Логика → .12 Оценка + пример
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в каждую из 
коробок так, чтобы в любых 
коробках нашлись
карандаши любого из 
заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное количество)?
Источники:
Подсказка 1!
1) Итак, посмотрим на оценку. Когда наше условие не выполнится? Если карандашей какого-то цвета сколько..? Чтобы нашлись такие 5 коробок, где их нет..
Подсказка 2!
2) Ага, отлично! Оценку придумали, карандашей любого цвета точно больше трех! Осталось смастерить пример - идейно задачу уже решили.
Оценка. Заметим, что карандаши каждого цвета должны встречаться по крайней мере в четырёх коробках из восьми. Действительно, если
карандаши какого-то цвета лежат не более чем в трёх коробках, то в оставшихся коробках (их не менее пяти) карандашей этого цвета нет.
Поэтому всего карандашей должно быть не менее 
Пример. Если взять по 
карандаша каждого из 
цветов и разложить их так, чтобы никакие карандаши одного цвета не лежали в
одной коробке, то карандаш любого наперёд заданного цвета найдётся в любых пяти коробках (так как остальных коробок всего три, а мы
положили уже в четыре разные коробки).
Требуемая раскладка карандашей получится, например, если все карандаши разбить на 
группы по 
карандаша всех цветов и
каждую группу разложить поровну (по 
карандашей) в две ещё не занятые коробки.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По окружности отметили 
красных, 
синих и 
зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками
поставили цифру 
на каждой дуге между соседними красной и зеленой — цифру 
а на каждой дуге между соседними синей и зеленой
— цифру 
(На дугах между одноцветными точками поставили 
) Найдите максимальную возможную сумму поставленных
чисел.
Источники:
Подсказка 1
Может перейти от чисел на дугах к числам в точках?
Подсказка 2
Возьмите веса: красная = 0, синяя = 1, зелёная = 2. Тогда для разноцветной дуги число равно сумме меток концов, а на одноцветной дуге число < сумм меток концов.
Подсказка 3
Как связана сумма чисел на всех дугах с суммой меток в точках?
Подсказка 4
Сумма по дугам ≤ 2·(сумма меток по точкам), так как каждая дуга сравнима с суммой меток концов, а одноцветная — строго меньше.
Подсказка 5
40·0 + 30·1 + 20·2 = 70, удвоив, получаем 140 — верхняя оценка суммы по дугам.
Подсказка 6
Достижима ли оценка 140? Стоит расположить точки, чтобы все дуги были разноцветными?
Поставим в каждой красной точке число 
в каждой синей — 
а в каждой зеленой — 
Тогда каждое число на разноцветной дуге
равно сумме чисел в ее концах, а каждое число на одноцветной дуге меньше суммы в ее концах. Значит, сумма чисел на дугах не
превосходит удвоенной суммы чисел в точках, причем равенство достигается, когда все дуги — разноцветные. Сумма чисел в точках равна
поэтому сумма чисел на дугах не больше 
Осталось привести пример, когда эта оценка достигается (то есть когда все дуги разноцветны). Расставим сначала по кругу 
красных точек; затем вставим между соседними красными по точке другого цвета — 
синих и 
зеленых. Наконец,
вставим оставшиеся 
зеленых на дуги между красными и синими точками (таких дуг образовалось 
поэтому их
хватит).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наибольшее количество полосок 
можно вырезать из доски 
? Полоски могут быть как горизонтальными, так и
вертикальными.
Подсказка 1
Если не думать про вид самих полосок и как они расположены, как самым простым способом мы можем оценить максимальное количество полосок, которые можно вырезать?
Подсказка 2
Можно просто посчитать число клеток на доске и разделить его на 6, это и будет самая простая оценка, которая нам и подойдет! После этого останется лишь привести пример, когда такое число полосок действительно достигается.
Докажем, что больше 10 полосок вырезать нельзя. Допустим, мы смогли вырезать хотя бы 11 полосок, но тогда общее количество клеточек
в них 
, что больше общего количества клеточек на всей доске. Получили противоречие.
Покажем, как можно вырезать 10 полосок. Разделим доску 
на две части: 
и 
. Первую часть полностью разрежем на 8
полосок 
, а из второй вырежем прямоугольник 
, и разрежем его на две полоски 
. Получили ровно 
полосок.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое наибольшее количество слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга? Напомним, что слон бьёт по диагонали на любое количество клеток.
Если посчитать количество диагоналей на доске (только в одном направлении), их всего 15.
Очевидно, что в каждой диагонали может находиться не более одного слона. Однако две крайние диагонали состоят каждая из одного поля, и слоны, стоящие в них, бьют друг друга.
Поэтому на 15 диагоналях могут стоять не более 14 слонов!
14 слонов поставить уже можно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется пять звеньев цепи по три кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?
Пример: расковываем 3 кольца из одного звена. Оставшиеся 4 звена соединяем тремя раскованными кольцами.
Оценка: если расковать меньше 3 колец, то останется по крайней мере 5 отдельных звеньев, для соединения которых нужно по крайней мере 4 раскованных кольца — противоречие.
