Счёт отрезков в стерео → .03 Случаи расположения точек

Опустим из точки перпендикуляр на плоскость назовем полученную точку Проведем из точек и перпендикуляры к по теореме о трех перпендикулярах получим одну и ту же точку

Обозначим длину искомого отрезка за Тогда катет полученного прямоугольного треугольника с углом равен

В силу симметрии треугольника точка равноудалена от прямых и на расстояние значит, либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника

Найдем расстояние между стороной и центром вписанной окружности

Так как — равносторонний, то высота является медианой, значит, Следовательно, тогда откуда

Рассмотрим случай, когда точка оказалась центром вневписанной окружности:

Тогда получим равносторонний треугольник со стороной Найдем длину высоты значит, откуда

Если бы призма была прямая, то площади боковых граней были бы равны. Значит, призма наклонная.

Обозначим призму площади из условия

Пусть — высоты параллелограммов и Тогда т.к. площади равны, а также равны их основания, так как равносторонний треугольник.

Пусть — проекция на плоскость Тогда следовательно, точка равноудалена от прямых и

(a) Рассмотрим случай, когда принадлежит биссектрисе угла — высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике.

Тогда получаем, что — прямоугольник. Пусть сторона треугольника равна Посчитаем площадь прямоугольника и параллелограмма.

Но тогда

получаем противоречие.

(b) Рассмотрим случай, когда принадлежит внешней биссектрисе угла

Но следовательно, откуда следует, что высота параллелограмма совпадает с высотой призмы В итоге

Введём декартову систему координат с центром в точке , ось абсцисс — луч , ось ординат — луч , ось аппликат — луч .

Пусть — проекция центра сферы на грань куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых и проходит через точку , то расстояние от точки до прямых и и точки одинаково (обозначим его ). Тогда лежит на луче , который является биссектрисой угла . Осталось учесть условие, что центр сферы касается прямой , то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой совпадает с радиусом сферы .

Заметим, что есть два случая расположения точки (на рисунке показаны разными цветами):

Случай 1: точка лежит на диагонали .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Случай 2: точка лежит на продолжении луча .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы в этом случае имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Обозначим искомый треугольник — середина на . Пусть — середина , тогда — высота треугольника.

Если — проекция на высоту треугольника , то по теореме Фалеса равна половине , где — проекция и одновременно центр описанной окружности (потому что боковые рёбра пирамиды равны), то есть равна половине радиуса описанной около ABC окружности. По теореме синусов , тогда

, а

,

тем самым

Поскольку , то по теореме Пифагора

Возможны случаи:

1) .

В этом случае совпадает с , поскольку пирамида симметрична относительно плоскости, проходящей через середину и перпендикулярной . Тогда

2) .

Но тогда . Но тогда точка лежит вне отрезка , иначе расстояние от до неё было бы не больше длины стороны треугольника .

3) .

Заметим, что . Пусть , запишем теоремы косинусов для и , выберем из первого , а из второго в качестве противолежащих сторон, откуда

Подставляя в теорему косинусов, получаем . Посчитаем высоту из вершины в треугольнике с учётом

Тогда

Пусть — середина и — медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, .

Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что

Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .

Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .

Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Поскольку высота пирамиды видна из вершин и под одним и тем же углом, точка лежит на медиане (она же биссектриса и высота) треугольника или её продолжении.

Если , и , а искомый угол , то имеем

откуда, подставляя данные задачи, получаем , в зависимости от того, лежит ли точка внутри треугольника или вне него. Значит, или

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат с диагоналями , пусть — его центр. Тогда является высотой пирамиды, так что из условия про косинус находим

Плоскость сечения параллельна , поэтому содержит параллельную прямую из плоскости . Поэтому сечение может быть двух видов:

1 случай) треугольник , где лежит внутри .

Тогда (строго меньше единицы, потому что сечение параллельно , содержать не может). Пусть .

Теперь найдём, чему равняется (то есть радиус вписанной окружности)

2 случай) Пятиугольное сечение плоскостью , где лежит внутри . Заметим, что и поэтому и

Пусть

Тогда из подобий

и

получаем

Значит,

Также имеем

Откуда

Так как

Тогда по теореме Пифагора

Воспользуемся формулой

Тогда