Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи → .05 Задачи на работу

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#44157Максимум баллов за задание: 7

Для бригады маляров-учеников была запланирована окраска $360$ кв.м. стен. Перед началом работы один из учеников заболел, и вместо него работал мастер, производительность которого в $3$ раза больше производительности каждого из учеников. Поэтому каждый из учеников в действительности покрасил на $6$ кв.м. меньше, чем планировалось. Все ученики и мастер работали одинаковое время. Сколько учеников работало?

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте посмотрим, если всего учеников x, а покрасить надо было 360, то каждый должен был покрасить по 360/x, а покрасил 360/x - 6.

Подсказка 2!

2) Как бы нам записать, сколько покрасил мастер? Так как его производительность была в три раза больше, давайте считать, что добавление мастера это то же самое, что добавить трех учеников вместо одного! Попробуйте в таком случае записать уравнение на то, сколько в итоге было покрашено детьми и мастером!

Показать ответ и решение

Мастер работает в три раза быстрее, поэтому в суммарной производительности его можно считать за троих учеников.

Если всего учеников изначально было $n$ , то каждый планировал покрасить $360- n$ , а по факту покрасил $360 n − 6$ . Мастер красил вместе с ними как три ученика, а ещё один ученик заболел, поэтому суммарно они покрасили $(360 ) (n+ 3− 1)⋅ n − 6 =360$ . Осталось решить полученное уравнение

(60 ) (n+ 2) n-− 1 = 60

60+ 120− 2− n= 60 n

n2+ 2n− 120= 0

n =10

Изначально было $n =10$ учеников, но так как один заболел, то всего работало $9$ .

Ответ:

$9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#83946Максимум баллов за задание: 7

Том Сойер, Сид Сойер и Гек Финн красили забор. Вначале Том красил один в течение времени, за которое Сид и Гек, работая вместе, могли бы покрасить половину забора. Затем красил один Сид в течение времени, за которое Том и Гек, работая вместе, могли бы покрасить $5 4$ всего забора. Потом красил один Гек в течение времени, за которое Том и Сид работая вместе, могли бы покрасить четверть всего забора. В результате забор был покрашен. Во сколько раз быстрее они окончили бы работу, если бы с самого начала все время работали вместе? (Предполагается, что скорость работы каждого мальчика постоянна.)

Показать ответ и решение

Обозначим через 1 всю работу по окраске забора, через $x,y$ и $z$ производительность Тома, Сида и Гека соответственно, а через $t,t ,t 1 2 3$ — промежутки времени, в которых Том, Сид и Гек соответственно работали по одному. Тогда, по условию,

1 5 1 (y+ z)t1 = 2, (x+ z)t2 = 4, (x+ y)t3 = 4, xt1+ yt2+ zt3 =1.

При этом найти нужно

t +t +t 1--12--3-=(x+ y+ z)(t1+t2+ t3)= x+y+z

1 5 1 xt1+ (y+ z)t1+yt2+ (x+ z)t2+ zt3+ (x+ y)t3 = 1+ 2 + 4 + 4 =3

Ответ: в 3 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#44158Максимум баллов за задание: 7

Для перевозки $60$ тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки $120$ тонн песка оказалось необходимо на $5$ рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Начнем составлять уравнение! Пусть у нас грузоподъемность это t, а рейсов в первом случае (перевозка 60 тонн) будет k. Запишите тогда, что мы исходя из этого можем понять про t и k?

Подсказка 2!

2) Вот что: t(k-1) < 60 <= t(k), так как у нас не хватило k-1 рейса, а k рейсов хватило! Попробуйте теперь записать аналогичное условие для второго случая перевозки 120 тонн.

Подсказка 3!

3) Теперь давайте разделим оба уравнения на t! И попробуем понять, каким может быть в таком случае).

Показать ответ и решение

Пусть грузоподъёмность равна $t$ (тонн/рейсов), а для перевозки $60$ тонн понадобилось сделать $k$ рейсов, тогда в тоннах имеем

{ t(k − 1)< 60≤ tk { 2(k− 1) <2⋅ 60 ≤2k ⇐⇒ 120 t t(k +4)< 120 ≤t(k+5) k +4 < t ≤ k+ 5

Отсюда также выполнены неравенства

{ 2(k− 1)< 120≤ k+5 { 2(k− 1)<k +5 k+ 4< 120t≤ 2k =⇒ k +4 <2k ⇐ ⇒ 4 <k <7 t

При $k= 5$

{ 4t<60≤ 5t [ 40) 9t<120≤ 10t ⇐ ⇒ t∈ 12, 3

При $k= 6$

{ [ ) 5t< 60 ≤6t ⇐ ⇒ t∈ 120,12 10t<120≤ 11t 11

Ответ:

$[120;40) 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#83953Максимум баллов за задание: 7

Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за 8 часов. Второй потратил больше 2 часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на 3 часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через 1 час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Источники: ОММО-2011, номер 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать, это что-то в задаче неизвестное обозначить за переменную. Что в этой задаче идеально подходит на эту роль?

Подсказка 2

Верно, давайте обозначим за x время наладки оборудования. Значит, нам нужно получить какое-то соотношение, чтобы найти это время. Мы понимаем, что второй работал 8 - 3 - x = 5 - x часов. Теперь осталось воспользоваться вторым условием задачи. Если обозначить объём работы за единицу (как обычно в задачах такого рода), то сколько сделает за час второй?

Подсказка 3

Да, он выполнит 1/(5 - x) часть работы. Получается, что для уравнения нам только не хватает понять, сколько к тому времени сделал первый. Но мы ведь знаем, что он уже работал x+1 часов к тому моменту. Тогда как можно найти количество сделанной работы за это время?

Подсказка 4

Верно, давайте просто составим пропорцию. Мы знаем, что за 8 часов первый сделал всю работу, а за x+1 часов неизвестно. Отсюда найти неизвестное количество работы легко. Теперь из условия получается уравнение на x. Какие значения у вас получились? А все ли из них удовлетворяют условию?

Подсказка 5

Ага, по условию сказано, что второй чинил оборудование больше двух часов, поэтому остаётся только один вариант. Теперь мы знаем производительность первого и второго, осталось только посчитать отношение. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — время, потраченное на наладку оборудования. Тогда второй рабочий работал (на оборудовании) $8− 3− x= 5− x$ часов, делая за час столько же, сколько первый за $x+ 1$ час. Следовательно,

8 x+ 1 5-− x =-1--

Получаем, что $x2− 4x +3 =0$ . Но по условию $x> 2$ , значит, $x= 3$ , а искомое отношение равно

x+11 =4

Ответ: в 4 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#83955Максимум баллов за задание: 7

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Источники: ПВГ - 2010, Омск, 10-11 классы, №1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько времени каждый день бабушка тратит на чтение незнакомых страниц? (Понятно, что если мы хотим получить число всех страниц в книге, важны только незнакомые страницы)

Подсказка 2

Каждый день, кроме первого, час тратится на чтение знакомого текста, а 4 часа — на чтение незнакомого.

Подсказка 3

Осталось ввести переменную — количество дней — и с помощью неё записать уравнение, определяющее общее число страниц в книге (не забывая про первый день).

Показать ответ и решение

В первый бабушка прочитала $5⋅10= 50$ страниц. Каждый следующий день бабушка тратила $20 :20 =1$ час на чтение знакомого текста. Значит, у нее остается $4$ часа на новый текст.

Пусть $n$ — число дней, которые бабушка читала книгу. Тогда за все дни, кроме первого, она читает $4⋅10 ⋅(n− 1)= 40(n− 1)$ страниц. Получаем уравнение

50+ 40(n− 1)=970

Таким образом, $n= 24.$ Так как бабушка начала читать в понедельник, то закончила она в среду, так как $n≡ 3 (mod 7).$

Ответ: в среду

Предыдущая подтема

Следующая подтема