Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .02 Алгебра. Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77847

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x3+ax2+ 56x− 64 =0$ составляют геометрическую прогрессию?

Показать ответ и решение

Если корни $b,bq,bq2,$ то по теореме Виета

( b(1+ q+ q2)= −a |{ 2 2 |( bq(313+ q+q )= 56 −b q =− 64 ⇒ bq =4

Из первых двух уравнений получаем $bq =− 56, a$ но

56 bq =4 ⇒ −a = 4⇒ a =− 14

Осталось проверить значение параметра $a =− 14 :$

x3− 14x2+ 56x− 64 =0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 4)(x− 8)= 0

Т.е. корни уравнения это $x= 2, x= 4, x= 8,$ которые, действительно, образуют геометрическую прогрессию.

Ответ:

$− 14$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85236

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (a− 3)x − 2ax+ 5a= 0

имеет решения и все решения этого уравнения положительные.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратного типа и вырождается в линейное при $a= 3.$ Рассмотрим этот случай отдельно. Тогда уравнение примет вид

−2x+ 5= 0,

откуда $x =2,5> 0,$ следовательно, данное значение $a$ нам подходит.

Пусть $a ⁄= 3.$ Тогда уравнение квадратное и дискриминант

D = 4a2− 20a(a − 3)≥ 0,

откуда $a∈ [0;3,75].$

Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были положительны, необходимо, чтобы их сумма и произведение были положительны. Следовательно, по теореме Виета:

( || -2a-> 0 { a− 3 ||( -5a-> 0 a− 3 a∈ (−∞; 0)∪ (3;+ ∞ )

С учетом положительности дискриминанта получаем

a∈ (3;3,75]

В ответе не забудем рассмотренный ранее случай $a= 3.$

Ответ:

$a ∈[3;3,75]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89612

Найдите все значения $a$ , при которых сумма квадратов корней уравнения

2 x − ax+ a+ 7= 0

равна $10$ .

Показать ответ и решение

Запишем теорему Виета для данного уравнения:

{ x + x = a x1x =2a+ 7 1 2

Выразим $x2+x2 1 2$ через $x1+ x2$ и $x1x2$ .

x2+x2= (x +x )2− 2x x = a2− 2(a+ 7)=a2− 2a− 14 1 2 1 2 1 2

По условию сумма квадратов корней равна $10,$ тогда запишем уравнение для $a$

a2− 2a − 14= 10⇒ a2− 2a− 24= 0

Решая последнее уравнение, получаем:

[ a =− 4 a =6

Проверим, что при найденных значениях корни действительно существуют.

(a) $a= −4:$

[ x2+ 4x+ 3=0 ⇒ x= −1 ⇒ x2+ x2= 10 — верно x= −3 1 2

(b) $a= 6:$

x2 − 6x+ 13= 0 ⇒ D < 0 ⇒ a = 6 не подходит

Ответ:

$a =− 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90316

Определите все значения параметра $a$ , при каждом из которых три различных корня уравнения

3 ( 2 ) 2 x + a − 9ax + 8ax− 64 =0

образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Показать ответ и решение

Если корни $b,bq,bq2$ существуют, то по теореме Виета должно выполняться

(| b+ bq +bq2 = 9a − a2 |||{ | b2q +b2q2+b2q3 =8a |||( b3q3 =64

(|| b+ bq+bq2 = 9a− a2 ||{ || bq(b+ bq+bq2)=8a ||( bq = 4

Подставим первое и третье равенство во второе, получим необходимое условие на $a :$

4(9a− a2)=8a

a2− 7a= 0

[ a= 0 a= 7

Сделаем проверку, подставив найденные значения $a$ в условия и найдя корни полученных многочленов

$a =0$
$x3− 64= 0$

$x= 4$
Получаем единственный корень, значит, $a= 0$ не подходит.
$a =7$
$x3− 14x2+56x− 64= 0$

$(x− 2)(x− 4)(x− 8)= 0$
Получаем три корня, значит, $a= 7$ подходит.

Ответ:

$a =7$ , корни уравнения $2;4;8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97391

Найдите все значения параметра $a,$ при которых сумма квадратов корней уравнения $x2+ ax− 2$ равна $12.$

Показать ответ и решение

Пусть $x 1$ и $x 2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета $x +x = −a 1 2$ и $x x = −2. 1 2$ Распишем сумму квадратов корней уравнения:

2 2 2 2 x1+x2 =(x1+ x2) − 2x1x2 = a + 4= 12

Отсюда $a2 = 8,$ то есть $a =− 2√2-$ или $a =2√2.$

Ответ:

$±2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97392

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (a− 3)x − 2ax+ 5a= 0

имеет решения и все решения этого уравнения положительные.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратного типа и вырождается в линейное при $a =3.$ Рассмотрим этот случай отдельно. Тогда уравнение примет вид

−2x+ 5= 0,

откуда $x =2,5 >0,$ следовательно, данное значение $a$ нам подходит.

Пусть $a⁄= 3.$ Тогда уравнение квадратное и дискриминант

2 D = 4a − 20a(a− 3)≥ 0,

откуда $a∈ [0;3,75].$

(|| -2a-> 0 { a− 3 ||( -5a-> 0 a− 3 a ∈(−∞; 0)∪ (3;+∞ )

С учетом положительности дискриминанта получаем

a ∈(3;3,75]

В ответе не забудем рассмотренный ранее случай $a= 3.$

Ответ:

$[3; 3,75]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99230

Точку случайно бросают на отрезок $[6;11]$ и пусть $k$ — получившееся значение. Найти вероятность, что корни уравнения

( 2 ) 2 k − 2k − 15 x +(3k− 7)x+ 2= 0

удовлетворяют условию $x ≤ 2x. 1 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ x +x =--7−3k- 1 2 k2−22k−15 x1⋅x2 = k2−2k−15

Найдём значение $k$ при условии, что $x =2x 1 2$ , а затем воспользуемся методом интервалов:

{ 3x = -7−3k--, 22 k2−2k2−15 2x2 = k2−2k−15

({ x2 = --7−3k--, ( 2 3(k2−12k−15) x2 = k2−2k−15

(7− 3k)2 1 9(k2−-2k−-15)2 = k2−-2k−-15

Так как $k2− 2k− 15 >0$ для $k∈ (−∞;−3)∪ (5;+∞ )$ , умножив обе части равенства на квадрат этого выражения, получим

(7− 3k)2 2 2 2 23 ---9--- =k − 2k− 15⇔ 9k − 42k+ 49= 9k − 18k− 135⇔ 24k= 184⇔ k= -3 .

Изобразим на числовой оси полученное значение $k$ , и проверим, какая часть оси удовлетворяет условию $x1− 2x2 ≤ 0.$

Значит, условие $x1 ≤ 2x2$ выполняется для $23 k≤ -3$ . Тогда $23−6 1 P = 311−6-= 3.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31152

При каких значениях $a$ сумма квадратов двух различных корней уравнения

2 x − 4ax +5a= 0

равна $6$ ?

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = 4a 1 2$ и $x x = 5a 1 2$ . Значит,

2 2 2 2 6 =x1+ x2 = (x1+x2) − 2x1x2 = 16a − 10a

2 2 16a − 10a− 6= 2(8a − 5a− 3)= 2(a − 1)(8a+ 3)= 0.

Проверим, что $a= 1$ и $a= − 3 8$ подходят. Проблема может быть в том, что когда мы подставим одно из этих значений, у нашего уравнения не будет двух различных корней.

(а) Если $a =1$ , то уравнение $x2− 4x+ 5= 0$ не имеет корней, так как дискриминант равен $16− 20= −4$ .

(б) Если $a =− 3 8$ , то уравнение $x2− 3x− 15= 0 2 8$ будет иметь 2 различных корня, так как дискриминант равен $(3)2 + 15 >0 2 2$ . Дальше можно было бы посчитать корни или применить обратную теорему Виета.

2 2 2 2 x1 +x2 = (x1+x2) − 2x1x2 = 16a − 10a= 6

Последнее равенство верно, так как $a$ является корнем уравнения $16a2− 10a =6$ .

Ответ:

$− 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31155

При каких значениях $a$ сумма квадратов различных корней уравнения $x2− ax+a +1 =0$ больше $1$ ?

Показать ответ и решение

В этой задаче мы хотим двух вещей: чтобы у уравнения были два различных корня и чтобы сумма их квадратов была больше единицы.

Первое условие равносильно тому, что дискриминант $2 2 2 √ - √- a − 4(a+ 1) =a − 4a− 4= (a− 2) − 8= (a− 2− 2 2)(a+ 2− 2 2)$ должен быть больше нуля.

Значит $√- √- a ∈(−∞,2 − 2 2)∪ (2+ 2 2,+∞ )$ .

Теперь рассмотрим сумму квадратов корней. Она равна

x21 +x22 = (x1+x2)2− 2x1x2 = a2− 2(a+ 1)=a2− 2a− 2= (a− 1)2 − 3.

Значит условие $2 2 x1+x2 > 1$ равносильно (если корни есть) условию $2 (a − 1) > 4$ или $a ∈(−∞,− 1)∪ (3,+∞ )$ .

Осталось пересечь две получившихся области и получить

√ - a ∈(−∞,− 1)∪(2+2 2,+∞ )

Ответ:

$(−∞,− 1)∪(2+2√2,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#39788

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых корни $x,x 1 2$ уравнения $x2+ax+ 1= 0$ существуют и удовлетворяют условию

( x1)2 ( x2)2 5 x2 + x1 < 2.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решения существуют, если дискриминант $2 a − 4$ неотрицателен, то есть $|a|≥ 2$ .

По теореме Виета $x1+ x2 = −a$ и $x1x2 = 1$

( x )2 ( x )2 x4+ x4 1x2- + x21 = (1x1x2)22 = (x1+x2)4− 4x1x32− 6x21x22− 4x31x2 =

=(−a)4− 4x22− 6x1x2 − 4x21 = a4− 4(x1+ x2)2+ 2x1x2 = a4− 4a2 +2< 5 2

Значит, нужно решить неравенство $2a4− 8a2 − 1 <0$ . Получаем $a2 < 2+ 3√ 2$ . Значит $a∈ (−∘2-+-√3,∘2-+√3-) 2 2$ . Осталось пересечь с условием $|a|≥2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Можно заметить, что если $(x1)2 = t x2$ , то нам было дано условие $t+ 1< 5 t 2$ . Оно выполняется при $t∈ (1,2) 2$ . Тогда $∘ x1----- 4√- x1 = x2(x1x2)= ± t$ ( $x1x2 = 1$ ).

Отсюда $√- a= 4t+ √14t-$ или $√- a= − 4t− 14√t$ . Заметим, что в первом случае $√- f(t)= t+ 1√t$ возрастает при $t> 1$ , убывает при $t∈ (0,1]$ и непрерывная. $∘ ------ f(12)= f(2)= 2+ 3√2$ и $f(1)= 2$ . Значит, при $t∈ (12,2)$ в первом случае $a∈ [2,214 +2− 14)$ . Аналогично во втором случае $a∈ (−(214 + 2− 14),− 2]$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Числа $∘---√3- 2+ 2$ и $14 − 14 2 +2$ равны, потому что

3 1 − 1 1 − 1 2+ √2-=22 +2 2 +2 ⋅24 ⋅2 4,

так как $1 1 √32 = √12-+ 2√2 = 22 + 2−2,$ а $1 1 2 =2 ⋅24 ⋅2− 4.$

Ответ:

$(− 4√2− -1√-;− 2] ∪[2;√ 42-+ √1) 42 42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#71527

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 log2x +(a− 6)log2 x+9 − 3a= 0

имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?

Источники: ОММО-2022, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $t= log x, 2$ тогда уравнение принимает вид

2 t+ (a− 6)t+ (9− 3a)=0

Заметим, что

3⋅(3− a)= 9− 3a,3+ (3− a)= 6− a

Отсюда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения $− 3$ и $3− a.$ Делаем обратную замену:

[ log2x= 3 [ x= 8 log2x= 3− a ⇒ x= 23−a

Получаем два случая:

[ [ 8 =4⋅23−a ⇒ a= 2 23−a = 4⋅8 a= −2

Ответ:

${−2;2}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#77781

Числа $a,b,c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x2+ bx+a =0$ и $x2+ cx+ a= 1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $− 1.$ Найдите наименьшее значение $a.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно $a$ , произведение корней второго уравнения равно $a− 1$ . Ввиду того, что корни целые и меньше $− 1$ , их произведение больше $1$ , поэтому каждое из двух последовательных чисел $a − 1$ и $a$ является произведением двух различных целых чисел, больших $1$ (откуда $a> 1$ ).

Заметим, что $a$ и $a− 1$ не могут быть простыми числами, иначе один из корней — $1$ . Они так же не могут быть квадратами простых чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны $√- a$ , либо один из них равен $1.$

Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся $6,8,10,12,14,15.$ Из них мы можем взять в качестве $a$ только число 15, так как в оставшихся случаях $a− 1$ будет вычеркнуто. Тогда

x2+bx+ a= (x+ 3)(x+ 5)= x2+ 8x+ 15

2 2 x + cx+ a− 1=(x+ 2)(x+ 7)= x +9x+ 14

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73596

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x3− 11x2+ ax− 8 =0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Источники: ОММО-2020, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть мы нашли такой $a$ , что он подходит, и у нас есть $3$ корня. Тогда можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения:

( |{ x1 +x2+ x3 = 11 |( x1x2+ x2x3 +x1x3 = a x1x2x3 = 8.

Не умаляя общности, $x1 < x2 < x3$ . По условию корни образуют геометрическую прогрессию, это значит, что найдутся такие $b,q ⁄= 0$ , что $x = b 1$ , $x = bq 2$ , $x = bq2. 3$ Тогда из $xx x = 8 1 2 3$ получаем, что $b3q3 =8$ , откуда $bq = x =2. 2$ Выразим $x 1$ и $x 3$ при $x = 2 2$ : $x = 2 1 q$ , $x = 2q. 3$

Подставим $x = 2 1 q$ , $x = 2q 3$ в первое уравнение:

2 q + 2+ 2q =11,

2(1q +1+ q)= 11, (∗)

2 2q − 9q+2 =0.

Решим квадратное уравнение $2q2− 9q +2= 0.$ $D = 92 − 4⋅2⋅2> 0,$ это значит, что $q,x1,x2,x3$ найдутся. Найдём $a$ :

a= xx + x x +x x = x xx ( 1-+ 1-+-1)= 1 2 2 3 1 3 1 23 x1 x2 x2

q 1 1 1 11 = 8⋅(2 + 2 + 2q)= 4(q+ 1+ q)= 4⋅2-= 22.

Воспользовались $(∗)$ в предпоследнем действии.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#105072

Наудачу выбирают число $a$ из $[−6;6].$ Определите вероятность того, что уравнение

2 2 x − 2(a+ 1)x+ a − 9= 0

имеет два отрицательных корня.

Источники: Газпром - 2020, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Найдем возможные значения параметра $a$ , при котором уравнение $x2 − 2(a+1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня из решения системы неравенств:

( 2 2 |{ 4(a2 +1) − 4(a − 9)> 0, |( a − 9>0, 2(a +1)< 0;

(| 8a+ 40> 0, { (a− 3)(a+ 3)>0, |( a +1 <0;

(|{ a> −5, (a− 3)(a+3)> 0,a∈[−5;−3] |( a< −1;

Вероятность того, что уравнение $x2 − 2(a+ 1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня, равна отношению длины промежутка $[−5;− 3]$ к длине промежутка $[−6;6],$ т.е. вероятность равна $16.$

Ответ:

$1 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#51859

Уравнение $x2+ax+ 5= 0$ имеет два различных корня $x 1$ и $x; 2$ при этом

2 250- 2 -250- x1+ 19x32 =x2+ 19x31.

Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: Физтех-2018, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы получить два различных корня, дискриминант $D = a2− 20$ должен быть положителен, то есть $a2 > 20$ . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда $x1+ x2 = −a,x1x2 = 5$ . Теперь преобразуем равенство в условии