Счёт площадей и объёмов → .02 Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой

Так как плоскость перпендикулярна высота пирамиды лежит в грани Без ограничения общности можно считать, что сфера касается плоскости в точке лежащей на высоте (этого можно добиться, если выполнять перенос сферы параллельно плоскости основания пирамиды).

Пусть сфера касается плоскости в точке Докажем, что точки и лежат в одной плоскости и эта плоскость содержит . Пусть — центр сферы. — перпендикуляр к плоскости так как это отрезок на высоте пирамиды. — точка касания сферы и поэтому и перпендикулярны. Таким образом, и параллельны, поэтому лежат в одной плоскости (тогда и лежит в этой плоскости). так как эти отрезки являются основаниями трапеции Тогда плоскость параллельна прямой Докажем, что

Мы уже знаем, что Теперь заметим, что все три угла и — прямые, поэтому — прямоугольник. Тогда — перпендикуляр к плоскости так как и перпендикулярны. Таким образом, Тогда, действительно, и поэтому Точка лежит в плоскости Эта плоскость перпендикулярна при этом — прямая, перпендикулярная Тогда тоже лежит в плоскости

Ранее мы отмечали, что — прямоугольник. Так как — радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник является квадратом. тогда — отрезки касательных. Пусть плоскость пересекает в точке

Пусть (эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для

Решаем это уравнение и получаем Теперь через точку проведем прямую параллельную причем и Тогда — это сечение пирамиды плоскостью Действительно, плоскость пересекает по прямой, параллельной при этом Поэтому, действительно, линия пересечения и параллельна поэтому совпадает с

Теперь по теореме Фалеса для углов и получаем: и аналогично

Продлим и до пересечения в точке

По условию поэтому точки и соответственно середины и Пусть Ясно, что Применяем теорему Менелая к и прямой

поэтому Пусть — объем пирамиды Пирамида имеет общую высоту с нашей пирамидой Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому Тогда получаем, что причем — основание пирамиды если принять за ее вершину. По формуле объема пирамиды:

По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Тогда — одна из частей, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду Объем второй части равен Тогда требуемое по условию отношение равно

Проведём и в соответствующих боковых гранях, заметим, что и вписанные углы, опирающиеся на диаметр, следовательно, они прямые, то есть и — высоты из прямого угла в и соответственно. Обозначим тогда из соотношений в прямоугольном треугольники знаем, что

Тогда раз пирамиды и имеют общий трехгранный угол, то их объемы связаны следующим соотношением

Запишем формулу объема

По теореме Пифагора для

Теперь подставим получившиеся выражение в формулу для объема получим

Построим сечение. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру , она пересечет плоскость по прямой , параллельной , а плоскость — по прямой , также параллельной . Соединим точки и , лежащие в одной плоскости, и точки и , лежащие в одной плоскости, получим — искомое сечение.

Пусть — объем пирамиды, — сумма объемов пирамид и и .

Из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опушенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Аналогично из подобия пар треугольников и и из условия задачи получим, что

Отсюда следует, что

где — высота, опущенная из вершины пирамиды , — высота, опущенная из вершины пирамиды .

А также значит, что площадь основания пирамиды равна:

Тем самым:

Теперь можно записать, что

Обозначим через вершины пирамиды, так что — ее основание, а плоскость перпендикулярна ребру .

Поскольку и , имеем . Стало быть, пересекает плоскость по прямой, параллельной , и делит ребра и (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.

Обозначим через основание высоты пирамиды и через — середину ребра . Тогда

Пусть — точка пересечения и — точка пересечения с прямой — точка пересечения прямых и . Тогда , причем

Из подобия треугольников и получаем:

откуда

Итак, — середина . Обозначим через середину . Тогда , откуда , ибо .

Таким образом, плоскость проходит через середины ребер и . Следовательно, отсекает от пирамиды пирамиду, объем которой равен

То есть делит объем исходной пирамиды в отношении

Отношение объём пирамид с общим трёхгранным углом равно произведению отношений длин рёбер, исходящих из этого угла,

где Поскольку треугольники и равны, Значит,

Дальше можно было бы строить сечение и использовать для подсчёта отношений теоремы Фалеса и Менелая, но мы воспользуемся координатно-векторным методом с базисными векторами

— параллелограмм, поэтому и, следовательно,

Если точка принадлежит плоскости а коэффициенты и удовлетворяют уравнению (это, как известно, уравнение плоскости, даже если система координат не декартова, а точки и этому уравнению, очевидно, удовлетворяют).

Получаем

Обратная величина является ответом к задаче.

Так как плоскость параллельна плоскости основания то

Пирамиды и подобны, тогда их объёмы относятся как коэффициент подобия в кубе:

Пусть тогда Заметим, что объём пирамиды складывается из двух кусочков: объём которой мы знаем, и Причём эти 2 пирамиды имеют общее основание тогда их объёмы относятся так же, как относятся их высоты к А высоты относятся так же, как относятся и то есть высота пирамиды больше высоты пирамиды в Значит,

Точки и симметричные относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек Следовательно, треугольник — правильный, и его центр, который мы обозначим через совпадает с центром треугольника

Заметим, далее, что пирамида —- образ пирамиды при гомотетии с центром и коэффициентом С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид и равно А поскольку у этих пирамид общая высота то и отношение площади треугольника к площади треугольника равно В качестве следствия получается равенство которое будет нами использовано.

Обозначив величину двугранного ребра при ребре через , точкой, симметричной относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать

Тогда где — середина ребра ; треугольник — равнобедренный откуда

А поскольку

то

При левая часть последнего равенства равна что позволяет найти

Объем пирамиды равен сумме объемов пирамид и

Причем , так как у этих пирамид общая высота(из вершины ), а также равны площади оснований: (у этих треугольников общее основание и равные по длине высоты, проведенные из вершин и , поскольку — трапеция по условию). Итак,

Пусть и — точки, в которых плоскость пересекает ребра и соответственно.

Тогда по теореме об отношении объемов пирамид с общим трехгранным углом

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — середина следовательно, Тогда по теореме Менелая для треугольника

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — биссектриса следовательно, тогда Тогда по теореме Менелая для треугольника

Значит,

Поэтому отношение частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду равно

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Пусть . Тогда

Подставив найденные значения отношений, получим систему

которая легко решается: . Пишем теорему Менелая для треугольника и прямой :

А теперь - теорему Менелая для треугольника и прямой :

Перемножим равенства (3) и (4):

Соотношение , данное в условии, можно переписать в виде .

Пусть . Тогда

Подставляя в (5) найденные значения отношений, получаем систему

из которой находим, что . Итак, и . Тогда . Подставив это значение в (4), найдем, что и .

Записываем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Последний (шестой!) раз применяем теорему Менелая для треугольника и секущей .

По свойству отношения объёмов пирамид с общей вершиной

Аналогичным образом получаем

И, наконец,

Объем оставшейся части равен, очевидно, .