Логика → .08 Рассуждения от противного

Предположим, что он сможет. За один ход он сможет получить от до хвостиков. Следовательно, на девятый и десятый ход он должен получить и хвостиков соответственно. Оба эти количества можно получить только перекладывая шарик с номером пять в горшок с номером пять. Но два хода подряд мы не можем этого делать.

Предположим, что у Димы выпали кубика с числом и кубиков с числом Тогда сумма всех выпавших чисел равна Минимальная сумма, которую Дима может получить, равна а максимальная Заметим, что и поэтому сумму, отличающуюся от на получить нельзя.

Чтобы у всех трех Маш были одноцветные тезки, они должны быть все одного цвета, аналогично все три Ани тоже должны быть одного цвета. Тогда Даши будут разного цвета.

Первое решение. Будем проводить между двумя людьми ребро, если они работали вместе. Из условия следует, что каждый день в графе будет добавляться ребер. Так как никакие двое не работали вместе дважды, то в граф все время будут добавляться новые ребра. Значит, за рабочих дней количество ребер достигнет числа И так как максимальное количество ребер в графе на вершинах равно то получаем неравенство что невозможно при Это и означает, что на плантации работало не менее человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Предположим противное. Если людей, работавших на плантации, то каждый человек мог выходить на работу как максимум раз, так как на -й уже не найдется еще человек, с которыми он до этого не работал. Поэтому всего выходов на работу как максимум С другой стороны, за дней всего было выходов людей на работу, противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Первое решение на самом деле дает оценку на человека, второе — даже на человек.

Предположим противное. Тогда драконов каждого цвета не больше Если цветов не больше то драконов как максимум штук, а их Значит, цветов больше то есть хотя бы Поэтому, выбрав драконов разных цветов, мы получим противоречие, так как среди них по условию должно быть хотя бы одинакового цвета.

Если Маша одна, то она танцевала два раза с Витей и два раза с единственным Пашей. Но тогда Паша танцевал с Полинами раза, а Полины с ним — хотя бы раза. Противоречие.

Пусть удалось так рассадить птиц. Пронумеруем их слева направо. По условию у всех канареек номера одинаковой чётности, тогда все номера другой чётности “достались” попугаям. Таких номеров не менее двух, и между соответствующими попугаями сидит чётное число птиц. Противоречие.

Щенки образуют группы, разделённые другими животными. Предположим, что каждые две группы разделяют хотя бы двое животных. Тогда каждой группе соответствуют два животных, соседних с этой группой, поэтому таких животных чётное число. Но именно они поднимали руки, поэтому их Противоречие. Следовательно, какие-то две группы разделены единственным животным. Он поднимал руку, и рядом с ним стоят двое щенят.

Рассмотрим дорогу между городами и Докажем, что не более чем за дней она будет разрушена. Предположим, что она не была разрушена за дней. Тогда каждый день разрушалась хотя бы одна дорога, выходящая из города или хотя бы одна дорога, выходящая из города (в противном случае к разрушаемому набору можно было бы добавить дорогу и, значит, он был не идеальным). Таким образом, за дней будут разрушены все дороги, выходящие из городов и кроме дороги Но тогда дорога заведомо попадёт в следующий идеальный набор и будет разрушена на -й день.
Итак, мы про каждую дорогу доказали, что по истечении дней она будет разрушена. Поэтому через дней в стране не останется ни одной дороги.