Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .10 Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#39868Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ (|y+ 9|+ |x +2|− 2)(x2+ y2− 3)= 0; (x +2)2+ (y+ 4)2 =a.

имеет ровно три решения.

Источники: Физтех-2016, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 3 - это окружность с центром в начале координат и радиусом корень из 3, выражение с модулями - график квадрата с центром в (-2, -9) и длиной диагонали 4, а график второго уравнения системы - окружность с центром в (-2, -4) и радиусом корень из a. А что же является решением системы?

Подсказка 2

Так как нам достаточно, чтобы решение обнуляло хотя бы одну из скобок первого уравнения (а оно будет обнулять ровно одну, так как графики этих скобочек не пересекаются (можно убедиться на чертеже)), значит, решениями будут все пересечения графика второго уравнения с графиками двух скобочек! Какие особенные точки пересечения нужно рассмотреть, чтобы решений было ровно 3?

Подсказка 3

Точки касаний окружности (второе уравнение) с окружностью с центром в начале координат (причём нужно рассмотреть и внешнее, и внутреннее!), а также случай, когда вершины квадрата лежат на окружности с радиусом корень из a(и только они!), именно тогда решений будет три) Осталось лишь вычислить эти точки!

Показать ответ и решение

При $a≤ 0$ второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При $a> 0$ второе уравнение задаёт окружность с центром $(− 2,−4)$ и радиусом $√ - a.$ График первого уравнения — объединение окружности с центром $(0,0)$ и радиуса $√- 3$ и квадрата с центром $(−2,−9)$ и длиной диагонали $4$ .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой $x= −2$ равны $3$ и $7$ , а до центра другой окружности $√ 2---2- √- 4 +2 = 2 5$ . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

$PIC$

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

Касание происходит внешним образом и $r= 2√5− √3 <3$ , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
$r =3,a= 9$ (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
$√- √ - √ - √-2 √-√- r =2 5 + 3<7,a= (2 5+ 3) =4 ⋅5 +2⋅2 5 3 +3$ . Здесь также три решения (синяя окружность).
$r =7$ , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Ответ:

${9;23 +4√15}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#80579Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите квадраты во втором уравнении.

Подсказка 2

Получим (x - 6)² + (y - a)² = 4. Что это за график?

Подсказка 3

Это окружность с центром в точке (6;a) и радиусом 2. А что за график в первом уравнении?

Подсказка 4

Это повернутый на 90° по часовой стрелке график модуля, смещенный вправо на 3/b. А когда он не будет иметь пересечений с окружностью?

Подсказка 5

Когда 3/b > 8, так как окружность по x не достигает точек, больших 8. Рассмотрите обратный случай.

Подсказка 6

Можно ли подобрать какой-нибудь конкретный y (возможно, выраженный через параметр), при котором точно найдется хотя бы одно решение?

Подсказка 7

Возьмите y = b + 8 - 3/b. Какие еще b осталось рассмотреть?

Подсказка 8

В случае с 3/b мы пока рассматривали только смещения направо, то есть, положительные b.

Показать ответ и решение

Перепишем второе уравнение системы следующим образом:

2 2 2 x − 12x+36+ y − 2ay +a = 4

2 2 2 (x − 6) + (y− a) =2

$PIC$

Это окружность с центром $(6;a)$ и радиусом 2. Первое уравнение системы представляет собой повернутый на $∘ 90$ по часовой стрелке график $y = |x|$ с вершиной по $y$ в точке $b,$ который cдвигается по оси $x$ на $3 b.$ Так как центр окружности находится в точке $(6,a),$ и ее радиус — 2, она не достигает по $x$ значений, больших 8, следовательно, если сдвинуть график модуля за прямую $x= 8,$ мы получим 0 решений. Учтите, что при смещении вправо $3 b > 0,$ следовательно, $b> 0.$

( 3 |{ b >8 |( b> 0

3 0< b< 8

Рассмотрим остальные случаи. Пусть $3 b ≤ 8$ и $b> 0,$ тогда $3 b≥ 8,$ график находится правее $x =0,$ а также имеет хотя бы одну точку на прямой $x =8.$ Следовательно, можно подобрать $a,$ при котором окружность также будет через нее проходить. Заметим, что для данной точки будет верно $3 y = b+ 8− b,$ поскольку, подставив это выражение в первое уравнение, мы получим

|| 3 || 3 x= ||b+8 −b − b||+ b

А так как $3b ≤ 8,$ то

x= 8

Пусть $3 b ≤ 8$ и $b< 0.$ Верно, что $3 b <0,$ тогда график модуля смещен левее $x =0$ и имеет 2 точки пересечения с $x= 8,$ следовательно, можем подобрать $a,$ при которых окружность пройдет по крайней мере через одну из этих точек. В последнем случае имеем $3b > 8$ и $b <0,$ неравенства не пересекаются.

[ ) b∈ (− ∞;0)∪ 38;+∞

Ответ:

$(−∞;0)∪ [3;+∞) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#51340Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система уравнений

({|x− 1|+ |x+ 1|− 2y = 0 2 2 ( x +y − 2ay+2a= 1

имеет ровно три различных решения.

Источники: Физтех-2010, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два похожих модуля — явный намёк на графический метод!

Подсказка 2

Второе уравнение даст нам окружность, какие граничные случаи надо рассмотреть?

Подсказка 3

Выясните, при каких a окружность касается каждой из прямых первого уравнения.

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое уравнение системы можно записать в виде

( { 1, |x|≤ 1 y = (|x|, |x|> 1

Второе уравнение системы преобразуется к виду $x2+ (y− a)2 = (a− 1)2$ и является уравнением окружности с центром в точке $(0;a)$ и радиусом $|a− 1|$ . Эта окружность при любом значении $a$ проходит через точку $A (0;1)$ и касается прямой $y =1.$ Если $a <1,$ то окружность лежит ниже прямой $y =1,$ и данная система в этом случае имеет единственное решение $(0;1).$ При $a =1$ окружность вырождается в точку $A,$ т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение $(0;1).$ Если же $a >1,$ то окружность расположена выше прямой $y = 1,$ и система кроме решения $(0;1)$ будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой $x= 0)$ в том случае, когда окружность касается прямых $y = x$ и $y = −x.$ Это означает, что система

{ y =x x2+ (y− a)2 = (a− 1)2

имеет единственное решение, т. е. уравнение $x2+ (x − a)2 = (a − 1)2$ имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так $2x2− 2ax +2a− 1= 0,$ откуда $D = 4a2− 8(2a− 1)= 4(a2− 4a +2)= 0,$ т. е. $a =2± √2.$ Так как $a> 1,$ то получаем $a =2+ √2.$

Ответ:

$2+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#80046Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ x2+y2+ 31≤ 8(|x|+ |y|) x2+y2− 2y = a2− 1

имеет хотя бы одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении есть намек на круги, как нам будет удобнее работать с модулем?

Подсказка 2

Представьте x² как |x|².

Подсказка 3

А снизу просто окружность с фиксированным центром, осталось рассмотреть их взаимное расположение.

Показать ответ и решение

Запишем первое неравенство системы в виде

2 2 (|x|− 4)+ (|y|− 4) ≤ 1

Этому неравенству удовлетворяет множество $E$ - объединение четырёх кругов $C1$ , $C2$ , $C3$ и $C4$ радиуса 1 с центрами соответственно в точках $O1(4;4),O2(4;− 4),$ $O3(−4;4)$ и $O4(−4;−4).$ Запишем второе равенство системы в виде

2 2 2 x + (y− 1) =a

При $a⁄= 0$ это уравнение окружности $L$ с центром в точке $O (0;1)$ радиуса $|a|.$ Соединим точку $O$ и точки $O1$ и $O2$ прямыми $ℓ1$ и $ℓ2.$ Пусть $A1$ и $B1−$ точки пересечения $ℓ1$ с окружностью $L1$ (с центром $O1$ радиуса 1), а $A2$ и $B2−$ точки пересечения $ℓ2$ с окружностью $L2$ (с центром $O2$ радиуса 1). Имеем $OO1 =5$ , $OO2 = √25+-16-=√41-$ , $OA1 = 4$ , $OB1 = 6$ , $OA2 =√41-− 1$ , $OB2 = √41+ 1$ При $4≤ |a|≤6$ окружность $L$ пересекается с кругами $C1$ и $C3,$ а при $√41-− 1 ≤$ $≤|a|≤√41-+1$ окружность $L$ пересекается с кругами $C2$ и $C4.$ Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если $|a|$ принадлежит либо отрезку $I1 = [4,6],$ либо отрезку $I = [√41− 1,√41+ 1]. 2$ Так как $4< √41− 1< 6< √41+ 1$ то объединение отрезков $I 1$ и $I 2$ есть отрезок $[4,√41-+1].$

$PIC$

Ответ:

$4 ≤|a|≤ √41+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#31977Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+y2 =4; (x − 3)2+ (y+ 4)2 =a

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о том, сколько решений может иметь второе уравнение системы в зависимости от а. Мы можем найти такие а, при которых у нас не будет решений и эти а в ответ точно не пойдут. Для остальных а мы можем подумать о том, как будут выглядеть графики

Подсказка 2

При положительных а у нас есть графики двух окружностей, подумайте над тем, когда у нас может быть ровно одно решение?

Подсказка 3

Верно, одно решение у нас в случае касания окружностей! Найдите значения а, при которых это происходит и останется лишь проверить, что происходит в случае, когда а=0!

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#63887Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

{ |x|+2|y|+ |2y− 3x|=12; x2+y2 = a.

имеет ровно два действительных решения.

Подсказки к задаче

Подсказка

Второе уравнение - уравнение окружности. Для него понятно, как будет выглядеть график при разных значениях а. Тогда нужно лишь построить график первого уравнения. Но что это за страшный зверь? Да это же ломаная!

Показать ответ и решение

Графиком первого уравнения системы является замкнутая ломаная $L$ (граница прямоугольника) с вершинами в точках, лежащих на прямых $3 x= 0,y = 0,y = 2x$ .

Найдем эти вершины. Если $x= 0$ , то $4|y|= 12$ ( $y = 3$ или $y = −3)$ . Если $y = 0$ , то $|x|= 3$ . Если $3 y = 2x$ , то $9 |x|=3⇐ ⇒ |y|= 2$ .

$PIC$

Ломаная $L$ изображена на рисунке, где $A1(−3;0),A2(3;0)$ , $B1(0;−3),B2(0;3),C1(−3;− 92),C2(3;92).$ Графиком второго уравнения при $a >0$ является окружность с радиусом $√a$ с центром $O(0;0)$ , при a=0 точка $O(0;0)$ , при a<0 действительных решений у уравнения нет.

Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях:

1) окружность касается отрезков $A1B2$ и $A2B1$ , тогда радиус равен высоте прямоугольного треугольника $OA1B2$ с катетами 3 и 3 $√a-= 3√- 2$ , $a= 9. 2$