Тема АЛГЕБРА

Геометрия помогает алгебре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Геометрия помогает алгебре

Задачи на движение: графический подход

Увидеть расстояние между точками

Увидеть треугольник

Увидеть векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#98294Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Складывать удвоенный арктангенс и арксинус? Ну нет, мы так не умеем. Зато мы умеем, например, с помощью формулы тангенса суммы складывать арктангенсы. Тогда давайте подумаем, как выразить арктангенс через арксинус?

Подсказка 2

Вспомним, что мы хорошо умеем связывать тангенс в квадрате и косинус в квадрате. А из этого соотношения и тангенс в квадрате и синус в квадрате. Значит, имея арксинус, мы умеем считать тангенс. А из него и арктангенс.

Подсказка 3

Пусть arcsin(4/5)=α. Тогда sin(α)=4/5. С помощью этой информации найдём tg(α) и arctg(α).

Подсказка 4

Теперь осталось подумать, как нам посчитать сумму двух арктангенсов? Давайте попробуем для начала найти тангенс исходного выражения

Подсказка 5

Если arctg(2)=β, то tg(β)=2, и тангенс исходного выражения можно переписать как tg(2β+α), что мы умеем представлять в терминах tg(α) и tg(β), а их мы знаем из условия задачи!

Подсказка 6

Вспомним формулы тангенса суммы и тангенса двойного угла. По очереди применим их. Например, можем отдельно посчитать тангенс двойного угла, а потом раскрыть тангенс суммы и туда подставить все известные нам значения.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

$PIC$

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $∘ OCD :∠ODC = 90$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#127819Максимум баллов за задание: 7

Ровно в $9:00$ из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в $11:00?$ Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Показать ответ и решение

Изобразим условие задачи в координатах по времени и положению в пространстве. Пусть точка $A′$ соответствует нахождению в пункте А в $9:00,$ автомобиль выехал из нее и прибыл в пункт Б, пусть это произошло в точке $B.$ Проехав $2 3$ пути, водитель заметил, что в сторону пункта А выехал велосипедист. Обозначим эту точку за $X.$ Пусть расстояние от A до Б равно $3x,$ тогда $′ A X =2x,$ $XB = x.$ В то же время, что автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б выехал автобус в пункт А. Следовательно, момент выезда автобуса соответствует точке $B.$ Автобус прибыл в пункт А в $11:00,$ пусть это будет точка $C.$ Когда автобусу оставалось проехать $2 5$ пути, он поравнялся с велосипедистом, обозначим эту точку за $Y.$ Пусть расстояние от A до B равно $5y,$ тогда $BY = 3y,$ $YC =2y.$ Продлим прямую $XY$ до пересечения с осью $t$ в точке $Z.$

$PIC$

Точка $Z$ будет соответствовать прибытию велосипедиста в пункт A, так как он двигался с постоянной скоростью. Рассмотрим треугольник $A′BC$ и прямую $XZ.$ По теореме Менелая

′ A-X-⋅ BY-⋅ CZ′ =1 XB YC ZA

Получим, что

ZA′= 3 CZ

Поскольку точка $A′$ соответствует $9:00,$ точка $C$ — $11:00,$ выходит, что точка $Z$ будет соответствовать $12:00.$

Ответ:

$12:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#64356Максимум баллов за задание: 7

Пункты $A$ , $B$ , $C$ расположены последовательно, причём расстояние $AB$ равно 3 км, а расстояние $BC$ равно 4 км. Из пункта $A$ выехал велосипедист и поехал в пункт $C$ . Одновременно с ним из пункта $B$ вышел пешеход и направился в пункт $A$ . Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты $A$ и $C$ одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта $A$ они встретились.

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые и конечные точки у пешехода и велосипедиста разные. Длину какого отрезка мы тогда хотим найти?

Подсказка 2

Конечно проекции отрезка велосипедиста на ось расстояния! При этом мы знаем длину проекции всего отрезка велосипедиста. А что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений и вычислить искомую длину.

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

Тогда по условию $XZ =3$ и $TY = 7.$ Из признака подобия $OX-= XZ= 3. OY TY 7$ Отсюда доля пути из $A$ в $C$ , которую проехал велосипедист до его встречи с пешеходом равна $OX- 3- XY = 10$ . Значит, от точки встречи до пункта $A$ расстояние $-3 10 ⋅AC = 2,1.$

Ответ:

2100 метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#77219Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение: есть в нем какие-то элементы, на которые стоит обратить внимание?

Подсказка 2

Что особенного в модуле и x²? Может быть, они смогут как-то сократить количество х, которые нужно рассмотреть?

Подсказка 3

Какие значения х достаточно рассмотреть, если у нас есть четные функции слева и справа?

Подсказка 4

Раз решаем уравнение, то что стоит записать?

Подсказка 5

Так как взяли для рассмотрения только x≥0, то что можно сделать на ОДЗ?

Подсказка 6

После раскрытия модуля останутся два выражения с корнем. Что обычно делаем в таком случае?

Подсказка 7

Да, стоит возвести в квадрат. Но что можно сделать, чтобы эта операция прошла проще, чем если возводить части уравнения в текущем виде?

Подсказка 8

Перенесли +х вправо, чтобы упростить конструкцию, и возвели в квадрат. Но корень все еще остался. Что можно сделать, чтобы избавиться от него окончательно?

Подсказка 9

Да, снова оставить корень с одной стороны, а все остальное перенести в другую. Можно бы было, конечно, после этого честно раскрывать квадраты, но решать уравнения четвертой степени явно не хочется. Может быть, заметите что-то общее между левой и правой частью?

Подсказка 10

Может быть, в выражении справа можно сделать какое-то преобразование, чтобы вышло похоже на выражение слева? И стоит вспомнить, что сумму трех элементов можно представить, как сумму двух.

Подсказка 11

x⁴ + x² = x²(x² + 1). Можно ли с помощью этого как-то объединить левую и правую часть в одно выражение?

Подсказка 12

(a+1)² - 4a = 0. Ничего не напоминает?

Подсказка 13

Выразили как квадрат разности, и теперь осталось простое биквадратное уравнение.

Подсказка 14

Не забудьте, что мы рассматривали только часть допустимых х!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим

±(x∘1-− x2+ x)≤ 1⋅∘1+-x2

Равенство достигается, если вектора пропорциональны(косинус угла между ними равен $1$ ), то есть

√----- -1−-x2= x x 1

∘1-−-x2 = x2

√- x2 =-5−-1 2

Ответ:

$±∘ √5−1- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#80604Максимум баллов за задание: 7

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4=1$ (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная $AYV$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV =PT = AB =4$ .

$PIC$

Так как треугольник $XY Z$ подобен треугольнику $UV Z$ , то

XZ-= XY-= 1, ZU UV 3

а так как треугольник $XP Z$ подобен треугольнику $UT Z$ , то

PZ- XZ- 1 ZT = ZU = 3.

Значит,

UV 4 P Z =-4- =4 = 1

Ответ: 1 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#80603Максимум баллов за задание: 7

В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее вышел катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось идти 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый» развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», «Смелый» развернулся и направились обратно в Нижнее. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если скорости катеров в стоячей воде одинаковые и постоянны.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от Верхнего относительно времени.

Подсказка 2

Обозначаем за S расстояние между Верхним и Нижним, а Т — время «Быстрого» вниз по течению, обозначаем на графике всю известную информацию, и пользуемся фактами планиметрии, в том числе подобием треугольников, чтобы выражать те отрезки, которые можем.

Подсказка 3

Находим, какие есть варианты для S и помним о том, что по течению корабли плывут быстрее, чем против, чтобы на основе этого составить строгую оценку!

Показать ответ и решение

Графики движения катеров в осях время и расстояние изображены на рисунке:

$PIC$

Ломаная $ABC$ - график движения «Быстрого», а ломаная $DEF$ «Смелого». Пусть $S$ расстояние (в километрах) от Верхнего до Нижнего, $T$ — время (в минутах) движения «Быстрого» вниз по течению. Из подобия треугольников $ABC$ и $DEF$ получаем $S−S−1∕12= 1188−T$ .

Из подобия треугольников $CHG$ и $CBQ$ : $S1−∕21∕2-= 184−T-$ . Из этих равенств получаем $S−-1∕2= -18∕8-= ---9-- ⇔ 4(S − 1∕2)2 =9(S− 1)⇔ 4S2 − 13S+ 10= 0 S−1 S−1∕2 4(S−1∕2)$ Значит или $S = 2,$ или $S = 5 4$ . Так каk $T$ и 18 - Т времена прохождения одного и того же пути по и против течения, то $T < 18− T ⇔ T < 9.$ Поэтому получаем $S−-1∕2= -18-< 2⇔ S > 3 S−1 18−T 2$ .

Ответ: 2 км

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#64355Максимум баллов за задание: 7

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые точки у пешехода и всадника разные как по времени, так и по “расстоянию” относительно кого-то из них. Соотношение длин каких отрезков мы хотим найти?

Подсказка 2

Нам нужны проекции отрезков пешехода “до встречи” и “всего пути” на ось расстояния. Что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

По условию $YZ = 10$ , а $XT =12− 7= 5$ . Пусть $XY$ и $TZ$ пересекаются в точке $O.$

Из подобия $OX- TX- 5- 1 OY = YZ = 10 = 2.$ Отсюда доля пути из $A$ в $B$ , которую прошел пешеход до его встречи со всадником равна $OX- 1 XY =3$ .

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#91961Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее значение выражения

∘-----2--- ∘-2---2 ∘-----2--- (x− 9)+ 4+ x + y + (y− 3)+ 9.

Показать ответ и решение

Пусть $A(0,0)$ , $B(x− 9,2)$ , $C(−9,2+y)$ , $D(−12,5)$ . Заметим, что

∘-----2--- ∘ -2--2- ∘ ----2---- ∘--2---2 (x− 9) +4+ x +y + (y− 3) +9= AB + BC +CD ≥ AD = 12 + 5 =13

Осталось показать, что значение $13$ достигается. Для этого точки должны лежать на одной прямой. Значит, $(x− 9):2= −9:(2+y)= −12:5$ , $24 21 x= 9− 5 = 5$ и $45 21 y = 12 − 2= 12$ . Тогда $A (0,0)$ , $24- B (− 5 ,2)$ , $45- C(−9,12)$ , $D(−12,5)$ , эти точки лежат на прямой и именно в таком порядке. Значит, $AB + BC +CD = AD$ .

∘--------- ∘ ------ ∘--------- (x− 9)2 +4+ x2 +y2+ (y− 3)2 +9.= 5.2+ 4.55+3.25= 13

Ответ: 13

Следующая подтема