Логика → .01 Строим пример

Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?

На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?

Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и синий цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов? В ответ укажите “да” или “нет”.

На каком из пяти интервалов, на которые разбивают числовую ось четыре точки

лежит число

Автобусы привезли на турнир участника. В автобусах они сидели парами, и ровно в половине пар участники были знакомы. Докажите, что в столовой их можно рассадить за столы так, чтобы не менее чем за столами нашелся участник, у которого за столом знакомых и незнакомых поровну. Количества участников за разными столами могут отличаться, одному за стол садиться нельзя.

Буратино написал чисел. Оказалось, что какие бы три из них ни выбрать, среди оставшихся найдется такое четвертое число, что сумма этих четырех чисел будет положительна. Обязательно ли сумма всех чисел, написанных Буратино, положительна?

Расставьте цифры по кругу так, чтобы любое трехзначное число, образованное тремя подряд идущими цифрами по часовой стрелке, делилось на свою последнюю цифру. Каждую цифру нужно использовать ровно один раз.

Палиндромом называется число, которое одинаково читается слева направо и справа налево (например, или Может ли сумма двух трехзначных палиндромов равняться четырехзначному палиндрому?

Существуют ли два различных натуральных числа таких, что если каждое из них умножить на свою сумму цифр, то получатся равные числа?

На столе стоит башенка из трех абсолютно одинаковых кубиков, на гранях которых расставлены цифры от до Кубики повернуты так, что если прочитать сверху вниз число спереди, то видно сзади — а слева — Какое число видно справа?

Можно ли отметить некоторые клетки квадрата так, чтобы квадратиков содержащих по или отмеченные клетки, было поровну?

На доске написаны через пробел числа в указанном порядке. Можно ли расставить между числами знаки сложения, умножения и скобки так, чтобы результат делился на

У учительницы есть палочек с длинами от см до см. Она раздает по две палочки мальчикам. При этом мальчик становится счастливым, если длины его палочек отличаются более чем в два раза. Может ли учительница сделать всех мальчиков счастливыми?

На доску выписаны через пробел числа Вначале учительница подчеркивает одно число. После этого Вовочка подчеркивает еще чисел. Если в итоге получится, что подчеркнутые числа идут в порядке возрастания суммы цифр, то учительница ставит Вовочке пятерку, иначе — двойку. Может ли учительница помешать Вовочке получить пятерку?

Назовем словом любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную. Придумайте два слова разной длины таких, что существует ровно способов переставить в них буквы. Первоначальное слово также считается перестановкой.

Можно ли разрезать квадрат тремя прямыми так, чтобы получилось ровно три треугольника и четыре четырёхугольника?

Число большее делится на Докажите, что найдутся хотя бы правильные несократимые дроби со знаменателем

Палиндромом называется натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Докажите, что для любой натуральной степени двойки найдётся натуральный палиндром, который на неё делится.

У Пети есть одинаковых кубиков. Он покрасил каждую грань каждого кубика в один из трех цветов. Может ли оказаться, что для каждого из трех цветов можно составить одноцветный куб этого цвета?

В клетчатом квадрате отметили все вершины клеток. Разрежьте его на девять треугольников с вершинами в отмеченных точках: три тупоугольных, три прямоугольных и три остроугольных.