Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии → .01 Сравнение чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#48743Максимум баллов за задание: 7

Сравните $∘|8√3−-16|− ∘8√3-+16$ и наименьший корень уравнения $4x2 +21x+ 17 =0.$

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте найдём корни квадратного уравнения! Меньший из них равен -17/4. Попробуем найти, чему равно выражение слева!

Подсказка 2

Так, очень много корней… А давайте посмотрим на квадрат разности двух корней, что про него можно сказать?

Подсказка 3

Да, квадрат разности корней равен 16, тогда сама разность по модулю равна 4. А чему именно она равна?

Подсказка 4

Поскольку первый корень меньше второго, то само выражение отрицательно! Поэтому оно равно -4. Осталось только сравнить!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни $− 1$ и $− 17 4$ (сумма этих двух чисел равна $− 21 4$ , а произведение $17 4$ , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как $8⋅8⋅3< 16⋅16(3< 2⋅2),$ то $√ - √- |8 3− 16|= 16 − 8 3.$ Это число меньше, чем $√- 16+ 8 3,$ поэтому $∘ -√------ ∘ -√----- √-- c= |8 3 − 16|− 8 3+ 16= − c2.$

Посчитаем квадрат разности корней

√- √- ∘ -----√-------√-- √ ------- c2 =16− 8 3+ 8 3+ 16− 2 (16 − 8 3)(16+ 8 3)= 32− 2 256− 192= 16

В итоге сама разность корней $c =−4$ и она больше, чем наименьший корень уравнения $17 − 4-$ .

Ответ:

$∘ |8√3-− 16|− ∘8-√3+-16$ больше, чем наименьший корень уравнения $4x2+ 21x +17= 0.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92992Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $20112011+ 20092009$ или $20112009 +20092011?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства a > b и a - b > 0 эквивалентны. Попробуем вместо сравнения исходных чисел сравнить их разность с нулем. Как можно преобразовать разность, чтобы было удобно ее оценивать?

Подсказка 2

Конечно! Перегруппируем слагаемые так, чтобы получилась разность двух скобок, внутри каждой у степеней одинаковое основание, а затем вынесем общий множитель. Как теперь сравнить числа?

Подсказка 3

Верно! Используем, что 2011 > 2009 и докажем, что в разности какое-то из чисел больше.

Показать ответ и решение

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

2011 2009 2011 2009 2011 + 2009 − (2009 + 2011 )=

2011 2009 2011 2009 = 2011 − 2011 − (2009 − 2009 )=

= 20112009(20112− 1)− 20092009(20092− 1)

Заметим, что $20112009 > 20092009 >0$ и $20112− 1 >20092− 1 >0.$ Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак $> .$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Следующая подтема