Логика → .06 Истинные и ложные высказывания

Предположим, что ошибся Паша. Тогда его братьям в сумме лет или года. Так как Саше то Мише или Мише в четыре раза больше, чем Паше, значит его возраст делится на четыре, но это не так! Значит, Паша не мог ошибиться.

Предположим, что ошибся Саша. Тогда ему или лет, следовательно, Мише лет или года. Ни одно из этих чисел снова не делится на четыре. Итак, ошибся Миша!

Тогда Мише ровно года. Если бы Миша ошибся в большую сторону, то Паше должно было бы быть в пять раз меньше лет. Но на не делится! Значит, Миша ошибся в меньшую сторону. Тогда Паше лет.

Очевидно, что на вопрос «делится ли оно на », Настя ответила положительно. Тогда отрицательно она ответила на вопрос о другом числе. Заметим, что общие множители среди чисел от до имеют такие группы чисел: Если бы Настя ответила отрицательно на вопрос о делимости на одно из указанных чисел , то оказалось бы, что загаданное ей число делится на причем поскольку на остальные вопросы Настя ответила положительно. Ранее не было рассмотрено только число среди чисел от до поэтому Настя сказала, что ее число не делится на

Предположим, что высказывание 2 ложно, тогда любой семиклассник ниже любого шестиклассника, откуда следует ложность всех остальных высказываний, что противоречит условию о том, что шестиклассники говорили правду. Таким образом, мы доказали истинность высказывания 2.

Пусть высказывание 3 — истина, тогда из его истинности следует истинность всех остальных высказываний, что противоречит условию о том, что семиклассники лгали. Значит, высказывание 3 ложно.

Итого, получим 2 варианта:

– Истинны высказывания 1 и 2

– Истинны высказывания 2 и 4

Покажем, что оба варианта выполняются:

Пусть самый высокий семиклассник ниже самого высокого шестиклассника, при этом самый низкий семиклассник выше самого низкого шестиклассника, тогда высказывания 1 и 2 истинны, а 3 и 4 — ложны.

Пусть самый высокий семиклассник выше самого высокого шестиклассника, при этом самый низкий семиклассник ниже самого низкого шестиклассника, тогда высказывания 2 и 4 истинны, а 1 и 3 — ложны.

Рассмотрим утверждение: “Джуди и Клыкхаузер оба играют в шахматы или оба не играют.” Так как по условию в шахматы играет только один, то первая часть этого сложного утверждения не может быть верна. Но само утверждение при этом верно. Значит, обязательно верна вторая часть, то есть они оба не играют в шахматы. При этом по условию кто-то все-таки играет в шахматы, значит, это Лис Ник.

Рассмотрим два случая: Джуди права или Джуди не права.

Случай 1. Пусть Джуди оказалась права. Так как прав оказался лишь один из друзей, то и Ник, и Клыкхаузер оказались не правы. Раз не прав Клыкхаузер, то в магазине не больше 1000 пончиков. Раз не прав Ник, то в магазине не меньше 1000 пончиков. Значит, в магазине ровно 1000 пончиков, и это один из возможных случаев.

Случай 2. Пусть Джуди оказалась не права. Единственный вариант, при котором Джуди может быть не права, — если в магазине вообще нет пончиков. И такой вариант тоже подходит: Клыкхаузер тогда не прав, а вот Ник прав, и действительно из друзей прав только один.

Итак, мы разобрали оба возможных случая, и в каждом из них нашли подходящий ответ. Поэтому другие варианты невозможны, а найденные нами — вполне.

Оценка

Предположим, что все пять условий могут быть выполнены. Тогда числа , и простые, но при этом одно из них чётное (так как их сумма чётная, а сумма трёх нечётных чисел всегда нечётная).

Так как , то оно не . Значит, четное или , или . Не умаляя общности, пусть . Тогда число чётное и простое, то есть , но тогда ?! Значит, правильных утверждений не более .

Пример

Пусть и . Тогда , и . Получаются четыре верных условия из пяти (составным получилось только ).

Рассмотрим фразу “…являются четными или делятся на “. Число подходит под это условие, если хотя бы одна из частей условия верна, ведь эти части соединены союзом “или”. Но заметим, что если верна вторая часть фразы, то есть число делится на , то оно также является четным, значит, верна и первая часть фразы. Поэтому числа подходят под это условие, просто если они являются четными. А четных чисел от до ровно половина, то есть штук. Значит, чисел Барашкис сотрет и столько же останется на доске.

Так как все участники, кроме Барашкис, выступили хуже, чем ожидали, то никто из них не мог занять первое место: это было бы явно не хуже, чем их ожидание. Значит, первое место могла занять только Мисс Барашкис, а так как кто-то его всё же занял, то это именно она.

Первое утверждение заключается в том, что сумма двух натуральных чисел и нечетна. Про сами числа это означает, что они разной четности: одно из них четно, а другое нечетно. Только в таком случае их сумма будет нечетна.

Далее, во втором утверждении говорится, что хотя бы одно из двух натуральных чисел и четно. То есть может быть, что ровно одно, а может быть и так, что оба числа четны. Значит, второе утверждение и первое различны по смыслу.

В третьем высказывании утверждается, что произведение двух натуральных чисел и четно. Это означает в точности, что хотя бы одно из чисел и обязательно четно, но может оказаться, что оба числа четны. Значит, это высказывание утверждает то же самое, что и второе, то есть по смыслу они одинаковые.

Наконец, в последнем, четвертом высказывании, говорится, что ровно одно из чисел и четно. Как мы уже выяснили ранее, ровно это же утверждается в первом высказывании. Значит, они одинаковы по смыслу. Меж тем, со вторым и третьим они по смыслу различны, так как в первом и четвертом высказывании ровно одно из чисел четно, а во втором и третьем — хотя бы одно.

Итак, мы получили, что первое и четвертое высказывания одинаковы по смыслу, а также второе и третье одинаковы по смыслу. Но между собой эти две пары высказываний по смыслу различаются. Значит, Совунья смогла написать 2 различных по смыслу высказывания.

Проанализируем, в каком случае оба утверждения будут истинны. Первое утверждение истинно, если выполнены оба условия, ведь они соединены союзом «и». Первая часть уже верна, значит, надо вставить такое число, на которое делится 24.

Второе утверждение истинное, если выполнено хотя бы одно условие, ведь они соединены союзом «или». Первая часть уже не верна, так как 11 не делится на 3. Значит, должна быть верна вторая. Поэтому число, которое надо вставить, должно делить 11.

Одновременно и 24, и 11 делятся только на одно натуральное число — это 1. Поэтому другие числа вставить нельзя, а само число 1 подходит.

Рассмотрим из тех кандидатов, кто верно посчитал, сколько раз соврали до него, кандидата с наименьшим номером. Назовем его . Заметим, что следующий за ним кандидат назвал число на 1 больше, хотя на самом деле количество неверных утверждений после не изменилось. Значит, он соврал. Следующий кандидат назвал число на 2 больше, хотя на самом деле количество неверных утверждений до него изменилось после лишь на 1. Значит, он тоже соврал. Рассуждая так дальше, получаем, что все кандидаты после соврали.

Таким образом, до кандидата соврало столько людей, каков номер кандидата . После него все остальные кандидаты также соврали, значит, общее число раз, когда кандидаты соврали, равно 12.

Черная мышка, согласно условию, не может носить черный костюм. Но и серый она не может носить, так как свою фразу черная мышка адресовала другой, одетой в серый костюм. Значит, на черной мышке однозначно костюм белого цвета.

Далее, серая мышка не может носить серый костюм, и так как белый костюм уже на черной мышке, то ей остается только черный костюм. Наконец, белой мышке остался только серый костюм.

Рассмотрим утверждение: “Нюша и Бараш оба играют в шахматы или оба не играют.” Так как по условию в шахматы играет только один, то первая часть этого сложного утверждения не может быть верна. Но само утверждение при этом верно. Значит, обязательно верна вторая часть, то есть они оба не играют в шахматы. При этом по условию кто-то все-таки играет в шахматы, значит, это Крош.

Посмотрим на момент, “когда Крошу исполнится столько же лет, сколько Лосяшу сейчас”. По условию, он произойдет в будущем, значит, сейчас Лосяш старшей Кроша. Кроме того, в тот момент Нюше будет вдвое меньше лет, чем Крошу тогда или Лосяшу сейчас. Значит, Лосяш старше Нюши. Поэтому из них всех он самый старший. Кроме того, по условию когда Крошу будет столько же, сколько Лосяшу, Нюше будет вдвое его младше. Значит, она и сейчас младше Кроша, поэтому из всех троих она самая младшая.

Каждое натуральное число делится на 1. Один меньше 100, значит, вторая часть утверждения истинна. Но тогда и все утверждение верно, ведь его части соединены союзом “или”, а значит утверждение верно, если верна хотя бы одна из его частей.

Рассмотрим два случая: Нюша права или Нюша не права.

Случай 1. Пусть Нюша оказалась права. Так как прав оказался лишь один из друзей, то и Бараш, и Крош оказались не правы. Раз не прав Крош, то в магазине не больше 1000 пончиков. Раз не прав Бараш, то в магазине не меньше 1000 пончиков. Значит, в магазине ровно 1000 пончиков, и это один из возможных случаев.

Случай 2. Пусть Нюша оказалась не права. Единственный вариант, при котором Нюша может быть не права, — если в магазине вообще нет пончиков. И такой вариант тоже подходит: Крош тогда не прав, а вот Бараш прав, и действительно из друзей прав только один.

Итак, мы разобрали оба возможных случая, и в каждом из них нашли подходящий ответ. Поэтому другие варианты невозможны, а найденные нами — вполне.

Так как все участники, кроме Нюши, выступили хуже, чем ожидали, то никто из них не мог занять первое место: это было бы явно не хуже, чем их ожидание. Значит, первое место могла занять только Нюша, а так как кто-то его да и занял, то это именно она.

Утверждение «Число или является четным» истинно, если истинна хотя бы одна из его частей, так как эти части соединены союзом «или». Но числа и разной четности, так как отличаются на нечетное число 5. Значит, одно из них четно, а другое нечетно, и утверждение всегда верно.

Рассмотрим фразу «…являются четными или делятся на 6». Число подходит под это условие, если хотя бы одна из частей условия верна, ведь эти части соединены союзом «или». Но заметим, что если верна вторая часть фразы, то есть число делится на 6, то оно также является четным, значит, верна и первая часть фразы. Поэтому числа подходят под это условие, просто если они являются четными. А четных чисел от 1 до 60 ровно половина, то есть штук. Значит, 30 чисел Совунья сотрет и столько же останется на доске.

Проанализируем, в каком случае оба утверждения будут истинны. Первое утверждение истинно, если выполнены оба условия, ведь они соединены союзом “и”. Первая часть уже верна, значит, надо вставить такое число, на которое делится 24.

Второе утверждение истинное, если выполнено хотя бы одно условие, ведь они соединены союзом “или”. Первая часть уже не верна, так как 11 не делится на 3. Значит, должна быть верна вторая. Поэтому число, которое надо вставить, должно делить 11.

Одновременно и 24, и 11 делятся только на одно натуральное число — это 1. Поэтому другие числа вставить нельзя, а вот 1 подходит.