Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .01 Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#133610Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $p,$ при которых уравнение

5 3 25x − 25(p− 1)x +4(p+ 5)x= 0

имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Показать ответ и решение

Для начала вынесем общий множитель $x:$

4 2 x(25x − 25(p − 1)x +4(p+ 5))= 0

Теперь можем заметить, что $x= 0$ является решением для любого значения параметра $p.$ Тогда можем перейти к рассмотрению второго множителя:

4 2 25x − 25(p− 1)x + 4(p +5)= 0

В соответствии с условием нам нужно, чтобы здесь было 4 различных корня. Выразим их, рассматривая выражение как квадратное относительно $x2 :$

D = 625(p2 − 2p+ 1)− 400(p+ 5)= 25(25(p2− 2p+1)− 16(p+ 5))

∘ -------------------- 2 5(p−-1)−--(25(p2−-2p-+1)−-16(p+-5)- x1 = 10

∘ -------------------- x22 = 5(p−-1)+-(25(p2−-2p-+1)−-16(p+-5)- 10

Здесь заметим, что, чтобы относительно $x$ существовало 4 корня, необходимо, чтобы каждый из $x2 1$ и $x2 2$ был больше 0. То есть, нам необходимо, чтобы:

5(p−-1)−-∘-(25(p2−-2p+-1)− 16(p-+5) 10 > 0

∘ -------------------- 5(p− 1)− (25(p2− 2p+ 1)− 16(p +5)> 0

∘-------------------- 5(p− 1)> (25(p2− 2p +1)− 16(p+ 5)

Упорядочим корни и учтем условие на то, что они образуют арифметическую прогрессию:

∘ --------∘----2---------------- x1 = − 5(p− 1)−-(25(p-−-2p+-1)−-16(p+-5) 10

∘ ------------------------------ 5(p− 1)+ ∘(25(p2−-2p+-1)−-16(p+-5) x2 = − --------------10--------------

x3 = 0

∘--------∘--------------------- x4 = 5(p−-1)−--(25(p2− 2p+-1)− 16(p+5) 10

∘--------∘--------------------- x5 = 5(p−-1)+--(25(p2− 2p+-1)− 16(p+5) 10

Пользуясь тем, что $x4 − x3 = d,$ получаем, что $d= x4− 0= x4.$ Тогда верно, что:

x5− x4 = d

x − x =x 5 4 4

x5 = 2x4

∘--------∘--------------------- ∘ -------∘---------------------- 5(p−-1)+--(25(p2-− 2p+-1)− 16(p+5)= 2 5(p−-1)−-(25(p2−-2p-+1)−-16(p+-5)- 10 10

∘ -------------------- ∘-------------------- 5(p−-1)+--(25(p2-− 2p+-1)− 16(p+5)= 45(p− 1)−-(25(p2−-2p+-1)−-16(p+-5) 10 10

15(p−-1)−-5∘(25(p2−-2p+-1)−-16(p+-5) 10 = 0

∘-------------------- 3(p− 1)= (25(p2− 2p +1)− 16(p+ 5)

Отсюда получаем два возможных значения $p:$ $− 1$ и $4,$ однако замечаем, что $p= −1$ не подходит в силу условия на $2 x1 > 0.$ Тогда в ответ идет только $p= 4.$

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#84104Максимум баллов за задание: 7

Даны высказывания:

A := число x является реш ением неравенства x− 1< 0, 2 B := число x является реш ением неравенства x − 1< 0.

Являются ли эти высказывания эквивалентными? Какое из них является необходимым условием для другого (а какое — достаточным)? Какое из этих неравенств естественно считать следствием другого неравенства?

Показать ответ и решение

Так как неравенство из утверждения $A$ имеет множество решений $(−∞; 1),$ а неравенство из утверждения $B$ имеет множество решений $(−1;1),$ и эти множества не совпадают, то неравенства не эквивалентны.

Так как $(−1;1)⊂ (−∞;1),$ то из $B$ следует $A$ (то есть для любого $x,$ удовлетворяющего $B,$ верно $A;$ заметим, что наоборот это неверно).

Ответ:

неэквивалентны, из $B$ следует $A.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84105Максимум баллов за задание: 7

Даны три утверждения:

(a) уравнение $x +x1= a$ не имеет корней;

(b) справедливо равенство $√--------- a2− 4a+ 4= 2− a;$

При каких $a$ два из утверждений (a)–(c) истинны, а одно ложно?

Показать ответ и решение

Найдём сначала подходящие значения $a$ для каждого утверждения по отдельности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(a) Пусть $x ⁄=0,$ тогда

x2− ax +1 =0

Заметим, что $x= 0$ точно не является корнем данного уравнения, поэтому проверка после нахождения корней не нужна. Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант отрицателен, тогда

D = a2 − 4< 0

a∈(−2;2)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Выделим полный квадрат в подкоренной выражении

∘ ------ (a− 2)2 =2 − a

|a− 2|= 2− a

Значит, нужно, чтобы модуль либо был равен 0, либо раскрылся со знаком минус. Это происходит в случае

a− 2≤ 0

a ∈(−∞;2]

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(c) Заметим, что $(−y)2 = y2$ и $sin2(−y)= sin2(y).$ Значит, если $(x0,y0)$ является решением данной системы, тогда $(x0,−y0)$ тоже является решением. Следовательно, чтобы решение было единственно, то данные решения должны совпадать, а это возможно только, когда $y0 = 0.$ Подставим это значение в исходную систему

{ x= a =⇒ a= −3 x= −3

Теперь мы поняли, что все $a,$ кроме $a= −3,$ нам не подходят. Осталось сделать проверку для $a= −3.$

{ x+y2 = −3 x− sin2y =− 3

{ 2 x+ 3= −y2 x+ 3= sin y

Из первого уравнения видно, что $x+ 3≤ 0,$ а из второго видно, что $x +3 ≥0.$ Следовательно, $x =−3.$ Подставив $x$ в систему, получим $y = 0.$ Значит, $(3,0)$ будет единственным решением, т.е. $a= −3$ подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь отметим на числовой прямой, когда верно каждое из утверждений.

$PIC$

Видно, что под условия задачи подходят $a∈ {− 3} ∪(−2;2).$

Ответ:

${−3}∪ (− 2;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#84106Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(a,b)$ такие, что любая пара $(x,y)$ , удовлетворяющая уравнению

x y = a,

удовлетворяет уравнению

(x+y)2 = b.

Показать ответ и решение

Исходя из условий, нам нужно подобрать такие $(a,b),$ чтобы

x 2 y = a =⇒ (x +y) = b

Значит, при подходящих $(a,b)$ второе равенство в частности должно быть верно для точек $(a,1)$ и $(2a,2),$ т.к. они удовлетворяют первому равенству, подставив их, получим систему

{ (a+ 1)2 = b (2a+ 2)2 = b

{ 2 (a+ 1)=2 b 4(a+ 1) = b

Следовательно,

4b= b ⇐ ⇒ b =0

Подставив значение $b$ в первое уравнение системы, получим

(a+ 1)2 = 0

a= −1

Мы показали, что если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для $a= −1,b= 0.$ Проверим

x 2 y =− 1 =⇒ (x+ y) =0

Подходит. Значит, $(− 1,0)$ — ответ.

Ответ:

$(−1,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#84107Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых истинно утверждение:

(a) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x+ 6< 0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a$ ;

(b) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 4x≤ 0$ , достаточно, чтобы выполнялось неравенство $x2− (2a +1)x+ a2 +a <0$ .

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x2 − 7x+ 6= (x − 1)(x − 6),$ поэтому решения неравенства $x2 − 7x+ 6< 0$ — это $x∈ (1;6).$ Тогда $|x− 3|< a$ является необходимым условием, если его множество решений содержит $(1;6)$ (иначе найдутся такие $x,$ что неравенство $|x− 3|<a$ неверно, а условие $2 x − 7x+ 6< 0$ верно). Ясно, что $a> 0,$ иначе $|x− 3|< a$ не имеет решений. Возведем неравенство в квадрат:

(x − 3)2 < a2

Перенесем $a2$ влево и разложим по разности квадратов:

(x− 3− a)(x− 3+a)< 0

Тогда решения этого неравенства — это $x∈ (3− a;3+a),$ так как $a> 0.$ Так как это множество должно содержать $(1;6),$ то получаем систему неравенств:

{ 3 − a≤ 13+ a≥ 6

Решаем оба неравенства

{ a≥ 2a≥ 3

Решения этой системы: $a ∈[3;+ ∞)$

(b) Так как $2 x − 4x= x(x − 4),$ то неравенство $2 x − 4x≤ 0$ имеет множество решений $[0;4].$

Условие $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ является достаточным для $2 x − 4x≤ 0,$ если его множество решений содержится в множестве $[0;4].$

Заметим, что

x2− (2a +1)x+ a2 +a =x2− (a+(a+ 1))x+ a(a +1)

Тогда по теореме Виета корни этого квадратного трехчлена $x1 = a$ и $x2 =a +1.$ Тогда решения неравенства $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ — это $x∈ (a;a+ 1).$ Так как это множество должно содержаться в $[0;4]$ имеем систему

{ a≥ 0a+1 ≤4

Тогда получаем $0≤ a≤ 3,$ то есть $a ∈[0;3].$

Ответ:

(a) $a∈ [3;+∞ );$

(b) $a∈[0;3].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#84109Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ уравнение

7 2 2sin x= (1 +sinπa)sinx +asinx

равносильно уравнению

( 2 ) 6 2 3 (a− 1) 1+ cos x + 2sin x= 2sin x+ 2(a− 1)?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы все корни одного уравнения являлись и корнями другого. Можем ли мы сразу сказать, какой х точно должен быть корнем обоих уравнений?

Подсказка 2

Так как х = 0 – корень первого уравнения, то он должен быть и корнем второго, определим, при каких значениях а это будет верно. Таким образом мы нашли кандидатов, остается только проверить каждый из них

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ является корнем первого уравнения, следовательно, при нужных значениях $a$ он будет корнем и второго уравнения. Подставив $x= 0$ во второе уравнение, получим

3 (a− 1)(1+ 1)+0= 0+ 2(a − 1)

3 (a− 1)= (a− 1)

⌊ a= 1 |⌈ a= 0 a= 2

Значит, если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для данных значений $a.$ Сделаем проверку, подставив их.

Пусть $a= 1,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x = sinx+ sin2x

А второе —

2sin6x = 2sin2x

Заметим, что $π x= − 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

2⋅(−1)7 = −1+ (−1)2

−2= 0

$x= − π 2$ не является корнем первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 0,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x =sinx

А второе —

2 6 2 −1− cos x+ 2sin x =2sin x − 2

2sin6x= 1+ sin2x− 2+1

2sin6x= sin2x

Заметим, что $4∘-1 sinx = 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

( ∘--)7 ∘ -- 2 4 1 = 4 1 2 2

(∘ -)3 ∘ -- 4 1 = 41 2 2

$∘41- sinx= 2$ не является решением первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 2,$ тогда первое уравнение примет вид

7 2 2sin x= sinx +2sin x

А второе —

1+cos2 x+2sin6 x= 2sin2x+ 2

2sin6x= 2sin2x +1− cos2x

2sin6x = 3sin2x

При $sin x⁄= 0$ во втором уравнении можно поделить левую и правую часть на $sin2x,$ получим

4 2 sin x= 3

Но $sin x∈ [−1;1],$ поэтому левая часть не более 2, значит, она никак не может быть равна 3. Из этого понимаем, что решений, кроме $sinx= 0,$ быть не может.

Теперь рассмотрим первое уравнение. Докажем, что у него есть решение, отличное от $sinx= 0.$ При $sinx⁄= 0$ поделим левую и правую часть на $sin x$

2sin6x = 1+2sinx

Сделаем замену $sin x= t,$ где $t∈ [−1;1],$

2t6− 2t− 1 =0

Рассмотрим правую часть как функцию

f(t)= 2t6− 2t− 1

Она непрерывна, при этом $f(− 1) =2+ 2− 1= 3> 0$ и $f(0)= −1< 0,$ значит, на интервале $(−1,0)$ есть корень данной функции. Что и требовалось доказать.

Ответ: ни при каких

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#84369Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых из неравенства

2 x +a ≤0

следует неравенство

(x+ 2a)⋅√3-− x≤ 0

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поймём, что данное следствие реализуется, если множество решений первого неравенства полностью содержится в множестве решений второго. Посмотрим, как выглядят эти множества решений.

Решим второе неравенство

√---- (x+ 2a)⋅ 3 − x≤ 0

⌊ 3 − x =0 || ( |⌈ { 3− x> 0 ( x+ 2a ≤0

⌊ x =3 ||| ({ ⌈ x< 3 ( x≤ −2a

x ∈{3}∪(−∞, min(3,−2a)]

Теперь рассмотрим решение первого неравенства в зависимости от $a$

x2 ≤− a

При $a> 0: x∈ ∅.$ Видно, что

∅ ∈{3}∪(−∞, −2a]

Значит, $a> 0$ подходят.

При $a= 0: x= 0.$ Видно, что

{0}∈ {3} ∪(−∞,0]

Значит, $a= 0$ подходит.

При $[ √---√--] a< 0: x∈ − −a, −a .$ Посмотрим как должны располагаться множества на числовой прямой

$PIC$

Из этого понимаем, что нужные $a$ будут удовлетворять условию

√ --- −a≤ min(3,−2a)

( { √−a-≤3 ( √--- −a ≤− 2a

Решаем систему с учётом, что $a< 0,$ получаем

({ a ≥− 9 1 ( a ≤− 4

В итоге, объединив все случаи, получаем $a∈ [−9,−0,25]∪[0,+ ∞).$ _____________________________________________

Второе решение.

Введем плоскость $xOa$ . В ней решением неравенства при конкретном $a$ будет пересечение прямой $a= a0$ с областью, которая задается неравенством. То, что одно уравнение является следствием другого, означает, что пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым вторым неравенством, будет полностью содержать в себе пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым первым неравенством.

Неравенство $2 x + a≤ 0$ задает область "под параболой" $2 a =− x$ .

Неравенство $√ ---- (x+ 2a) 3− x ≤0$ представим в виде равносильной совокупности:

⌊ |( 3− x= 0 ||⌈{ 3− x >0 ( x+ 2a ≤0

Эта система на плоскости представляет собой вертикальную прямую $x= 3$ и область, лежащую "ниже"прямой $a= − x2$ и "левее"c $x = 3:$

$PIC$

Теперь проанализируем решения неравенств при каждом $a$ .

1 случай.) $a> 0$ .

При таких значениях $a$ первое неравенство не имеет решений. Значит, любое другое неравенство будет его следствием.

2 случай.) $a= 0$ .

Решением первого неравенство будет ${0}$ , а решением второго $(−∞;0]$ . Т.е. второе неравенство является следствием первого.

3 случай.) $0> a> −0.25$ .

Как мы видим из рисунка, существуют точки "внутри"параболы, которые не принадлежат области второго неравенства. Т.е. второе неравенство не будет следствием первого.

4 случай.) $− 0.25≥ a≥ −9$ .

При таких значениях $a$ все решения первого неравенство лежат внутри множества решений второго. Т.е. второе неравенство —- следствие первого.

5 случай.) $− 9> a$ .

При таких значеиях $a$ среди решений первого неравенства есть решения $> 3$ . Но у второго неравенства таких решений быть не может. Т.е. второе неравенство не является следствием первого.

Итого получаем $a∈ [− 9;−0.25]∪[0;+ ∞)$

Ответ:

$[−9;− 0,25]∪[0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31914Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ из неравенства $2x+ a< 2$ следует неравенство $x< −2$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, что значит фраза, что из одного неравенства следует другое?

Подсказка 2

Показать ответ и решение

По определению, неравенство Б является следствием неравенства А (или из неравенства А следует неравенство Б), если каждое решение неравенства А является также решением неравенства Б; иными словами, множество решений неравенства А содержится в множестве решений неравенства Б. По условию из $2−a x < 2$ следует $x< −2$ , тогда должно быть $2−a 2 ≤−2$ , так что $a ≥6$ . Случай равенства подходит, потому что тогда неравенства будут эквивалентны, так что естественно каждое из них является следствием другого.

Ответ:

$[6;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31915Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ неравенства $2x +a <3$ и $x − 4a< −1$ равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства называются равносильными тогда, когда множества их решений совпадают. Найдите множество решений каждого из неравенств!

Подсказка 2

Множества решений неравенств должны совпадать. Найдите такие а, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Напомним, что два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, равносильные неравенства являются следствиями друг друга. По условию $3−-a x < 2 ⇐⇒ x < 4a − 1$ , тогда $3−a 2 = 4a− 1$ , так что $a =5∕9$ .

Ответ:

$5∕9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31916Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ система

{ x+ ay = 2; 3x− 2y =6

имеет бесконечное множество решений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас у системы из двух линейных уравнений получается бесконечное число решений?

Подсказка 2

Да, когда одно из двух уравнений получается из второго умножением на какое-то число. У нас известны числовые коэффициенты перед х в обоих уравнениях, а значит, мы можем определить, на какое число нужно домножить уравнение!

Показать ответ и решение

Решений будет бесконечное число, если второе уравнение получается умножением первого на $3$ , то есть при $a =− 2∕3$ . Если же это не так, то в комбинации $3⋅(1)− (2)$ останется ненулевой коэффициент только перед $y$ , то есть $y = 0$ , а $x$ определяется однозначно, так что решение всего одно.

Ответ:

$− 2∕3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31917Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x +6 <0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a.$

Подсказки к задаче

Пояснение

1. для (1) достаточно (2) означает, что из (2) следует (1)
(1) <= (2)
второе является достаточным, но не факт, что необходимым

2. для (1) необходимо (2) означает, что из (1) следует (2)
(1) => (2)

3. а тут (2) это необходимое условие
поэтому всё-таки второе должно покрывать первое
то есть без второго первое никак не может быть правдой
второе необходимо для первого
если второе не покрывает первое, то оно не так необходимо, без него можно обойтись

Подсказка 1

Найдите множество решений каждого из неравенств! Множество решений второго уравнения будет зависеть от а, не пугайтесь, это нормально! И подумайте о том, что значит необходимость выполнения второго неравенства

Подсказка 2

Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Что тогда можно сказать про решения второго неравенства?

Подсказка 3

Верно, решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. Осталось лишь найти такие значения а, при которых это достигается!

Показать ответ и решение

Решением первого неравенства является $x∈ (1,6)$ . Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Тогда решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. У второго неравенства решением является либо точка при $a= 0$ , либо интервал $(3− a;3+a)$ при $a> 0$ , так что имеем условия $6≤ 3+ a$ и $3− a≤ 1$ , пересекая которые, получаем ответ: $a ≥3$ .

Ответ:

$[3,+∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31918Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $b$ уравнение

4 2 √ - √ - 2 √- bx +b + (2 + 2)b+ 2 2= b(b+ 2)+4x

имеет бесконечно много корней?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как должно выглядеть линейное уравнение, чтобы у него было бесконечно много решений?

Подсказка 2

Верно! Оно должно сводиться к виду 0х = 0. Найдите значения параметра, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Перед нами линейное уравнение относительно $x$ . У него бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно выглядит, как $0⋅x= 0$ , то есть

{ b4− 4= 0 2 √- √ - 2 √ - b + (2+ 2)b+2 2− b (b+ 2)= 0

{ b= ±√2 (b− 2)(b+ 1)(b+ √2)=0

b= −√2-

Ответ:

$− √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32516Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ и $b$ каждое решение уравнения $(x+y)2 = a x−y$ удовлетворяет уравнению $x= b y$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется подумать об ОДЗ, так как в обоих уравнениях есть знаменатели. Подойдёт ли нам пара (x, y), являющаяся решением первого уравнения, которая не входит в ОДЗ второго уравнения?

Подсказка 2

Нет, не подойдёт, потому что тогда не все решения первого уравнения являются решениями второго. Тогда рассмотрим отдельно случай y = 0, который не входит в ОДЗ второго уравнения, чтобы найти заведомо не подходящие значения a.

Подсказка 3

Теперь попробуем понять, что вообще нужно. Пусть у первого уравнения есть решения. Много ли вообще их может быть? Можно заметить, что и в числителе, и в знаменателе во все слагаемые переменные входят в первой степени, это напоминает однородные уравнения. С помощью этого замечания понимаем, что если (x, y) - решение, то (xt, yt) - тоже решение при ненулевом t. Тогда взяв t = 1/y, получим решение (x/y, 1). Что тогда можно заметить?

Подсказка 4

Что если относительно x/y у первого уравнения есть решение, то оно должно быть единственное, которое как раз и будет равняться b. В противном случае хотя бы одно из решений относительно x/y не будет равняться b. Тогда рассмотрим случай a ≥ 0 и поймём, когда уравнение имеет одно решение.

Подсказка 5

Осталось рассмотреть случай a < 0. Но при отрицательных значениях а первое уравнение из условия не имеет решений. Подходит ли этот случай, то есть содержатся ли элементы пустого множества решений в множестве решений второго уравнения? Осталось объединить все случаи и записать ответ!

Показать ответ и решение

Если $a <0$ , то решений у первого уравнения нет, поэтому каждое решение удовлетворяет второму уравнению при любом $b$ (про элементы пустого множества можно утверждать всё, что угодно, ведь их нет. Это пример того, что импликация из неверной предпосылки всегда истинна).

Если $a= 1,$ то у первого уравнения есть решение $x= 1,y =0$ , которое не удовлетворяет второму уравнению из-за того, что знаменатель обращается в ноль. Это значение параметра не подходит.

Теперь рассмотрим $a⁄= 1$ . Тогда $x +y ⁄=x − y ⇐⇒ y ⁄= 0$ . Ещё $x+ y ⁄= −(x − y) ⇐⇒ x⁄= 0$ . С учётом $y ⁄=0$ :

x +y 2y 2 x-− y =1 +x-− y = 1+ x−-1 y

Если $a= 0$ , то первое уравнение равносильно $y = −x⁄= 0,$ так что любое его решение удовлетворяет $xy = b$ при $b=− 1$ и только при нём.

Если $a> 0,a ⁄=1$ , то первое уравнение равносильно

1+ --2--=± √a ⇐⇒ x =1 + -√2---- xy − 1 y ± a− 1

Таким образом, при рассматриваемых значениях $a$ мы уже не сможем подобрать такое $b = xy$ , чтобы ему удовлетворяли все решения, ведь при каждом $a∈(0;+∞ )∖{1}$ получаются два различных значения для $b.$

Ответ:

$(a< 0,b ∈ℝ) или (a =0,b= −1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32518Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнения

2 sin3x= asinx +(4− 2|a|)sin x

sin3x+ cos2x= 1+ 2sinxcos2x

равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие на равносильность подразумевает, что если число является корнем одного, то оно является корнем другого. В первом уравнении есть параметр, а во втором его нет, поэтому имеет смысл начать решение именно с него. sin(3x), как и cos(2x), можно выразить через sin(x), попробуем сделать это и дорешать полученное второе уравнение.

Подсказка 2

Итак, получили sin(x) = 0 или sin(x) = 1/2. С учётом условия, можем подставить эти корни в первое уравнение, чтобы найти необходимое условие на параметр a, то есть найдём все a, которые могли бы подойти, другие точно не подойдут.

Подсказка 3

Подставив sin(x) = 1/2 получим условие |a| = a, то есть a ≥ 0. Значит, отрицательные a не подходят. Тогда можем раскрыть модуль и работать с полученным уравнением. Выразив sin(3x) через sin(x), останется многочлен от sin(x) третьей степени, однако два корня уже знаем: это 0 и 1/2. Тогда найдём третий корень.

Подсказка 4

Получаем третье условие: sin(x) = (a - 3)/2. Вспоминаем, что нам вообще нужно: корни второго подходят под первое уравнение, значит, осталось проверить только то, что корни первого подходят под второе. А значит, нужно найти такие a, при которых третье условие на синус либо совпадает с условиями из второго уравнения, либо даёт пустое множество иксов (а это равносильно тому, что (a - 3)/2 не попадает в область значений синуса).

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение

3 2 3 2 1 3sinx − 4sin x +1− 2sin x =1+ 2sinx − 4sin x ⇐⇒ sinx = 2sin x⇐⇒ sinx= 0,sin x= 2

Заметим, что с учётом $3 sin3x =3sinx− 4sin x$ первое уравнение является условием на многочлен от $sinx$ вида

4sin3x+ (4− 2|a|)sin2x+ (a − 3)sinx =0

Одним корнем будет $sinx= 0$ , а другим, лежащим на промежутке $[−1,1]$ должен быть $1 sinx= 2$ , то есть

1 1 a− 3 2 +(4− 2|a|)⋅4 + -2--= 0⇐⇒ 1+ 2− |a|+ a− 3 =0 ⇐⇒ a≥ 0

То есть мы можем вынести $( ) sinx sinx − 12$ и получить

( 1) sinx sin x− 2 (4sinx − 2a+ 6)=0

Последним решением будет $sinx = a−23$ , возможны два случая

Этот корень лежит на отрезке $[−1,1]$ , тогда он должен совпадать с $0$ или $12$ , откуда $a= 3$ или $a =4$ .
Корень лежит вне отрезка, то есть $a−23> 1⇐ ⇒ a> 5$ или $a−32-< −1⇐⇒ a < 1$ .

Ответ:

$[0;1)∪{3;4}∪(5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#43120Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $x$ , каждое из которых хотя бы при одном значении параметра $a$ удовлетворяет неравенству

x− (3+ 21−a2) ------------≥ 0. x2− 7x+ 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте лучше попробуем найти дополнение этих х. То есть такие точки, для которых при всех а это неравенство меньше 0.

Показать ответ и решение

Вместо этого будем искать такие $x$ , что при всех значениях $a$ неравенство не выполнено, то есть дробь отрицательна. Достаточно рассматривать значения выражение $1−a2 t=3 +2 ∈(3,5]$ , то есть при любом $t∈ (3,5]$ верно

x − t (x−-1)(x−-6) <0

Если знаменатель отрицателен, то есть $x ∈(1,6)$ , тогда числитель должен быть положителен (при любом $t$ ) и $x > 5$ . Если же знаменатель положителен, то из числителя $x≤ 3$ , то есть решения будут $x∈ (−∞,1)$ . Объединяя результаты, имеем $x∈ (− ∞,1)∪(5,6)$ , только при таких $x$ решений нет для любых значений параметра $a$ , то есть решения найдутся при $x ∈(1,5]∪(6,+∞ )$ (не забываем ОДЗ).

Ответ:

$(1,5]∪(6,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#120056Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки целочисленных параметров $a,b$ и $c$ , при каждой из которых система уравнений

{ ax+ 2y +cz = c; 3x+by+ 4z = 4b

не имеет решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм... А много ли случаев, когда система линейных уравнений может не иметь решений? Посмотрите внимательно на левые части каждого из уравнений. Чем они похожи?

Подсказка 2

Какое условие должно выполняться, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны, но при этом решений у системы нет?

Подсказка 3

Да! Пропорциональность для свободных членов не должна выполняться! Теперь запишем в систему все необходимые условия, которые мы получили. Помним, что все переменные целые. Какое замечание может свести задачу к разбору нескольких случаев?

Подсказка 4

Заметим, что 2/b — целое. Значит b — делитель двойки. Осталось только разобрать 4 случая и проверить, что они действительно подходят под все условия задачи!

Показать ответ и решение

Система двух линейных уравнений не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны друг другу, но при этом не пропорциональны свободным членам. Отметим также, что невозможен случай, когда коэффициенты при одной из переменных обращаются в ноль в обоих уравнениях. Вообще говоря, это существенное замечание. Например, система уравнений $x+ z = −7$ и $3x+3z =− 8$ не имеет решений. Получаем

a 2 c c 3 = b =4 ⁄= 4b

Из первого равенства следует, что $ab =6,$ а из второго — что $bc= 8.$ Так как числа $a, b$ и $c$ целые, отсюда следует, что число $b$ является делителем двойки. Таким образом, возможны четыре варианта

b= 1 ⇒ a= 6, c= 8 b= −1 ⇒ a =− 6, c= −8 b= −2 ⇒ a =− 3, c= −4 b= 2 ⇒ a= 3, c= 4

Из них подходят все, кроме первого — тогда нарушается неравенство. Итак, условию задачи удовлетворяют три тройки целых чисел $(−6;−1;− 8),$ $(−3;−2;− 4),$ $(3;2;4).$

Ответ:

$(−6;−1;− 8), (−3;−2;− 4), (3;2;4)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#78773Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Подсказка 2

Верно, если мы раскроем модуль со знаком минус, то второе уравнение будет нарушать ОДЗ, поэтому y>0. Теперь можно немного преобразовать второе уравнение и подумать, что с ним делать. Можем ли мы сходу сократить на √x?

Подсказка 3

Да, просто сократить мы не можем. Нужно отдельно рассмотреть x=0 и x>0. Для x=0 мы сразу получаем решение, главное не забыть, что y>0. Теперь же мы можем сократить на √x второе уравнение. Отлично. Давайте подставим y через √x в первое уравнение. Как можно тогда преобразовать x-1, чтобы ситуация стала аналогичной прошлой?

Подсказка 4

Верно, ведь x - 1 = (√x + 1)(√x - 1). Получается нужно снова рассмотреть вариант, когда √x-1=0. Когда же он не равен нулю, то можно сократить и выразить x и y через а. Теперь нам осталось аккуратно выписать решения при всех a. Но про что нужно не забыть при решении параметра?

Подсказка 5

Верно, нужно проверить совпадение корней. Это можно сделать, приравняв их и узнав, при каких a это будет. По итогу, у вас должно получится три разных решения при различных a. Победа!

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100459Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на первое утверждение, как обычно решаются подобные задачи?

Подсказка 2

Например, можно изобразить графики, и если найдутся 2 точки пересечения, то будет как раз 2 корня. Попробуйте проанализировать поведение функции в левой части.

Подсказка 3

Заметим, что cos(cos(x)) + sin(sin(x)) возрастает на промежутке [0;π/2] и убывает на промежутке [π/2;π]. Следовательно, единственное решение функция будет иметь только в точке π/2.

Подсказка 4

Левая часть во втором условии отдаленно напоминает квадратное уравнение, попробуйте сделать замену.

Подсказка 5

Пусть t = sin(2x).

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80573Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a> 0$ , при каждом из которых из неравенства

2 2 x + y ≤ a

следует неравенство

(|x|+ 3)(|y|+ 3)≤25.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим, чтобы из первого неравенства следовало второе, то нам было бы хорошо построить цепочку неравенств, где второе выражение оценивается сверху первым. Тогда мы сможем как-то связать между собой 25 и a.

Подсказка 2

В каком известном неравенстве присуствуют квадраты чисел? Как добиться того, чтобы в нём появились модули?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Тогда нам нужно, чтобь в одной из его частей извлекался корень из квадрата!

Подсказка 4

Раскройте скобки во втором выражении и попробуйте при помощи неравенства о средних оценить сверху 4|x| (аналогично с y). Тогда мы получим оценку сверху на a! Не забудьте показать, почему другие a не подходят ;)

Показать ответ и решение

(|x|+ 3)(|y|+3)= |xy|+ 3|x|+3|y|+ 9

Для любого значения $t$ верно $t2+4 ≥2√4t2 = 4|t|,$ поэтому с использованием неравенства о средних для двух чисел:

x2+-y2 x2+-4 y2-+4- 5(x2+-y2) |x|⋅|y|+ 3|x|+ 3|y|+9≤ 2 + 3 4 + 3 4 +9= 4 + 15

По условию это не превосходит $5a 4 +15,$ поэтому при $a≤ 8$ получаем искомое

5⋅8 (|x|+ 3)(|y|+ 3)≤ -4- +15= 25

Если $a> 8$ , то рассмотрим $∘ -- x =y = a2 >2.$ Такая пара $(x,y)$ подходит под первое условие, но не подходит под второе.

Ответ:

$a ≤8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#115892Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( a2+ 4π2+4 ) ∘----------------------------- log1π 4x−-x2− 2(a−-2π)|x−-2|+-4πa − (x− 5a+ 10π − 34)(|π− x|− a+ π+ 2) =0

имеет по крайней мере одно целочисленное решение.

Показать ответ и решение

Пусть

2 A(a,x)=4x− x − 2(a− 2π)|x− 2|+ 4πa

Поскольку

2 A(a,x) =−(x− 2) − 2(a− 2π)|x − 2|+ 4πα +4 =

= a2+ 4π2+4 − (|x − 2|+a − 2π)2

Можем утверждать, что

A (a,x)≤a2 +4π2+ 4

для любого действительного $x$ . Пусть $a0$ — значение параметра $a,$ при котором исходное уравнение имеет хотя бы одно решение $x =x0.$ Тогда, так как $a2 +4π2+ 4> 0,$ то $0< A(a0,x0)$ для этих значений $a0$ и $x0.$ Учитывая, что $1π < 1$ и неравенство выше, получаем, что для этих значений $a0$ и $x0$ справедливы одновременно неравенства

2 2 log1a0+-4π-+-4≤ 0 π A (a0,x0)

∘ --------------------------------- (x0− 5a0+10π− 34)(|π− x0|− a0 +π +2)≥ 0.

Так как при этих значениях $a0$ и $x0$ исходное уравнение превращается в верное равенство, получаем, что $a0$ и $x0$ удовлетворяют двум равенствам

|x − 2|+ a − 2π = 0 0 0

(x0 − 5a0+ 10π − 34)(|π− x0|− a0+ π+ 2)= 0

Очевидно, что если значения $a0$ и $x0$ удовлетворяют этим равенствам, то они удовлетворяют и исходному уравнению. Следовательно, каждое значение $a,$ при котором исходное уравнение имеет решение, совпадает с тем значением $a,$ при котором имеет решение система уравнений

{ |x− 2|= 2π− a (x− 5a+10π− 34)(|π − x|− a+π +2)= 0

Итак, задача свелась к нахождению таких значений параметра $a,$ при каждом из которых эта система имеет хотя бы одно целочисленное решение.

Пусть $a0$ — то значение параметра $a,$ при котором система имеет целочисленное решение $x0,$ тогда

a = 2π− |x − 2| 0 0

Подставляя это значение $a0$ во второе ураннение системы, получим, что число $x0$ должно быть решением уравнения

(x− 34+ 5|x− 2|)(|π− x|− π+ 2+ |x − 2|) =0 (∗)

Уравнение равносильно совокупности уравнений

[ x− 34 +5|x− 2|= 0 |π − x|+ |x− 2|− π+ 2= 0

Для решения этих уравнений разобьем числовую ось на три промежутка: 1) $− ∞ < x≤ 2,$ 2) $2< x< π,$ 3) $π ≤ x< +∞.$

Пусть $− ∞ <x ≤2,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x− 34+ 5(2− x)=0 π− x+ (2− x)− π+ 2= 0

Первое уравнение этой совокупности имеет решение $x1 = −6,$ а второе имеет решение $x2 = 2.$ Так как $− 6 <2$ и $2≤ 2,$ то в этом случае уравнение $(∗)$ имеет два корня $x1 = −6$ и $x2 = 2,$ и они оба целочисленные.

Пусть $2<x < π,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x − 34+ 5(x − 2)= 0 (π− x)+ (x− 2)− π +2 =0

Первое из этих уравнений имеет решение $x3 = 713,$ а второе имеет решением любое действительное $x.$ Корень $x3$ не удовлетворяет условию $2< x< π.$ Следовательно, решением уравнения $(∗)$ является в этом случае любое число $x$ из промежутка $2 <x < π.$ В этом промежутке лежит только одно целое число $x= 3.$

Пусть $π ≤ x< +∞,$ тогда совокупность уравнений перепишется в виде

[ x − 34+ 5(x − 2)= 0 (x− π)+ (x− 2)− π +2 =0

Первое из этих уравнений имеет решение $x5 = 713,$ а второе имеет решение $x6 = π.$ Оба эти корня удовлетворяют условию $π ≤x <+ ∞.$ Следовательно, уравнение $(∗)$ имеет в этом случае два корня $x5 =713$ и $x6 = π,$ но ни один из этих корней не является целым числом.