Работа с суммой цифр

Максимальное -значное натуральное число это Докажем, что оно подходит под условие.

Если тогда Сумма цифр у числа равняется Рассмотрим сумму цифр у Будем рассматривать такие что они не оканчиваются на так как нули не влияют на сумму цифр Соответственно переходов через разряд у нет.

Когда из вычитается число происходит следующее:

(a) У -го разряда числа занимается единица. Тогда у остальных младших разрядов вместо будет кроме последнего, у которого будет

(b) При вычитании числа в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из стоящей на том же разряде, они дадут кроме первого разряда, у которого в сумме будет

Тогда сумма цифр до -го разряда будет равняться

так как изначально было девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа будет равняться Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что

Тогда сумма цифр числа это

что совпадает со суммой цифр числа

Числа, получаемые друг из друга перестановкой цифр, имеют одинаковый остаток от деления на 9, то есть их разность делится на 9. Поэтому и сумма цифр разности, равная n, делится на 9, откуда .

Значение получается, например, так: .

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. А ноль —- четное число.

Рассмотрим десятичную запись числа Пусть число оканчивается на нулей. Если последняя ненулевая цифра числа равна , то у числа последняя ненулевая цифра будет Если предпоследняя цифра , то у числа предпоследняя цифра будет и т.д. А в начале числа будут идти цифры числа

Далее легко видеть, что сумма цифр будет равна .

Таким образом, условию удовлетворяет число .

a) Например, подходят числа . Тогда соответствующие разности равны , .

б) Пусть — исходные числа. Обозначим через сумму цифр числа . По признаку делимости на 9 числа и имеют равные остатки при делении на 9 , и значит, разность кратна 9.

По условию разности равны числам соответственно. Тогда их сумма

должна делиться на 9 . С другой стороны, эта сумма равна и на 9 не делится, противоречие.

Очевидно, в числе нет 0. Если в числе есть цифра 1, то её можно убрать и увеличить какую-нибудь из оставшихся цифр на 1, от этого сумма не изменится, а произведение увеличится. Если в числе есть цифра , то её можно заменить на цифры 2 и , и произведение увеличится: при . Наконец, если в числе хотя бы три двойки или двойка и четверка, то их можно заменить на две тройки. Если в числе хотя бы две четверки, то их можно заменить на 3,3 и 2.

Таким образом, в числе с максимальным произведением помимо троек может быть или не более одной четверки, или не более двух двоек. Это возможно только если в числе 7 троек и либо одна четверка, либо две двойки (в обоих случаях произведения одинаковы). Наименьшим из полученных чисел является 33333334.

Обозначим — искомое число, - сумма его цифр. Тогда Следовательно, делится нацело на По признаку делимости на число делится на Но тогда делится на По признаку делимости на делится на Так как искомое число пятизначное, то для возможны вариантов: Для каждого соответственно, находим: Первое и последнее — не пятизначные, у четвёртого сумма цифр не равна Подходящие:

Сумма цифр равна .

Заметим, что сумма цифр исходного числа нечётна. Тогда после замены оно всё ещё будет состоять только из нечётных цифр и снова сумма цифр будет нечётна. Это означает, что число мы не получим, так как в нём есть чётные цифры.

Минимальным таким числом будет , поскольку . Следующее число уже не может иметь двойку в старшем разряде — делаем вывод, что это . Утверждается, что чисел с тройкой на первом месте и такой суммой цифр (количество цифр мы тоже фиксируем) будет достаточно много. Действительно, если не менять тройку, то будет перемещаться вперёд по девяткам, тем самым число будет расти, но мы ничего не пропустим, поскольку сам набор цифр поменять нельзя — нельзя уменьшить, потому что нельзя увеличить , а если уменьшить , то придётся увеличить и набор останется прежним, поэтому следующие числа будут получаться передвижением 8 на 1 позицию вперёд, но последнее из них будет как раз по возрастанию, откуда получаем ответ.

Пусть билет является почти счастливым. Тогда его цифры можно распределить в две группы, сумма в которых будет одной и той же, скажем, Тогда сумма всех цифр билета равна то есть четна. Это значит, что среди цифр билета нечетных цифр четное количество. Если при этом последняя цифра номера не равна то предыдущий билет имеет первые цифр те же самые, а последнюю на меньше. Значит, количество четных цифр изменилось на (неважно, уменьшилось или увеличилось). В результате в предыдущем билете нечетное количество нечетных цифр, т. е. он не будет счастливым, противоречие.

Посмотрим сначала на сумму этих чисел. Заметим, что она не превосходит . Действительно, каждая цифра отвечает за то, сколько раз нам взять число . Каждая цифра не больше , потому сумму больше мы получить просто не можем — выгоднее всего брать максимальные степени , что мы и сделали.

Итак, мы знаем, что (по неравенству о средних максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равенстве чисел). То есть наша оценка достигается при , что удовлетворяет условию.

Предположим противное: что можно представить как сумму натуральных чисел и причём сумма цифр вдвое больше суммы цифр

При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма (если она меньше ), либо их сумма минус (если она больше а единица уходит в следующий разряд). Таким образом, сумма цифр равна сумме цифр плюс сумма цифр минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на

По условию сумма цифр вдвое больше суммы цифр поэтому их общая сумма делится на значит, и сумма цифр должна делиться на — противоречие с тем, что сумма цифр числа равна

Сделаем плюсами первые четыре знака. Если слева от двойки стоит знак “”, то поменяем знаки по обе стороны от неё (а если “”, то переходим к следующему шагу). Далее, если слева от тройки стоит знак “”, то поменяем знаки по обе стороны от неё. Продвигаясь так слева направо, мы можем сделать плюсами первые четыре знака. Если последний знак окажется после этого плюсом, то получится выражение кратное Если последний знак оказался минусом, то поменяем знаки по обе стороны от тройки, а затем по обе стороны от четвёрки. Получим выражение тоже кратное

Сначала докажем, что число не может быть двузначным. Раз оно простое, то оно нечетное. С одной стороны, первая цифра должна быть нечетной, чтобы произведение цифр было простым числом (единственный вариант, когда произведение простое и четное —  — не подходит). А с другой — четной, чтобы сумма была простым числом (опять же единственный вариант, когда сумма простая и четная —  — не подходит). Значит, число не может быть двузначным.

Далее, в числе не может быть цифры а первое простое -значное число без в записи — и оно подходит.

Попробуем найти такое число среди тех, что больше . Поскольку сумма цифр не меняется, то не меняется и остаток числа по модулю , но при этом он умножается на , то есть для первоначального остатка имеем

То есть такое число обязано быть кратно . Среди больших такое ровно одно — оно подходит: . Оценка же следует из того, что следующее кратно число уже .

Пусть в числе двоек, троек, четвёрок. Тогда всего цифр . При делении на число даёт такой же остаток, какой даёт его сумма цифр, то есть

Первое решение.

После разложения на взаимнопростые множители нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после вставки двух нулей) чисел.

) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на

) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на (или можно сказать, что суммы цифр на чётных и нечётных местах остались равны).

) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на

Второе решение.

Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через (сразу заметим, что делится на , потому что у этого числа на конце нули), после — через

Тогда исходное число это а новое число равно

Из замеченной делимости на следует делимость числа на а это исходное число, которое тоже делится на по условию.

В итоге и полученная сумма делится на

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число очень близко к “хорошему” числу . Умножим сначала число на . Получим

Теперь отнимем , чтобы получить исходное произведение. Получим

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

Обозначим за сумму цифр числа При сложении чисел сумма цифр не увеличивается, а при умножении на 10 сумма цифр не меняется, поэтому

Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Это произойдёт, если при сложении с не будет переносов через разряд.

Предположим, что нечётно. Значит, оканчивается нечётной цифрой. Заметим, что произведение и любой нечётной цифры оканчивается на , но тогда и оканчивается на . В таком случае при суммировании и перенос произойдёт при сложении цифр в разряде единиц. Пришли к противоречию. Значит, не может быть нечётным.