Логика → .06 Истинные и ложные высказывания

Рассмотрим фразу «…являются четными или делятся на 6». Число подходит под это условие, если хотя бы одна из частей условия верна, ведь эти части соединены союзом «или». Но заметим, что если верна вторая часть фразы, то есть число делится на 6, то оно также является четным, значит, верна и первая часть фразы. Поэтому числа подходят под это условие, просто если они являются четными. А четных чисел от 1 до 60 ровно половина, то есть штук. Значит, 30 чисел Совунья сотрет и столько же останется на доске.

Проанализируем, в каком случае оба утверждения будут истинны. Первое утверждение истинно, если выполнены оба условия, ведь они соединены союзом “и”. Первая часть уже верна, значит, надо вставить такое число, на которое делится 24.

Второе утверждение истинное, если выполнено хотя бы одно условие, ведь они соединены союзом “или”. Первая часть уже не верна, так как 11 не делится на 3. Значит, должна быть верна вторая. Поэтому число, которое надо вставить, должно делить 11.

Одновременно и 24, и 11 делятся только на одно натуральное число — это 1. Поэтому другие числа вставить нельзя, а вот 1 подходит.

Никакой житель острова не может произнести фразу “Я тролль!”: эльф в таком случае солгал бы, а тролль, наоборот, сказал бы правду, чего не может быть. Значит, именно вражеский лазутчик сказал “Я тролль!”

Сначала построим отрицание к утверждению Мисс Барашкис. Она считает, что никакое число, больше 1000, и т. д. Значит, это общее высказывание (оно про ВСЕ числа, большие 1000), поэтому отрицанием будет служить высказывание о существовании.

Таким образом, начать надо, например, так: существует число, большее 1000, которое…Которое что? Которое не подходит под утверждение Мисс Барашкис, то есть делится на каждую из своих цифр. Целиком отрицание звучит так: “Существует число, большее 1000, которое делится на каждую из своих цифр”.

И оно действительно существует: например, подходит число 1111. Таким образом, верно отрицание утверждения Мисс Барашкис, значит, само утверждение Барашкис неверно. И чтобы это доказать, Джуди достаточно привести контрпример, скажем, число 1111.

Комментарий. При желании можно составить и число из разных цифр. Например, подходит также 1236.

Попробуем более ясно сформулировать утверждение Совуньи: существует натуральное число, составленное только из цифр 1 и 3, делящееся на 4. Это утверждение о существовании. Отрицанием к этому утверждению будет служить общее утверждение.

Можно, например, начать так: “Все натуральные числа, составленные из цифр 1 и 3, …”. А что именно про эти числа мы хотим сказать? Совунья говорит, что одно из таких числе делится на 4, значит, нам нужно сказать, что таких чисел не существует! Поэтому фраза может звучать так: “Все натуральные числа, составленные из цифр 1 и 3, не делятся на 4”. Или по-другому: “Ни одно натуральное число, составленное из цифр 1 и 3, не делится на 4. Последние два утверждения об одном и том же.

Итак, теперь понятно, что делать Нюше: объяснять, почему чисел, составленных из цифр 1 и 3, делящихся на 4, не существует. Действительно, если число делится на 4, то оно должно быть как минимум четно. Но любое число, составленное из цифр 1 и 3, нечетно. Значит, таких чисел, то есть состоящих из цифр 1 и 3 и делящихся на 4, не существует!

Подобные рассуждения и нужно привести Нюше, чтобы объяснить Совунье, почему она не права.

Комментарий. Обратите внимание, что здесь Нюше не достаточно просто привести пример числа, состоящего из цифр 1 и 3 и не делящегося на 4: это не будет контрпримером к утверждению Совуньи! Здесь именно надо объяснить, почему таких чисел, состоящих из цифр 1 и 3 и не делящихся на 4, вообще не существует, ни одного!

Для того, чтобы надпись на коробке с синей ручкой была неверна, ее необходимо положить в коробку для карандашей. А теперь черная ручка может лежать только в коробке с надписью “синие ручки”, ведь если она окажется в коробке с надписью “ручки”, то эта надпись будет верна, а коробка для карандашей уже занята.

Так как день рождения Нюши в мае, то из четырех имеющихся вариантов подходит только период с 25 мая по 15 июня. Значит, больше ни у кого другого в это время дня рождения нет. Также нам известно, что Крош празднует день рождения не в январе и не в сентябре, в итоге у него остается лишь одна возможная дата: 6 ноября.

Для Лосяша остались две даты: 1 января или 21 сентября. Так как по условию он отмечает день рождения не в сентябре, то подходит только 1 января. Значит, Бараш празднует день в единственную оставшуюся дату: 21 сентября.

Если слова Кроша верны, то согласно условию именно он должен быть виновным, но при этом он утверждает обратное. Значит, слова Кроша неверны, и на самом деле Ёжик не виновен. Но сам Крош тоже не виновен, ведь он соврал, а в ходе заседания выяснилось, что именно тот, кто виновен по данному делу, дал правдивые показания. Итак, ни Крош, ни Ёжик не виновны, значит, во всем виновна Нюша.

Заметим, что если Кар-Карыч прав, то Лосяш прав тем более, поэтому в этом случае ни один из служащих не ошибся бы. Поэтому на самом деле Кар-Карыч не прав, но прав Лосяш. Значит, Нюше не больше 13 лет, но больше 12. Единственное число, подходящее под такие условия, — ровно 13, откуда и ответ.

Так как Арнольд стоит между носорогом и тигром, то он либо буйвол, либо слон. Но нам известно, что слон стоит с краю, значит, Арнольд буйвол. Далее, тигр, по сказанному выше, стоит рядом с Арнольдом, но по условию он также стоит рядом с Бенедиктом. При этом тигр не стоит рядом с носорогом, потому что между ними стоит буйвол Арнольд. Значит, тигр стоит рядом со слоном, и того зовут Бенедикт.

Рассмотрим высказывание Кроша. Если он сказал правду, то получается, что и Ёжик, и Крош соврали. Но тогда высказывание Кроша ложно, а мы предположили, что он соврал. Противоречие, значит, Крош соврал.

Получается, что неверно, что они оба соврали. Поэтому хотя бы один сказал правду. Но раз Крош соврал, то правду мог сказать только Ёжик. Значит, в Ромашковой долине не бывает дождей.

Рассмотрим золотой костюм. Будем по очереди добавлять к нему в пару по одному из оставшихся костюмов. Применим условие: какие бы два костюма он ни выбрал, в выбранной паре найдется красный костюм. В составленной паре один из костюмов золотой. Поэтому красным является костюм, который мы к золотому добавили. Значит, каждый из остальных костюмов красный.

Посмотрим на условие “среди любых предметов есть молот”. Оно означает, что какие бы предметов мы ни взяли, среди них обязательно найдется молот. Значит, предметов, не являющихся молотами, у Кар-Карыча нет, то есть не-молотов у Кар-Карыча не более . Таким образом, у Кар-Карыча хотя бы молотов.

Также посмотрим на условие “среди любых предметов есть секира”. Оно означает, что какие бы предметов мы ни взяли, среди них обязательно найдется секира. Значит предметов, не являющихся секирами, у Кар-Карыча нет, то есть не-секир у Кар-Карыча не больше . Тогда у Кар-Карыча по крайней мере секир.

Итак, мы выяснили, что у Кар-Карыча по крайней мере молотов и по крайней мере секир. Если у него был бы еще какой-то предмет, то в сумме получилось бы хотя бы предмет, а по условию сказано, что их всего . Значит, никаких других предметов у Кар-Карыча нет. Поэтому у Кар-Карыча всего два вида оружия.

Замечание. На самом деле молотов ровно , а секир ровно , ведь будь хоть какого-то предмета больше, то и в сумме предметов было бы больше, чем .

Предположим, что сегодня солнечно и у Кар-Карыча болит голова. Заметим, что условие “если в ромашковой долине пасмурно” не выполнено. Значит, и следствие не обязано выполняться. Поэтому этот пример подходит. Таким образом, сегодня не обязательно пасмурно.

Пусть, например, «фанта» слаще, чем лимонад. Если в коктейле Боба много «фанты», но мало «пепси», а в коктейле Вани много лимонада, но мало сиропа, то сладость коктейля Боба почти не отличается от сладости «фанты», а сладость коктейля Вани почти не отличается от сладости лимонада.

Если позавчера Ёжик заметил, что завтра четверг, то позавчера была среда. Значит, сегодня пятница. Послезавтра будет воскресенье, а “вчера” для воскресенья — это суббота.

Рассмотрим Копатыча. Он не находится рядом сразу с тремя смешариками. Но все-таки с кем-то рядом он точно должен находиться. Значит, он стоит рядом с Ёжиком, и при этом находится либо в начале очереди, либо в конце. Так как по условию Крош стоит впереди Ёжика, то Копатыч и Ёжик не могут стоять в начале очереди. Поэтому Копатыч последний, а Ёжик — предпоследний.

Лосяш и Кар-Карыч не стоят рядом, значит, кто-то из них первый, а кто-то третий. Тогда Крош точно второго. При этом по условию он стоит после Кар-Карыча. Значит, именно Кар-Карыч первый, а Лосяш — третий.

Так как мальчики стояли рядом, то соседи Ани — девочки. Это означает, что возможны только два порядка, в котором могли стоять дети: Б, В, Д, А, Г или В, Б, Д, А, Г. Так как мы знаем про нежные чувства Вовы, ясно, что наш вариант первый. Значит, соседи Гали — Аня и Боря.

Алиса не может быть самой хитрой, т.к. если она сама хитрая, то она хитрее Ларисы, т.е. Алиса сказала правду, но самая хитрая лиса должна была солгать. Лариса тоже не может быть самой хитрой, т.к. она сказала правду про Алису, а самая хитрая лиса должна была солгать. Поэтому остался только один вариант: самая хитрая — Инесса.

Предположим, что Гермиона взяла шляпу. Тогда Рон и Гарри говорят правду по два раза, что тоже невозможно по условию.

Предположим, что шляпу взял Рон. Тогда Гарри врет один раз и Рон солгал один раз, что не возможно по условию.

Предположим, что шляпу взял Гарри. Тогда Гарри сказал правду один раз, Рон ни разу, а Гермиона два раза.