Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Тема Тождественные преобразования

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79859

Неотрицательные числа $x,x ,x ,x ,x 1 2 3 4 5$ таковы, что их сумма равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма кубов этих чисел не больше суммы их четвёртых степеней.

Показать доказательство

Введём обозначения:

A = x +x +x + x +x , B = x2+ x2+x2+ x2+ x2 C = x13+x23 +x33+ x43+ 5x3, D= x14+ x24+x34 +x44+ x54 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Нам дано, что $A= B,$ и нужно доказать, что $C ≤D,$ т. е. что

D − C +(A − B )≥0

Выделим в этой разности слагаемые, относящиеся к переменным с одинаковыми индексами: $S =a4− a3+ (a − a2),$ и преобразуем полученное выражение: $S = a3(a− 1)− a(a− 1)= a(a− 1)2(a +1).$ Утверждение задачи теперь следует из того, что каждый множитель в этом произведении неотрицательный.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80746

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?

Подсказка 2

Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).

Подсказка 3

Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82686

При каких целых $m$ число $m4+ 4$ является составным (то есть имеет хотя бы 3 натуральных делителя)?

Показать ответ и решение

Выделим в исходном выражении полный квадрат: прибавим и вычтем $4m2$ :

4 22 2 2 2 2 2 2 m + 4= (m ) +4m +2 − 4m = (m + 2)− 4m

Так как $4m2 =(2m)2,$ используем формулу разности квадратов:

2 2 2 2 2 (m + 2) − (2m) = (m + 2− 2m )(m + 2+ 2m)

В каждой скобке тоже выделим полный квадрат:

2 2 2 2 (m +2 − 2m)(m + 2+ 2m)= ((m − 1) + 1)((m + 1)+ 1)

Найдем, при каких $m$ значение выражения - простое число. Заметим, что хотя бы одна из полученных скобок должна быть равна $1,$ а иначе произведение не будет простым. Решим отдельно два уравнения. Для первой скобки:

(m − 1)2+ 1= 1

(m − 1)2 =0

m = 1

Для второй скобки:

2 (m + 1) + 1= 1

2 (m + 1) =0

m =−1

Теперь проверим, что при $m= 1$ и $m = −1$ получаются простые числа:

При $m =1$ имеем $14+ 4=5$
При $m =− 1$ имеем $(−1)4+4 =5$

Итак, получили, что для $m= ±1$ выражение будет принимать простое значение. Тогда для всех остальных целых $m$ выражение будет составным.

Ответ:

при любых целых, кроме 1 и -1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82697

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — попарно различные числа. Докажите, что выражение

2 2 2 a (c− b)+b (a − c)+ c(b− a)

не равно нулю.

Показать доказательство

Предположим противное: пусть

2 2 2 a(c− b)+ b(a− c)+ c (b− a)= 0

Докажем, что

(a− b)(b− c)(c− a) =0

Раскрываем скобки и группируем:

(a− b)(b− c)(c− a)= abc− ac2 − bc2+c2b− a2b+ a2c+ba2− abc= a2(c− b)+b2(a − c)+c2(b− a)= 0

Таким образом, какие-то два из чисел $a,b,c$ равны, что противоречит условию.

Значит,

a2(c− b)+ b2(a− c)+ c2(b− a)⁄= 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82704

Числа $x,y,z$ таковы, что $xyz = 1.$ Вычислите значение выражения

---1---- ---1---- ---1---- 1+ x+ xy + 1+ y+ yz + 1+z +xz

Показать ответ и решение

Преобразуем дробь, используя условие $xyz = 1$

1 xyz xyz xz 1-+y+-yz = xyz+-y+-z = y(xz+1-+z) = 1+-z+-xz

Преобразуем ещё одну дробь, используя то же самое условие

---1----= ---xyz----= ---xyz----= ---yz---- 1+ x+ xy xyz+x +xy x(yz+ 1+ y) 1+ y+yz

Применим условие $xyz = 1$ для дроби выше ещё раз и заменим число $1$ в знаменателе

---yz--- ----yz----- ---yz----- ---z---- 1+ y+ yz = xyz+y +yz = y(xz+ 1+ z) = 1+z +xz

Теперь преобразуем исходное выражение, с учетом всех предыдущих преобразований

1 1 1 z xz 1 1+ z+xz 1+-x+-xy-+ 1+-y+yz-+1-+z+-xz = 1-+z+-xz + 1+-z+-xz + 1+-z+xz-= 1+-z+xz-= 1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82835

Известно, что

2 2 2 a − bc=b − ac= c − ab⁄= 0

Какие значения может принимать выражение

(a+b)(b+-c)(c+-a) abc ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это поработать с данными в условии равенствами. Возьмём, например, a^2-bc = b^2 - ac. Как хорошо его можно преобразовать?

Показать ответ и решение

Случай $a =b= c$ противоречит, например, условию $a2− bc⁄=0.$ Поэтому среди чисел есть пара различных. Не умаляя общности (можно переобозначить переменные), $a⁄= b.$

Преобразуем равенство $2 2 a − bc= b − ac$ из условия:

2 2 a − b = bc− ac

(a − b)(a +b)= c(b− a)

(a − b)(a +b+ c) =0

Так как $a⁄= b,$ то $a+ b+c =0.$ Получаем, что сумма любых двух переменных противоположна третьей, можно изящно подставить всё в искомую дробь:

(a-+b)(b+-c)(c+-a)-= (−-c)⋅(−a)⋅(−-b)-=− 1 abc abc

Ответ: -1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89661

Саша придумал два целых числа и перемножил их. Затем взял числа, обратные придуманным, и сложил. Полученные сумма и произведение оказались обратными числами. Найдите разность модулей Сашиных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С самого начала давайте, конечно, запишем условие в алгебраическом виде. Что, учитывая одз, сразу можно тогда сказать?

Показать ответ и решение

Пусть Саша загадал числа $x,y ⁄= 0.$ После операций Саши получатся числа $xy$ и $1+ 1. x y$ По условию они обратные, то есть

1 1 1 xy = x + y

-1 = y+-x xy xy

Откуда $x+ y = 1.$ $x,y$ — целые, не равные нулю, поэтому они должны быть разного знака, чтобы их сумма равнялась $1.$

Пусть без ограничения общности $x> 0,y <0.$ Тогда

|x|− |y|= x+ y = 1

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89662

Целые числа $x,y,z$ таковы, что $xy+ yz+ zx= 1.$ Докажите, что число $(1 +x2)(1+ y2)(1+ z2)$ является полным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, о чём хочется задуматься, зачем же нам дали равенство с переменными и единицей. Выразить оттуда что-то вряд ли получится. Но связь с произведением нужно находить. Что есть общего из равенства в условии и с одной из скобок?

Подсказка 2

Да, это самое банальное, но самое верное. У них общая единица, поэтому нам ничего не мешает вместо неё подставить нашу сумму попарных произведений. Но чем же на самом деле теперь является каждая из скобок?

Подсказка 3

Верно, это (x+y)(z+x), например, в первой скобке. С остальными получится аналогично. Осталось увидеть, что это решает задачу. Победа!

Показать доказательство

Из условия следует, что

2 2 1+x =xy+ yz+ zx+x =(x+ y)(z+ x)

Аналогично разложив на множители $1+ y2 =(y+ x)(y+ z)$ и $1 +z2 = (z+x)(z+y),$ получим

( 2)( 2)( 2) 2 1+x 1+ y 1+ z =((x+y)(y+z)(z +x))

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89663

Докажите, что если $a+b +c+ d= 0$ и $ab+cd+ ac+bc+ ad +bd= 0,$ то $a= b= c= d= 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда кажется, что нам дали какие-то непонятные условия. Но нам всё таки нужно осознать, как они связаны. Где может в принципе встретиться сумма попарных произведений?

Показать доказательство

Вспомним, что

2 2 2 2 2 (a+ b+c+ d) =a + b +c + d + 2(ab+ cd+ ac+ bc+ ad+ bd)

Тогда

2 2 2 2 2 a +b + c +d = (a+b +c+ d)− 2(ab+ cd+ ac+ bc+ad +bd)=0

Сумма квадратов может равняться $0,$ только если каждый из них равен $0,$ то есть $a= b= c= d= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92362

Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел $a,b,c,d$ , таких что числа

2 2 2 2 2 2 a − ab +b ,b − bc +c ,c − cd+d

равны друг другу, если известно, что каждое из чисел $a,b,c,d$ равно либо 1, либо 2, либо 3, а число $a$ является среди них наибольшим.

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

{ 2 2 2 2 a2− ab+ b2 =b2− bc+ c2 b − bc+c = c − cd+ d

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

{ (a− c)(a+ c− b)= 0 (b− d)(b+d − c)= 0

Тогда возможны $4$ случая:

1.: $a =c$ и $b= d.$ В этом случае, если $a =3,$ то остается выбрать значение $b= 1,2,3$ ( $3$ способа), если $a =2,$ то $b=1,2$ ( $2$ способа) и $a= 1,$ $b =1$ ( $1$ способ), то есть всего $6$ способов;
2.: $a =c$ и $b+ d− c =0.$ В этом случае имеем $b+ d= c.$ Тогда $b+ d≥ 2,$ поэтому $c≥ 2.$ С другой стороны, $c≤ 3,$ поэтому $b+ d≤ 3.$ Тогда $b+d =2$ или $3$ и $a$ и $c$ равны $2$ или $3.$ Если $b+d =2,$ то $b=d =1,$ и $a= c,$ и этот случай мы учли выше. Если же $b+d =3,$ то тут всего два случая: $a =c= 3$ и $b= 1,$ $d =2$ или $b= 2,$ $d =1.$ Таким образом, имеем $2$ варианта;
3.: $a +c− b= 0$ и $b= d.$ Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи $b= d= 2,$ $a= c= 1$ (который нас не интересует, так как $a$ — наибольшее число) и $b= d= 3$ и $a+ c= 3,$ в которых $a≤ 2,$ что тоже нас не интересует;
4.: $a +c− b= 0$ и $b+d − c= 0.$ Сложим два этих равенства и получим, что $a+ d= 0,$ что невозможно, поскольку $a≥1,$ $d ≥1.$

Таким образом, получаем $6 +2= 8$ упорядоченных четверок.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#99235

Вычислить:

√ ----6∘----√--------- ∘ √------- ∘ √------- 2023( 2027 2024 +6073+ 2024+ 1)⋅ 2024− 1.

Источники: Газпром - 2024, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим почти везде похожие числа, как будто построенные вокруг 2024 (всё-таки олимпиада проводилась в 2024 году). Понятно, что корень из 2023 почти нереально преобразовывать, используя как-то правую скобку. Значит, надо преобразовать сначала правую скобку, независимо от корня слева. Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что нам надо сначала преобразовать корень шестой степени, а значит, сначала подкоренное выражение. Как же это сделать?

Подсказка 2

6073 похоже на 2024, умноженное на 3, но только увеличенное на 1. А 2027 на что похоже? На 2024 + 3. Давайте тогда разложим на такую сумму, чтобы у нас были только маленькие числа и 2024 и посмотрим, на что это похоже. 2024 корня из 2024, 3 * 2024, 3 корня из 2024 и 1. Что это?

Подсказка 3

Это куб суммы корня из 2024 и 1. Доведите преобразование до конца, извлеките корень, а потом сверните по формуле разности квадратов и получите ответ!

Показать ответ и решение

Выделим куб суммы в подкоренном выражении первого слагаемого скобки:

2027√2024-+6073= 2024√2024+3√2024+ 6072+ 1= √ ----3 √ ---- 2 √ ---2 3 √---- 3 = ( 2024) +3 2024⋅1 + 3⋅( 2024) ⋅1 +1 = ( 2024 +1).

Тогда:

√ ---( 6∘-√-------- ∘√-------)∘ √------- √ ---- ∘ √-------∘ √------- 2023 ( 2024+1)3+ 2024+ 1 2024 − 1= 2023(2 ⋅ 2024+ 1) 2024 − 1= √---- ∘-√--------√------- √---√ ------- =2 2023⋅ ( 2024+ 1)( 2024 − 1)= 2 2023 2024− 1= 4046.

Ответ:

$4046$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#62509

Какие значения может принимать выражение $x2+ x x +x2 1 1 2 2$ , где $x 1$ и $x 2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $3 x − 2015x+ 2016 =0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить корни x₁ и x₂ в наше уравнение, что можно получить из такой подстановки?

Подсказка 2

Да, при их подстановке уравнение равно нулю, поэтому мы можем выразить разность кубов x₁ и x₂, то есть x₁³ - x₂³. А что мы получим у правой части?

Подсказка 3

Да, в правой части мы можем вынести за скобки 2015. Тогда, вспомним формулу разности кубов! Чему равно выражение, которое нас просят найти?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как $3 x1− 2015x1+ 2016= 0$ и $3 x2− 2015x2+ 2016= 0$ , то $3 3 x1− x2 =2015⋅(x1 − x2)$ . Значит, $2 2 x1+x1x2+ x2 = 2015$ (делим на $x1− x2 ⁄= 0$ ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): $x1+ x2+ x3 =0,x1x2x3 =− 2016$ . Поэтому

2016 x21+ x1x2+x22 =(x1+ x2)2− x1x2 =(−x3)2 +-x3-= x33+2016 2015x3 = --x3---= --x3- = 2015.

Ответ:

2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67572

Сумма трёх чисел равна $a,$ сумма обратных к этим числам равна $2a.$ Оказалось, что по этим данным можно однозначно найти сумму кубов чисел. Чему равно $1- a2?$

Показать ответ и решение

Обозначим эти числа $x,y,z.$ По условию

{ x+y +z =a xy+yz+zx xyz = 2a

Так как

3 3 3 3 ( 2 2 2 2 2 2 ) (x+ y+ z)= x + y +z + 3 x y+x z+ yx +y z+ zx +z y + 6xyz =

3 3 3 =x + y + z +3((x+ y+z)(xy +yz+ zx)− 3xyz)+6xyz =

=x3+ y3+ z3 +3⋅a⋅2a⋅xyz− 3xyz,

то сумма кубов чисел $x,y,z$ равна

a3− 3xyz(2a2− 1)

и является фиксированным числом, не зависящим от $x,y,z$ только при $2a2− 1= 0,$ откуда

a12 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#68246

Четыре подряд идущих числа перемножили и прибавили $1.$ Докажите, что получился точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот мы обозначили первое число за n и записали выражение n(n+1)(n+2)(n+3). Если мы хотим как-то его преобразовать для того, чтобы доказать, что это квадрат, то сначала было бы удобно разложить его на две какие-то скобки, где часть, зависящая от n, повторяется (тогда можно было бы сделать замену, относительно которой нашей выражение являлось бы квадратным трехчленом и про которое уже легче говорить и доказывать "квадратность"). То есть эти выражения отличаются на константу. Тогда в силу того, что у нас степень многочлена четвертая, эти скобки должны иметь вторую степень. Как тогда разложить правильно?

Подсказка 2

Если мы хотим сгруппировать наши скобки на два квадратных трехчлена, то n^2 там будет повторяться и так. Остаётся, чтобы повторялось слагаемое с n. Путём перебора (или через теорему Виета) мы можем понять, что надо группировать по таким парам: n(n+3) и (n+1)(n+2). Тогда квадратные трехчлены будут n²+3n и n²+3n+2. Осталось сделать замену, добавить к этому единицу (из условия), и задача будет решена!

Показать доказательство

Обозначим эти числа через $x,x+ 1,x+ 2$ и $x+ 3.$ Выражение имеет вид $x(x +1)(x +2)(x+ 3)+ 1.$ Перемножим первую скобку с четвёртой, вторую — с третьей: $2 2 (x + 3x +2)(x + 3x)+1.$ Заменим $2 x + 3x$ на $t$ и преобразуем выражение:

2 (t+ 2)t+ 1= t +2t+ 1=

2 2 2 =(t+ 1) = (x +3x+ 1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#71150

Существуют ли вещественные числа $x,y,z,$ разность никакой пары из которых не равна нулю таких, что

4 3 4 3 43 4 3 4 3 43 x y +y z + zx = y x + zy + xz ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, по условию разность никакой пары не равна нулю! Попробуйте разложить многочлен на множители, причем три из них — это попарные разности чисел.

Подсказка 2

Опять же, по условию разность никаких скобок не равна нулю, поэтому нулю равна оставшаяся скобка! А эта скобка раскладывается в сумму квадратов попарных сумм произведений двух чисел, деленную на два! Тогда, если эта скобка равна нулю и при этом она содержит только не отрицательные числа, то чему равно каждое слагаемое?

Подсказка 3

Да, каждое слагаемое равно нулю! То есть, все попарные произведения чисел равны нулю. Что тогда можно сказать про разности чисел x, y, z?

Показать ответ и решение

Условие намекает нам, что нужно вынести попарные разности, сделаем это, получим

2 2 22 2 2 2 2 2 (x− y)(y− z)(z − x)(x y + zx + y z +x yz+ yxz+ z xy)= 0

Итак, если какая-то из первых трёх скобок равна нулю, то числа нам не подходят, а когда же равна нулю последняя скобка? Выделим в ней полные квадраты

2 2 2 2 22 2 2 2 (xy+-yz)2 (xz+-xy)2 (xz+-yz)2 x y +z x + yz + x yz+y xz+ zxy = 2 + 2 + 2 ≥ 0

Равенство же достигается только в случае $xy = −yz,xz = −xy,xz = −yz$ . Чтобы все три равенства были выполнены, нужно $xy = yz =xz =0$ , откуда хотя бы какие-то две переменные принимают нулевые значения. Значит, таких $x,y,z$ не существует.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#75220

Для различных ненулевых вещественных чисел $a,b,c$ выполнено

1 1 1 a +b = b+ c = c+ a

Докажите, что $|abc|=1.$

Показать доказательство

Имеет место равенство

b−-c c−-a a−-b a − b= bc ,b− c= ca ,c− a= ab

следовательно,

(b− c)(c− a)(a− b) (a− b)(b− c)(c− a)=-----(abc)2------

Наконец, сократив обе части равенства на $(a− b)(b− c)(c− a)⁄= 0,$ получим $(abc)2 =1,$ откуда явно следует требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#75968

Число $n$ представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, делящихся на $3.$ Докажите, что оно представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, не делящихся на $3.$

Показать доказательство

Пусть $n$ представимо в виде суммы квадратов чисел $3a,3b$ и $3c,$ то есть $n =9a2+ 9b2+ 9c2.$ Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.

Заметим, что $2 2 2 n= (a+ 2b− 2c)+ (c+2b− 2a) + (b+ 2a+ 2c) .$ Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить $2 9a$ на $2 2 2 a ,4a ,4a$ (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.

Далее необходимо перебрать все варианты остатков $a,b$ и $c$ при делении на $3.$ Если все они делятся на $3,$ то $n$ кратно $81,$ противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91014

Назовем целое число хорошим, если оно представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел ( $5$ — хорошее, так как $5= 12 +22,$ а $3$ — нет). Докажите, что

(a) удвоенное хорошее число будет хорошим

(b) произведение двух хороших будет хорошим.

Показать доказательство

(a) Если $2 2 n= x +y ,$ то

2 2 2 2 2 2 2 2 2n= 2x +2y = (x +2xy+ y )+(x − 2xy+ y )=(x+ y) +(x− y)

Что и требовалось.

(b) Если $2 2 n= x1+y1$ и $2 2 m = x2+y2,$ то

mn = (x22+ y22)(x21+y21)= x21x22+x21y22 + y21x22+ y21y22 =(x21x22+y21y22)+(x21y22+y21x22)=

2 2 22 2 2 2 2 2 2 =(x1x2+2x1x2y1y2+ y1y2)+ (x1y2 − 2x1x2y1y2+ y1x2)= (x1x2 +y1y2) + (x1y2− y1x2)

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#99218

Найти

a12+-4096 64a6 ,

если

a 2 2 − a =5.

Источники: Газпром - 2023, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В числителе нашей дроби стоит сумма, тогда давайте попробуем записать всю дробь в виде суммы дробей, поделив каждое слагаемое на знаменатель. Получим очень знакомое выражение! Причём оба слагаемых — квадраты. А что можно сделать, когда видишь сумму квадратов?

Подсказка 2

Выделить квадрат разности! Для этого нужно всего лишь прибавить и вычесть двойку. И теперь под скобками в этом выражении оказалась уже разность кубов. Проделываем схожие махинации, чтобы выделить куб разности и получаем известное нам из условия выражение.

Показать ответ и решение

a12+ 4096 a6 64 a6 64 --64a6---= 64 + a6 = 64 − 2+ a6 + 2= (a3 8)2 ( a3 a 2 8 ( a 2))2 = -8 −a3 +2 = 8-− 3⋅2 + 3⋅a − a3 +3 2 − a +2= (( )3 ( ))2 ( ) = a2 − 2a +3 a2 − 2a +2 = 53+ 3⋅52+ 2= 19602.

Ответ:

$19602$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#30984

Пусть $a,b,c$ — ненулевые действительные числа такие, что

3 3 (ab+ bc+ca) = abc(a +b+ c)

Докажите, что числа $a,b,c$ в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа куб суммы, слева один из множителей это тоже куб суммы, раскрывать такое даже врагу не пожелаешь. Вот если бы можно было извлечь корень третьей степени из обеих частей равенства...может стоит как-нибудь красиво заменить a, b и c?

Подсказка 2

Сделайте такую замену: a = x³, b = y³, c = z³. Получите некоторое выражение через x, y, z. Оно раскладывается на множители, но как их увидеть. Надо вспомнить ради чего мы вообще делаем какие-то преобразования. В задаче просят показать, что a, b и c образуют в некотором порядке геометрическую прогрессию, а какое свойство у неё есть для трёх последовательных членов?..

Подсказка 3

Квадрат члена равен произведению предыдущего и последующего членов геометрической прогрессии! То есть хотим, чтобы выполнилось одно из равенств, вида a² - bc, но выполнение этого свойства можно проверить и для x, y, z. Попробуйте полученное выражения для x, y, z разложить на множители упомянутого вида.

Подсказка 4

Добавьте и вычтите квадрат произведения чисел x,y,z. Разложите на множители и получите выполнение желаемого свойства для членов геометрической прогрессии.

Показать доказательство

Первое решение.

При замене $3√- 3√- 3√- x= a,y = b,z = c$ получаем уравнение

3 3 33 3 3 3 33 ((xy) +(yz)+ (zx) ) =(xyz)(x +y + z )

3 3 3 3 3 3 (xy) +(yz) + (zx) = xyz(x + y +z )

x3y3− x4yz+ y3z3− xy4z+x3z3− xyz4 = 0

Добавим и вычтем квадрат произведения чисел $x,y,z.$ Затем после вынесения за скобки общих множителей получаем

(y2− xz)(x2− yz)(z2− xy)= 0

Для тройки $(x,y,z)$ в каком-то порядке выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии (для положительных это было бы условие, что одно из чисел равно среднему геометрическому двух других, но так как про знак чисел в условии задачи не сказано, то сразу так говорить будет неаккуратно).

Итак, числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, в свою очередь то же можно сказать про их кубы — числа $a,b,c.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Нам дано однородное уравнение и сказано, что числа ненулевые, поэтому при домножении всех переменных $a,b,c$ на ненулевой коэффициент $1 t,$ то есть при замене $x= at,y = bt$ и $z = ct,$ уравнение будет иметь такой же вид:

(xy+ yz +zx)3 xyz(x+ y+ z)3 3 3 -----t6-----= -----t6------ ⇐ ⇒ (xy+ yz+ zx) = xyz(x+ y+ z)

Заметим, что теперь нам достаточно доказать, что числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, потому что они все получены из исходных чисел умножением на ненулевой коэффициент.

При этом мы можем взять такое $t,$ чтобы $xyz = abc⋅t3$ было равно $1$ (надо взять $∘ --- t= 3 1abc-$ ).

Получаем уравнение $(xy+ yz+zx)3 = (x +y +z)3,$ откуда сразу $xy+yz+ xz = x+ y+ z,$ то есть

(x+y +z)− (xy+ yz+ zx) =0

Левая часть уравнения очень похожа на $(x− 1)(y− 1)(z− 1)$ и отличается от этого выражения на $xyz − 1,$ при этом мы сами обеспечили замену так, чтобы выражение $xyz− 1$ было равно нулю, так что можем добавить его в левую часть и получить уравнение: $(x− 1)(y− 1)(z− 1)= 0.$ Отсюда, не умаляя общности, $x= 1,$ и при подстановке в уравнение $xy+ yz+ xz =x +y +z$ получаем $zy = 1.$ Итак, число $x$ равно среднему геометрическому из чисел $y$ и $z,$ так что числа $x,y,z$ являются членами геометрической прогрессии.

Предыдущий раздел

Следующий раздел