---- (x +2018)− (x+ 2)=2016= 42( x +2018+ x+ 2)

√------- √---- 48= x +2018+ x+ 2

В правой части находится монотонная функция, а значит она пересекает горизонтальную прямую $y = 48$ не более, чем в одной точке, заметим, что $x =7$ подходит, а, значит, и является единственным решением.

Ответ:

$7$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#90859Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше:

┌│ --∘--∘----------- │∘ ∘ -√----- ◟-17-13--17◝◜--13-17...◞ 2018 знаковкорня

или $3∘13 17 17?$

Показать ответ и решение

┌│ -∘---∘----------- ∘---------------------- │∘ ∘--√---- 4 2 4∘--2---4√--2----- ◟-17-13-1◝7◜-13-17..◞.=◟-17-⋅13-17◝⋅◜13-17-⋅13...◞= 2018знаковкорня 1007знаков корня

∘---------------- ∘ ------------- ∘----------- ∘--- 41007(172 ⋅13)1+4+...+41006 = 41007 (172⋅13)410073−1< 41007(172⋅13)410307= (172⋅13)13 = 17313 17

Ответ:

$173∘ 13 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#97441Максимум баллов за задание: 7

Определите знак числа

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 − 2 −3 + 4 + 5 − 6 −7 +⋅⋅⋅+2012 + 2013 − 2014-− 2015 + 2016

Знаки расставлены так: «+» перед первой дробью, затем идут два «-» и два «+» по очереди. Перед последней дробью стоит «+».

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вычислять напрямую всю сумму слишком долго. Стоит разбить ее на маленькие группы.

Подсказка 2

Разобьем все числа на группы по 4 числа, идущие в нашей последовательности подряд. Если у всех таких групп знак один, то итоговая сумма будет с тем же знаком.

Подсказка 3

Для доказательства для всех групп достаточно доказать в общем виде.

Показать ответ и решение

Разобьём все числа на группы по четыре числа:

( 1 1 1 1 ) 4k+-1 − 4k+2-− 4k+3-+ 4k-+4

Сумма чисел в каждой группе положительная:

( ) --1--− --1--− --1--+ --1-- > 0⇔ 1 1 4k+ 11 4k+ 21 4k+ 3 4k+1 4 1 ⇔ 4k-+1-−4k+-2 > 4k-+3-−4k-+4 ⇔ (4k-+1)(4k+-2) > (4k-+3)(4k+-4)

Следовательно, и число $A$ положительное.

Ответ:

$A > 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#58561Максимум баллов за задание: 7

Представьте в виде несократимой дроби:

12+-15- 21+24- 48+-51 18 + 27 +...+ 54 .

Источники: ОММО-2017, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно сократить дроби! Это никак не повлияет на сумму, а дроби станут красивее.

Подсказка 2

Давайте представим каждую дробь, как ее дополнение до целого! То есть 9/6 (первая дробь) это 2 - 3/6. И так далее!

Показать ответ и решение

Сначала сократим дроби

12+-15 21+-24- 48+-51 4+-5 7+-8 16+17- 18 + 27 +...+ 54 .= 6 + 9 + ...+ 18 =

Затем представим каждую дробь через её дополнение до целого числа

3 3 3 ( 1 1 1 1 1) 29 171 = 2− 6 + 2− 9 + ...+ 2− 18-= 2⋅5− 2 + 3 +4 + 5 + 6 =10− 20 =-20

Ответ:

$171 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#125883Максимум баллов за задание: 7

Даны квадратные трёхчлены $f(x), 1$ $f (x), 2$ …, $f (x) 100$ с одинаковыми коэффициентами при $x2,$ одинаковыми коэффициентами при $x,$ но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена $fi(x)$ выбрали один корень и обозначили его через $xi.$ Какие значения может принимать сумма

f2(x1)+ f3(x2)+...+f100 (x99)+f1(x100)?

Источники: Всеросс, РЭ, 2016, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть трёхчлены имеют вид:

2 fi(x)=ax + bx+ ci,

где $ci$ — различные свободные члены. Поскольку $xi$ — корень $fi(x),$ выполняется:

2 2 axi +bxi+ ci = 0 =⇒ axi + bxi = −ci.

Рассмотрим выражение $fj(xi) :$

f(x )=ax2+ bx+ c = −c +c . j i i i j i j

Тогда исходная сумма преобразуется:

1∑00 1∑00 k=1fk+1(xk)= k=1(ck+1− ck),

где $c101 =c1.$ Тогда:

(c2− c1)+ (c3 − c2)+...+ (c1 − c100)= 0.

Таким образом, сумма всегда равна нулю, независимо от выбора корней $xi.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#49147Максимум баллов за задание: 7

Для $x= π- 2n$ найдите значение суммы

2 2 2 2 cos (x)+ cos (2x)+ cos (3x)+ ...+ cos (nx).

Источники: ОММО-2015, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Тут нам не очень удобно работать, так как в формуле квадраты косинусов. Давайте воспользуемся формулой cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 и приведем все слагаемые к бесквадратному виду.

Подсказка 2!

Теперь нам нужно посчитать сумму (1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) + ....... + 1 + cos(2nx))/2. То есть это n/2 + сумма косинусов /2. Давайте добавим и вычтем cos(0) для удобства. Теперь нам нужно просто посчитать сумму косинусов от 0 до 2nx!

Подсказка 3!

Чтобы посчитать, нужно вспомнить, что 2nx = Pi по условию! Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые :)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся тождеством $2 1+cos2t cos t= 2 .$

Тогда по условию нам надо посчитать

n+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx n− 1 S -----------------2------------------= -2--+ 2,

где $S = cos0x+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx.$

По условию $2nx= π,$ так что для любого $t$ выполнено $cos(2nx− t)= cos(π− t)= − cost.$ Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам $t< − >2nx− t,$ потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме $S$ количество слагаемых $n+ 1$ . Если $n$ нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если $n$ чётно, то паре не найдётся слагаемому $cos(nx)$ , но оно равно нулю.

В итоге $S = 0$ для любого $n,$ так что ответ $n−21.$

Второе решение.

Заметим, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 kπ + cos2 (n-− k)π =cos2 kπ +cos2 π− kπ = cos2 kπ + sin2 kπ = 1. 2n 2n 2n 2 2n 2n 2n

Если $n$ нечетно, разобьем все слагаемые, кроме $cos2(nx)$ , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму $n−1 2$ , а $cos2(nx)= cos2(π)= 0 2$ . Если же $n$ четно, то без пары остаются и $cos2(nx)= cos2(π) =0 2$ , и $cos2(π)= 1 4 2$ . И в том, и в другом случае полная сумма равна $n−-1. 2$

Ответ:

$n−1 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#49765Максимум баллов за задание: 7

Пусть

(1 ) (2 ) (n-− 1) Sn = f(0)+ f n + f n + ...+ f n +f(1)

Найдите $S2013$ для

x f(x)= -9x--- 9 + 3

Источники: ОММО-2013, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно посчитать значение какой-то суммы. Наверное, считать по отдельности каждый член будет не очень удобно. Может, попытаемся разбить эту сумму на пары?

Подсказка 2

Само условие намекает нам рассмотреть f(0)+f(1), (1/n)+f((n-1)/n), т.е. суммы f(x)+f(1-x). Чему равна эта сумма?

Подсказка 3

С функцией f(n)=9ⁿ/(9ⁿ+3) неудобно работать, поэтому давайте поделим числитель и знаменатель на 9ⁿ: f(n)=1/(1+3/9ⁿ). Тогда f(1-n)=1/(1+9ⁿ/3). Посмотрите, чему равна сумма f(n)+f(1-n) и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

При $n= 2013$ слагаемых будет $n+ 1= 2014$ — чётное количество, поэтому их можно разбить на $1007$ пар вида $α,1− α$ , посмотрим на сумму в такой паре

3 f(α) =1− 9α+-3

1−α f(1− α)= 991−α+-3 = 9+-93⋅9α = 9α3+-3 =1− f(α)

Отсюда сумма $f(α)+ f(1− α) =1$ и $S2013 = 1007$ (количество пар).

Ответ:

$1007$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#80647Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму

sin π sin2π sin 3π- sin2021π --23 +--232-+ -233-+ ...+ -220231-.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, подумаем про периодичность синуса...Ведь мы можем разделить всё наше выражение на 6 групп, в каждой из которых синус будет давать одинаковые значения.

Подсказка 2

Что же делать теперь? Увидеть геометрическую прогрессию! Воспользоваться формулой и не перепутать табличные тригонометрические значения.

Показать ответ и решение

С учетом периодичности синуса сумму можно сгруппировать по 6. Тогда получим следующее: