Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела алгебра
Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47423

Решите неравенство

    x  x2   x2  x    x2      x
(0,04) ⋅2 + 5  ⋅2 ≤ 10  + (0,08).
Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

   x  x2   x2  x   x2  x2   x     x
0,04-⋅(2-- + 5-)⋅2-− 2(-⋅5- −)2-⋅0,04- ≤ 0 ⇔
0,04x 2x2 − 2x − 5x2 2x2 − 2x ≤ 0 ⇔
(  2      )(  2    )
 5x − 0,04x   2x − 2x  ≥0  ⇔
( x2   −2x) ( x2   x)
 5  − 5     2  − 2  ≥ 0

Воспользуемся методом рационализации:

(5 − 1)(x2+ 2x)(2− 1)(x2− x)≥ 0 ⇔
x2(x +2)(x− 1)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x−01+−−+2

Следовательно, ответ к неравенству:

x∈ (− ∞;− 2]∪{0}∪ [1;+∞ )
Ответ:

(−∞; −2]∪ {0} ∪[1;+ ∞)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120944

Решите неравенство

∘-----     ∘-----
 1− x2+ 1<  3 − x2.
Показать ответ и решение

Левая часть неравенства определена при условии 1− x2 ≥0,  то есть на множестве E = [− 1,1],
 1  а правая часть — на множестве       √- √-
E2 =[− 3, 3].  Поэтому ОДЗ исходного неравенства — это E1∩ E2 = [−1,1].  На этом множестве обе части определены и неотрицательны, поэтому исходное неравенство равносильно

    2   ∘-----      2
2 − x + 2 1 − x2 < 3− x

полученному возведением в квадрат обеих частей исходного неравенства. После преобразований получаем

∘ ----2
2 1− x < 1

которое равносильно на множестве E1 ∩E2  неравенству x2 > 3,
    4  то есть |x|> √3.
     2  Таким образом, решением неравенства является множество всех x,  удовлетворяющих условию

         √3-
−1≤ x< − 2

√3-
-2-< x≤ 1
Ответ:

[− 1,− √3)∪( √3,1]
     2     2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123701

Решить неравенство

√-----  ∘ -2---------   2
 3x − 7−  3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

B ответе указать сумму целых решений.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательный читатель может заметить, что правая часть неравенства равна разности покоренных выражений.

Подсказка 2

Значит, можно заменить корни на a и b, тогда неравенство примет вид a - b ≥ b² - a². Осталось разложить на скобочки и довести до конца.

Показать ответ и решение

Сделаем замену a= √3x−-7  и b=√3x2-− 13x+-13.  По определению корня a≥ 0,  b≥ 0.  Заметим, что

 2  2     2                    2                  2
b − a =(3x − 13x+ 13)− (3x− 7)= 3x − 13x+ 13− 3x +7 =3x − 16x +20

Тогда исходное неравенство примет вид:

      2   2
a− b≥ b − a

a− b≥ (b− a)(b+ a)

(a − b)+ (a− b)(a+ b)≥0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Так как a≥ 0  и b≥ 0,  то 1+ a+b ≥1 >0.  Следовательно, неравенство (a− b)(1+ a+ b)≥ 0  равносильно a − b≥ 0,  то есть a ≥b.

√ ----- ∘ -----------
  3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

Для того чтобы это неравенство имело смысл и его можно было возвести в квадрат, необходимо выполнение условий:

1)

3x− 7 ≥0

Следовательно,

    7
x ≥ 3

2)

 2
3x  − 13x+ 13 ≥0

Отсюда

   (           ]  [          )
        13−-√13    13+-√13
x ∈ − ∞;   6    ∪     6   ;+∞

При выполнении этих условий возводим неравенство в квадрат:

3x− 7≥3x2− 13x+ 13

3x2 − 16x+ 20 ≥0

Значит:    [ 10]
x∈  2; 3

Теперь объединим все условия в систему:

(|     [ 10]
|||||  x∈  2; 3
||{     7
||  x≥ 3
|||||     (    13− √13-] [ 13-+√13   )
|(  x∈  −∞;    6    ∪    6   ;+∞

Пересекаем интервалы и получаем, что решение неравенства:

   [    √--   ]
x ∈ 13+--13;10
       6    3

Целые значения x  в этом промежутке: единственное целое значение x= 3.  Сумма целых решений равна 3.

Ответ:

 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#128571

Решить неравенство

√-----  ∘ -2---------   2
 3x − 7−  3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

В ответе указать сумму целых решений неравенства.

Источники: Газпром - 2025, 10.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Полные квадраты не выделяются, оценка тоже не особо помогает, что же тут можно сделать? Возможно, у нас есть что-то интересное, связанное с суммой или разностью подкоренных выражений?

Подсказка 2

Итак, разность подкоренных выражений слева равна выражению справа – это наводит нас на мысль о замене! Слева обычная разность, справа разность квадратов, что же можно сделать?

Подсказка 3

Наше неравенство красиво раскладывается на множители :) Одну из скобок можно сразу оценить и остаётся лишь равносильным переходом преодолеть оставшееся сравнение корней!

Показать ответ и решение

Заметим, что разность подкоренных выражений в левой части равна выражению справа. Сделаем замену:

   √-----    ∘--2--------
a=  3x− 7, b= 3x − 13x +13

Исходное неравенство примет вид:

      2   2
a− b≥ b − a

(a− b)+(a2− b2)≥ 0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Поскольку a  и b  неотрицательны, 1+ a+ b> 0  всегда. Тогда неравенство равносильно:

a− b≥ 0

√ ----- ∘ -----------
  3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

{          2
  3x−2 7≥ 3x − 13x+ 13
  3x − 13x+13≥ 0

{ 3x2− 16x +20≤ 0
  3x2− 13x +13≥ 0

(||     [ 10]
||{  x∈  2; 3
||     (    13− √13-] [ 13 +√13   )
||(  x∈  −∞; ---6--- ∪  --6---;+∞

Отсюда получаем, что решения исходного неравенства это

   [          ]
    13+-√13 10
x ∈    6   ;3

и единственным целым среди них является x =3.

Ответ:

3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31982

Решите неравенство

|x− 1|− |x|+|2x+ 3|≥ 2x+ 4.
Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи:

  • x <− 3∕2  , все модули раскрываются с минусом

    1 − x+ x− 2x− 3≥ 2x +4 ⇔   x≤ −3∕2
  • x ∈[−3∕2;0)  , третий модуль раскрывается с плюсом

    1− x+x +2x+ 3≥ 2x+ 4  ⇔  x ∈ℝ
  • x ∈[0;1)  , второй тоже с плюсом

    1 − x − x+ 2x+ 3≥ 2x +4 ⇔  2x≤ 0
  • x ≥1  , все с плюсом

    x− 1− x+2x +3≥ 2x+ 4  ⇔  x ∈∅
Ответ:

 (−∞;0]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85022

Решите неравенство

∘-2----
 x − 25⋅(x− 3)≤ 0
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не спешите возводить в квадрат, как только увидели корень. Обратите внимание на знак неравенства и вспомните, какие значения принимает корень.

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Если корень равен нулю, то неравенство выполнено всегда! осталось решить такое уравнение, когда же корень равен нулю.

Показать ответ и решение

∘-2----
 x − 25⋅(x− 3)≤ 0

⌊ x2− 25 =0
|| (
|⌈ { x2− 25> 0
  ( x − 3 ≤0

⌊ [
    x =5
|||   x =− 5
|| ({
|⌈    x∈ (− ∞,−5)∪(5,+∞ )
  (  x≤ 3

⌊ [ x= 5
||   x= −5
|⌈
  x∈ (−∞,−5)

x∈(−∞, −5]∪{5}
Ответ:

 (−∞,− 5]∪ {5}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85023

Решите неравенство

∘ √----------
   16x+ 36+ 6≥ x
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Столько корней, значит, стоит сразу посчитать ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При x < 0. Значит, теперь мы рассматриваем только х ≥ 0. Больше ничего не поделать, поэтому придётся возводить обе части неравенства в квадрат. Перенесём 6 в правую часть и опять получим неравенства вида «корень ≥ выражение через х». И вновь можно сказать, что когда правая часть отрицательная, то неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Подсказка 3

И вот мы рассматриваем х, такие что х ≥ 0 и x² - 6 ≥ 0, и опять возводим в квадрат наше неравенство, которое после приведения подобных и разложения на множители можно решить методом интервалов.

Показать ответ и решение

∘ √----------
   16x+ 36+ 6≥ x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

                    9
16x +36≥ 0  ⇐⇒   x≥ −4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При   9
− 4 ≤x < 0  видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда x ≥0.  Возведём наше выражение в квадрат

√ -------
  16x +36+ 6≥ x2

√ -------
  16x +36≥ x2− 6

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

                 (      )
x2− 6 <0 ⇐ ⇒  x ∈ −√6,√6-

С учётом условия x ≥0  получим    [  -)
x∈ 0,√6 .

Во-вторых,

(
{  x2− 6 ≥0
(          (2   )2
   16x+ 36≥  x − 6

(|{  x∈ (− ∞,−√6] ∪[√6,+∞ )

|(  16x +36≥ x4− 12x2+ 36

Учтём, что у нас x≥ 0

(     [√ -   )
|{  x∈   6,+∞
|(    3
   x(x − 12x − 16)≤ 0

(     [√ -   )
|{  x∈   6,+ ∞
|(             2
   x(x − 4)(x +2) ≤ 0

Решим второе неравенство методом интервалов

(|    [√-    )
{ x ∈  6,+∞
|( x ∈{−2}∪ [0,4]

   [    ]
x ∈ √6,4

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что    [    ]
x ∈ − 9 ,4 .
     4

Ответ:

[− 9;4]
  4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85025

Решите неравенство

13− 6x+√4x2-− 2x−-6
-------5−-2x-------> 1
Подсказки к задаче

Подсказка 1

При решении подобного вида задач часто помогало занесение всех выражений под один знаменатель, затем нахождение нулей у числителя и знаменателя, а затем грамотное объединение всех подходящих интервалов с учётом ОДЗ.

Подсказка 2

Чтобы найти нули у числителя нужно решить уравнение sqrt(4x^2-2x-6) = 4x-8, при условии, что 4x-8 >= 0, иначе левая часть не отрицательна, а правая отрицательна. Не забывайте, что мы рассматриваем такие случаи, потому что возведение в квадрат уравнений равносильно только когда выражения одного знака!

Подсказка 3

Теперь, когда с нулями числителя мы расправились, нужно решить условия на ОДЗ и воспользоваться методом интервалов (подставить в каждый из получившихся промежутков по точке и посмотреть на знак выражения)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0

  5− 2x⁄= 0

(|        (   3)
|{ 2(x+ 1) x− 2  ≥0
||(     5
  x ⁄= 2

(            [3    )
||{ x∈ (− ∞,−1]∪ 2,+∞
||    5
( x⁄= 2

           [   )  (     )
x∈(−∞, −1]∪ 32,52  ∪  52,+ ∞

Рассмотрим несколько случаев. Когда

                  5
5− 2x> 0  ⇐⇒   x< 2

Тогда

       ∘ ----------
13− 6x+  4x2− 2x − 6 >5− 2x

∘--2-------
 4x − 2x− 6> 4x − 8

Тут два случая. Первый,

4x− 8< 0  ⇐⇒   x< 2

Пересекаем с ОДЗ, получаем            [   )
x∈ (− ∞,−1]∪ 3,2 .
            2

Второй, при

4x− 8≥ 0  ⇐⇒   x≥ 2

Тогда

4x2− 2x − 6 >16x2− 64x +64

   2
12x − 62x+ 70< 0

(x − 7)(x − 5) < 0
     2     3

   ( 5 7)
x ∈  3,2

Учтём    5
x< 2,x≥ 2  и ОДЗ, получим    [  5)
x∈  2,2 .

Теперь

5− 2x< 0  ⇐⇒   x> 5
                  2

Тогда

13− 6x+∘4x2-−-2x-− 6-<5− 2x

∘----------
 4x2− 2x− 6< 4x − 8

Заметим, что при     5
x > 2  правая часть положительна, тогда

4x2− 2x − 6 <16x2− 64x +64

12x2− 62x+ 70> 0

(    7)(   5)
  x− 2  x −3  > 0

   (     )  (     )
x∈  −∞, 5 ∪  7,+∞
        3    2

Учтём x> 5
   2  и ОДЗ, получим   (      )
x∈  7,+∞  .
    2

В итоге, объединив все случаи,             [   )  (     )
x ∈(−∞,− 1]∪  3,5 ∪  7,+∞  .
             2 2    2

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

{
  4x2− 2x − 6 ≥0
  5− 2x⁄= 0

(        (    )
||{ 2(x+ 1) x− 3  ≥0
             2
||( x ⁄= 5
      2

             [     )
(|| x∈ (− ∞,−1]∪ 3,+∞
{             2
||( x⁄= 5
     2

           [3 5)  ( 5   )
x∈(−∞, −1]∪ 2,2  ∪  2,+ ∞

Теперь перенесём 1  влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

      √--2-------
8− 4x+-4x-−-2x−-6> 0
      5− 2x

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно 4x− 8> 0,

∘----------
 4x2− 2x− 6= 4x − 8

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

12x2− 62x+ 70= 0

Откуда находим корни     7
x = 2  и    5
x= 3,  где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке [−∞, −1]  можно выбрать x= −2,  откуда получим положительный знак.

На промежутке [3 5)
 2,2 ,  взяв точку x =2,  знак положительный.

На промежутке (5 7)
 2,2 ,  взяв точку x =3,  знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке (7    )
 2,+∞ взяв точку x= 4,  знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше 0.

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это x = −1  и    3
x= 2,  получаем, что             [   )  (     )
x ∈(−∞,− 1]∪  3,5 ∪  7,+∞  .
             2 2    2

Ответ:

(−∞; −1]∪[3;5) ∪( 7;+ ∞)
         2 2     2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85026

Решите неравенство

∘-------2
 2 − x − x > −1
Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

       2
2 − x− x ≥ 0

(x− 1)(x+ 2)≤ 0

x∈ [−2;1]

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Ответ:

[−2;1]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85027

Решите неравенство

√----  ∘--2-------
 2− x<  3x − 2x− 2
Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 2− x≥ 0
  3x2− 2x − 2 ≥0

(|{ x ≤2
     (      √-] [  √-    )
|( x ∈ −∞; 1−3-7 ∪ 1+37;+∞

   (       √-]  [   √-  ]
x∈  − ∞;1−--7  ∪ 1+--7;2
          3        3

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

2− x< 3x2− 2x− 2

3x2− x − 4 >0

(x +1)(3x− 4)> 0

            (4    )
x∈ (−∞;−1)∪  3;+∞

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

            (   ]
x ∈(−∞;− 1)∪  4;2
             3
Ответ:

(−∞; −1)∪( 4;2]
          3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85030

Решите неравенство

∘--2-------  1− 2x
 3x − 8x− 3 > 3
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что всё, что от нас здесь требуется — записать ОДЗ, возвести в квадрат, решить и пересечь с этим самым ОДЗ. Какие тогда надо наложить ограничения на икс, чтобы неравенство было корректно? Какой может быть правая часть? А как тогда это влияет на решения?

Подсказка 2

Если правая часть отрицательна, то неравенство при условии существовании корня выполнено, поскольку корень есть неотрицателен, а справа что-то отрицательное. Значит, отдельно нам подходят значения x > 1/2 пересеченное с ОДЗ от корня, а отдельно, когда неравенство всё же нужно решать, то есть возводить в квадрат, полагая, что x ≤ 1/2.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

 2
3x − 8x− 3≥ 0

(x − 3)(3x+ 1)≥0

   (       ]
x ∈ − ∞;− 1 ∪[3,+∞ )
         3

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

1−-2x-
  3  < 0

x > 1
    2

Учтём ОДЗ и получим, x∈[3,+ ∞).

Теперь рассмотрим случай, когда x ≤ 1,
    2  т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

3x2− 8x − 3 > 1− 4x+-4x2
                9

   2
23x − 68x− 28> 0

   (    34−-30√2-)  (34+-30√2    )
x∈  − ∞;   23    ∪     23   ;+∞

Учтём ОДЗ и x ≤ 1,
    2  получим,    (         √ -)
x∈  −∞; 34−-30--2 .
           23

В итоге ответом будет

   (          √-)
x ∈  −∞;34−-30-2  ∪[3;+∞ )
           23
Ответ:

(    34 − 30√2)
 −∞; ---23---- ∪[3;+ ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85173

Решите неравенство

∘-2-------
 x − 3x+ 2≤ x− 1
Показать ответ и решение

Разложим подкоренное выражение на множители:

∘----------
 (x− 1)(x− 2)≤x − 1

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

                    2
0≤ (x− 1)(x− 2)≤ (x− 1)

{ (x− 1)(x− 2)≥0
  (x− 1)((x− 2)− (x− 1))≥ 0

{
  x ∈(−∞;1]∪[2;+ ∞)
  x ≥1

x ∈{1}∪[2;+ ∞)
Ответ:

 {1}∪[2;+ ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88248

Решите неравенство

--1--  ---1---
2x− 1 > 1− 2x−1
Показать ответ и решение

Сделаем замену 2x−1 =t, t> 0

  1     1
2t−-1 > 1−-t

(1(−2t t−)−1)((21t−−t)1)->0

---2−-3t---->0
(2t− 1)(1− t)

Методом интервалов получаем    (1 2)
t∈  2;3  ∪(1;+ ∞)

1   x− 1  3  x−1
2 < 2  < 2, 2  > 1

   (         )
x ∈  0;1+ log2 2 ∪ (1;+∞ )
            3
Ответ:

 (0;2 − log 3)∪ (1,+∞ )
       2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88249

Решите неравенство

---1--  2-− 3⋅51−x
5−x− 1 ≥  5x− 1
Показать ответ и решение

Сделаем замену 5x = t, t> 0  . Тогда

            1
-1--≥ 2-− 15⋅t
1− 1    t− 1
t

Домножив числители и знаменатели дробей на t  , получаем

-t--≥ 2t− 15
1− t  t2− t

 t   2t− 15
1− t + t(1− t) ≤ 0

(t+-5)(t− 3)≤ 0
  t(1− t)

И так как t+ 5 и t> 0  , имеем

t−-3≤ 0
1 − t

Методом интервалов получаем t∈ (1;3]  , а значит x∈ (0,log53]

Ответ:

 (0;log 3]
     5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88252

Решите неравенство

∘ --7-----3
  5x-−-332x-≤ x3
  5x− x − 4
Показать ответ и решение

Выпишем ограничения

({  5x7 − 32x3
   5x-− x3−-4 ≥ 0
( 5x− x3− 4⁄= 0

При x3 < 0  неравенство не имеет решений.

При x3 ≥ 0  с учетом ограничений возведем исходное неравенство в квадрат:

  7     3
-5x--− 332x-≤ x6
5x − x − 4

5x7− 32x3−-5x7+-x9+-4x6-≤ 0
      5x− x3− 4

x3(x6+ 4x3 − 32)
--5x−-x3− 4--≤ 0

        3  3    3
-----(-x-(x-−√ 4)()x(+8)√----)-≤ 0
(1− x) x+ 1+--17   x− --17-− 1
            2           2

Так как x≥ 0  , решим методом интервалов неравенство

     x(x3− 4)
-----(---√17-− 1)-≤ 0
(1− x) x− ---2--

Заметим, что √ --
--17-− 1 <413
   2  , так как

     1      2   2       1
17<(43 ⋅2+ 1) =4 3 ⋅4+1 +43 ⋅4

4< 413(413 + 1)

16< (413 + 1)3

2⋅213 < 1+ (213)2

    1
0< (23 − 1)2

Решив неравенство, получаем

       (  √ --  )  [ 1    )
x ∈{0}∪  1;--172− 1 ∪ 43;+∞

Преобразовав неравенство из ограничений, получим

   x3(x4− 352)⋅5
-----(---√17-− 1)-≥ 0
(1− x) x− ---2--

Решив методом интервалов, получим

        (           ]
          √17− 1-∘432
x∈ [0;1)∪    2  ;   5

Заметим, что ∘ ---
4 32> 3√4-
  5  , так как  3            7
323-> 44  =⇒   23 >1
5            5

Пересекая с решением неравенства, получаем

        [       ]
         3√- 4∘-32-
x ∈{0}∪   4;  5
Ответ:

    [ 3√- 4∘-32]
{0}∪   4;  5-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88253

Решите неравенство

     √5-(x− 5)
1< √x2-− 10x+-26
Показать ответ и решение

Заметим, что x2− 10x+ 26= (x − 5)2+1 >0  , поэтому домножив обе части неравенства на знаменатель, получим

∘ ----------  √-
  x2− 10x+ 26< 5(x− 5)

Если x≤ 5  , то решений нет.

Если же x >5  , то обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

 2                2
x − 10x+26< 5(x− 5)

 2           2
x − 10x+ 26< 5x − 50x+ 125

4x2 − 40x+ 99 >0

   (     )  (      )
x ∈  −∞,9  ∪  11,+ ∞
        2     2

Пересекая с x> 5  , получаем ответ.

Ответ:

(11;+∞)
 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88256

Решите неравенство

√x6−-64
-x−-3--≥ 0
Подсказки к задаче

Подсказка 1

По ОДЗ: x⁶ - 64 ≥ 0 и x≠3. А что мы знаем про корень? Какие значения он принимает?

Подсказка 2

Корень не может быть отрицательным. Значит, числитель дроби всегда неотрицательный. Что можно сказать про x = 2, а про x = -2?

Подсказка 3

Если x = 2 или x = -2, то вся левая часть обращается в ноль! А это нам подходит. Теперь отбросим эти значения. Каким тогда должен быть знаменатель?

Подсказка 4

Получается, что и знаменатель тоже больше нуля! А когда он больше нуля?

Подсказка 5

При всех x > 3

Показать ответ и решение

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

 6
x − 64= 0

[ x =− 2
  x =2

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) x6 − 64> 0,  тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

x− 3> 0

x> 3

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие  6
x − 64> 0,  значит, все они подходят

В итоге ответ: x∈ {− 2;2}∪ (3;+∞ ).

Ответ:

 {−2;2}∪(3;+ ∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88257

Решите неравенство

√16−-x2
-3−-x--≤ 1
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом в выражении с корнями и дробями стоит найти ОДЗ. А что делать дальше? У нас есть дробь, знак числителя которой нам известен... Может, попробуем обратить внимание на знак всего выражения?

Подсказка 2

Конечно, когда знаменатель отрицательный, то и всё наше выражение будет неположительным, а значит, точно не больше единицы. Остаётся рассмотреть случаи с положительным знаменателем. Как мы тогда можем преобразовать наше неравенство?

Подсказка 3

Верно, если знаменатель положителен, то можно домножить на него обе части неравенства и затем возвести в квадрат! Теперь нам нужно только аккуратно посчитать и пересечь обе серии решений с ОДЗ

Показать ответ и решение

ОДЗ: x∈ [−4;3)∪(3;4].

Если 3− x < 0  , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что x∈ (3;4]  являются решениями. При 3 − x >0  обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

    2       2
16− x ≤(3− x)

 2
2x − 6x− 7≥ 0

   (    3−-√23]  [3+-√23    )
x∈  − ∞;   2   ∪    2   ;+∞

Пересекая с ОДЗ, получаем

  [      √ -]
x∈ − 4;3-−--23
         2

Объединяя две серии, получаем ответ.

Ответ:

[  3 − √23]
− 4;--2--  ∪(3;4]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88259

Решите неравенство

∘ ---1-  7x − 1
5 1− x > -x---
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать дроби: правую часть привести к общему знаменателю, а из левой выделить целую часть. Может быть, мы теперь увидим похожие конструкции справа и слева?

Подсказка 2

И справа, и слева образовалось выражение sqrt((x-1)/x), и больше нет ничего, зависящего от x. Давайте же обозначим это выражение за новую переменную t!

Подсказка 3

Получим простое квадратное неравенство от t. Решим его, а далее останется аккуратно перейти к старой переменной!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

∘ x-− 1  x− 1
5 --x- > -x--+ 6

Введем замену:

   ∘ -----
t=   x−-1
      x

Тогда неравенство сведется к

5t> t2+ 6

t2− 5t+ 6< 0

(t− 2)(t− 3)< 0

Решением будут t∈ (2;3).  Сделаем обратную замену.

   ∘-----                           { −3x−1
2<   x−-1< 3  ⇐⇒   4< x−-1< 9  ⇐⇒     --x--> 0
      x                x              −8xx−1< 0

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

PIC

То есть решение первого неравенства x ∈(− 13;0).

Для второго неравенства:

PIC

Его решением будет x∈(−∞; − 18)∪ (0;+∞ ).

Тогда общее решение:

x∈(− 1;− 1)
     3  8
Ответ:

 x ∈(− 1;− 1)
     3   8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#88273

Решите неравенство

 x   2x+1-  2x+7  2x−1
9 − 2 2  <2  2 − 3
Показать доказательство

Разделим левую и правую части на 2x  (2x > 0,  поэтому знак неравенства сохранится). Получаем:

9x   1   7   32x−1-
2x − 22 <22 − 2x

9x  32x−1   7   1
2x +--2x--< 22 + 22

 x      2x    √-  √-
9x + 1 ⋅ 3x-< 8 2+ 2
2   3  2

(     )
  1+ 1 9x < 9√2-
     3 2x

      √ -
9x < 27-2
2x    4

(9)x  ( 9)32
 2   <  2

Поскольку      ( )
f(x)= 92 x  — возрастающая функция (т.к. 92 > 1  ), то решением неравенства f(x)< f(32)  будет:

x < 3
    2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!