Тема Количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Раскрываем скобки комбинаторными рассуждениями

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83300

Найти коэффициент $a 49$ многочлена $P(x)= (1+x15+ x17)6$ , если бы он был приведен в форму суммы одночленов вида $k akx ,k = 0,2,3,...,102$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.5, по мотивам 10.2 ММО - 2005 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на степени переменных. Понятно, что при раскрытии скобок для каждого одночлена степень будет вида 17n+15m. Тогда найдём натуральные решения для 17n+15m=49

Подсказка 2

Правильно, единственное решение - (2;1). То есть при перемножении скобок мы 2 раза взяли х¹⁷ и 1 раз х¹⁵. Обратим внимание также, что в заданной скобке перед каждым одночленом коэффициент 1. Как тогда мы можем выразить коэффициент перед х⁴⁹?

Подсказка 3

Конечно, коэффициент перед х⁴⁹ равен количеству способов выбрать комбинацию из двух х¹⁷ и одного х¹⁵ в 6 скобках. Остаётся только это досчитать

Показать ответ и решение

Понимаем, что при раскрытии скобок степень каждого одночлена будет иметь вид $17n +15m,$ где $n$ — количество взятых $x17,m$ — количество взятых $15 x .$ Поэтому решим сначала уравнение в натуральных числах

17n +15m = 49

Нетрудно заметить решение $n= 2,m =1,$ а также что это решение единственное, т.к. иначе, чтобы сохранить нужные остатки, $x$ будет изменяться на кратное 15 число, а $y$ на кратное 17, поэтому одно из них станет отрицательным.

Осталось лишь посчитать количество способов выбрать комбинацию из двух $x17$ и одного $x15$ в 6 скобках:

2 1 6⋅5 C6 ⋅C 4 = 2 ⋅4= 60

Ответ: 60

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94537

Найдите коэффициенты, которые будут стоять при $x17$ и $x18$ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении $( 5 7)20 1+ x + x .$

Показать ответ и решение

После раскрытия скобок $x17$ можно получить только перемножением $x7⋅x5⋅x5 ⋅1 ⋅...⋅1.$ Значит, нужно посчитать количество способов выбрать $7 5 5 x ,x ,x$ из скобок, так как 1 из остальных скобок выбирается однозначно. Выбрать $7 x$ из 20 скобок можно 20 способами. Выбрать $5 x$ и $5 x$ из 19 скобок — $19⋅18 2$ способов. Тогда всего $19⋅18- 20⋅ 2 = 3420.$

Попробуем представить 18 в виде суммы из 5 и 7. Эта сумма не может содержать более трёх пятёрок $($ так как $5⋅4> 18)$ и более двух семёрок $($ так как $7 ⋅3 >18).$ После небольшого перебора выясняем, что 18 никак не представима в виде суммы из 5 и 7. Значит, после раскрытия скобок слагаемого $18 x$ не будет. Тогда коэффициент при $18 x$ будет равен 0.

Ответ:

3420 и 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94539

(a) Найдите сумму коэффициентов выражения (после раскрытия скобочек и приведения подобных членов) $( 3)123 1− 3x +x .$

(b) А теперь найдите сумму коэффициентов при четных степенях $x.$

Показать ответ и решение

Пусть после раскрытия скобок получились коэффициенты $a,a ,...,a : 0 1 369$

3123 2 369 (1 − 3x+ x ) = a0 +a1x+ a2x +...+ a369x

(a) Подставим $x =1,$ получим сумму коэффициентов:

2 369 123 123 a0+ a1 ⋅1 +a2⋅1 + ...+a369⋅1 = (1 − 3+ 1) = (− 1) = −1.

(1)

(b) Подставим $x= −1:$

a0 − a1+ a2− ...+(−1)369⋅a369 = (1− 3⋅(−1)+ (−1)3)123 = 3123.

(2)

Тогда, если сложить (1) и (2) и потом поделить на 2, получится сумма коэффициентов при чётных степенях:

368 3123−-1 a0+ a2+...+a = 2

Ответ:

(a) $− 1$ ;

(b) $3123−1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94540

Найдите коэффициент при $x100$ в многочлене $(1+ x+ x2+...+x100)7.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся методом шаров и перегородок. Представим число 100 как сумму 100 единиц. Эти единицы будут нашими шарами. Поскольку из каждой из 7 скобок можно выбрать $x$ любой степени от 0 до 100, перегородок будет 6, и расставлять их мы будем среди 106 мест. Следовательно, коэффициент при $100 x$ равен $6 C106.$

Ответ:

$C6 106$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94541

Докажите, что в произведении

( 2 3 99 100)( 2 3 99 100) 1− x+ x − x +...− x +x 1 +x+ x + x +...+x + x

после раскрытия скобочек и приведения подобных членов не останется членов с нечетными степенями $x.$

Показать доказательство

Рассмотрим какое-то слагаемое нечётной степени после раскрытия скобок. Пусть это $±x2k+1.$ Рассмотрим, как оно могло получиться. Пусть из первой скобки мы выбрали $b a ⋅x ,$ где $a= ±1.$ Тогда из второй скобки мы должны выбрать $2k+1−b x .$ Однако из первой скобки ещё можно выбрать $2k+1−b − a⋅x$ $(− a$ потому что $b$ и $2k+ 1− b$ разной чётности) и из второй $b x$ . Но тогда в сумме слагаемые $b 2k+1−b a⋅x ⋅x$ и $2k+1−b b − a⋅x ⋅x$ дадут 0. Следовательно, все слагаемые с нечётными степенями разбиваются на пары с суммой 0. Таким образом, после раскрытия скобок останутся только слагаемые с чётными степенями.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#94542

В каком из выражений $(1+ x2− x3 +x4)100$ и $(1− x2+x3 +x4)100$ (после раскрытия скобочек и приведения подобных членов) коэффициент при $60 x$ будет больше?

Показать ответ и решение

Рассмотрим степень 60 при $x$ после раскрытия скобок в выражении $(1+ x2− x3+ x4)100.$ Пусть она набрана как $a 2b 3c 4d 1 ⋅(x) ⋅(−x )⋅(x) .$ Однако степени $x$ внутри $2 3 4 100 (1− x + x +x )$ такие же. Значит, здесь точно так же можно набрать $60 x :$ $a 2b 3c 4d 1 ⋅(−x )⋅(x )⋅(x) .$ Видна биекция между слагаемыми, и можно сравнить коэффициент при каждом из них. Запишем равенство для степеней:

60= 2b+ 3c+ 4d

Отсюда видно, что $c$ обязательно чётное, а $b$ может быть любым. Так как $c$ чётное, то $1a⋅(x2)b⋅(−x3)c⋅(x4)d = 1a⋅(x2)b⋅(x3)c⋅(x4)d.$ Следовательно, все коэффициенты при $x60$ в $(1+ x2− x3 +x4)100$ обязательно положительные, а в $(1− x2+x3+ x4)100$ точно есть отрицательные (пример хотя бы одного из них: $60= 2⋅1+ 3⋅2+4 ⋅13).$ Значит, коэффициент при $x60$ больше у $(1+ x2− x3+ x4)100.$

Ответ:

$(1+ x2− x3+ x4)100$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94901

Найти коэффициент $a 74$ многочлена $P(x)= (1+x3+ x17)20$ , если бы он был приведен в форму суммы одночленов вида $k akx ,k = 0,1,2,...,340$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каждый одночлен — произведение нескольких x³ и x¹⁷ с некоторым коэффициентом. Тогда любой одночлен имеет степень 17n + 3m, где n и m — количества выбранных из скобок соответствующих одночленов. Для начала стоит найти n и m!

Подсказка 2

Верно! Из уравнения 17n + 3m = 74 можно получить, что подходят пары (1,19) и (4,2). Тогда, чтобы найти коэффициент, надо найти количество способов выбрать соответствующее число одночленов x³ и x¹⁷ из 20 скобок!

Показать ответ и решение

Степень каждого одночлена после раскрытия скобок и привидения подобных слагаемых имеет вид $3n+17m,$ где $n,m ∈ ℕ 0$ — количество выбранных $3 x$ и $17 x$ из каждой скобки соответственно. Решим уравнение $3n +17m =74.$ Заметим, что $m ≤ 4$ и перебором найдем все решения. Тогда $m = 1,n= 19$ или $m = 4,n =2.$ Тогда коэффициент при $a74$ равен сумме количества способов выбрать из одной скобки $17 x$ и в $19$ скобках $3 x$ и количества способов из $4$ скобок выбрать $17 x ,$ из двух — $3 x,$ а из оставшихся — $1.$

C120⋅C1199 + C420⋅C216 = 581420

Ответ:

$581420$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#65393

Сколько слагаемых после раскрытия скобочек и приведения подобных будет в выражении $(x3+ 1)40(x4+1)30?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо понять, как представляется степень каждого одночлена в нашем многочлене: они будут вида 3a+4b, где 40 >= a >= 0, 30 >= b >= 0. Осталось понять, какие из чисел представимы в таком виде... Давайте поймем ,например, какие из чисел от 0 до 13 мы сможем получить?

Подсказка 2

Тут можно представить все кроме 1, 2 и 5. Теперь надо понять,, как представлять остальные числа...

Подсказка 3

Заметим, что 4-3 = 1, а еще что четыре тройки - это как три четверки) Попробуйте придумать алгоритм, как получить все числа от 13 = 3*3 + 4 до 120)

Подсказка 4

Возможно, стоит заменять одну четверку на одну тройку) Попробуйте придумать аналогичный алгоритм, чтобы получить все (кроме, возможно нескольких) числа от 120 до 240!

Показать ответ и решение

В результате раскрытия скобочек и приведения подобных мы получим многочлен степени $240,$ притом степень $x$ при любом его одночлене имеет вид $3a+ 4b,a,b≥0.$

Попробуем понять, какие числа представляются в таком виде, а какие — нет. Если рассмотреть числа от $0$ до $13,$ то с помощью небольшого перебора мы понимаем, что все, кроме $1,2$ и $5$ представимы в нужном виде.

Теперь приведём алгоритм, который позволит записать числа от $13$ до $120$ в нужном виде, учитывая, что количество троек не больше $40,$ а количество четвёрок не больше $30.$ Нетрудно видеть, что $13 =3⋅3+ 4.$ Далее будем вычитать из числа тройку и добавлять четвёрку. Если в представлении ноль троек, уберём три четвёрки и добавим четыре тройки, далее по алгоритму. Остановимся как раз на числе $120,$ которое состоит из $30$ четвёрок.

Число $240$ мы можем получить, если взять $30$ четвёрок и $40$ троек. Числа $239$ и $238$ мы получить не сможем, потому что вычитая $3$ из $240$ мы получаем не больше, чем $237.$ Число $237$ мы получаем из $30$ четвёрок и $39$ четвёрок. Число $236$ мы получим из $29$ четвёрок и $40$ троек. Число $235$ мы не получим, потому что нельзя убрать из $240$ сколько-то четвёрок или троек, чтобы число уменьшилось на $5.$ Число $234$ мы наберём из $30$ четвёрок и $38$ троек. Числа $233$ и $232$ из $29$ четвёрок, $39$ троек и $28$ четвёрок, $40$ троек. $231$ из $30$ четвёрок и $37$ троек, $230$ из $29$ четвёрок и $38$ троек. Число $229$ — из $28$ четвёрок и $39$ троек, $228$ — из $30$ четвёрок и $36$ троек. Далее мы можем вычитать четвёрку и добавлять тройку. Если возникает переполнение по тройкам, убираем четыре тройки и добавляем три четвёрки. Таким образом мы получим все числа от $120$ до $240,$ кроме $239,238$ и $235.$ Итого $235$ слагаемых.

Ответ: 235

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31008

Сколько слагаемых после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых будет в следующем выражении: $(a+ b+c+ d+ e+ f)(g+ h+ i+ j+ k+ l+m + n)$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва подумаем о том, а могут ли некоторые слагаемые быть подобными в данном выражении?

Показать ответ и решение

Заметим, что все слагаемые после раскрытия скобок будут разными (до приведения подобных) и их будет $6⋅8= 48$ .

Ответ:

$48$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31009

Сколько слагаемых после раскрытия скобочек и приведения подобных будет в выражении $(x5+ 1)10(x2+1)20$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что в этой задаче будут подобные слагаемые, и поэтому считать через них неудобно. Попробуем понять, а через что задаются члены выражения?

Показать ответ и решение

Первое решение.

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых будет столько, сколько различных степеней $x$ встречается в итоговом выражении. Попробуем сначала раскрыть степени, не вычисляя коэффициентов перед степенями $x$ - эти числа будем обозначать просто как $an$ и $bk$ ( $an,bk ∈ℕ,0≤ n≤ 10,0 ≤k ≤20).$

(x5⋅10+ a9x5⋅9 +...+ a1x5⋅1+ 1)(x2⋅20+ b19x2⋅19+ ...+ b1x2⋅1+ 1)

Итак, выражение из условия после раскрытия скобок и приведения подобных будет иметь вид

90 5n+2k x + ...+ an⋅bk⋅x + ...+ 1

И по условию задачи нам нужно понять, сколько различных значений может быть у показателей степеней $5n+ 2k$ при заданных ограничениях на $n$ и $k$ :

при $n= 0$ получим все чётные числа от $0$ до $2⋅20= 40$
при $n= 1$ получим все нечётные числа от $5$ до $45$ $...$
при $n= 9$ получим все нечётные числа от $45$ до $85$
при $n= 10$ получим все чётные числа от $50$ до $90$

В итоге делаем вывод, что выражение принимает все различные значения от $0$ до $90$ (таких значений $91$ ), кроме нечётных чисел $1,3,87,89.$ Получаем ответ — $87$ значений.

Второе решение.

Давайте заметим, что у нас получится многочлен не более, чем $90$ степени. Посмотрим, какие степени будут встречаться после раскрытия скобок, но до приведения подобных. Если у нас будет степень $k$ , то мы могли ее получить как перемножение не более 10 множителей $5 x$ (пусть $t1$ штук), не более 20 множителей $2 x$ (пусть $t2$ штук) и нескольких единиц. Тогда $k= 5t1+ 2t2$ , где $t1 ≤10$ и $t2 ≤ 20$ . Понятно, что $90 x$ мы получим. Заметим, что числа $89 x$ и $87 x$ не получить, так как если $t1 ≤ 9$ , то $k= 5t1+ 2t2 ≤85$ , а если $t1 = 10$ , то $.. k= 50+2t2.2$ . Так же понятно, что $x$ и $3 x$ нам не получить, так как $t1$ должно быть равно 0, но тогда $.. k =2t1.2$ .

Проверим, что остальные степени получатся. Сначала переберем несколько простых случаев.

k= 2, k= 4, k =88= 5⋅10+ 2⋅19, k= 86= 5⋅10+2 ⋅18

Осталось проверить $85≥ k≥ 4$ .

$∙$ $85≥ k≥ 50$ . Рассмотрим числа $k− 50$ и $k− 45$ . Одно из них четное, поэтому одно из разложений $k−50 k =5⋅10+ 2⋅ 2$ или $k−45 k =5⋅9+ 2⋅ 2$ подходит.

$∙$ $49≥ k≥ 15$ . Рассмотрим числа $k− 10$ и $k− 15$ . Одно из них четное, поэтому одно из разложений $k−10 k =5⋅2+ 2⋅ 2$ или $k−15 k =5⋅3+ 2⋅ 2$ подходит.

$∙$ $14≥ k≥ 5$ . Рассмотрим числа $k$ и $k− 5$ . Одно из них четное, поэтому одно из разложений $k−5 k= 5+ 2⋅ 2$ или $k k= 2⋅2$ подходит.

Значит, среди слагаемых будут степени $0,2,4,90,88,86$ и все от $5$ до $85$ , то есть всего $91− 4= 87$ различных слагаемых. Коэффициент перед каждым слагаемым $1$ , поэтому при приведении подобных количество слагаемых не уменьшится.

Ответ:

$87$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31011

Найдите число нулей, на которое оканчивается число $11100− 1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам не совсем понятно, как работать с 11 в большой степени и как связать её с нулями. Что можно с ней сделать? Какое есть число с нулём...

Подсказка 4

Попробуйте доказать, что сумма делится на 10^3, но не делится на 10^4.

Показать ответ и решение

Представим наше выражение как $(10+ 1)100− 1$ и раскроем скобки по биному Ньютона. Выпишем первые пять слагаемых, в которых степени десятки самые маленькие:

100⋅99 2 100⋅99⋅98 3 100⋅99⋅98⋅97 4 1+ 100⋅10 +---2--⋅10 + -1⋅2⋅3--⋅10 + --1⋅2⋅3⋅4--⋅10 +....

Единичка сокращается с $− 1$ , вычитаемой из $100 11$ . Заметим, что последнее выписанное слагаемое, как и все следующие, будет содержать множитель как минимум $104$ (при этом коэффициенты перед ними, хоть и выглядят как дроби, как мы знаем, являются целыми числами). Слагаемое $1001⋅9⋅29⋅⋅398⋅103$ тоже делится на $104$ , так как знаменатель дроби можно сократить с $99⋅98$ , вообще не трогая $100$ . Наконец, $100⋅10 + 1002⋅99⋅102 =1000+ 495000= 496000$ делится в точности на $103$ , и не делится на большую степень десятки. Это означает, что вся сумма будет делиться на $103$ , то есть оканчиваться на три нуля.

Ответ:

$3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31012

Однажды Саша повстречал в тёмном переулке множество натуральных чисел от $1$ до $100$ . Он нашёл все подмножества данного множества, которые содержат по $50$ элементов и никакие два из них не дают в сумме $101$ . Для каждого найденного подмножества Саша выписал произведение его элементов. Найдите сумму всех чисел, выписанных Сашей.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что среди 50 элементов подмножества никакие два не дают в сумме 101… Какое разбиение чисел хочется сделать?

Подсказка 2

Да, хочется разбить все числа на пары с суммой 101. В каждой паре два числа, то всего 50 пар. Тогда, по какому принципу строятся подмножества?

Подсказка 3

Верно, из каждой пары надо взять только одно число, иначе в подмножестве найдутся два числа, сумма которых равна 101! А можно ли не взять число из некоторой пары?

Подсказка 4

Нет, мы берём числа из каждой пары, иначе в подмножестве будет меньше пятидесяти элементов! В таком случае, как можно найти сумму всех произведений? Ещё раз: обязательно надо брать по одному числу из каждой пары!

Показать ответ и решение

Разделим все числа, которые повстречал Саша, на пары с суммой $101$ . У нас получится $50$ пар. Условие задачи в том, что рассматриваются такие множества, в которых не лежат одновременно два числа из одной пары. То есть из каждой пары мы можем взять в рассматриваемое множество не больше одного числа.

Но при этом по условию в множествах всего $50$ элементов. Значит, обязательно надо брать по одному числу из каждой пары, то есть на самом деле Саша просто выбирает в каждой из $50$ пар с суммой $101$ по одному числу. Вспомним, где мы встречались с идеей выбора по одному числу из каждой пары для произведения.

Вспомнили? При раскрытии скобок $50 (1+ 100)⋅(2+ 99)⋅...⋅(50+51)= 101$ как раз получаются все произведения, которые считал Саша. Их сумма это ответ.

Ответ:

$10150$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31013

Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении $(√2-+ 3√3)300$ ?

Показать ответ и решение

Для получения рационального слагаемого требуется возвести $√2$ в кратную двойке степень, а $3√3$ в кратную тройке. Поскольку общий вид слагаемого это $√- √- Ck300 2k 33300−k$ , то $. . . k..2,300 − k..3⇐ ⇒ k..6$ , а таких чисел от $0$ до $300$ включительно будет $51$ .

Ответ:

$51$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67085

В выражении

( 2)( 3) ( 13)( 14)( 1000)18 (1 +x) 1+ x 1+ x ...1 +x 1 +x 1+ x

раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Сколько слагаемых получилось?

Источники: Высшая проба - 2014, 9.10 (см. www.hse.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что в задаче по сути спрашивается, какие степени $x$ мы можем получить, после раскрытия всех скобок. Рассмотрим для начала первые $14$ скобок. Докажем, что после их перемножения появятся степени $x$ от 0 до $1+2 +⋅⋅⋅+ 14= 105.$ Ясно, что $0$ степень, а также $1$ степень мы можем получить. Пусть мы может получить степень $p,$ тогда пусть для получения этой степени мы из скобок взяли степени $n1 < n2 < ⋅⋅⋅< nk.$ Если $p⁄= 105,$ то существует $ni :ni+ 1< ni+1$ или свободная степень $1.$ Тогда мы точно сможем получить $p+1 x .$ Понятно, что степень, большую $105$ получить невозможно. Теперь вспомним про оставшиеся $18$ скобок. Пусть из первых $14$ скобок мы получили $m x ,$ тогда из оставшихся мы можем получить $19$ степеней: $m m+1000 m+2⋅1000 m+18⋅1000 x ,x ,x ...x .$ Так как $105< 1000,$ то для каждой степени, полученной после перемножения первых $14$ скобок, будет порождаться новая серия степенй после перемножения оставшихся скобок. Действительно, каждый показатель из $m m+1000 m+2⋅1000 m+18⋅1000 x ,x ,x ...x .$ дает свой уникальный остаток $l$ при делении на $1000(l≤ 105 <1000).$ Тогда ответ $19⋅106= 2014.$

Ответ:

$2014$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#58648

Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении

(a+ 1)(b+ 1)(c +1)...(y +1)(z+ 1)?

Напомним, что в латинском алфавите $26$ букв.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, как образуются слагаемые при раскрытии скобок? Тогда попробуем как-то понять, как они будут выглядеть до и после приведения подобных.

Подсказка 2

В каждой скобке различные буквы. Что же это значит?

Подсказка 3

Все слагаемые при раскрытии будут различны! Тогда применяем знания из подсказки 1 и считаем количество слагаемых!

Показать ответ и решение

При перемножении скобок каждое получившееся слагаемое есть результат умножения одного из слагаемых из каждой скобки. Заметим, что все слагаемые, которые получатся при перемножении будут различны, потому что в каждой скобке есть уникальная буква, которой нет в других скобках.

Тогда количество слагаемых после раскрытия скобок до и после приведения подобных совпадает. Всего имеется $26$ скобок, в каждой можно выбрать одно из двух слагаемых, тогда всего слагаемых получается $26 2 .$

Ответ:

$226$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#58649

Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении $( ) x2+ x+ 1 10?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оценим количество слагаемых сверху, посмотрев на наш многочлен и на степени его одночленов.

Подсказка 2

Могут ли после приведения подобных какие-то слагаемые уйти? Какие останутся?

Подсказка 3

Каким образом мы можем "собирать" итоговые слагаемые после раскрытия скобок, если изначальные степени одночленов это 0, 1, 2? Не забываем про свободный член!

Показать ответ и решение

Ясно, что после приведения слагаемых будет многочлен степени не более $20.$ То есть нам надо просто выяснить, одночлены какой степени возникнут после приведения подобных. Заметим, что до приведения все слагаемые с положительным коэффициентом. То есть если одночлен какой-то степени возник до приведения слагаемых, он будет и после приведения.

Получается, что нам нужно понять, какую мы можем набрать степень от $0$ до $20,$ имея $10$ слагаемых, равных $0,1$ или $2.$ Ясно, что мы сможем набрать любую. Если степень равна $2t,$ то тогда из $t$ скобок возьмём $2,$ из остальных $0.$ Если степень равна $2t+1,$ мы можем взять $2$ из $t$ скобок, $1$ из одной и $0$ из оставшихся.

Ответ: 21

Предыдущий раздел

Следующий раздел