Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .15 Симметрия (и чётность) в параметрах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32702Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение – тут сумма двух очень похожих друг на друга логарифмов, при этом требуется ровно одно решение – это может навести на мысль использовать соображения симметрии

Подсказка 2

Выражение симметрично относительно замены х на -х! Значит, нечетное число корней (в частности, один корень) может быть только в том случае, когда х = 0 – решение, таким образом Вы можете найти те значениях а, при которых это условие выполняется, остается только проверить: правда ли при конкретной ашке корень будет только один

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 log2(a + 2a− 1)+ log2(a +2a− 1)=2

2 a + 2a − 1= 2

a= 1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log2−x(2+ x)$ мы получаем уравнение $t+ 1t = 2$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0.$ Заметим, что $x= 0,$ не противоречит ОДЗ уравнения. Действительно, при подстановке получаем $2− 0 =2$ и $2+ 0= 2,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#34204Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

22 2 2 ( 2 2) 2x y +x y+ xy +(1− a)x + y − a(x+ y+2)= 0

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$ ).

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (y₀, x₀) — тоже решение! С учётом этого, что можно сказать о количестве решений? В каком единственном случае их может быть нечётное количество?

Подсказка 3

Получается, необходимо, чтобы выполнялось равенство х = у. Подставьте это в исходное уравнение и решите получившееся уравнение относительно х. Каким должно быть а, чтобы это решение было единственным?

Подсказка 4

Пока что мы не можем говорить, что при найденных значениях параметра а исходное уравнение тоже имеет единственное решение. Стоит подставить и проверить это!

Подсказка 5

Попробуйте разбить на слагаемые выражение так, чтобы каждое из них точно было неотрицательным! Тогда мы с лёгкостью сможем определить решения.

Показать ответ и решение

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)$ . Тогда $( 4 3 2 ) 2 x + x +(1− a)x − a(x+1) = 0$ , то есть $2 2 2 2 x (x − a)+ x(x − a)+ x − a =0$ , откуда

( 2 )( 2 ) x − a x + x+ 1 = 0.

Если $a> 0$ , то $x= ±√a$ , так что решений больше одного. При $a< 0$ решенений нет, поскольку вторая скобка всегда положительна. Чтобы решение было единственным, необходимо $a =0$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

2 2 2 2 2 2 2x y + xy +xy + x +y = 0.

Левая часть равна $x2(y2 +y+ 1)+ y2 (x2+ x+ 1)$ . Каждое из слагаемых неотрицательно и строго больше нуля при ненулевых переменных, стало быть, решение имеет вид $x= y = 0$ и оно, действительно, единственное.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#34206Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−2ax+a2 2 2 3 2 3 = ax − 2a x+ a +a − 4a+ 4

имеет ровно одно решение.

Источники: ОММО-2018, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хочется подсократить выражение, поэтому давайте сделаем замену t=x-a (повлияет ли это на количество решений?). Тогда что интересного можно заметить в обеих частях уравнения?

Подсказка 2

Конечно же симметрию! Если t - это решение, то -t тоже является решением! Отсюда получается и единственное значение t, которое должно быть решением уравнения! Осталось проанализировать, при каких именно значениях а, это решение будет единственным.

Подсказка 3

Получили а=1 и а=3. В первом случае попробуйте оценить 3^x снизу, чтобы выяснить количество решений для данного уравнения.
P. S. производная в помощь!

Подсказка 4

Во втором же случае удобно перебрать значения в нескольких точках, чтобы сделать вывод о количестве решений для данного уравнения!

Показать ответ и решение

Обозначим $x− a$ через $t$ . Заметим, что количество решений уравнения от такой замены не меняется. Тогда исходное уравнение приобретёт вид

t2 2 2 3 =at +a − 4a+ 4.

Заметим, что выражения в обеих частях не меняются при замене $t$ на $− t$ , поэтому нечётное число решений (в частности, ровно одно решение), это уравнение может иметь только если $t =0$ является его корнем:

0 2 3 = a⋅0+a − 4a+ 4,

т.е. $a2− 4a+ 3= 0$ , откуда $a= 3$ или $a= 1$ . Итак, кроме этих двух чисел, никакие другие значения параметра $a$ не могут удовлетворять условию.

Пусть $a = 1$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = t2+ 1$ . Заметим, что $3x > xln3+ 1$ при $x >0$ (что можно доказать, например, взяв производные обеих частей и учтя значение в нуле). Тогда при $t⁄= 0$ получаем $3t2 >$ $t2ln3 +1 >t2+ 1$ . Итак, при $a =1$ уравнение имеет единственное решение.

Пусть $a = 3$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = 3t2+ 1$ . Заметим, что $31 = 3,3⋅1+ 1= 4$ , но $322 = 81$ , $3⋅22+ 1= 13$ , т.е. при $t= 1$ левая часть меньше правой, а при $t= 2−$ наоборот. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет ещё хотя бы корень на интервале $(1,2)$ . Следовательно, $a= 3$ не удовлетворяет условию.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#64395Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ax2+ 4ax − 8y+ 6a+ 28 ≤0 ay2− 6ay − 8x+ 11a − 12≤ 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ДВИ - 2018, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратичные функции. И первое что хочется сделать это как-то их собрать: давайте выделим всюду полные квадраты и посмотрим на получившиеся выражения. Кажется, напрашивается двойная замена!

Подсказка 2

Посмотрите на наши новые неравенства, не получится ли тут какая-нибудь интересная симметрия? Тогда в каком случае решение может быть единственным?

Подсказка 3

Остаётся исследовать квадратный трёхчлен: в каком случае неравенство вида f(x) ≤ 0 имеет единственное решение, если f(x) — квадратичная функция? Не забудьте сделать проверку полученных точек!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты и перепишем систему в следующем виде

{ a(x+ 2)2− 8(y− 3)+2a +4≤ 0 a(y− 3)2− 8(x+ 2)+2a +4≤ 0

После замены $u =x +2,v = y− 3$ задача остаётся прежней — определить, при каких значениях параметра существует единственное решение $(u,v)$ . Если $a≤ 0$ , то при достаточно больших $(u,v)$ оба неравенства будут выполнены, то есть решений будет больше одного, поэтому $a> 0$ . Теперь остаётся увидеть симметрию $(u,v) ↔ (v,u)$ , поэтому для единственности решения необходимо, чтобы $u= v$ , откуда неравенство

2 au − 8u+ 2a+ 4≤0

имеет ровно одно решение. Этим решением должна быть вершина параболы, откуда $D = 16 − a(2a+4)= 0⇐ ⇒ a2 +2a− 8= 0$ . Решая, получаем $a∈ {− 4,2}$ , остаётся только $a= 2> 0$ . Поскольку мы использовали только необходимое условие единственности, то потребуется проверка

{ 2u2− 8v +8 ≤0 2 2 2v2− 8u +8 ≤0 =⇒ (u − 2) +(v− 2) ≤0

Получаем единственное решение $(2,2)$ , значит, $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#34672Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ y− a2+ 5(a− 1)=(a2− 5a+ 6)(x− 3)6+ ∘ (x-− 3)2; x2+ y2 = 2(3x− 4)

имеет ровно одно решение.

Источники: ПВГ-2014, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что первое уравнение системы симметрично относительно t = x - 3, но что будет, если внести эту замену и во второе уравнение? Что в этой ситуации можно сказать о решениях системы и о том, когда их количество может быть нечётным?

Подсказка 2

Итак, подстановкой подходящего значения t мы можем вычислить возможные а, но все ли эти значения дадут ровно одно решение?

Подсказка 3

Для некоторых найденных значений можно сделать удачную оценку на у, гарантирующую однозначность решения, для других же попробуйте подобрать несколько пар решений!

Показать ответ и решение

При замене $t= x− 3$ система превращается в (при этом количество решений после линейной взаимнооднозначной замены будет такое же):

{ y− (a2− 5a+5)= (a2− 5a+ 6)t6 +√t2; 2 2 t+ y = 1

Предположим, что $(t0;y0)$ является решением системы. Тогда $(−t0;y0)$ тоже подходит в систему. Если эти решения не совпадают, то у системы будет чётное число решений. Одно решение будет тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид $(0;y)$ . Тогда из второго уравнения должно быть $y2 = 1$ , а из первого $y − (a2− 5a+ 5)= 0$ . Получаем, что для наличия одно решения необходимо $a2− 5a+ 5=±1$ . Проверим, есть ли другие решения при этих значениях $a$ :

При $2 a − 5a +5= 1$ получим
${ √-- y− 1 =2t6+ t2 t2+ y2 = 1$
Из первого уравнения $y− 1≥ 0$ , а из второго уравнения $y ≤ 1$ , поэтому решением будет только $y = 1,t=0$ .
При $a2− 5a +5= −1$ получим
${ y+ 1= √t2- t2+ y2 = 1$
Помимо решения $(0,−1)$ имеются также пары $(−1,0)$ или $(1,0)$ , так что решений уже больше одного.

Таким образом, подойдёт только $a2− 5a+ 5= 1$ , то есть $a= 1$ или $a =4$ .

Ответ:

${1;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#91245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

(x+1)2- (x2 − 1) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos--2x-

имеет единственное решение.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти симметрию в данном уравнении.

Подсказка 2

Можем ли мы заменить x на 1/x?

Подсказка 3

Воспользуйтесь симметрией косинуса.

Подсказка 4

Корню x соответствует корень 1/x. Тогда, чтобы решение было единственным, каким должен быть x?

Подсказка 5

Не забудьте подставить для проверки найденные a.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= 0$ . Поэтому можем вместо $x$ подставить $1 x$ :

(1+1x)2 ( ( )2 ) 21+(1x)2 +a2− 4= 2acos -1x--− 1 2 ⋅ 1x

Домножив в обеих дробях и числитель, и знаменатель на $2 x$ , получаем:

(x+1)2- ( 2) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos 1-− x 2x

Но это ровно наше исходное уравнение, так как для косинуса верно, что $cos(α)= cos(−α)$

Значит, у нас есть симметрия: если есть корень $x0$ , то есть и корень $-1 x0$ . Тогда единственный корень при $x0 = 1- x0$ , то есть $x0 = ±1$ .

1.

$x =1$

22 +a2− 4= 2a

[ a= 0 a= 2

2.

$x =− 1$

0 2 2 +a − 4= 2a

a2− 2a − 3= 0

[ a= −1 a= 3

Мы получили 4 подозрительных значения для $a$ , осталось проверить каждое из них:

1.

$a =0$

(x+21)2- 2x +1 − 4 =0

2 (x+2-1)- =2 x +1

x2− 2x +1 =0

Получаем единственное решение $x =1$ . Значит, $a =0$ подходит.

2.

$a =2$

(x+12)2 ( x2− 1) 2 x+1 = 4cos -2x--

При $x= −1$ левая функция равна $20$ , а правая $4$ . И если мы найдём ещё один отрицательный $x$ такой, что значение левой функции будет больше, чем значение правой, то из их непрерывности (во всех точках кроме $0$ ) будет следовать, что уравнение имеет ещё один корень. Подберём такое значение. Пусть $x2−1 π 2x = 2$ , отрицательный корень этого уравнения - $π− √π2+4 x = ---2---$ . При подстановке его в уравнение правая функция будет точно положительной, а левая равна $0$ , как мы и искали.

Значит, $a =2$ не подходит.

3.

$a =− 1$

(x+1)2 ( 2 ) 2 x2+1 − 3= −2cos x2−x-1

Будем доказывать аналогичным способом, что и в предыдущем случае. При $x =− 1$ получаем $22 − 3> −2$ . Найдём такой $x$ , что значение правой функции меньше значения левой. Хотим $x2−1 2x = π$ . При $2π+√4π2+4- x= 2$ выполняется желаемое.

4.

$a =3$

( ) 2(xx+21+)21-+5 =6cos x2−-1 2x

Правая часть всегда $≥ 6$ , а левая $≤6$ . Тогда равенство выполняется, только при $(x+1)2 ( ) 2 x2+1 + 5= 6cos x22−x1 = 6$ . Выражая $x$ из $(x+21)2- 2 x+1 +5 =6$ , получаем единственный корень $x =− 1$ . Значит, $a= 3$ подходит.

Ответ: 0; 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#79185Максимум баллов за задание: 7

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#47921Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

||2x-− 1|| |x|+ ||3x − 2||= a

имеет ровно три решения?

Источники: Вступительные на химический факультет МГУ, 2005 год, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для понимания происходящего в этой задаче попробуйте рассмотреть, на какие области эта функция делит плоскость!

Подсказка 2!

Да, это: x∈ (−∞,0) x ∈[0,1/2) x ∈[1/2,2/3) x ∈(2/3,+∞). Тогда проанализируем поведение функции на наших промежутках (Попробуйте понять монотонность, используя производную)

Подсказка 3!

Нам надо понять, когда наша функция пересекает прямую g(x) = a всего один раз! Для этого можно схематично изобразить функцию 9Так как перед этим вы ее проанализировали) и понять, какие точки - точки экстремума (в иных точках у нес будет 2 пересечения минимум)

Подсказка 4!

Альтернативная подсказка: Так как у вас в задаче просят нечетное число решений, попробуйте найти симметрию. То есть пусть х решение, тогда (какая-то дробь) будет тоже являться решением! Поразительно дробь похожа на само уравнение.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разделим всю плоскость на промежутки по нулям модуля, обозначив $|2x−-1|- f(x)=|x|+ |3x− 2|$ .


Промежуток	$x∈ (−∞,0)$	$x ∈[0,12)$	$x ∈[12,23)$	$x ∈(23,+∞)$

Функция $f$ на нём	$− x+ 23xx−−12$	$x + 23xx−−12$	$x− 2x3x−−12-$	$x + 23xx−−12$

Производная $f′$	$− 1− (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$	$1+ (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$

Нули производной	всюду $<0$	$13$	всюду $> 0$	$1$

Поведение функции	убывает	выпукла	возрастает	вогнута

Область значений	$(1,+∞ ) 2$	$[1,2) 2 3$	$[1,+ ∞) 2$	$[2,+∞ )$

Итак, монотонная функция на своей области значений будет иметь ровно одну общую точку с любой горизонтальной прямой $g(x)=a$ , тогда как выпуклая или вогнутая — две точки, кроме точки экстремума, в которой общая точка будет ровно одна.

Используя полученные области значений, можно изобразить функции схематично или вручную пройти по всем границам промежутков... мы используем первый способ:

$PIC$

Нетрудно видеть, что интересующие нас значения $a∈{ 23,2}$ .

Второе решение.

В условии требуется нечётное число решений, так что хочется найти симметрию. Обозначим $f(x)= 23xx−−12$ . Внезапно заметим, что

f(f(x))= 223xx−−12 −-1=-2(2x−-1)− (3x−-2)-= 4x−-2−-3x-+2 =x 323xx−−12 − 2 3(2x− 1)− 2(3x− 2) 6x− 3− 6x +4

Поэтому если у уравнения существует решение $x =x0$ , то $x = 23xx00−−12$ тоже решение. Если для каждого такого $x0$ нет совпадений в паре $(x,f(x))$ , то решений чётное число. Так что для наличия трёх решений необходимо, чтобы среди них было такое $x =t$ , что $t= 23t−t−-12 =⇒ 3t2− 2t− 2t+1= 0 ⇐⇒ t∈ {1;13}.$

При $x =1$ получаем $a= 2$ , при $x = 13$ получаем $a= 23$ . При других значениях параметра ровно трёх решений быть не может.

Осталось проверить, что эти значения параметра подходят...

Интересный факт. Такая симметрия $x <− > f(x)$ сработала, потому что квадрат матрицы

( ) 2 −1 3 −2

равен

(1 0) 0 1

единичной матрице.

Ответ:

${2,2} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#105473Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ 3⋅2|x|+ 5|x|+4= 3y+ 5x2+3a 2 2 x + y = 1

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1987 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на систему и подумаем, что мы можем сделать, когда нам нужно единственное решение? Правильно, ищем симметрии в задаче, чтобы добыть из одного известного решения ещё какие-нибудь!

Подсказка 2

Если x=t корень, то и x=-t тоже корень, ведь уравнения чётны относительно х. Каким тогда должен быть единственный х?

Подсказка 3

Отлично, х=0 — это единственное решение! Осталось записать систему на а и у!

Подсказка 4

После постановки x=0 можно найти лишь два значения a, и в каждом случае несложно проверить существование других решений!

Показать ответ и решение

Если $x =t$ является решением при каком-то $y$ , то решением при том же $y$ также является и $x= −t,$ так что решений чётное количество, если среди решений нет $x= 0.$