Дополнительные построения в планике

Пусть — вершины исходного параллелограмма, — середина стороны причем

Продлим прямую до пересечения с прямой в точке Треугольники и подобны в силу параллельности прямых и и равны, поскольку равны их соответствующие стороны и а значит,

Осталось заметить, что поскольку — медиана, проведенная из вершины, соответствующей прямому углу. Таким образом,

Продлим прямые и до пересечения друг с другом. Пусть они пересекаются в точке

Рассмотрим треугольник по свойству смежных углов. так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Получается, в треугольнике два угла равны а, значит, третий его угол так же равен то есть треугольник правильный. Отсюда

Заметим, что — прямоугольный треугольник с углом Отсюда

Тогда

Пусть — центр описанной окружности треугольника Обозначим

Так как — биссектриса угла то точка — середина дуги окружности, описанной около Отсюда прямая — это серединный перпендикуляр к отрезку Пусть тогда то есть треугольник равнобедренный и

Отсюда

С другой стороны,

Таким образом, четырёхугольник вписанный, то есть точка лежит на пересечении прямой и окружности, описанной около откуда точки и совпадают, то есть

Пусть и — основания трапеции причем

Через вершину проведем прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекает основание в точке

Тогда — параллелограмм. Поэтому получаем следующие равенства отрезков:

Из равенства соответственных углов получаем:

В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в следовательно,

Через вершину меньшего основания трапеции ( проведём прямую, параллельную диагонали Пусть –– точка пересечения этой прямой с прямой

Образовался параллелограмм откуда понятно, что Проведём высоту треугольника Тогда

Известны стороны (из параллелограмма) и высота Из прямоугольных треугольников и находим, что

Если точка лежит между точками и то

Если же точка лежит между точками и то

Первое решение. Продолжим отрезок до пересечения со стороной в точке Поскольку треугольник равнобедренный. Кроме того,

поэтому треугольник также равнобедренный, и Из параллелограмма получаем

Тогда

Поскольку получаем, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, откуда и следует, что

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть описанная окружность треугольника пересекает вторично прямую в точке Тогда

также, поскольку —– (внутренняя или внешняя) биссектриса угла имеем

Поэтому треугольники и равны. Отсюда следует, что

а тогда и треугольники и также равны. Значит, Кроме того, из полученного равенства углов и следует, что

Тогда треугольники и также равны, и что и требовалось.

Пусть и — проекции точек соответственно и на гипотенузу Заметим, что — середина Поскольку и — середина то — средняя линия трапеции поэтому — середина отрезка Высота в треугольнике является его медианой, поэтому треугольник — равнобедренный. Следовательно,

На продолжении отрезка за точку отложим отрезок равный Тогда — прямоугольник, — средняя линия треугольника

Таким образом, нам известны расстояния от точки до трёх вершин прямоугольника

Опустим из точки перпендикуляры на стороны и — равные и соответственно.

Тогда по теореме Пифагора:

Откуда получаем

Тогда,

Следовательно,

Отметим точку так, что треугольник — равносторонний, а точки и лежат по разные стороны от прямой

Тогда

то есть четырёхугольник — вписанный; значит, поскольку то и Но, так как

четырёхугольник также вписан в окружность (с диаметром ), и точка из условия — центр этой окружности. В частности, лежит на серединном перпендикуляре к совпадающем с биссектрисой угла Отсюда и вытекает, что

Первое решение

Построим серединный перпендикуляр к отрезку обозначим за и точки его пересечения со сторонами и соответственно.

Треугольник — равнобедренный с углами при основании поэтому отрезки и равны как его боковые стороны.

В треугольнике

Кроме того,

Следовательно, треугольник — равнобедренный с боковыми сторонами и Получаем, что Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник с Следовательно,

Заметим, что

Тогда — биссектриса угла

Треугольники и равны по общей стороне и по 2 углам Тогда

Получаем, что

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

Повернём треугольник вокруг точки по часовой стрелке на чтобы сторона совместилась со стороной Образ точки при этом повороте обозначим за Затем зеркально отразим треугольник относительно стороны образ точки при этом отражении обозначим за

Тогда четырехугольник является прямоугольником и

В треугольнике по построению а также

Следовательно, треугольник — равнобедренный с углом при вершине, а значит, он является равносторонним. Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

По теореме синусов для треугольника

По теореме синусов для треугольника

Тогда

Удвоим медиану и получим точку Четырёхугольник — параллелограмм. В треугольнике

следовательно, по сумме углов треугольника, т.е. треугольник равнобедренный, откуда Осталось заметить, что медиана равна половине

Обозначим вершину угла через Отразим относительно получим точку Проведём через прямые параллельно сторонам угла. Пусть они пересекают стороны угла в точках и Заметим, что — параллелограмм, в котором — точка пересечения диагоналей. Стало быть, прямая — искомая.

Обозначим центры описанных окружностей треугольников через соответственно. Пусть — точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников и соответственно; обозначим через и середины отрезков и соответственно. Тогда в прямоугольной трапеции прямая — средняя линия, поэтому она является серединным перпендикуляром к отрезку Заметим, что окружность симметрична относительно прямой на которой также лежит точка значит, — центр

Аналогично получаем, что середина отрезка является центром Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что — параллелограмм. Для доказательства этого достаточно заметить, что и — серединные перпендикуляры к отрезкам и поэтому аналогично, откуда и следует требуемое.

Пусть у нас задан угол с вершиной в точке и требуется построить искомую окружность, проходящую через точку Построим биссектрису этого угла и выберем на ней точку Опустим из точки перпендикуляр на одну из сторон угла. Проведём окружность с центром в точке и радиусом и пересечём прямую с этой окружностью в точке Достаточно сделать гомотетию с центром в точке которая переводит точку в точку Тогда образ построенной окружности и будет искомой окружностью.

Остаётся лишь построить образ окружности при гомотетии. Для этого построим точки и на прямых и соответственно так, чтобы выполнялось и . Тогда остаётся построить окружность с центром в точке и радиусом

Раз следовательно, в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, это признак параллелограмма.

Первое решение.

Пусть нам дан треугольник и — медианы. Продлим за точку на ту же длину, получим Продлим за точку на ту же длину, получим и — параллелограммы, следовательно, тогда и лежат на одной прямой. Заметим, что треугольник равен треугольнику Проведем в треугольнике медиану Из равенства треугольников и кроме того, следовательно, — параллелограмм. Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и Тогда из равенства треугольников и Теперь достаточно доказать, что

Рассмотрим треугольник он равен треугольнику Проведем медиану Пусть пересекается с в точке Из равенства треугольников и Тогда — параллелограмм (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, Докажем, что — параллелограмм (тогда Ранее доказывали, что — параллелограмм, следовательно, и — медианы, следовательно, к тому же, следовательно, — параллелограмм. Тогда и — параллелограмм. Для остальных медиан — аналогично.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Проведем в треугольнике 3 медианы: пусть они пересекутся в точке Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

Тогда иначе говоря, С другими медианами аналогично.

Достроим треугольник до прямоугольника и выберем на его стороне точку так, что параллельно Тогда и прямоугольные треугольники и равны, причём Поэтому и то есть — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, и, в силу параллельности прямых и острый угол между прямыми и тоже составляет градусов.

Последнее равенство площадей равносильно тому, что это медиана в треугольнике тоже медиана треугольника То есть должна быть точкой пересечения медиан. Заметим, что точка задаётся однозначно, поэтому отметим на в отношении к

Давайте докажем, что Проведём для начала медиану до пересечения с в точке Известно, что в таком случае равны площади треугольников и Но мы знаем, что площадь равна площади из условия. Получаем противоречие. Значит, точки и совпадают.

Определим точку на такую, что четырёхугольник вписанный и докажем, что Ясно, что это равносильно тому, что

Пусть В силу вписанности Значит, треугольник равнобедренный, то есть Угол равен как внешний у треугольника Угол также равен потому что треугольник равнобедренный. Значит, треугольник равнобедренный и Получили требуемое.

В силу симметрии Удвоим медиану до точки тогда Треугольники и равны, следовательно,

а значит,

Таким образом, отрезки и равны и параллельны, т.е. — параллелограмм, и

Проведём через точку прямую, параллельную Отметим на ней точку так, что Заметим, что — параллелограмм. Значит, достаточно доказать, что

Углы и равны (по ) как противолежащие. Значит, треугольник равносторонний. Таким образом, Также нетрудно видеть, что Значит, треугольники и равны по первому признаку ( — общая сторона). Отсюда вытекает равенство и