Счёт отрезков в стерео → .02 Отношение отрезков в стерео: подобие, Фалес, Менелай

Рассмотрим сечение призмы , проходящее через и параллельное грани . Это параллелограмм, а — его средняя линия.

Сделаем гомотетию в точке с коэффициентом . Тогда точки и перейдут в и , потому что точка пересечения медиан делит медиану в отношении к . Точка перейдёт в точку , делящую отрезок в отношении к (до гомотетии отрезок был половиной , а после он перешёл в , который равен ). При этом прямая будет пересекать отрезок в точке , поскольку в параллелограмме прямая пересекает вершину , а в параллелограмм отличается от лишь тем, что длины сторон и короче, а значит, точка пересечения прямой с прямой будет лежать ниже точки .

Аналогично, прямая, проходящая через параллельно прямой будет делить в отношении к , но уже считая от точки , и она будет проходить через отрезок . Значит, прямая будет лежать между этими двумя прямыми и также проходить через отрезок . Значит, отрезок нужной прямой — это отрезок прямой , содержащийся в параллелограмме .

Поскольку , длина этого отрезка будет равна . Отрезок — образ при гомотетии, значит, он равен .

Также , то есть искомая длина — .

Пусть плоскости и пересекаются по прямой Рассмотрим треугольник Пусть

В треугольнике проведём прямые и параллельные

По теореме Фалеса имеем

Учитывая, что получаем, что

Пусть Так как

то в силу теоремы Фалеса прямые и параллельны, и, следовательно,

Пусть — середина ребра а точка - середина отрезка . Рассмотрим плоскость . Так как плоскость сечения параллельна медиане и проходит через точку , построим прямую в плоскости . Тогда - средняя линия в , а середина .

Теперь нам известны три точки сечения: . Рассмотрим основание пирамиды и посмотрим, как прямая пересекает стороны основания. Пусть эта прямая пересекает прямые в точках .

Из теоремы Менелая для треугольника получаем, что

Так как , то .

Далее замечаем, что . Тогда

Откуда .

Из подобия получаем

То есть .

Аналогично из подобия получаем

То есть .

Проведем , где - точка на . Тогда

И . Тогда из теоремы косинусов для треугольника получим .

Пусть - точка, в которой прямая пересекает ребро . Тогда из теоремы Менелая для и прямой получим:

Далее из теоремы Менелая для имеем:

В силу параллельности прямых и имеем , откуда . По теореме косинусов для имеем , то есть . Из теоремы Пифагора для треугольника получаем , откуда . По теореме косинусов для имеем , а значит . По теореме Пифагора для вычислим . Заметим, что для треугольника выполняется теорема Пифагора, то есть угол прямой. С помощью теоремы косинусов для треугольника вычислим . Теперь через теоремы косинусов для треугольников и вычислим длины отрезков . Далее по теореме Герона получаем .

Заметим, что . Значит, .

Первое решение.

Пусть пересекает и в точках и соответственно (то есть Тогда по условию и Пусть — середина Тогда пирамида симметрична относительно плоскости Поскольку пересекает ребро в середине, то в силу симметрии эта плоскость пересекает тоже в середине, поэтому

Пусть — середина Тогда так как Тогда, поскольку то и параллельны. Аналогично можно доказать, что и параллельны. Таким образом, и — параллельные плоскости, поэтому требуемый в задаче угол равен углу между и

Так как по условию и перпендикулярны, то и перпендикулярны, то есть и перпендикулярны Снова применив соображение симметрии, получаем, что то есть — равнобедренный, и — его высота, поскольку является серединой Так как — правильный треугольник (по условию — правильная пирамида), то — тоже высота в треугольнике Таким образом, лежит в плоскости и перпендикулярно а лежит в плоскости и перпендикулярно Эти плоскости пересекаются по прямой Таким образом, нужный угол по определению равен

Пусть Тогда так как — середина По теореме Пифагора из треугольника получаем По теореме Пифагора из треугольника получаем С другой стороны, по теореме Пифагора из треугольника имеем Таким образом, то есть

Так как и перпендикулярны, то и перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть пересекает в точке — в точке Пусть Тогда из условия следует, что так как — середина поэтому

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, поэтому Пусть По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, Так как по условию является перпендикуляром к плоскости то и перпендикулярны. Тогда по теореме Пифагора из треугольника получаем То есть По теореме Пифагора для треугольника

Таким образом, Пусть — основание высоты пирамиды Углы между плоскостями равны углам между перпендикулярами к ним, поэтому

Из прямоугольного треугольника получаем Так как — точка пересечения медиан правильного треугольника то Тогда

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть искомый угол это Обозначим пересечение плоскости с ребрами точками соответственно. — середина ребра следовательно, тоже середина ребра, так как пирамида правильная. По условию Обозначим длину как тогда получаем, что

В треугольнике

Тогда по теореме косинусов для треугольника получаем

Обозначим середину ребра точкой Тогда треугольник правильный, так как треугольник правильный, а также плоскость параллельна плоскости основания. — средняя линия в треугольнике следовательно, Обозначим точкой середину В треугольнике

так как треугольник правильный.

Так как плоскость параллельна плоскости основания, то найдем угол между этой плоскости и плоскости

Так как — середина, то В прямоугольном треугольнике находим, что

Тогда

Пусть — точка пересечения диагоналей основания Рассмотрим плоскости и Они имеют общие точки и Значит, они пересекаются по прямой Значит, точка пересечения с — это точка пересечения прямых и Давайте рассмотрим параллелограмм В нём точка делит пополам, а также треугольники и подобны. Значит, Отсюда получаем, что

Пусть и — проекции на плоскости и а и — проекции на и

Точки лежат на одной окружности с диаметром следовательно, Аналогично, следовательно,

сумма двух найденных равенств равна сумме противоположных углов четырехугольника и равна

Поскольку — высота треугольника

То есть, треугольники и подобны и

Из этого и других таких же равенств следует, что

Наконец, для любых четырех точек и в пространстве выполняется неравенство в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда эти точки лежат на одной окружности. Следовательно, точки и лежат на одной окружности.

(a) Проведем прямую , пусть она пересечет в точке . Далее проведем прямую , пусть она пересечет в точке и прямую в точке . Затем проведем отрезок , пусть он пересечет в точке . Плоскость и будет искомым сечением

(b) Пусть отрезки и равны , а отрезок . Тогда . Заметим, что

Так как

Пусть . Заметим, что

Заметим, что .

Далее воспользуемся тем, что

Тогда

Применим метод масс. Поместим в вершины пирамиды такие массы:

Если из точек и убрать обе массы и поставить их сумму в точку то центр тяжести всей системы не изменится, поэтому он будет лежать в плоскости

С другой стороны, если убрать две массы из точек и и вместо них поставить суммарную массу в точку а вместо точек и поставить суммарную массу в точку то центр тяжести также не изменится и значит он будет находиться на отрезке

Таким образом, центр тяжести данной системы будет расположен в точке пересечения прямой и плоскости то есть в точке

Значит,

Обозначим середины ребер и центр грани через , соответственно. Обозначим также через плоскость .

Найдем точку пересечения плоскости и прямой . Точки лежат в плоскости , следовательно прямые и пересекаются. Пусть - точка их пересечения. Тогда , поскольку треугольники и равны. Точки и принадлежат , следовательно, прямая есть прямая пересечения плоскости с . То есть лежит на отрезке . Из подобия треугольников и следует, что . Следовательно, .

Найдем теперь точку пересечения плоскости и прямой . Прямая лежит в плоскости , равно как и прямая . Обозначим через точку пересечения этих прямых. Из подобия треугольников и следует, что . Точки и принадлежат , следовательно, прямая есть прямая пересечения плоскости с . То есть лежит на продолжении отрезка за точку . Из подобия треугольников и следует, что . Следовательно, .

Прямая есть прямая пересечения плоскости с , то есть она проходит через . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, .

Из условия задачи следует, что точки лежат в одной плоскости, поэтому прямые и пересекают ребро в одной точке

Из условия следует, что эти прямые являются биссектрисами углов соответственно. Отсюда, по свойству биссектрисы,

а поскольку треугольники и подобны. Поскольку — общая сторона этих треугольников, эти треугольники равны. В этих равных треугольниках равны соответствующие высоты из вершин и Это и требовалось доказать.

Точки и лежат в плоскости . Обозначим через точку пересечения прямой с прямой .

Из того, что , следует, что . Обозначим через точку пересечения прямой с прямой . Из того, что и , следует, что . Обозначая через точку пересечения прямой с прямой , получаем . Стало быть,

Обозначим центр основания за

Тогда и откуда Это означает, что серединный перпендикуляр к отрезку (это плоскость, обозначим её за ) параллелен С другой стороны, из следует, что точка лежит в Тогда и вся прямая должна содержаться в Отсюда получаем

Середину обозначим за . Заметим, что лежит сразу в двух плоскостях, перпендикулярных : и Это означает, что и сам перпендикулярен плоскости а также отрезку

Примем длину за Тогда является медианой в прямоугольном равнобедренном треугольнике ; так как катеты этого треугольника равны по имеем .

Наконец, рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью

Треугольник прямоугольный, причём в нём — высота к гипотенузе. Имеем , то есть , откуда . Получаем и .

Замечание.

Утверждение о том, что боковое ребро пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали, считается очевидным; за отсутствие его доказательства баллы не снижаются.

Пусть и — точки, в которых плоскость пересекает ребра и соответственно.

Тогда по теореме об отношении объемов пирамид с общим трехгранным углом

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — середина следовательно, Тогда по теореме Менелая для треугольника

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — биссектриса следовательно, тогда Тогда по теореме Менелая для треугольника

Значит,

Поэтому отношение частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду равно

Пусть — точка пересечения данных прямых. Поскольку и точка лежит в плоскости а четырёхугольник —–параллелограмм. Значит, прямая делит отрезок пополам. Аналогично, прямая делит отрезок пополам. Значит, прямая пересекает плоскость основания пирамиды в точке пересечения диагоналей четырехугольника и диагонали делятся этой точкой пополам. Значит, — параллелограмм.

Проведем плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра и в точках и соответственно.

Рассмотрим плоскость Заметим, что (по теореме об угле между касательной и хордой), а (как накрест лежащие при параллельных и секущей), т. е. Следовательно,

Откуда

Аналогично,

Из этих равенств вытекает, что

Значит, равносторонний тогда и только тогда, когда

Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольника

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Пусть . Тогда

Подставив найденные значения отношений, получим систему

которая легко решается: . Пишем теорему Менелая для треугольника и прямой :

А теперь - теорему Менелая для треугольника и прямой :

Перемножим равенства (3) и (4):

Соотношение , данное в условии, можно переписать в виде .

Пусть . Тогда

Подставляя в (5) найденные значения отношений, получаем систему

из которой находим, что . Итак, и . Тогда . Подставив это значение в (4), найдем, что и .

Записываем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Последний (шестой!) раз применяем теорему Менелая для треугольника и секущей .

По свойству отношения объёмов пирамид с общей вершиной

Аналогичным образом получаем

И, наконец,

Объем оставшейся части равен, очевидно, .