Алгебраические текстовые задачи

Попробуем подобрать пример, когда все попарно различны. Для упрощения давайте предположим, что и равны каким-то функциям от Например, . Переменные не должны быть равны, а значит Подставим в равенство:

Это уравнение имеет корень (мы сразу исключили Он не противоречит ОДЗ и не равен Значит, мы нашли пример.

Например, можно взять Тогда

Заметим, что Если вместо подставить многочлен поделить на и внести константы в кубы, то получим равенство:

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч ( > 0). Тогда скорость первого автомобиля составляет ( ) км/ч. часов был в пути второй автомобиль, часов — первый.

По условию задачи первый автомобиль приезжает в пункт назначения на час раньше второго, поэтому можем записать:

По теореме Виета:

не может являться решением задачи. Поэтому км/ч — скорость второго автомобиля. А скорость первого автомобиля на км/ч больше.

Из условия следует, что делится на Тогда на также делится число Тогда поэтому и, следовательно, мальчиков меньше.

Заметим, что и имеют одинаковые остатки при делении на Следовательно, в сумме для каждого будет слагаемых вида дающих одинаковые остатки при делении на Сумма этих слагаемых делится на сумма всех слагаемых разбивается на таких сумм, а потому тоже делится на

Обозначим количество участников, которые участвовали:

• ровно в одной олимпиаде — через ,
• ровно в двух олимпиадах — через ,
• ровно в трёх олимпиадах — через .

По условию задачи известно, что:

Всего в олимпиаде по математике участвовало 80 человек, по физике — 55, по информатике — 45. Суммарное количество участников с учётом пересечений:

Учитывая пересечения:

• те, кто участвовал в двух олимпиадах, посчитаны дважды,
• те, кто участвовал в трёх олимпиадах, посчитаны трижды.

Общая формула для числа участников с учётом всех пересечений:

Подставим в это уравнение:

Таким образом, .

Заметим, что 51 день — это 15 недель и 2 дня, а 12 недель и 13 дней — это 13 недель и 6 дней. Тогда до возраста 23 года и 6 дней остается недели и 2 дня. Тогда до возраста 23 года Грише остается 1 неделя и дня, то есть всего дней.

С момента, когда Дим Димычу было лет, прошло столько же лет, сколько пройдет до момента, когда Дим Димычу будет так как когда Дим Димычу было Симке было столько лет, сколько Нолику сейчас, а когда Дим Димычу будет Нолику будет столько лет, сколько Симке сейчас. Следовательно, с момента, когда Дим Димычу было лет до момента, когда ему будет прошло дважды столько же лет, сколько прошло до сегодняшнего дня. Тогда до сегодняшнего дня с момента, когда Дим Димычу было 11 лет, прошло ровно года. Тогда Дим Димычу лет.

Пусть у короля и королевы было дочерей. Пусть также между двумя описанными моментами прошло лет.

Изначально разность суммарного возраста родителей и суммарного возраста детей равнялась лет, а через лет она стала равна Поскольку каждый год эта разность уменьшалась на лет (ведь на 1 год становится старше каждый из детей и каждый из двух родителей), то

Ясно, что Разберем несколько случаев

1.

и Тогда что невозможно, ведь детей не больше

2.

Тогда и детей всего было Это возможно, например, если детей сначала сыновьям было года, а дочерям — лет. Тогда суммарно детям лет, а через лет им в сумме будет как и королю и королеве в сумме.

3.

Тогда и детей всего было Такой случай возможен, например, если в семье в первый момент времени трём сыновьям было года, а шести дочерям было лет. Тогда суммарно детям было лет — столько же, сколько лет королю и королеве. А через лет им суммарно стало лет, как и королю и королеве в сумме.

Обозначим количество мужчин и женщин в поезде за , так как их равное количество. По условию количество детей равно половине всех мужчин, тогда получаем, что детей всего . С другой стороны, количество детей на меньше, чем всего женщин в поезде, что равняется . Так как мы считали детей, то получаем следующее уравнение:

Умножим обе части на :

Получили, мужчин и женщин по , а детей всего . Итого пассажиров — .

Пусть время на работу равно , а время на отдых тоже равняется

Обозначим за дополнительное время то время, которое Оля теряет в отдыхе.

Тогда по условию, если она тратит в два раза больше времени на учебу, то дополнительное время равно от времени отдыха. То есть, если к времени работы добавить еще одно время на учебу, то дополнительное время равно

Также по условию, если она тратит в два раза больше времени на фильм, то дополнительное время равно от времени отдыха. То есть, если к времени работы добавить еще одно время на фильм, то дополнительное время равно

Пусть дополнительное время на готовку составляет частей от отдыха. Тогда дополнительное время равняется Заметим, что если взять все дополнительные времена из каждого пункта и сложить, то получится общее время работы, то есть Тогда получили следующее уравнение:

Так как есть в каждом элементе уравнения, то его можно не писать.

Тогда дополнительное время на готовку составляет , то есть половину от всего времени. Значит, время на отдых стало меньше на от всего времени.

Преобразуем часы в дни с остатком:

Если от января отнять дня, получаем октября. Теперь отнимаем часов от октября, что приводит нас к предыдущего дня, то есть октября.

Введем обозначения: — доля изготовленного инструмента первого сорта, — второго сорта, — третьего сорта.

Для инструмента первого сорта получим уравнение:

Для инструмента третьего сорта получим уравнение:

Воспользуемся условием, что , и получим систему уравнений:

Пусть доли сотрудников, имеющих удостоверение НАКС в каждой бригаде, составляют соответственно. Указанные доли составляют геометрическую прогрессию, следовательно, по признаку геометрической прогрессии

Пусть количество сотрудников (сварщиков) в каждой бригаде составляют соответственно.

Также по условию при соотношении сотрудников бригад процент имеющих удостоверение НАКС равен Это означает, что следовательно, запишем:

А значит,

По условию, при соотношении сотрудников бригад процент имеющих удостоверение НАКС равен Это означает, что следовательно, запишем:

А значит, . Получили систему из трёх уравнений:

Пусть расстояние между городами А и Б равно скорость течения реки равно собственная скорость лодки равна Тогда составим уравнение:

Так как они встретились на расстоянии метров от города А, то это значит, что время, за которое они добрались до этой точки, будет одинаковое.

Из условия получим второе уравнение:

После преобразований получаем два уравнения:

Так как скорость лодки не может быть нулем, то этот корень мы исключаем. Выразим

Тогда расстояние будет равно метров.

Первое решение. Назовём быстрого и медленного таракана и соответственно. Если таракан бежит в том же направлении, что и в момент старта, то будем говорить, что он бежит вперёд, в противном случае будем говорить, что он бежит назад.

До первой встречи оба таракана бегут вперёд, между первой и второй встречами бежит вперёд, а — назад. Между второй и третьей встречами оба таракана бегут назад, а между третьей и четвёртой встречами бежит назад, а — вперёд. Наконец, на четвёртой встрече разворачивается, и они оба снова начинают бег вперёд.

Будем следить за перемещением Если между двумя встречами тараканы бегут в противоположные стороны, между такими встречами всегда проходит одно и то же время, а значит, всегда пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, между первой и второй встречами, а также между третьей и четвертой встречами пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Аналогично, когда между двумя встречами тараканы бегут в одном направлении, это тоже всегда занимает одинаковое время, и пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, до первой встречи, а также между второй и третьей встречами также пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Стало быть, в момент четвертой встречи (а значит, и ) будет в точке старта.

Далее эта ситуация будет повторяться каждые встречи. Следовательно, в точке старта тараканы будут и в момент сотой встречи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Обозначим тараканов так же, как и выше; пусть их скорости равны м/с. Для определенности будем считать, что изначально тараканы бегут по часовой стрелке, и расстояние будем отмерять именно в этом направлении.

Когда тараканы бегут в одну сторону, скорость удаления от равна , поэтому до первой встречи они будут бежать секунд, и до встречи пробежит метров. Дальше тараканы будут двигаться навстречу друг другу со скоростью сближения поэтому до второй встречи они будут бежать секунд, и до этой встречи сместится от точки старта на

Дальше оба таракана будут бежать против часовой стрелки в течение секунд, поэтому общее смещение от точки старта будет равно

т.е. в итоге он сместится на расстояние против часовой стрелки. Наконец, после этого развернётся, и они будут бежать в противоположных направлениях секунд. Следовательно, их четвёртая встреча произойдёт на расстоянии

от точки старта.

Таким образом, в четвёртый раз они обязательно встречаются в точке старта и после встречи снова побегут по часовой стрелке. Но тогда их сотая встреча также произойдет в точке старта.

Первое решение. Заметим, что числа и получаются друг из друга перестановкой цифр.

Пусть теперь

Положим

Заметим тогда, что

Иначе говоря, десятичная запись числа состоит из блоков и (дважды), разделённых нулями; у числа же эти блоки суть и (дважды). Поскольку блоки и отличаются перестановкой цифр, а блоки и одинаковы в обоих записях. Также количества разделяющих нулей в обоих случаях одинаковы, получаем, что число удовлетворяет требованиям.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Предположим, что нам удалось найти такое число (возможно, с ведущим нулём), что набор цифр в десятичной записи числа отличается от набора цифр в десятичной записи числа выкидыванием цифры и добавлением цифры (иначе говоря, если к числу приписать единицу, а к — четвёрку, то полученные числа отличаются перестановкой цифр). Тогда в качестве числа можно выбрать (где и больше количества цифр в числе ). Действительно, имеем

и мы опять видим, что эти числа состоят из блоков и разделённых нулями, а блоки получаются друг из друга перестановкой цифр (по условию на и и так как одинаково в обоих случаях).

Осталось найти такое число Если, например, потребовать, чтобы запись числа получалась из записи числа циклическим сдвигом и заменой 4 на 1, то такое число нетрудно найти, выписывая его цифры с конца. Подойдет, например, пара

Примером могут служить числа вида где в качестве можно взять любое число, состоящее из одинакового количества всех цифр от до например, любую перестановку цифр где не является первой цифрой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. На самом деле, можно показать, что все возможные примеры устроены так. Заметим, что каждая из цифр появляется по разу в разряде единиц у рассматриваемых чисел. Предположим, что наименьшее из чисел на доске заканчивается не нулем, то есть происходит переход через разряд между числами, оканчивающимися на и

Рассмотрим последовательность из 10 подряд идущих натуральных чисел:

Предположим, что в этой последовательности происходит переход через степень (например, от к ). Иными словами, есть числа разной длины. Пусть числа от до имеют цифр, а числа от до – цифр, где Тогда:

• Количество чисел с цифрами:
• Количество чисел с цифрами:

Так как всего 10 чисел:

Общее количество цифр:

По условию, общее число цифр делится на (каждая из 10 цифр встречается одинаковое количество раз), получаем противоречие, ведь не делится на Следовательно, переход невозможен, и все 10 чисел имеют одинаковое количество цифр

Рассмотрим число то есть все разряды исходного без единиц, количества вхождений цифр в эти разряды также равны между собой. Пусть оно имеет вид:

где – это первая с конца цифра не равная 9, тогда

Заметим, что в точно входит каждая цифра, отличная от ведь иначе и имеют больше вхождений: в этом случае у них есть вхождение в некоторые числа не в разряде единиц, а другие его не имеют, поскольку второй переход через разряд в последовательности невозможен. Тогда для них общее количество вхождений в разряды за исключением единиц кратно ведь не меняется при переходе через разряд. Тогда это верно и для всех цифр. Заметим, что среди есть хотя бы одно число не равное или и количество его вхождений в разряды, кроме единиц, по модулю равно количеству чисел либо до перехода через разряд, либо после, то есть не равно противоречие.

Цифра входит суммарно раз, где — количество вхождений в запись то есть в записи всех цифр поровну, тогда последовательность имеет требуемый вид:

Если число

хорошее для Пети, то число

является хорошим для Васи. Значит, если для Пети есть хороших чисел, то мы предъявили различных чисел, хороших для Васи, и все они строго меньше, чем Но число

также является хорошим для Васи; поэтому для Васи есть хотя бы хорошее число.