Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Неравенства с модулем

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47423

Решите неравенство

x x2 x2 x x2 x (0,04) ⋅2 + 5 ⋅2 ≤ 10 + (0,08).

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

x x2 x2 x x2 x2 x x 0,04-⋅(2-- + 5-)⋅2-− 2(-⋅5- −)2-⋅0,04- ≤ 0 ⇔ 0,04x 2x2 − 2x − 5x2 2x2 − 2x ≤ 0 ⇔ ( 2 )( 2 ) 5x − 0,04x 2x − 2x ≥0 ⇔ ( x2 −2x) ( x2 x) 5 − 5 2 − 2 ≥ 0

Воспользуемся методом рационализации:

(5 − 1)(x2+ 2x)(2− 1)(x2− x)≥ 0 ⇔ x2(x +2)(x− 1)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−01+−−+2$

Следовательно, ответ к неравенству:

x∈ (− ∞;− 2]∪{0}∪ [1;+∞ )

Ответ:

$(−∞; −2]∪ {0} ∪[1;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120944

Решите неравенство

∘----- ∘----- 1− x2+ 1< 3 − x2.

Показать ответ и решение

Левая часть неравенства определена при условии $1− x2 ≥0,$ то есть на множестве $E = [− 1,1], 1$ а правая часть — на множестве $√- √- E2 =[− 3, 3].$ Поэтому ОДЗ исходного неравенства — это $E1∩ E2 = [−1,1].$ На этом множестве обе части определены и неотрицательны, поэтому исходное неравенство равносильно

2 ∘----- 2 2 − x + 2 1 − x2 < 3− x

полученному возведением в квадрат обеих частей исходного неравенства. После преобразований получаем

∘ ----2 2 1− x < 1

которое равносильно на множестве $E1 ∩E2$ неравенству $x2 > 3, 4$ то есть $|x|> √3. 2$ Таким образом, решением неравенства является множество всех $x,$ удовлетворяющих условию

√3- −1≤ x< − 2

√3- -2-< x≤ 1

Ответ:

$[− 1,− √3)∪( √3,1] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123701

Решить неравенство

√----- ∘ -2--------- 2 3x − 7− 3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

B ответе указать сумму целых решений.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательный читатель может заметить, что правая часть неравенства равна разности покоренных выражений.

Подсказка 2

Значит, можно заменить корни на a и b, тогда неравенство примет вид a - b ≥ b² - a². Осталось разложить на скобочки и довести до конца.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= √3x−-7$ и $b=√3x2-− 13x+-13.$ По определению корня $a≥ 0,$ $b≥ 0.$ Заметим, что

2 2 2 2 2 b − a =(3x − 13x+ 13)− (3x− 7)= 3x − 13x+ 13− 3x +7 =3x − 16x +20

Тогда исходное неравенство примет вид:

2 2 a− b≥ b − a

a− b≥ (b− a)(b+ a)

(a − b)+ (a− b)(a+ b)≥0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Так как $a≥ 0$ и $b≥ 0,$ то $1+ a+b ≥1 >0.$ Следовательно, неравенство $(a− b)(1+ a+ b)≥ 0$ равносильно $a − b≥ 0,$ то есть $a ≥b.$

√ ----- ∘ ----------- 3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

Для того чтобы это неравенство имело смысл и его можно было возвести в квадрат, необходимо выполнение условий:

3x− 7 ≥0

Следовательно,

7 x ≥ 3

2 3x − 13x+ 13 ≥0

Отсюда

( ] [ ) 13−-√13 13+-√13 x ∈ − ∞; 6 ∪ 6 ;+∞

При выполнении этих условий возводим неравенство в квадрат:

3x− 7≥3x2− 13x+ 13

3x2 − 16x+ 20 ≥0

Значит: $[ 10] x∈ 2; 3$

Теперь объединим все условия в систему:

(| [ 10] ||||| x∈ 2; 3 ||{ 7 || x≥ 3 ||||| ( 13− √13-] [ 13-+√13 ) |( x∈ −∞; 6 ∪ 6 ;+∞

Пересекаем интервалы и получаем, что решение неравенства:

[ √-- ] x ∈ 13+--13;10 6 3

Целые значения $x$ в этом промежутке: единственное целое значение $x= 3.$ Сумма целых решений равна $3.$

Ответ:

$3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#128571

Решить неравенство

√----- ∘ -2--------- 2 3x − 7− 3x − 13x+ 13 ≥3x − 16x +20

В ответе указать сумму целых решений неравенства.

Источники: Газпром - 2025, 10.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Полные квадраты не выделяются, оценка тоже не особо помогает, что же тут можно сделать? Возможно, у нас есть что-то интересное, связанное с суммой или разностью подкоренных выражений?

Подсказка 2

Итак, разность подкоренных выражений слева равна выражению справа – это наводит нас на мысль о замене! Слева обычная разность, справа разность квадратов, что же можно сделать?

Подсказка 3

Наше неравенство красиво раскладывается на множители :) Одну из скобок можно сразу оценить и остаётся лишь равносильным переходом преодолеть оставшееся сравнение корней!

Показать ответ и решение

Заметим, что разность подкоренных выражений в левой части равна выражению справа. Сделаем замену:

√----- ∘--2-------- a= 3x− 7, b= 3x − 13x +13

Исходное неравенство примет вид:

2 2 a− b≥ b − a

(a− b)+(a2− b2)≥ 0

(a − b)(1+ a+ b)≥0

Поскольку $a$ и $b$ неотрицательны, $1+ a+ b> 0$ всегда. Тогда неравенство равносильно:

a− b≥ 0

√ ----- ∘ ----------- 3x− 7 ≥ 3x2− 13x+ 13

{ 2 3x−2 7≥ 3x − 13x+ 13 3x − 13x+13≥ 0

{ 3x2− 16x +20≤ 0 3x2− 13x +13≥ 0

(|| [ 10] ||{ x∈ 2; 3 || ( 13− √13-] [ 13 +√13 ) ||( x∈ −∞; ---6--- ∪ --6---;+∞

Отсюда получаем, что решения исходного неравенства это

[ ] 13+-√13 10 x ∈ 6 ;3

и единственным целым среди них является $x =3.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31982

Решите неравенство

|x− 1|− |x|+|2x+ 3|≥ 2x+ 4.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи:

$x <− 3∕2$ , все модули раскрываются с минусом
$1 − x+ x− 2x− 3≥ 2x +4 ⇔ x≤ −3∕2$
$x ∈[−3∕2;0)$ , третий модуль раскрывается с плюсом
$1− x+x +2x+ 3≥ 2x+ 4 ⇔ x ∈ℝ$
$x ∈[0;1)$ , второй тоже с плюсом
$1 − x − x+ 2x+ 3≥ 2x +4 ⇔ 2x≤ 0$
$x ≥1$ , все с плюсом
$x− 1− x+2x +3≥ 2x+ 4 ⇔ x ∈∅$

Ответ:

$(−∞;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85022

Решите неравенство

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не спешите возводить в квадрат, как только увидели корень. Обратите внимание на знак неравенства и вспомните, какие значения принимает корень.

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Если корень равен нулю, то неравенство выполнено всегда! осталось решить такое уравнение, когда же корень равен нулю.

Показать ответ и решение

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

⌊ x2− 25 =0 || ( |⌈ { x2− 25> 0 ( x − 3 ≤0

⌊ [ x =5 ||| x =− 5 || ({ |⌈ x∈ (− ∞,−5)∪(5,+∞ ) ( x≤ 3

⌊ [ x= 5 || x= −5 |⌈ x∈ (−∞,−5)

x∈(−∞, −5]∪{5}

Ответ:

$(−∞,− 5]∪ {5}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85023

Решите неравенство

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Столько корней, значит, стоит сразу посчитать ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При x < 0. Значит, теперь мы рассматриваем только х ≥ 0. Больше ничего не поделать, поэтому придётся возводить обе части неравенства в квадрат. Перенесём 6 в правую часть и опять получим неравенства вида «корень ≥ выражение через х». И вновь можно сказать, что когда правая часть отрицательная, то неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Подсказка 3

И вот мы рассматриваем х, такие что х ≥ 0 и x² - 6 ≥ 0, и опять возводим в квадрат наше неравенство, которое после приведения подобных и разложения на множители можно решить методом интервалов.

Показать ответ и решение

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

9 16x +36≥ 0 ⇐⇒ x≥ −4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $9 − 4 ≤x < 0$ видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≥0.$ Возведём наше выражение в квадрат

√ ------- 16x +36+ 6≥ x2

√ ------- 16x +36≥ x2− 6

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

( ) x2− 6 <0 ⇐ ⇒ x ∈ −√6,√6-

С учётом условия $x ≥0$ получим $[ -) x∈ 0,√6 .$

Во-вторых,

( { x2− 6 ≥0 ( (2 )2 16x+ 36≥ x − 6

(|{ x∈ (− ∞,−√6] ∪[√6,+∞ ) |( 16x +36≥ x4− 12x2+ 36

Учтём, что у нас $x≥ 0$

( [√ - ) |{ x∈ 6,+∞ |( 3 x(x − 12x − 16)≤ 0

( [√ - ) |{ x∈ 6,+ ∞ |( 2 x(x − 4)(x +2) ≤ 0

Решим второе неравенство методом интервалов

(| [√- ) { x ∈ 6,+∞ |( x ∈{−2}∪ [0,4]

[ ] x ∈ √6,4

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что $[ ] x ∈ − 9 ,4 . 4$

Ответ:

$[− 9;4] 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85025

Решите неравенство

13− 6x+√4x2-− 2x−-6 -------5−-2x-------> 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При решении подобного вида задач часто помогало занесение всех выражений под один знаменатель, затем нахождение нулей у числителя и знаменателя, а затем грамотное объединение всех подходящих интервалов с учётом ОДЗ.

Подсказка 2

Чтобы найти нули у числителя нужно решить уравнение sqrt(4x^2-2x-6) = 4x-8, при условии, что 4x-8 >= 0, иначе левая часть не отрицательна, а правая отрицательна. Не забывайте, что мы рассматриваем такие случаи, потому что возведение в квадрат уравнений равносильно только когда выражения одного знака!

Подсказка 3

Теперь, когда с нулями числителя мы расправились, нужно решить условия на ОДЗ и воспользоваться методом интервалов (подставить в каждый из получившихся промежутков по точке и посмотреть на знак выражения)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

(| ( 3) |{ 2(x+ 1) x− 2 ≥0 ||( 5 x ⁄= 2

( [3 ) ||{ x∈ (− ∞,−1]∪ 2,+∞ || 5 ( x⁄= 2

[ ) ( ) x∈(−∞, −1]∪ 32,52 ∪ 52,+ ∞

Рассмотрим несколько случаев. Когда

5 5− 2x> 0 ⇐⇒ x< 2

Тогда

∘ ---------- 13− 6x+ 4x2− 2x − 6 >5− 2x

∘--2------- 4x − 2x− 6> 4x − 8

Тут два случая. Первый,

4x− 8< 0 ⇐⇒ x< 2

Пересекаем с ОДЗ, получаем $[ ) x∈ (− ∞,−1]∪ 3,2 . 2$

Второй, при

4x− 8≥ 0 ⇐⇒ x≥ 2

Тогда

4x2− 2x − 6 >16x2− 64x +64

2 12x − 62x+ 70< 0

(x − 7)(x − 5) < 0 2 3

( 5 7) x ∈ 3,2

Учтём $5 x< 2,x≥ 2$ и ОДЗ, получим $[ 5) x∈ 2,2 .$

Теперь

5− 2x< 0 ⇐⇒ x> 5 2

Тогда

13− 6x+∘4x2-−-2x-− 6-<5− 2x

∘---------- 4x2− 2x− 6< 4x − 8

Заметим, что при $5 x > 2$ правая часть положительна, тогда

4x2− 2x − 6 <16x2− 64x +64

12x2− 62x+ 70> 0

( 7)( 5) x− 2 x −3 > 0

( ) ( ) x∈ −∞, 5 ∪ 7,+∞ 3 2

Учтём $x> 5 2$ и ОДЗ, получим $( ) x∈ 7,+∞ . 2$

В итоге, объединив все случаи, $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

( ( ) ||{ 2(x+ 1) x− 3 ≥0 2 ||( x ⁄= 5 2

[ ) (|| x∈ (− ∞,−1]∪ 3,+∞ { 2 ||( x⁄= 5 2

[3 5) ( 5 ) x∈(−∞, −1]∪ 2,2 ∪ 2,+ ∞

Теперь перенесём $1$ влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

√--2------- 8− 4x+-4x-−-2x−-6> 0 5− 2x

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно $4x− 8> 0,$

∘---------- 4x2− 2x− 6= 4x − 8

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

12x2− 62x+ 70= 0

Откуда находим корни $7 x = 2$ и $5 x= 3,$ где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке $[−∞, −1]$ можно выбрать $x= −2,$ откуда получим положительный знак.

На промежутке $[3 5) 2,2 ,$ взяв точку $x =2,$ знак положительный.

На промежутке $(5 7) 2,2 ,$ взяв точку $x =3,$ знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке $(7 ) 2,+∞$ взяв точку $x= 4,$ знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше $0.$

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это $x = −1$ и $3 x= 2,$ получаем, что $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

Ответ:

$(−∞; −1]∪[3;5) ∪( 7;+ ∞) 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85026

Решите неравенство

∘-------2 2 − x − x > −1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 2 − x− x ≥ 0

(x− 1)(x+ 2)≤ 0

x∈ [−2;1]

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Ответ:

$[−2;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85027

Решите неравенство

√---- ∘--2------- 2− x< 3x − 2x− 2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 2− x≥ 0 3x2− 2x − 2 ≥0

(|{ x ≤2 ( √-] [ √- ) |( x ∈ −∞; 1−3-7 ∪ 1+37;+∞

( √-] [ √- ] x∈ − ∞;1−--7 ∪ 1+--7;2 3 3

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

2− x< 3x2− 2x− 2

3x2− x − 4 >0

(x +1)(3x− 4)> 0

(4 ) x∈ (−∞;−1)∪ 3;+∞

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

( ] x ∈(−∞;− 1)∪ 4;2 3

Ответ:

$(−∞; −1)∪( 4;2] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85030

Решите неравенство

∘--2------- 1− 2x 3x − 8x− 3 > 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что всё, что от нас здесь требуется — записать ОДЗ, возвести в квадрат, решить и пересечь с этим самым ОДЗ. Какие тогда надо наложить ограничения на икс, чтобы неравенство было корректно? Какой может быть правая часть? А как тогда это влияет на решения?

Подсказка 2

Если правая часть отрицательна, то неравенство при условии существовании корня выполнено, поскольку корень есть неотрицателен, а справа что-то отрицательное. Значит, отдельно нам подходят значения x > 1/2 пересеченное с ОДЗ от корня, а отдельно, когда неравенство всё же нужно решать, то есть возводить в квадрат, полагая, что x ≤ 1/2.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 3x − 8x− 3≥ 0

(x − 3)(3x+ 1)≥0

( ] x ∈ − ∞;− 1 ∪[3,+∞ ) 3

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

1−-2x- 3 < 0

x > 1 2

Учтём ОДЗ и получим, $x∈[3,+ ∞).$

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤ 1, 2$ т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

3x2− 8x − 3 > 1− 4x+-4x2 9

2 23x − 68x− 28> 0

( 34−-30√2-) (34+-30√2 ) x∈ − ∞; 23 ∪ 23 ;+∞

Учтём ОДЗ и $x ≤ 1, 2$ получим, $( √ -) x∈ −∞; 34−-30--2 . 23$

В итоге ответом будет

( √-) x ∈ −∞;34−-30-2 ∪[3;+∞ ) 23

Ответ:

$( 34 − 30√2) −∞; ---23---- ∪[3;+ ∞)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85173

Решите неравенство

∘-2------- x − 3x+ 2≤ x− 1

Показать ответ и решение

Разложим подкоренное выражение на множители:

∘---------- (x− 1)(x− 2)≤x − 1

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

2 0≤ (x− 1)(x− 2)≤ (x− 1)

{ (x− 1)(x− 2)≥0 (x− 1)((x− 2)− (x− 1))≥ 0

{ x ∈(−∞;1]∪[2;+ ∞) x ≥1

x ∈{1}∪[2;+ ∞)

Ответ:

${1}∪[2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88248

Решите неравенство

--1-- ---1--- 2x− 1 > 1− 2x−1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x−1 =t, t> 0$

1 1 2t−-1 > 1−-t

(1(−2t t−)−1)((21t−−t)1)->0

---2−-3t---->0 (2t− 1)(1− t)

Методом интервалов получаем $(1 2) t∈ 2;3 ∪(1;+ ∞)$

1 x− 1 3 x−1 2 < 2 < 2, 2 > 1

( ) x ∈ 0;1+ log2 2 ∪ (1;+∞ ) 3

Ответ:

$(0;2 − log 3)∪ (1,+∞ ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88249

Решите неравенство

---1-- 2-− 3⋅51−x 5−x− 1 ≥ 5x− 1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $5x = t, t> 0$ . Тогда

1 -1--≥ 2-− 15⋅t 1− 1 t− 1 t

Домножив числители и знаменатели дробей на $t$ , получаем

-t--≥ 2t− 15 1− t t2− t

t 2t− 15 1− t + t(1− t) ≤ 0

(t+-5)(t− 3)≤ 0 t(1− t)

И так как $t+ 5 и t> 0$ , имеем

t−-3≤ 0 1 − t

Методом интервалов получаем $t∈ (1;3]$ , а значит $x∈ (0,log53]$

Ответ:

$(0;log 3] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88252

Решите неравенство

∘ --7-----3 5x-−-332x-≤ x3 5x− x − 4

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения

({ 5x7 − 32x3 5x-− x3−-4 ≥ 0 ( 5x− x3− 4⁄= 0

При $x3 < 0$ неравенство не имеет решений.

При $x3 ≥ 0$ с учетом ограничений возведем исходное неравенство в квадрат:

7 3 -5x--− 332x-≤ x6 5x − x − 4

5x7− 32x3−-5x7+-x9+-4x6-≤ 0 5x− x3− 4

x3(x6+ 4x3 − 32) --5x−-x3− 4--≤ 0

3 3 3 -----(-x-(x-−√ 4)()x(+8)√----)-≤ 0 (1− x) x+ 1+--17 x− --17-− 1 2 2

Так как $x≥ 0$ , решим методом интервалов неравенство

x(x3− 4) -----(---√17-− 1)-≤ 0 (1− x) x− ---2--

Заметим, что $√ -- --17-− 1 <413 2$ , так как

1 2 2 1 17<(43 ⋅2+ 1) =4 3 ⋅4+1 +43 ⋅4

4< 413(413 + 1)

16< (413 + 1)3

2⋅213 < 1+ (213)2

1 0< (23 − 1)2

Решив неравенство, получаем

( √ -- ) [ 1 ) x ∈{0}∪ 1;--172− 1 ∪ 43;+∞

Преобразовав неравенство из ограничений, получим

x3(x4− 352)⋅5 -----(---√17-− 1)-≥ 0 (1− x) x− ---2--

Решив методом интервалов, получим

( ] √17− 1-∘432 x∈ [0;1)∪ 2 ; 5

Заметим, что $∘ --- 4 32> 3√4- 5$ , так как $3 7 323-> 44 =⇒ 23 >1 5 5$

Пересекая с решением неравенства, получаем

[ ] 3√- 4∘-32- x ∈{0}∪ 4; 5

Ответ:

$[ 3√- 4∘-32] {0}∪ 4; 5-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#88253

Решите неравенство

√5-(x− 5) 1< √x2-− 10x+-26

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2− 10x+ 26= (x − 5)2+1 >0$ , поэтому домножив обе части неравенства на знаменатель, получим

∘ ---------- √- x2− 10x+ 26< 5(x− 5)

Если $x≤ 5$ , то решений нет.

Если же $x >5$ , то обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 x − 10x+26< 5(x− 5)

2 2 x − 10x+ 26< 5x − 50x+ 125

4x2 − 40x+ 99 >0

( ) ( ) x ∈ −∞,9 ∪ 11,+ ∞ 2 2

Пересекая с $x> 5$ , получаем ответ.

Ответ:

$(11;+∞) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#88256

Решите неравенство

√x6−-64 -x−-3--≥ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По ОДЗ: x⁶ - 64 ≥ 0 и x≠3. А что мы знаем про корень? Какие значения он принимает?

Подсказка 2

Корень не может быть отрицательным. Значит, числитель дроби всегда неотрицательный. Что можно сказать про x = 2, а про x = -2?

Подсказка 3

Если x = 2 или x = -2, то вся левая часть обращается в ноль! А это нам подходит. Теперь отбросим эти значения. Каким тогда должен быть знаменатель?

Подсказка 4

Получается, что и знаменатель тоже больше нуля! А когда он больше нуля?

Подсказка 5

При всех x > 3

Показать ответ и решение

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

6 x − 64= 0

[ x =− 2 x =2

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) $x6 − 64> 0,$ тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

x− 3> 0

x> 3

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие $6 x − 64> 0,$ значит, все они подходят

В итоге ответ: $x∈ {− 2;2}∪ (3;+∞ ).$

Ответ:

${−2;2}∪(3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#88257

Решите неравенство

√16−-x2 -3−-x--≤ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом в выражении с корнями и дробями стоит найти ОДЗ. А что делать дальше? У нас есть дробь, знак числителя которой нам известен... Может, попробуем обратить внимание на знак всего выражения?

Подсказка 2

Конечно, когда знаменатель отрицательный, то и всё наше выражение будет неположительным, а значит, точно не больше единицы. Остаётся рассмотреть случаи с положительным знаменателем. Как мы тогда можем преобразовать наше неравенство?

Подсказка 3

Верно, если знаменатель положителен, то можно домножить на него обе части неравенства и затем возвести в квадрат! Теперь нам нужно только аккуратно посчитать и пересечь обе серии решений с ОДЗ

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [−4;3)∪(3;4].$

Если $3− x < 0$ , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что $x∈ (3;4]$ являются решениями. При $3 − x >0$ обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 16− x ≤(3− x)

2 2x − 6x− 7≥ 0

( 3−-√23] [3+-√23 ) x∈ − ∞; 2 ∪ 2 ;+∞

Пересекая с ОДЗ, получаем

[ √ -] x∈ − 4;3-−--23 2

Объединяя две серии, получаем ответ.

Ответ:

$[ 3 − √23] − 4;--2-- ∪(3;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#88259

Решите неравенство

∘ ---1- 7x − 1 5 1− x > -x---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать дроби: правую часть привести к общему знаменателю, а из левой выделить целую часть. Может быть, мы теперь увидим похожие конструкции справа и слева?

Подсказка 2

И справа, и слева образовалось выражение sqrt((x-1)/x), и больше нет ничего, зависящего от x. Давайте же обозначим это выражение за новую переменную t!

Подсказка 3

Получим простое квадратное неравенство от t. Решим его, а далее останется аккуратно перейти к старой переменной!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство: