Тема Десятичная запись и цифры

Работа с суммой цифр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82784

Пусть $S(n)$ обозначает сумму цифр натурального числа $n$ . Найдите наибольшее $85$ -значное натуральное число $n$ , удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ( $1≤ m ≤ n$ ) справедливы равенства $S(mn )= S(n)$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как нам искать максимальное подходящее число из 85значных чисел. Быть может, рассмотрим какие-нибудь большие числа и посмотрим, подходят ли они?

Подсказка 2

Докажем, что число 10^85 - 1 подходит. Посмотрим, что происходит при умножении на какое-то число, известно ли нам что-нибудь о его виде? О сумме цифр? Удобно рассматривать m без нулей на концах.

Подсказка 3

Что происходит, когда мы отнимаем от числа m * 10^85 число m? Удобнее всего рассмотреть вычитание столбиком.

Подсказка 4

У 86 -го разряда числа m * 10^85 занимается единица. Тогда у остальных младших 85 разрядов вместо 0 будет 9, кроме последнего, у которого будет 10. А что будет в ответе в этих разрядах? Какой будет сумма в этих разрядах?

Подсказка 5

Тогда сумма цифр до 86 -го разряда будет равняться 9*84 + 10 - S(m). Осталось лишь найти, чему будет равна сумма чисел в оставшихся разрядах!

Показать ответ и решение

Максимальное $85$ -значное натуральное число это $1085− 1.$ Докажем, что оно подходит под условие.

Если $85 n= 10 − 1,$ тогда $85 mn = m ⋅10 − m.$ Сумма цифр у числа $n$ равняется $9⋅85.$ Рассмотрим сумму цифр у $mn.$ Будем рассматривать такие $m,$ что они не оканчиваются на $0,$ так как нули не влияют на сумму цифр $mn.$ Соответственно переходов через разряд у $m$ нет.

Когда из $85 m ⋅10$ вычитается число $m$ происходит следующее:

(a) У $86$ -го разряда числа $85 m ⋅10$ занимается единица. Тогда у остальных младших $85$ разрядов вместо $0$ будет $9,$ кроме последнего, у которого будет $10.$

(b) При вычитании числа $m$ в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из $m,$ стоящей на том же разряде, они дадут $9,$ кроме первого разряда, у которого в сумме будет $10.$

Тогда сумма цифр до $86$ -го разряда будет равняться

9⋅84+10− S(m),

так как изначально было $84$ девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа $mn$ будет равняться $S(m − 1).$ Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что $S(m − 1)= S(m)− 1.$

Тогда сумма цифр числа $mn$ это

9⋅84 +10− S(m )+S (m − 1)= 9⋅84+ 10− 1 =9 ⋅85,

что совпадает со суммой цифр числа $n.$

Ответ:

$99...9 ◟ ◝8◜5-◞$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#34658

В натуральном числе $A$ переставили цифры, получив число $B$ . Известно, что $A− B$ есть число, составленное из $N$ единиц. Найдите наименьшее возможное значение $N$ .

Показать ответ и решение

Числа, получаемые друг из друга перестановкой цифр, имеют одинаковый остаток от деления на 9, то есть их разность делится на 9. Поэтому и сумма цифр разности, равная n, делится на 9, откуда $N ≥ 9$ .

Значение $N = 9$ получается, например, так: $9012345678− 8901234567= 111111111$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72252

Можно ли так расставить знаки “ $+$ ” или “ $−$ ” между каждыми двумя соседними цифрами числа 20222023, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Источники: Муницип - 2022, Ростовская область, 7.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что разобрать все случаи расстановки будет крайне сложно...но если присмотреться, можно заметить, что цифры у нас взяты не просто так - почти все из них относятся к одной известной "группе" чисел. Также стоит попробовать как-нибудь расставить знаки, чтобы приблизиться к ответу!

Подсказка 2

Заметим, что среди цифр только одно нечетное число. Тут же вспоминаем, что сумма и разность нечетного числа нечетных чисел будет нечетна! Но как это помогает при решении задачи?

Подсказка 3

Замечаем, что 0 - число четное!

Показать ответ и решение

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “ $+$ ” или “ $−$ ” будем получать нечетную сумму. А ноль —- четное число.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет
нельзя
Нельзя

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76733

Докажите, что для любого натурального $n$ существует натуральное число, которое больше своей суммы цифр в $11...11 ◟--◝◜n-◞$ раз.

Источники: Миссия выполнима-2022, 10.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каких чисел проще всего проверить делимость на число, состоящее из одних единиц?

Подсказка 2

Для чисел, состоящих из одинаковых цифр, или тех, которые получаются из вышесказанных домножением на какое-нибудь число. Попробуем найти такое число, полученное из числа, состоящего из девяток.

Подсказка 3

Найдите число с суммой цифр 9n, удовлетворяющее требованием из предыдущих подсказок.

Показать доказательство

Рассмотрим десятичную запись числа $n(10n − 1).$ Пусть число $n$ оканчивается на $k$ нулей. Если последняя ненулевая цифра числа $n$ равна $x$ , то у числа $n n(10 − 1)$ последняя ненулевая цифра будет $10 − x.$ Если предпоследняя цифра $y$ , то у числа $n n(10 − 1)$ предпоследняя цифра будет $9− y$ и т.д. А в начале числа $n n(10 − 1)$ будут идти цифры числа $n$

$PIC$

Далее легко видеть, что сумма цифр $n(10n − 1)$ будет равна $9n$ .

Таким образом, условию удовлетворяет число $n(10n− 1)$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94246

Даны три целых числа. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего, а из третьего вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности равняться соответственно

a) $2,3,4$ ?

б) $3,4,5$ ?

Источники: КФУ - 2021, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем даже не про пункты, а про общую идею задачи. Если мы хотим доказывать, что ответ — "да", то надо бы придумывать пример. Пример хотелось бы строить простой, а если числа хотя бы двузначные, то уже суммы цифр какие-то надо считать. Не годится. Поэтому если в каком-то пункте ответ "да", то надо попробовать привести пример с цифрами. Если же ответ — "нет", то первое, что можно сделать с суммой цифр — использовать равноостаточность числа и его суммы цифр по какому-то хорошему модулю.

Подсказка 2

Действительно, в первом пункте легко придумывается пример, а во втором пункте можно использовать факт, что разность числа и его суммы цифр всегда кратна 9. Но вот незадача, вычитаем-то мы не собственную сумму цифр, а сумму цифр числа, следующего по циклу. Что нам нужно сделать с результатами этих разностей, чтобы получить разности числа и его суммы цифр?

Показать ответ и решение

a) Например, подходят числа $10,8,5$ . Тогда соответствующие разности равны $10 − 8= 2$ , $8− 5= 3,5− 1= 4$ .

б) Пусть $a,b,c$ — исходные числа. Обозначим через $S(n)$ сумму цифр числа $n$ . По признаку делимости на 9 числа $n$ и $S(n)$ имеют равные остатки при делении на 9 , и значит, разность $n− S(n)$ кратна 9.

По условию разности $a− S(b),b− S(c),c− S(a)$ равны числам $3,4,5$ соответственно. Тогда их сумма

(a− S(b))+(b− S(c))+(c− S(a))= (a− S(a))+ (b − S(b))+ (c− S(c))

должна делиться на 9 . С другой стороны, эта сумма равна $3+4 +5= 12$ и на 9 не делится, противоречие.

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97942

Из всех чисел с суммой цифр $25$ найдите то, произведение цифр которого максимально. Если таких чисел несколько, напишите в ответ наименьшее из них.

Показать ответ и решение

Очевидно, в числе нет 0. Если в числе есть цифра 1, то её можно убрать и увеличить какую-нибудь из оставшихся цифр на 1, от этого сумма не изменится, а произведение увеличится. Если в числе есть цифра $x ≥5$ , то её можно заменить на цифры 2 и $x− 2$ , и произведение увеличится: $2(x − 2)> x$ при $x> 4$ . Наконец, если в числе хотя бы три двойки или двойка и четверка, то их можно заменить на две тройки. Если в числе хотя бы две четверки, то их можно заменить на 3,3 и 2.

Таким образом, в числе с максимальным произведением помимо троек может быть или не более одной четверки, или не более двух двоек. Это возможно только если в числе 7 троек и либо одна четверка, либо две двойки (в обоих случаях произведения одинаковы). Наименьшим из полученных чисел является 33333334.

Ответ: 33333334

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99574

Найдите наибольшее пятизначное число, которое в $51$ раз больше квадрата суммы своих цифр. Решение обоснуйте.

Источники: Верченко - 2021, 11.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введём переменные и составим уравнение из условия. Решать мы должны в целых числах, значит, имеет смысл зацепиться за делимость!

Подсказка 2

Наше число должно делиться на 3. Но как это может повлиять на сумму?

Подсказка 3

Сумма тоже будет делиться на 3. Продолжая рассуждать, сможем оценить сумму цифр и разобраться, какие значения она может принимать ;)

Показать ответ и решение

Обозначим $x$ — искомое число, $s$ - сумма его цифр. Тогда $x =3⋅17⋅s2.$ Следовательно, $x$ делится нацело на $3.$ По признаку делимости на $3,$ число $s$ делится на $3.$ Но тогда $x$ делится на $9.$ По признаку делимости на $9,s$ делится на $9.$ Так как искомое число пятизначное, то для $s$ возможны $5$ вариантов: $s =9,s= 18,s= 27,s =36,s= 45.$ Для каждого $s,$ соответственно, находим: $x =4131,x =16524,x= 37179,x= 66096,x= 103275.$ Первое и последнее — не пятизначные, у четвёртого сумма цифр не равна $36.$ Подходящие: $x= 16524,x =37179.$

Ответ:

$37179$ или $16524$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31221

Найдите сумму цифр числа

63 25 106 22 44 105 2 ⋅4 ⋅5 − 2 ⋅4 ⋅5 − 1

Источники: Ломоносов-2020, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать сумму первых двух слагаемых, вынеся максимальную степень числа 10.

Подсказка 2

Теперь у вас получилось число 1248*10^105-1, распишите первое слагаемое в десятичном виде и подумайте, что будет, если вычесть из этого единицу. Как поймете-можно смело считать сумму цифр!

Показать ответ и решение

113 106 110 105 105 105 8 5 2 5 − 2 5 − 1= 2 ⋅5 (2 ⋅5 − 2 )− 1 =

105 7 5 105 = 10 ⋅(2 ⋅10− 2)− 1= 10 (1280− 32)− 1=

= 1248 ⋅10105 − 1= 12479...9 ◟ ◝10◜5 ◞

Сумма цифр равна $1+ 2+ 4+ 7+9 ⋅105= 959$ .

Ответ:

$959$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38621

Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа $133355555$ получить число $123456789$ ? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах бывает очень полезно заметить что-то, что не меняется при наших операциях, так называемый инвариант. Потому как, если бы у начального числа это что-то было бы одним, а у конечного числа - другим, то мы бы сказали, что это невозможно. Попробуйте поделать операции, которые описаны в задаче и посмотреть на число, которое получается после замены. Может быть в нем что-то постоянно?

Подсказка 2

Ну вот , допустим , мы первый раз проделаем эту операцию. Цифра на которую надо будет заменять - это последняя цифра числа 35. То есть 5 - нечетная. Значит, все цифры нашего числа останутся нечетными. Но ведь проделав эту же операцию еще раз, мы опять получим нечетную цифру и, значит, опять число будет состоять только из нечетных цифр. Значит, мы нашли наш инвариант! А что теперь это нам дает? Правда, что мы решили задачу?

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма цифр исходного числа нечётна. Тогда после замены оно всё ещё будет состоять только из нечётных цифр и снова сумма цифр будет нечётна. Это означает, что число $123456789$ мы не получим, так как в нём есть чётные цифры.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31225

На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр $2018$ . Какое число написано на $225$ -м месте?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала неплохо было бы узнать, какое число стоит на первом месте, т.е. минимальное число с суммой цифр 2018. Чтобы его найти, подумайте, как можно быстрее всего набрать сумму 2018, учитывая, что каждая цифра не превосходит 9.

Показать ответ и решение

Минимальным таким числом будет $29...9 ◟2◝◜24◞$ , поскольку $2018= 9⋅224+2$ . Следующее число уже не может иметь двойку в старшем разряде — делаем вывод, что это $389◟. ◝..◜9 ◞ 223$ . Утверждается, что чисел с тройкой на первом месте и такой суммой цифр (количество цифр мы тоже фиксируем) будет достаточно много. Действительно, если не менять тройку, то $8$ будет перемещаться вперёд по девяткам, тем самым число будет расти, но мы ничего не пропустим, поскольку сам набор цифр поменять нельзя — $8$ нельзя уменьшить, потому что нельзя увеличить $9$ , а если уменьшить $9$ , то придётся увеличить $8$ и набор останется прежним, поэтому следующие $223$ числа будут получаться передвижением 8 на 1 позицию вперёд, но последнее из них $39◟..◝◜.9◞8 223$ будет как раз $225$ по возрастанию, откуда получаем ответ.

Ответ:

$39...98 ◟2◝◜23◞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#95678

Билет с шестизначным номером назовем почти счастливым, если сумма каких-либо трех его цифр равна сумме трех оставшихся. Рома и Миша взяли в троллейбусе два билета с подряд идущими номерами, и оба билета оказались почти счастливыми. Докажите, что среди $12$ цифр этих билетов обязательно встретится цифра $0.$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать доказательство

Пусть билет является почти счастливым. Тогда его цифры можно распределить в две группы, сумма в которых будет одной и той же, скажем, $S.$ Тогда сумма всех цифр билета равна $2S,$ то есть четна. Это значит, что среди цифр билета нечетных цифр четное количество. Если при этом последняя цифра номера не равна $0,$ то предыдущий билет имеет первые $5$ цифр те же самые, а последнюю на $1$ меньше. Значит, количество четных цифр изменилось на $1$ (неважно, уменьшилось или увеличилось). В результате в предыдущем билете нечетное количество нечетных цифр, т. е. он не будет счастливым, противоречие.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#46231

Целые, положительные, шестизначные числа $a 1$ и $a 2$ такие, что если к сумме цифр числа $a 1$ прибавить сумму цифр числа $a 2$ , то получится $36.$ Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a1 ⋅a2$ .

Источники: Росатом-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Сумма 36 - не так уж много! Давайте попробуем понять, какая максимальная сумма у наших чисел! Каждое из них не больше 990000...

Подсказка 2!

Осталось оценить произведение и не забыть, что нужен пример!

Показать ответ и решение

Посмотрим сначала на сумму этих чисел. Заметим, что она не превосходит $990000+ 990000= 18 ⋅100000 +18⋅10000$ . Действительно, каждая цифра отвечает за то, сколько раз нам взять число $k 10,k∈ {0,...5}$ . Каждая цифра не больше $9$ , потому сумму больше мы получить просто не можем — выгоднее всего брать максимальные степени $10$ , что мы и сделали.

Итак, мы знаем, что $2 a1+ a2 ≤ 2⋅990000 =⇒ a1⋅a2 ≤ 990000$ (по неравенству о средних максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равенстве чисел). То есть наша оценка достигается при $a1 = a2 =990000$ , что удовлетворяет условию.

Ответ:

$9900002$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#77849

Можно ли представить число 2017 в виде суммы двух натуральных чисел, сумма цифр одного из которых вдвое больше суммы цифр другого?

Источники: Всесиб - 2017, 9.3(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что нам намекает сумма чисел? С каким из известных фактов можно попробовать найти противоречие?

Подсказка 2

Сумма чисел намекает на модуль 3! Число дает такой же остаток по модулю 3, что и его сумма цифр :) Разберем случаи!

Показать ответ и решение

Предположим противное: что $2017$ можно представить как сумму натуральных чисел $A$ и $B,$ причём сумма цифр $A$ вдвое больше суммы цифр $B.$

При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма (если она меньше $10$ ), либо их сумма минус $10$ (если она больше $10,$ а единица уходит в следующий разряд). Таким образом, сумма цифр $A +B$ равна сумме цифр $A$ плюс сумма цифр $B$ минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на $9.$

По условию сумма цифр $A$ вдвое больше суммы цифр $B,$ поэтому их общая сумма делится на $3,$ значит, и сумма цифр $A+ B = 2017$ должна делиться на $3$ — противоречие с тем, что сумма цифр числа $2017$ равна $10.$

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#93381

В примере $1∗2∗3∗ 4∗5∗6= ...$ знаки “ $∗$ ” означают “ $+$ ” или “ $−$ ”. За один ход Гриша (который видит правильные знаки) выбирает пару знаков, разделенных одной цифрой, и меняет их на противоположные. Докажите, что он сможет сделать результат кратным $7.$

Источники: Лига открытий - 2017

Показать доказательство

Сделаем плюсами первые четыре знака. Если слева от двойки стоит знак “ $−$ ”, то поменяем знаки по обе стороны от неё (а если “ $+$ ”, то переходим к следующему шагу). Далее, если слева от тройки стоит знак “ $−$ ”, то поменяем знаки по обе стороны от неё. Продвигаясь так слева направо, мы можем сделать плюсами первые четыре знака. Если последний знак окажется после этого плюсом, то получится выражение $1+ 2+ 3+ 4+5 +6= 21,$ кратное $7.$ Если последний знак оказался минусом, то поменяем знаки по обе стороны от тройки, а затем по обе стороны от четвёрки. Получим выражение $1 +2− 3+ 4− 5− 6 =− 7,$ тоже кратное $7.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#93727

Найдите самое маленькое простое число, большее $10,$ у которого и сумма цифр, и произведение цифр — простое число.

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Сначала докажем, что число не может быть двузначным. Раз оно простое, то оно нечетное. С одной стороны, первая цифра должна быть нечетной, чтобы произведение цифр было простым числом (единственный вариант, когда произведение простое и четное — $21$ — не подходит). А с другой — четной, чтобы сумма была простым числом (опять же единственный вариант, когда сумма простая и четная — $11$ — не подходит). Значит, число не может быть двузначным.

Далее, в числе не может быть цифры $0,$ а первое простое $3$ -значное число без $0$ в записи — $113,$ и оно подходит.

Ответ:

$113$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#48590

Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее $2015$ , такое, что при умножении на $5$ сумма его цифр (в десятичной записи) не меняется.

Источники: ПВГ-2015, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче фигурирует число и сумма его цифр. Что мы можем сказать про эти два значения? Если мы знаем, что задача на теорию чисел, то что мы хотим чаще всего сделать?

Подсказка 2

В задаче на теорию чисел мы очень часто хотим рассмотреть некоторое значение по модулю чего-то. Но учитывая, что здесь есть сумма цифр, то мы сразу вспоминаем признак равноостаточности для числа 9. Значит хотим рассмотреть выражение по модулю 9. Нам сказано, что сумма цифр не меняется при умножении числа на 5. Значит, и остаток не меняется :)

Подсказка 3

Да, это значит что 5n=n(mod 9), где n-наше число. Значит 4n=0(mod9) => n=0(mod9). Значит, наше число точно делится на 9. Ну и поскольку нас просят найти наибольшее число, то и перебор (если мы хотим так решать) нужно делать сверху. Осталось его сделать!

Показать ответ и решение

Попробуем найти такое число среди тех, что больше $2000$ . Поскольку сумма цифр не меняется, то не меняется и остаток числа по модулю $9$ , но при этом он умножается на $5$ , то есть для первоначального остатка $d$ имеем

d≡9 5d ⇐⇒ 4d ≡9 0 ⇐ ⇒ d ≡9 0

То есть такое число обязано быть кратно $9$ . Среди больших $2000$ такое ровно одно $2007$ — оно подходит: $2007 ⋅5 =10035$ . Оценка же следует из того, что следующее кратно $9$ число уже $2016> 2015$ .

Ответ:

$2007$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31833

Натуральное $61$ -значное число $A$ записывается только цифрами $2$ , $3$ и $4$ . При этом двоек на $19$ больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$ .

Источники: ОММО-2014, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, чему равен остаток от деления числа на 9.

Подсказка 2

При делении на 9 остаток равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Тогда давайте найдем её.

Подсказка 3

Пускай двоек было x, тогда четверок было x - 19, а троек 61 - 2x + 19 = 80 - 2x. Теперь можно найти сумму цифр и остаток от деления на 9.

Показать ответ и решение

Пусть в числе $a$ двоек, $b$ троек, $a− 19$ четвёрок. Тогда всего цифр $2a +b− 19= 61 ⇐⇒ 2a+ b= 80$ . При делении на $9$ число даёт такой же остаток, какой даёт его сумма цифр, то есть

2⋅a+ 3⋅b+4 ⋅(a− 19)=6a+ 3b− 76 =3⋅80− 76= 164≡9 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#34659

Дано натуральное число, кратное $495.$ Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на $495.$

Источники: Курчатов-2014, 10.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как здорово, что у нас существуют признаки делимости! К сожалению, человечество еще не придумало признака делимости на 495, но может быть, можно как-то решить этот вопрос?

Подсказка 2

Ага, смотрите-ка: если число делится на Х, то оно должно делиться на множители этого Х, а в нашем случае на множители 495! Например, на 5, 9 и 11! А что это значит..?

Подсказка 3

Смотрим, изменилась ли делимость на 5 (смотрим на последнюю цифру), на 9 (смотрим на сумму цифр), на 11 (смотрим на знакопеременную сумму цифр). Задача решена!

Показать доказательство

Первое решение.

После разложения на взаимнопростые множители $495= 9⋅5⋅11$ нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после вставки двух нулей) чисел.

$1$ ) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на $9.$

$2$ ) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на $11$ (или можно сказать, что суммы цифр на чётных и нечётных местах остались равны).

$3$ ) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на $5.$

Второе решение.

Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через $x$ (сразу заметим, что $x$ делится на $10$ , потому что у этого числа на конце нули), после — через $y.$

Тогда исходное число это $x +y,$ а новое число равно $100x+ y = (x+y)+ 99x.$

Из замеченной делимости на $10$ следует делимость числа $99x$ на $990= 495⋅2,$ а $x +y$ это исходное число, которое тоже делится на $495$ по условию.

В итоге и полученная сумма делится на $495.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31220

Найдите сумму цифр числа $4...4⋅9...9 ◟2 ◝0◜12 ◞ ◟2 ◝0◜1 ◞2$ .

Источники: Ломоносов-2013, 9.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обычно, когда сок в магазине стоит 99 рублей, а покупаем мы 4 таких, то мы умножаем 4 не на 99, а на 100, но потом вычитаем сдачу. Применим этот лайфхак здесь

Подсказка 2

Да, получится выражение вида 4…4 * (10…0 - 1), а как там в столбик вычитать?

Подсказка 3

Получим число, в котором на месте остались 2011 первых четверок, одна четверка стала тройкой, а тут остается лишь посчитать)

Показать ответ и решение

Конечно, “честно” умножать эти числа друг на друга мы не будем. Давайте попробуем как-то схитрить. А именно, воспользуемся тем, что число $9◟.2.◝◜01.29◞$ очень близко к “хорошему” числу $10◟2. ◝0..◜120 ◞$ . Умножим сначала число $4◟. ◝20.◜1.42◞$ на $10◟. ◝20.◜1.02◞$ . Получим

4◟. ◝..◜4 ◞0◟..◝◜.0◞. 2012 2012

Теперь отнимем $4◟..◝◜.4◞ 2012$ , чтобы получить исходное произведение. Получим

4...435...56. ◟ ◝20◜1 ◞1 ◟2◝◜011◞

У этого числа уже легко посчитать сумму цифр:

4⋅2011+3 +5⋅2011+6 =9 ⋅2011+ 9= 9⋅2012= 18108.

Ответ:

$18108$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#49059

Известно, что сумма цифр натурального числа $N$ равна $100,$ а сумма цифр числа $5N$ равна $50.$ Докажите, что $N$ чётно.

Источники: Всеросс., 2005, РЭ, 9.5(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала подумаем над тем, какое число имеет такую же сумму цифр, что и число N и при этом, чтобы это число несложно получалось из числа 5N

Подсказка 2

Да, это число 10N. Тогда мы знаем, что 5N + 5N = 10N. А что можно заметить про сумму цифр?

Подсказка 3

Верно, для суммы цифр справедливо такое же равенство(из условия). Тогда мы понимаем, что при сложении 5N с самим собой нет перехода через разряд! Остаётся проверить, может ли N быть нечётным!

Подсказка 4

Если N нечётно, то его последняя цифра тоже нечётна. А не случиться ли перехода через разряд, если мы сложим последнюю цифру числа 5N с собой же?

Показать доказательство

Обозначим за $S(N)$ сумму цифр числа $N.$ При сложении чисел сумма цифр не увеличивается, а при умножении на 10 сумма цифр не меняется, поэтому

100= S(N)= S(10N )= S(5N +5N )≤S(5N)+ S(5N )= 50+50= 100

Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Это произойдёт, если при сложении $5N$ с $5N$ не будет переносов через разряд.

Предположим, что $N$ нечётно. Значит, $N$ оканчивается нечётной цифрой. Заметим, что произведение $5$ и любой нечётной цифры оканчивается на $5$ , но тогда и $5N$ оканчивается на $5$ . В таком случае при суммировании $5N$ и $5N$ перенос произойдёт при сложении цифр в разряде единиц. Пришли к противоречию. Значит, $N$ не может быть нечётным.

Предыдущий раздел

Следующий раздел