Тема АЛГЕБРА

Последовательности и прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Комбинация арифметической и геометрической прогрессий

Рекуррентные соотношения

Периодичность и зацикливание

Последовательности нестандартного вида

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#130829Максимум баллов за задание: 7

Строго возрастающая последовательность $a ,a,a ,... 1 2 3$ натуральных чисел удовлетворяет при каждом натуральном $n$ соотношению

∘---------------- an+2 ≤ a2n +2an+ 2an+1 +2

Найдите все возможные значения $a25,$ если известно, что $a1 = 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться условием о том, что a₁ = 1?

Подсказка 2

Можно ли с его помощью вычислить несколько первых членов последовательности?

Подсказка 3

Заметим, что так как последовательность строго возрастающая, 1 = a₁ < a₂ < a₃. Попробуйте выразить a₃.

Подсказка 4

Для a₃ можно воспользоваться неравенством из условия. Не забывайте, что члены последовательности — натуральные числа.

Подсказка 5

Попробуйте при помощи метода математической индукции доказать, что последовательность a задает ряд натуральных чисел.

Показать ответ и решение

Найдём несколько первых членов последовательности:

∘-2------------ √------ 1 =a1 <a2 < a3 ≤ a1+ 2a1+2a2+ 2= 5+ 2a2

2 2 a2 < a3 ≤ 5+2a2

2 a2 − 2a2− 5< 0

1< a < √6+ 1< 4 2

Так как все члены последовательности натуральны, $a2$ в соответствии с полученным неравенством может принимать значения 2 и 3.

Пусть $a2 =3,$ тогда

3< a3 ≤√5-+2-⋅3-=√11-< 4

Но не существует натурального числа, лежащего между 3 и 4, следовательно, такой случай невозможен.

Получается, что $a2 = 2,$ в этом случае

√ - 2< a3 ≤ 9= 3

Следовательно, $a3 =3.$

Предположим, что $i$ -тый член последовательности равен $i,$ а $(i+1)$ -ый член последовательности равен $i+1,$ найдём $(i+2)$ -ой член последовательности:

∘--------------- ∘ -------------- ∘-------- i+1 <ai+2 ≤ a2i + 2ai+2ai+1 +2= i2+ 2i+2i+ 2+ 2= i2+4i+ 4= i+2

ai+2 = i+ 2

Таким образом, методом математической индукции доказано, что данная нам последовательность — последовательность натуральных чисел, тогда $a25 =25.$

Ответ: 25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#131016Максимум баллов за задание: 7

Положим для каждого натурального $n$

1 1 1 An =1 +2 + 3 + ...+ n

Bn = A1+ A2+ A3+ ...+An

Найдите $B7+-7. A7$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 255, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Значение А₇ нетрудно вычислить, а что делать с B₇?

Подсказка 2

По определению, Bₙ = A₁ + … + A₇. А чему равно Aₖ? Можно ли сгруппировать какие-то слагаемые?

Подсказка 3

Aₖ = 1 + 1/2 + … + 1/k. Сколько раз в Bₙ встретится слагаемое 1/n? А слагаемое 1?

Подсказка 4

Верно, 1 и n раз соответственно! А сколько раз в Bₙ встретится 1/k, где k ≤ n? Тогда для Bₙ можно будет записать вполне понятный ряд (сумму).

Подсказка 5

1/k встретится в Bₙ (n - k + 1) раз, где k ≤ n. Тогда Bₙ = ∑ ((n - k + 1) / k). Приведите этот ряд к более удобному виду.

Подсказка 6

(n - k + 1) / k ‎ = (n + 1) / k - k / k ‎ = (n + 1) / k - 1 ‎ = (n + 1) ⋅ (1/k) - 1.

Подсказка 7

Запишите отношение между Aₙ и Bₙ.

Показать ответ и решение

Найдем общее соотношение между $B n$ и $A . n$ По определению

∑n Bn = Ak = A1 +A2 +...+ An k=1

Перегруппируем слагаемые в этой сумме. Заметим, что слагаемое $1 k$ входит в каждое $Aj,$ где $j ≥ k.$ Таким образом, слагаемое $1 k$ в сумме для $Bn$ встретится $(n− k +1)$ раз. Тогда мы можем переписать $Bn$ следующим образом:

∑n (n +1)− k ∑n (n +1 k) ∑n (n +1 ) ∑n 1 ∑n Bn = ---k----= --k- − k = --k- − 1 =(n+ 1) k − 1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Учитывая, что

∑n 1= A и ∑n 1= n, k=1k n k=1

получаем общее соотношение:

Bn = (n +1)An− n

При $n =7$ имеем

B7 = (7 +1)A7− 7= 8A7 − 7

Подставим это выражение в искомую дробь:

B7A+-7= (8A7−A-7)+-7= 8AA7 = 8 7 7 7

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#132897Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность $a,a ,a... 1 2 3$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ равенству

5−-an an+1 = 4

Пусть $Sn$ обозначает сумму первых $n$ членов этой последовательности: $Sn = a1 +...+ an.$ Известно, что $a1 = 11.$ Найдите наименьшее значение $n,$ при котором выполняется неравенство

1 |Sn− n− 8|< 1000

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вычислить несколько первых членов последовательности.

Подсказка 2

Подумайте, имеет ли полученная последовательность какие-нибудь примечательные свойства?

Подсказка 3

Это геометрическая прогрессия! Попробуйте понять, через какую формулу можно найти ее n-ый член.

Подсказка 4

aₙ = 1 + 10 ⋅ (-1/4)ⁿ⁻¹.

Подсказка 5

Осталось лишь найти по формуле сумму геометрической прогрессии и подобрать n.

Показать ответ и решение

Заметим, что искомому рекуррентному соотношению удовлетворяет данная формула для $n$ -го члена последовательности:

( 1)n−1 an =1+ 10 − 4

Покажем это, подставив формулу в соотношение:

( ) ( )n 5− 1− 10 − 1 n− 1 ( )n−1 ( )n 1+ 10 − 1 = ----------4-----= 1+ (−1)⋅ 1 ⋅10 − 1 = 1+ 10 − 1 4 4 4 4 4

По формуле суммы геометрической прогрессии найдем сумму:

∑n ( ( 1)k− 1) n∑ ( 1)k−1 ( ( 1)n) ( 1)n Sn = 1+ 10 −4 = n+ 10 −4 = n+ 8 1 − − 4 =n +8 − 8 − 4 k=1 k=1

Теперь рассмотрим выражение $|Sn− n− 8|:$

| ( ) | | ( ) | |( ) | |S − n− 8|= ||n+ 8− 8 − 1 n − n − 8||= ||− 8 − 1 n||=8|| − 1 n||= 8 n | 4 | | 4 | | 4 | 4n

Найдем наименьшее $n,$ для которого выполняется неравенство:

8n-< -1-- 4 1000

8000 <4n

Проверим степени четверки: $45 = 1024,$ $46 =4096,$ $47 =16384.$ Неравенство $4n >8000$ впервые выполняется при $n =7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#135283Максимум баллов за задание: 7

Исследуем рекуррентное соотношение вида

an+2 = pan+1+ qan,

(1)

обычно называемое линейным рекуррентным соотношением второго порядка.

Докажите, что

(a) Ненулевая геометрическая прогрессия ${an}= bxn0$ удовлетворяет соотношению $(1)$ тогда и только тогда, когда $x0$ является корнем его характеристического уравнения.

(b) Ненулевая последовательность ${an}= bnxn0$ удовлетворяет соотношению $(1)$ тогда и только тогда, когда $x0$ является кратным корнем его характеристического уравнения.

Показать доказательство

(a) Если подставить $n an =bx0$ в (1), получится

n+2 n+1 n bx0 =pbx0 +qbx0.

Делим на $bxn, 0$ получаем

2 x0− px0− q =0.

Это и есть условие на $x0.$ В обратную сторону: если $x0$ удовлетворяет $x2− px0− q = 0, 0$ то умножив это равенство на $xn, 0$ получаем

n+2 n+1 n x0 = px0 + qx0.

Умножив на $b,$ получаем, что $an+2 = pan+1 +qan$ верно для всех $n.$

(b) Подставим $an = bnxn 0$ в (1). Получаем

b(n+ 2)xn+2= pb(n+ 1)xn+1+ qbnxn. 0 0 0

Теперь разделим обе части на $bxn0$ (это можно сделать, так как $b⁄=0$ и $x0 ⁄= 0$ ). После деления остаётся

(n+ 2)x20 = p(n +1)x0+ qn.

Мы видим, что это равенство должно выполняться при всех $n.$ Чтобы оно было тождеством, коэффициенты при $n$ и свободный член должны совпадать по обе стороны. Это даёт систему

x20− px0− q =0, 2x0− p= 0.

Первое уравнение означает, что $x0$ — корень характеристического уравнения, второе — что этот корень является кратным.

В обратную сторону: если выполнены условия $x20− px0− q = 0$ и $2x0 − p= 0,$ то равенство

(n+ 2)x20 =p(n+ 1)x0+ qn

выполняется для любого $n.$ Умножим его на $n x0,$ получим

n+2 n+1 b(n+ 2)x0 = pb(n+ 1)x0 + qbnxn0.

Это означает, что для $n an =bnx0$ действительно выполняется рекуррентное соотношение

an+2 = pan+1 +qan

при всех $n.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#135284Максимум баллов за задание: 7

Исследуем рекуррентное соотношение вида

an+2 = pan+1+ qan,

(1)

обычно называемое линейным рекуррентным соотношением второго порядка.

(a) Пусть характеристическое уравнение соотношения $(1)$ имеет два различных корня $x1$ и $x2.$ Тогда существует единственная пара чисел $c1$ и $c2$ такая, что $an = c1xn1 +c2xn2.$

(b) Пусть характеристическое уравнение соотношения $(1$ ) имеет кратный корень $x0.$ Тогда существует единственная пара чисел $c1$ и $c2$ такая, что $an = (c1 +c2n)xn0.$

Показать доказательство

(a) Подставим $n n an = c1x1 +c2x2$ в соотношение (1):

n+2 n+2 an+2 = c1x1 +c2x2 .

С другой стороны,

n+1 n+1 n n pan+1+ qan =p(c1x1 + c2x2 )+ q(c1x1 +c2x2).

Раскроем скобки:

n+1 n n+1 n pan+1 +qan = c1(px1 + qx1)+ c2(px2 +qx2).

pa +qa = cxn(px +q)+ cxn(px +q). n+1 n 11 1 22 2

Так как $x21 = px1+q$ и $x22 = px2+ q,$ получаем

pan+1+ qan = c1xn1+2+ c2xn2+2 =an+2.

Значит, формула $an = c1xn1 +c2xn2$ действительно задаёт решение.

Теперь покажем единственность. Для $n = 0,1:$

a0 = c1+ c2, a1 =c1x1+ c2x2.

Так как $x1 ⁄= x2,$ система очевидно имеет единственное решение $(c1,c2).$

Таким образом, общее решение рекуррентного соотношения (1) имеет вид

an = c1xn1 +c2xn2,

где $c1,c2$ однозначно определяются начальными условиями $a0,a1.$

(b) Подставим $n an = (c1+ c2n)x0$ в соотношение (1):

an+2 = (c1+ c2(n+ 2))xn0+2.

С другой стороны:

pan+1 +qan = p(c1+ c2(n+ 1))xn0+1+ q(c1+ c2n)xn0.

pan+1+ qan = xn0[p(c1+ c2(n+ 1))x0+ q(c1+ c2n)].

Так как $x0$ — кратный корень уравнения $2 x − px − q =0,$ выполняются соотношения

x20 = px0+q, 2x0 = p.

Подставляем:

2 2 p(c1+ c2(n+ 1))x0+ q(c1+c2n)= (c1+ c2n)x0+ 2c2x0.

Следовательно,

n+2 pan+1+ qan =(c1+c2(n+ 2))x0 = an+2.

Значит, формула $an = (c1+ c2n)xn 0$ действительно задаёт решение.

Единственность следует из начальных условий:

a0 = c1, a1 = (c1+ c2)x0.

Эта система, очевидно, имеет единственное решение, назовем его $(c1,c2).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#137749Максимум баллов за задание: 7

Найдите все последовательности натуральных чисел $a ,a ,... 1 2$ такие, что для любого натурального $n$ выполнено равенство

2 (n + 1)an =n(an2 + 1).

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Какие наблюдения можно сделать, глядя на равенство из условия? Например, aₙ точно делится на n, потому что (n, n² + 1) = 1.

Подсказка 2:

Кстати, нетрудно заметить, что последовательность aₙ = n подходит. Попробуйте доказать, что это единственный ответ.

Подсказка 3:

Вместо того чтобы доказывать, что aₙ = n, можно ввести другую последовательность bₙ, зависящую от членов a. Для удобства можно подобрать такую bₙ, которая равна константе, если aₙ = n.

Подсказка 4:

Можно взять bₙ = (aₙ / n) – 1. То есть мы хотим доказать, что bₙ = 0. Какой вид примет рекуррентное соотношение?

Подсказка 5:

Обратите внимание, n² + 1 взаимно просто с n. На какую максимальную степень n делится bₙ?

Показать ответ и решение

Поскольку $(n2 +1,n)=1,$ $a n$ делится на $n.$ Тогда пусть $b = an− 1. n n$ Выражение из условия переписывается в следующем виде:

2 ( 2 ) (n + 1)n(bn +1)= n n (bn2 + 1)+1

2 2 bn(n + 1)= bn2n

Подставляя $n= 1,$ получаем $b1 = 0.$ Теперь пусть $n >1.$ Заметим, что $bn$ делится на $n2,$ тогда $b2 n$ делится на $n4,$ то есть $bn$ делится на $n6.$ Продолжая рассуждения, получаем, что $bn$ делится на сколь угодно большую степень $n.$ Тогда $bn = 0,$ то есть $an =n.$

Ответ:

$a =n n$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#139260Максимум баллов за задание: 7

Последовательности ${a } n$ и ${b} n$ ( $n = 1,2,3,...$ ) являются арифметическими прогрессиями, $a =32,b = 43. 11 21$ Последовательность ${cn}$ определяется равенством

n n cn =(−1) an+(−1) bn

Сумма первых сорока членов последовательности ${c } n$ равна 100, а сумма первых её двадцати трех членов равна $− 60.$ Найдите $b 40$ и сумму первых ста членов арифметической прогрессии ${a }. n$

Показать ответ и решение

Напишем сумму первых сорока членов $c n$

c1+ c2+...c40 = (−a1+a2− a3+ a4+...− a39+ a40)+ (−b1+ b2− b3+ b4+...− b39+b40) =20A+ 20B,

где $A$ и $B$ разности прогрессий $an$ и $bn.$ Получили, что

A+ B =5

Напишем сумму первых $23$ членов $cn$

c1 +c2+ ...c23 = (−a1+ a2− a3+ a4+ ...− a23)+(−b1+ b2 − b3+ b4 +...− b23)= 11A+ 11B − a23− b23

Заметим что

a23 = a11 +12A= 32+ 12A b23 = b21+ 2B = 43+ 2B

Подставим

−60= −75+ 9B− A

9B− A =15

Можем найти $A$ и $B$ из системы линейных уравнений

{ A + B = 5 9B − A= 15

{ A +B = 5 10B =20

{ A =3 B =2

Получили, что решение $B = 2$ и $A =3.$ Теперь найдём

b40 = b21+ 19B = 43+38= 81

Посчитаем сумму $an$

a1 = a11− 10A= 32− 30 =2

S = 100(2a12+-99A) =50⋅(4+ 297)= 50⋅301 =15050

Ответ: 15050

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#77218Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ${a} n$ определена условиями

-1-- a0 = 7 и an = an−1+ an−1 для n ∈ℕ.

Докажите, что $64< a2024 < 65.$

Показать доказательство

Возведем в квадрат второе уравнение

2 2 1 an =an−1+ a2n−1 + 2

Выразив остальные члены последовательности, получим систему

( ||| a2n = a2n−1+ a12-+2 ||||| a2 = a2 +n−211--+2 ||||{ n2−1 n2−2 an−12- an−2 = an−3+ a2n−3 +2 ||||| ⋅⋅⋅ ||||| a22 = a21+ 1a21 +2 ||( a21 = a20+ 12+2 a0

Сложив уравнения системы, получим

2 2 n−∑ 11 an = 2n+ a0+ a2k k=0

Тогда

20∑231 a22024 =4097+ a2> 4097 k=0 k

А значит, $a2024 > 64.$

Заметим, что данная последовательность возрастающая, то есть каждый член больше предыдущего, а значит, обратный квадрат меньше.

20∑231 1 a22024 =4097+ a2< 4097 +2024⋅49 < 4225= 652 k=0 k

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#78957Максимум баллов за задание: 7

Существует ли такая арифметическая прогрессия из трех натуральных чисел, что произведение всех ее членов есть точная $2008$ -я степень натурального числа?

Показать ответ и решение

Например $6669,2⋅6669,3⋅6669.$ Их произведение равно $6⋅63⋅669 = 62008.$

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#78959Максимум баллов за задание: 7

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов также является членом этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

Показать доказательство

Пусть $a$ — один из членов прогрессии, а $d$ — её разность. По условию числа $a(a+ d)$ и $a(a+ 2d)$ также члены прогрессии; значит, их разность имеет вид $nd$ при некотором целом $n,$ т. е. $ad= nd.$ Поскольку $d >0,$ получаем $a= n,$ т. е. $a$ — целое число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#78960Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ${a } n$ задаётся следующим образом: $a = 1 1$ , $a = a + 1- n+1 n an$ для любого натурального $n.$ Докажите, что $a100 >14.$

Показать доказательство

Заметим, что $a > 0 n$ для любого натурального $n.$ Также

( 1 )2 a2n+1 = an + an- > a2n+ 2

Тогда

a2100 > a299+ 2> a298 +2⋅2> ...> a21+ 2⋅99= 199> 142

что и требовалось доказать.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78962Максимум баллов за задание: 7

Множество $S$ состоит из чисел

2 2 3 1,1+ b,1+ b+b ,1+b +b + b,...

где $b$ — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из $S$ являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдётся ещё одно число из $S,$ также являющееся членом этой прогрессии.

Показать доказательство

Решение. Пусть $1+b+ ...+ bn = a+ kd,1+ b+...+bm =a +ld,$ где $a$ и $d$ — первый член и разность прогрессии, $k,l∈ ℕ.$ Пусть $k< l$ и, соответственно $n< m.$ Тогда

n+1 n+2 m b + b +...+b =(a+ ld)− (a+kd)= (l− k)d =pd, p ∈ℕ

Заметим, что

bm+1+ bm+2+ ...+ b2m−n = m−n (n+1 n+2 m) m−n =b b + b +...+b = b pd= qd, q ∈ ℕ

и, значит, число $1+ b+ ...+b2m−n =a +ld+qd= a+ (l+q)d$ также является членом прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#78963Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что все члены последовательности

∘ --2--- x1 = 0, xn+1 = 2xn+ 3xn+ 1, n= 1,2,...

являются целыми числами.

Показать доказательство

Заметим, что все члены последовательности неотрицательны, и

∘------ xn+1 = 2xn+ 3x2n+ 1> 2xn ≥ xn

Поэтому все члены последовательности различны. Перенеся $2xn$ в левую часть и возведя полученное равенство в квадрат, получаем

x2n+1− 4xn+1xn+ x2n = 1

Кроме того, также выполняется и равенство

x2n−1− 4xn−1xn+ x2n = 1

(получаемое уменьшением индексов на $1$ ). Это означает, что $xn+1$ и $xn−1$ являются корнями уравнения $2 2 x − 4xnx+ xn = 1.$ Тогда по теореме Виета получаем $xn+1+ xn−1 = 4xn,$ т. е. $xn+1 =4xn − xn−1.$ Отсюда в силу того, что первые два члена последовательности — целые числа, следует, что все $xn,$ вычисляемые с помощью полученной формулы, т. е. $xn = 4xn−1− xn−2,$ — целые числа.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#78964Максимум баллов за задание: 7

Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из $1000$ цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек — белую или черную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

Показать ответ и решение

Существует ровно $21111$ —разрядных последовательностей из $0$ и $1,$ из них с четным числом единиц — ровно половина, то есть $10 2 = 1024.$ Закодируем 1000 цветов тысячей таких последовательностей. Распределим разряды между мудрецами. Мудрец номер $k$ действует так: среди видимых им 10 цветов колпаков подсчитывает число $ak$ тех, у кого в $k$ -м разряде стоит $1.$ Если это число четно, он показывает черную, а иначе-белую карточку.

После этого каждый мудрец может вычислить все разряды в коде цвета своего колпака, кроме одного — за который он сам отвечает. Для этого он подсчитывает число $bk$ единиц в $k$ -х разрядах девяти мудрецов (кроме себя и мудреца номер $k$ ), и если четность $bk$ совпадает с показанной четностью $ak,$ у него в $k$ м разряде $0,$ иначе $1.$ Недостающий разряд восстанавливается благодаря четности общего числа единиц в коде.

Ответ:

Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#79596Максимум баллов за задание: 7

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#79608Максимум баллов за задание: 7

Последовательность ( $a n$ ) удовлетворяет условиям

∘ -------- a1 = 1, an+1− an = an+ an+1 при всех n≥ 1.

Какие значения может принимать $a 2023$ ?

Источники: ОММО - 2024, задача 10 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала возведём в квадрат и посмотрим, что же у нас получается после приведения подобных. Во-первых, у нас получается симметричное уравнение относительно a_(n + 1) и a_n. А это значит, что то, что верно для a_(n - 1) верно и для a_(n + 1) относительно a_n. Что можно тогда заметить?

Подсказка 2

Мы можем заметить, что уравнению t^2 - (2a_n + 1)*t + a^2_n - a_n = 0 удовлетворяют и а_(n - 1), и a_(n + 1). Значит, по теореме Виета, a_(n - 1) + a_(n + 1) = 2a_n + 1. Теперь попробуйте найти первые несколько членов!

Подсказка 3

У нас получается такая прогрессия - 1,3,6,10….- это же значения суммы первых n натуральных чисел. Попробуйте это доказать, и тогда задача сведётся к тому, чтобы записать ответ.

Показать ответ и решение

Выписав условие $a − a ≥ 0 n+1 n$ , возведем равенство в квадрат и запишем его для двух соседних членов последовательности

2 2 an+1− 2an+1 ⋅an +an =an+ an+1

2 2 an− 2an⋅an−1+an−1 =an−1+ an

То есть получаем, что $a n+1$ и $a n−1$ — два корня уравнения

2 2 t − (2an+ 1)⋅t+ an− an = 0

По теореме Виета получаем

an−1+ an+1 =2an+ 1

an+1 = an+ (an− an−1)+1

Первые члены последовательности равны $1,3,6,10,...$ Это очень похоже на суммы первых $n$ натуральных чисел. Давайте по индукции докажем формулу:

an+1 = n(n+-1) 2

База очевидна: $a1 = 1= 1⋅22$

Переход ясен:

an+1 = n(n+-1)+n +1 = (n+-1)(n-+2) 2 2

Поэтому

2022⋅2023 a2023 = 2 = 2047276

Ответ: 2047276

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#80754Максимум баллов за задание: 7

Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2∘$ и начинающуюся с угла $143∘.$ Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним формулу для подсчета суммы углов у выпуклого многоугольника и формулу суммы арифметической прогрессии.

Подсказка 2

Приравняв эти суммы, сможем получить квадратное уравнение. Но точно ли все значения этого уравнения подойдут?

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — искомое число вершин. Тогда сумма углов многоугольника равна $180∘⋅(n− 2).$ С другой стороны, эту же сумму можно выразить через сумму арифметической прогрессии, которая равна $∘ n(n−1) ∘ 143 ⋅n+ 2 ⋅2 .$ Приравняем эти суммы и получим следующее уравнение:

∘ ∘ n(n − 1) ∘ 180 ⋅(n − 2)= 143 ⋅n +--2---⋅2

n2− n+ 143n − 180n+ 360= 0

2 n − 38n+ 360= 0

Получаем, что $n= 18$ или $n= 20.$ Но $n =20$ не подходит, так как тогда наибольший угол многоугольника равен $143∘+2∘⋅19= 181∘,$ что больше $180∘.$

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#80755Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#82677Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность $a n$ : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, $...$
(одна единица, две двойки, три тройки, четыре четверки и т.д.) и еще одна последовательность $bn$ такая, что $abn =ban$ для всех натуральных $n$ .

Известно, что $bk = 1$ при некотором $k> 100$ . Докажите, что $bm =1$ при всех $m >k$ .

Источники: СПБГОР - 2024, 11.2 (см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте поймем что-то про последовательность {a_i}. Как минимум поймем на каких местах у нас стоит число k. Это важно для нас, так как если мы хотим выбрать какое-то конкретное m(и посмотреть откуда же может быть получено противоречие), то нам надо понимать, как связан номер и значение a_m. Как зависит значение от m?

Подсказка 2

Для любых номеров m, которые располагаются между t(t + 1)/2 + 1 и (t + 1)(t + 2)/2, a_m = t + 1. Если от нас требуется доказать, что начиная с какого-то номера у нас b_i = 1, не будем мелочиться и докажем, начиная почти для всех(с какого-то маленького), по индукции. Но давайте, для начала, так сказать, для создания благоприятной обстановки, поймем, как все таки делать индукцию. Ведь переход от n к n + 1 здесь кажется странным. Однако переход от k(k + 1)/2 к (k + 1)(k + 2)/2 выглядит более разумно, ведь мы знаем все значения a_i, для i из этого отрезка.

Подсказка 3

Верно, переход такой нам легко дается, так как a_i из этого промежутка равно t + 1, а значит, это b_(t + 1), но для всех меньших мы доказали. Что осталось написать по этой задаче? Является ли это полным решением?

Подсказка 4

Не является, так как t + 1 не всегда входят в уже доказанный промежуток. Для t = 1, 2 - это неверно. Значит, надо в качестве базы использовать t >= 3. Но это подходит под условие нашей задачи, а значит, если у нас b_k = 1, то и все последующие будут равны 1.

Показать доказательство

Возьмём число $m : t(t+1)+ 1≤ m ≤ (t+1)(t+2) 2 2$ , заметим, что для любого такого $m$ $a = t+1 m$ , тогда $b = b = a t+1 am bm$ , тогда если $bm =1$ , то $abm =1$ , тогда $bt+1 =1$ , и наоборот.

Значит, $bt+1 = 1 ⇐⇒ bm = 1$ для $t(t+1) (t+1)(t+2) m ∈ [ 2 + 1; 2 ]$

Значит, и $bt+1 ⁄=1 ⇐⇒ bm ⁄= 1$

Если $b3 =1$ , то

2× 3 3× 4 ∀m ∈ [-2-+ 1;-2--]:bm = 1 т.е. b4 = b5 =b6 = 1

Докажем тогда по индукции, что $∀m > 3 bm = 1.$

База уже есть. Переход будем делать от $m ∈ [3;t(t+21)]$ к $m ∈[3;(t+1)2(t+2)].$

Заметим, что $t+ 1< t(t+21)$ при $t>3 ⇒ bt+1 = 1$ , но по предположению индукции $∀m ∈ [t(t+21)+ 1≤ m≤ (t+1)2(t+2)]:bm =1$ , значит,

∀m ≥3 :bm = 1, если b3 = 1

Аналогичными рассуждениями

∀m ≥3 :bm ⁄= 1, если b3 ⁄= 1

Итого т.к. $bk =1$ , $k> 100$ , то $b3 =1$ , а значит, $∀m > 3$ :

bm = 1⇒ ∀m > k bm =1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#83743Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Даны косинусы углов в градусах. Мы же знаем, что косинус — периодичная функция с периодом 360 градусов. Попробуем заметить что-нибудь, связанное с периодичностью косинуса, про аргументы двух соседних членов последовательности, то есть 10^n и 10^(n+1).

Подсказка 2

После того, как мы поняли, что из себя представляют а_2023 и а_2024, осталось преобразовать выражение с x по известным тригонометрическим формулам. В этот момент уже будет понятно, как искать наименьшее значение, ведь тригонометрические функции принимают ограниченные значения.

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности: