Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#47064Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3⋅21−x+-1 --1--- 2x− 1 ≥ 1− 2− x.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим наше неравенство, которое нам сходу не решить, поскольку здесь степени и некоторые из них не со знаком умножения. Поэтому надо сделать замену. На что мы можем заменить, если в показателях степени у нас х всегда с коэффициентом ±1?

Подсказка 2

Мы можем сделать замену t = 2^x. Тогда в обеих частях получается некоторая дробь, в числителе и знаменателе которой многочлен. Значит мы можем решать это как обычно, получим подходящие промежутки, после чего нам надо будет заключить 2^x на них и получить ответ!

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x$ получаем неравенство

6+ 1 1 6+ 1 t tt− 1-≥ 1−-1 ⇐ ⇒ tt− 1-≥ t−-1 t

которое эквивалентно

-6+-t-− --t2---≥0 ⇐⇒ t2−-t− 6 ≤0 t(t− 1) t(t− 1) t(t− 1)

По методу интервалов получаем $t∈ [− 2;0)∪(1;3].$

При обратной замене получаем $0 x log23 2 < 2 ≤ 2 ⇐ ⇒ x ∈(0;log23].$

Ответ:

$(0;log 3] 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#67824Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( ∘ -------2) x 3x+ 2− 2 3− 2x− x ≥3|x|

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выпишите ОДЗ.

Подсказка 2

Получим, что x ≠ 0. Значит, можем на него делить.

Подсказка 3

Раскройте модуль.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ этого неравенства:

2 3 − 2x− x ≥ 0|⋅(−1)

2 x + 2x − 3 ≤0

(x− 1)(x+ 3)≤ 0

x∈ [−3,1]

Заметим, что $0$ является решением неравенства. Значит, далее можно считать, что $x ⁄=0.$ Рассмотрим два случая:

1.

$x >0.$ Раскроем модуль, разделим обе части на положительное число $x:$

3x +2− 2∘3-− 2x−-x2 ≥ 3

--------- { 3x− 1≥ 2∘ 3− 2x− x2 О⇐Д⇒З 3x− 1≥ 0 ⇐⇒ 9x2− 6x+ 1≥12− 8x− 4x2

{ x ≥ 13 { x≥ 13 ⇐ ⇒ 13x2+2x − 11≥ 0 ⇐ ⇒ x∈ (−∞,−1]∪[1113,+∞ )

Тогда с учетом ОДЗ в этом случае $x∈ [11,1]. 13$

2.

$x <0.$ Раскроем модуль, разделим обе части на отрицательное число $x:$

∘ --------- 3x+ 2− 2 3− 2x − x2 ≤ −3

⌊ 3x+5 <0 3x +5 ≤2∘3-− 2x-− x2 О⇐ДЗ⇒ |⌈ { 3x+ 5≥ 0 ⇐ ⇒ 9x2+ 30x+ 25≤ 12− 8x− 4x2

⌊ ⌊ 5 x{ <− 53 | x(< − 3 ⇐⇒ |⌈ x≥ − 53 ⇐⇒ |⌈ { x ≥−[ 53 √- √-] 13x2+ 38x +13≤ 0 ( x ∈ −19−138-3,−19+183-3-

Тогда с учетом ОДЗ в этом случае получаем, что $[ √-] x ∈ −3,−19+183-3-.$ Объединяя все решения в итоге получим, что

[ √-] [ ] x∈ − 3,−-19-+8-3 ∪{0}∪ 11,1 . 13 13

Ответ:

$[− 3,−19+8√3]∪{0}∪[11,1] 13 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#113669Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- √---- | x+ 3− 2|+ x +3+ |x +1|≤ x+ 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите, при каких x подмодульные выражения обнуляются. В них они меняют свой знак.

Подсказка 2

Разберите случаи x > 1, 1 ≥ x > -1, -1 ≥ x.

Показать ответ и решение

Разберем 3 случая: $x≥ 1, 1> x≥ −1, − 1> x.$

1) $x≥ 1$ . В таком случае $√ ---- x+ 3≥ 2,$ то есть неравенство примет следующий вид

√ ---- √---- x+ 3− 2 + x +3 +x+ 1≤ x+ 3

2√x-+3≤ 4

√x+-3≤ 2

x≤ 1

Так как мы разбираем случай $x≥ 1,$ то подходит лишь $x= 1.$

2) $1>x ≥− 1.$ В этом случае неравенство примет следующий вид

2− √x-+3 +√x-+3 +x+ 1≤ x+ 3

Это просто верное неравенство, значит, подходит любой $x,$ то есть $1> x≥ −1.$

3) $− 1 >x.$ В этом же случае неравенство после раскрытия модулей примет следующий вид

√---- √---- 2− x +3 + x +3 − x− 1≤ x+ 3

−1≤ x

Но найденные $x$ не удовлетворяют неравенству разбираемого случая. Значит, они в ответ не идут.

В итоге получаем, что $x∈ [−1;1].$

Ответ:

$[−1;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#124434Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -----2---- ∘-2-------- ∘ -2-------- 10x − x − 24≥ x − 13x+42− x − 11x+ 30.

Показать ответ и решение

Здесь полезно начать с нахождения ОДЗ:

$pict$

Решая систему, получаем:

( ||||4⌊ ≤x ≤6 |||||⌈x ≤ 6 { x≥ 7 ⇔ x∈[4;5]∪{6} ||||⌊ |||||⌈x ≤ 5 ( x≥ 6

Перепишем исходное неравенство, разложив каждый из квадратных трёхчленов на множители:

∘ ---------- ∘---------- ∘ ---------- (6 − x)(x − 4)≥ (x− 6)(x− 7)− (x− 5)(x − 6)

(1)

(каждый из сомножителей неотрицателен в ОДЗ). Легко видеть, что $x =6$ является решением неравенства (1); остаётся рассмотреть данное неравенство на множестве $E =[4;5].$

Делим обе части неравенства (1) на выражение $√6-−-x,$ которое положительно на множестве $E,$ и приходим к равносильному на $E$ неравенству

√x−-4+ √5−-x≥ √7-− x

Обе части последнего неравенства положительны на множестве $E;$ возводя в квадрат, получим равносильное на $E$ неравенство

∘ --2-------- 1+ 2 −x + 9x− 20≥7 − x

2∘ −x2+-9x-− 20≥ 6− x

Поскольку $6− x> 0$ на множестве $E,$ снова возводим в квадрат:

4(−x2+ 9x− 20)≥ (6 − x)2

5x2− 48x +116≤ 0

Полученное неравенство равносильно на множестве $E$ неравенству (1). Но ввиду отрицательности дискриминанта

D = 482− 4⋅5⋅116=2304− 2320= −16< 0

это квадратное неравенство не имеет решений. Следовательно, не имеет решений на множестве $E$ и неравенство (1). Таким образом, $x =6$ — единственное решение нашего неравенства.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#79280Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

√--x--- ∘ --x---- 32 + 4− |32 − 7|<1

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни - про что сразу думаем?

Подсказка 2

Про ОДЗ! Но на наше счастье это просто x ∈ ℝ. Что стараемся делать в неравенстве с корнями?

Подсказка 3

Поскорее избавляемся от них :) То есть возводим обе части в квадрат, но всегда ли мы можем это делать?

Подсказка 4

Возводить в квадрат можем только если в левой и правой части стоят выражения одного знака (другие случаи нужно отдельно рассматривать). То есть можно одно из слагаемых перенести в другую часть, чтобы знаки всегда одинаковые были

Подсказка 5

А после этого можно просто рассмотреть случаи раскрытия модуля и решить получающиеся неравенства при помощи напрашивающейся замены. Не забудьте сделать обратную замену и учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Так как под корнями стоят выражения, которые при любых $x$ больше нуля, то ОДЗ эта вся вещественная ось. Перенесем слагаемое с минусом в левую часть и сделаем преобразования.

√------ ∘ ------- 32x+ 4< 1+ |32x− 7|

Возведем в квадрат, в левой и правой части стоят положительные числа

x ∘ --x---- x 32 +4 <1 +2 |32 − 7|+ |32 − 7|

Рассмотрим случай, когда $x> log 7, 32$ тогда:

√--x--- 5< 32 − 7

25< 32x − 7

x> 1

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤log327.$

√ ------ √------ 32x +4< 1+ 7− 32x

Сделаем заммену $x t= 32.$

√ ---- √---- t+4< 1+ 7− t

Возведем в квадрат

√---- t+4 <1 +2 7 − t+ 7− t

√---- t− 2< 7− t

t2− 3t− 3< 0

Решая это квадратное уравнение, получим, что $( √-- √ -) t∈ 3−--21; 3-+-21 . 2 2$ Делая обратную замену, получаем, что $( ( √--)) x ∈ − ∞; log32 3+--21 . 2$

Так как $( √--) log 3+--21 < log 7, 32 2 32$ то итоговый ответ

( (3+ √21)) x ∈ −∞; log32 ---2-- ∪(1; +∞ )

Ответ:

$( (3+ √21) ) −∞; log32 ---2-- ∪ (1; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#63874Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3+5x- 1+3x- √ - 21+2x + 21+2x ≤6 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть куча неприятных степеней. Нужно придумать хорошую замену. Давайте сначала поработаем со степенью второго слагаемого: вынесем из нее целую часть и посмотрим, что получится. Затем посмотрите на степень первого слагаемого и подумайте о том, как можно преобразовать ее так, чтобы получить что-нибудь более похожее.

Подсказка 2

Преобразуйте степень первого слагаемого так, чтобы у нас в числителе остался только х с каким-то коэффициентом! После этого мы можем увидеть, что те слагаемые показателей степеней, которые содержат х, очень похожи, чтобы они совпали, нужно только разобраться с минусом в одном из них. Теперь можем ввести замену и решать уже куда более приятное неравенство!

Подсказка 3

Когда разложите все, что есть в левой части неравенства, на множители, вспомните о том, что нам необходимо определять знак на каждом из промежутков и добейте задачу! И помните о том, что мы сейчас найдем промежутки для новой переменной, а нам нужно найти значения х!

Показать ответ и решение

Положим $t= 21+x2x-$ . Тогда получаем