Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Счёт площадей и объёмов → .02 Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Счёт площадей и объёмов

Площадь сечения (+ построение сечений)

Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой

Пирамиды и призмы с общим основанием

Площадь ортогональной проекции

Поиск объёмов или решение через вспомогательные объёмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91981

В основании пирамиды лежит трапеция $ABCD, AD∥BC,AD = 2BC$ . Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней $ADS$ и $BCS$ . Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость $ADT$ , где $T$ - точка касания сферы с плоскостью $BCS$ , если грань $ADS$ перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как сфера касается трех граней, сразу обозначим, что она касается плоскости ADS в точке R, а плоскости ABCD в точке P, O — центр сферы. Что можно сказать про точки T, P, R? Хотелось бы нарисовать рисунок как можно аккуратнее, как тогда удобнее всего было бы работать с перпендикулярностью грани и основания и высотой в этой грани?

Подсказка 2

Можем считать, что R лежит на высоте AH пирамиды и плоскости ADS. А что если T, R, P и отрезок RH лежат в одной плоскости?

Подсказка 3

Несложно показать, что точки R, O, P, H, S лежат в одной плоскости. А что можно сказать о связи этой плоскости с AD и BC? Обратите внимание на то, что на картинке много прямых углов ;)

Подсказка 4

Отлично, AD перпендикулярен плоскости SHP! А что можно сказать про отрезок OT, который является радиусом сферы?

Подсказка 5

Супер, теперь мы доказали, что OT также принадлежит плоскости SPH! А что можно сказать про то, как выглядит ORHP? Быть может, посчитаем отрезки касательных, не зря ведь в условии давали длину высоты!

Подсказка 6

ORHP является квадратом! Также мы посчитали отрезки ST, SR, KT и KP. Давайте теперь подберемся ближе к тому, что нам надо найти и построим сечение пирамиды ADLN, содержащее точку T. Что можно сказать про связь LN с AD, BC?

Подсказка 7

Именно, LN параллельно BC и AD! Было бы хорошо узнать, а в каком вообще отношении делит LN отрезки SC и SB? И обратите внимание на отрезки LD и AN, CD и AB, что так и хочется с ними сделать ? ;)

Подсказка 8

Продлите LD и AN до пересечения в точке F и AB с CD до пересечения в точке Q! Осталось посчитать некоторые нужные отношения отрезков и отношения объемов при помощи общих высот ;)

Показать ответ и решение

Так как плоскость $(ADS )$ перпендикулярна $(ABC ),$ высота $SH$ пирамиды $SABCD$ лежит в грани $ADS.$ Без ограничения общности можно считать, что сфера касается плоскости $(ADS)$ в точке $R,$ лежащей на высоте $SH$ (этого можно добиться, если выполнять перенос сферы параллельно плоскости основания пирамиды).

Пусть сфера касается плоскости $(ABC )$ в точке $P.$ Докажем, что точки $T,$ $P$ и $Q$ лежат в одной плоскости и эта плоскость содержит $SH$ . Пусть $O$ — центр сферы. $RH$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC ),$ так как это отрезок на высоте пирамиды. $P$ — точка касания сферы и $(ABC ),$ поэтому $OP$ и $(ABC)$ перпендикулярны. Таким образом, $OP$ и $RH$ параллельны, поэтому $O,$ $P,$ $R,$ $H$ лежат в одной плоскости (тогда и $S$ лежит в этой плоскости). $BC || AD,$ так как эти отрезки являются основаниями трапеции $ABCD.$ Тогда плоскость $(SBC)$ параллельна прямой $AD.$ Докажем, что $AD ⊥ (SHP).$

Мы уже знаем, что $SH ⊥ AD.$ Теперь заметим, что все три угла $∠ORH,$ $∠RHP$ и $∠OPH$ — прямые, поэтому $ORHP$ — прямоугольник. Тогда $PH$ — перпендикуляр к плоскости $(ADS),$ так как $(ADS)$ и $(ABC)$ перпендикулярны. Таким образом, $P H ⊥ AD.$ Тогда, действительно, $AD ⊥ (SHP ).$ $OT ⊥(SBC )$ и $AD || (SBC ),$ поэтому $OT ⊥ AD.$ Точка $O$ лежит в плоскости $(SHP ).$ Эта плоскость перпендикулярна $AD,$ при этом $OT$ — прямая, перпендикулярная $AD.$ Тогда $OT$ тоже лежит в плоскости $(SHP ).$

Ранее мы отмечали, что $ORHP$ — прямоугольник. Так как $OP =OR$ — радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник является квадратом. $SH = 4,$ тогда $SR = SH − RH = 3.$ $ST =SR = 3$ — отрезки касательных. Пусть плоскость $(SHP )$ пересекает $BC$ в точке $K.$

$PIC$

Пусть $KT =KP = c$ (эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для $△SHK :$

2 2 16+ (c+ 1) =(c+ 3)

Решаем это уравнение и получаем $c=2.$ Теперь через точку $T$ проведем прямую $NL,$ параллельную $BC,$ причем $N ∈ SB$ и $L ∈SC.$ Тогда $ANLD$ — это сечение пирамиды плоскостью $(ADT ).$ Действительно, плоскость $(ADT )$ пересекает $(SBC)$ по прямой, параллельной $(AD),$ при этом $AD || BC.$ Поэтому, действительно, линия пересечения $(ADT )$ и $(SBC )$ параллельна $BC,$ поэтому совпадает с $NL.$

Теперь по теореме Фалеса для углов $BST$ и $KSC$ получаем: $SN :NB =ST :TK = 3:2$ и аналогично $SL:LC = 3:2.$

Продлим $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $Q.$

$PIC$

По условию $AD = 2BC,$ поэтому точки $B$ и $C$ соответственно середины $AQ$ и $DQ.$ Пусть $F = AN ∩ DL.$ Ясно, что $F ∈SQ.$ Применяем теорему Менелая к $△QSC$ и прямой $FD :$

QF-⋅ SL-⋅ CD-= 1 FS LC DQ

$CD-= 1, DQ 2$ $SL-= 3, LC 2$ поэтому $QF-= 4. FS 3$ Пусть $V$ — объем пирамиды $QADS.$ Пирамида $QADS$ имеет общую высоту $SH$ с нашей пирамидой $SABCD.$ Треугольники $QAD$ и $QBC$ подобны с коэффициентом $2,$ поэтому $SQAD = 4SQBC.$ Тогда получаем, что $SABCD = 3SQAD, 4$ причем $QAD$ — основание пирамиды $QADS,$ если принять $S$ за ее вершину. По формуле объема пирамиды:

1 1 3 3 1 3 VSABCD = 3 ⋅SABCD ⋅SH = 3SH ⋅4SQAD = 4(3 ⋅SH ⋅SQAD )= 4V

По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

VSAFD SA SFSD SF 3 VSAQD-= SA-⋅SQSD-= SQ-= 7

Таким образом, $VSAFD = 37V.$ Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

VSNLF-= SN-⋅ SL-⋅ SF-= 3⋅ 3⋅ 3 = 27 VSBQC SB SC SQ 5 5 7 175

$V = V − V = 1V. SBQC SABCD 4$ Таким образом, $V = 27V. SNLF 700$ Тогда $V = V − V = 273V. SANLD SAFD SNLF 700$ $SANLD$ — одна из частей, на которые плоскость $(ADT )$ разбивает исходную пирамиду $SABCD.$ Объем второй части равен $3 273- 252- VNLABCD = VSABCD − VSANLD = 4V − 700V = 700V.$ Тогда требуемое по условию отношение равно

VNLABCD 252V 12 -VSANLD- = 720073V-= 13 700

Ответ: 12 : 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105717

Дана прямоугольная пирамида $SABC,$ $SB$ — высота этой пирамиды, $∠ABC = 90∘$ и $SB = AC.$ На $SB$ как на диаметре построили сферу, которая пересекает $SA$ и $SC$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Вычислите объём пирамиды $SMBL,$ если $√ - SB = 2$ и объём $SABC$ равен $1 6.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведём $BM$ и $BL$ в соответствующих боковых гранях, заметим, что $∠BMS$ и $∠BLS$ вписанные углы, опирающиеся на диаметр, следовательно, они прямые, то есть $BM$ и $BL$ — высоты из прямого угла в $△SAC$ и $△ACB$ соответственно. Обозначим $AB = a,$ $BC = b,$ тогда из соотношений в прямоугольном треугольники знаем, что

2 2 SM- = SB2-= 22 и SL-= SB-2 = 22 MA AB a LC BC b

Тогда раз пирамиды $SABC$ и $SMBL$ имеют общий трехгранный угол, то их объемы связаны следующим соотношением

VSMBL-= SM- ⋅ SB-⋅ SL VSABC SA SB SC

4 1 VSMBL =(2+-a2)(2+-b2) ⋅6

Запишем формулу объема $SABC$

1 VSABC = 3SB ⋅SABC

1 √2 6 = 6-⋅ab

ab= √1- 2

По теореме Пифагора для $△ABC :$

a2+ b2 = 2

Теперь подставим получившиеся выражение в формулу для объема $SMBL,$ получим

VSMBL = -----4-----⋅ 1 =-------4--------⋅ 1 =-41 ⋅ 1 =-4 (2+ a2)(2+ b2) 6 4+ 2(a2+ b2)+ (ab)2 6 8 +2 6 51

Ответ:

$-4 51$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68079

На ребре $AC$ основания треугольной пирамиды $ABCD$ расположена точка $M$ так, что $AM :MC = 1:2$ . Через середину ребра $BC$ основания пирамиды проведена плоскость $P$ , проходящая через точку $M$ и параллельная боковому ребру $CD$ . В каком отношении плоскость $P$ делит объем пирамиды?

Источники: Росатом-2023, 11.6, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала построим сечение плоскостью P нашей пирамиды.

Подсказка 2

Пользуясь параллельностью, мы сможем из подобия найти, в каком отношении плоскость P делит рёбра пирамиды, а значит мы сможем найти и...

Подсказка 3

Как относятся высоты маленьких пирамидок и высотам из точек A и D пирамиды ABCD.

Подсказка 4

Нам достаточно найти, какую часть объёма всей пирамиды ABCD составляет объём многогранника, лежащего со стороны вершины A. Чтобы найти его объём, можно...

Подсказка 5

Разбить его на две пирамидки. А объём каждой из них мы сможем выразить через объём всей пирамиды ABCD, потому что знаем отношения высот и отношения площадей оснований.

Показать ответ и решение

Построим сечение. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру $CD$ , она пересечет плоскость $ACD$ по прямой $MP$ , параллельной $CD$ , а плоскость $BCD$ — по прямой $NQ$ , также параллельной $CD$ . Соединим точки $P$ и $Q$ , лежащие в одной плоскости, и точки $M$ и $N$ , лежащие в одной плоскости, получим $MP QN$ — искомое сечение.

Пусть $V$ — объем пирамиды, $V1$ — сумма объемов пирамид $PABNM$ и $PQBN$ и $V2 = V − V1$ .

Из подобия пар треугольников $ACD$ и $AMP$ и из условия задачи получим, что

AM = x,MC = 2x,AP = y,P D =2y

Отсюда следует, что

y- 1 HP = 3y ⋅HD = 3HD,

где $HP$ — высота, опущенная из вершины $P$ пирамиды $PABNM$ , $HD$ — высота, опушенная из вершины $D$ пирамиды $ABCD$ .

А также значит, что площадь основания пирамиды $P ABNM$ равна:

2x u 2 SABNM =SABC − SMNC = SABC − 3x ⋅ 2u-⋅SABC = 3SABC

Тем самым:

VPABNM = 1HP ⋅SABNM = 1 ⋅ 1⋅HD ⋅ 2SABC = 2V 3 3 3 3 9

Аналогично из подобия пар треугольников $BCD$ и $BNQ$ и из условия задачи получим, что

CN =NB =u,BQ = QD = z

Отсюда следует, что

′ 2y 2 HP = 3y ⋅HA = 3HA,

где $H ′P$ — высота, опущенная из вершины $P$ пирамиды $PQBN$ , $HA$ — высота, опущенная из вершины $A$ пирамиды $ABCD$ .

А также значит, что площадь основания пирамиды $P QBN$ равна:

SBNQ = u-⋅ z-⋅SBCD = 1SBCD 2u 2z 4

Тем самым:

1 ′ 1 2 1 1 VPQBN = 3HP ⋅SQBN =3 ⋅3HA ⋅4SDBC = 6V

Теперь можно записать, что

2 1 7- V1 = VPABNM + VPQBN = 9V + 6V = 18V

7 V1= --V1--= --18V--= -7 V2 V − V1 V − 7V 11 18

Ответ:

$-7 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89780

Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $√6$ , высота пирамиды равна $√7-$ . Плоскость $π$ перпендикулярна одному из рёбер пирамиды и делит его в отношении $1:2$ , считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость $π$ делит объём пирамиды.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть SABC — данная пирамида, плоскость π будем строить перпендикулярно ребру SA. Что можно сказать о рёбрах SA и BC? Какой вывод из этого можно сделать относительно π и ВС?

Подсказка 2

π || BC, что тогда можно сказать о пересечении плоскостей π и (SBC)? Достройте сечение, пользуясь тем, что SA ⊥ π, а значит и любой прямой, находящейся в этой плоскости

Подсказка 3

Чтобы найти отношение объёмов исходной пирамиды и пирамиды, отсечённой плоскостью π, удобно взять за основание треугольники △BSC и треугольник, отсекаемый плоскостью π при пересечении с гранью SBC.

Показать ответ и решение

Обозначим через $A,B,C,S$ вершины пирамиды, так что $ABC$ — ее основание, а плоскость $π$ перпендикулярна ребру $SA$ .

Поскольку $π ⊥ SA$ и $BC ⊥ SA$ , имеем $π ∥ BC$ . Стало быть, $π$ пересекает плоскость $BCS$ по прямой, параллельной $BC$ , и делит ребра $SB$ и $SC$ (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.

Обозначим через $H$ основание высоты пирамиды и через $M$ — середину ребра $BC$ . Тогда

AB√3- 3√- AM = --2--= 2 2;

AH = 2AM = √2. 3

Пусть $K$ — точка пересечения $π$ и $SA,L$ — точка пересечения $π$ с прямой $AM, N$ — точка пересечения прямых $LK$ и $SM$ . Тогда $AK = 2KS$ , причем $∠AKL =90∘.$

$PIC$

Из подобия треугольников $ALK$ и $ASH$ получаем:

2√---2----2 √---A2H----2 = 3-AH-+-SH-, AH + SH AL

откуда

2 AL = 3(2√+-7)-=3√2-= 2AM. 2

Итак, $M$ — середина $AL$ . Обозначим через $P$ середину $AK$ . Тогда $LK∥MP$ , откуда $SN =$ $NM$ , ибо $SK = KP$ .

Таким образом, плоскость $π$ проходит через середины ребер $SB$ и $SC$ . Следовательно, $π$ отсекает от пирамиды $ABCS$ пирамиду, объем которой равен

1 1 1 VABCS 3 ⋅2 ⋅2 ⋅VABCS =-12-

То есть $π$ делит объем исходной пирамиды в отношении $1 :11.$

Ответ: 1 : 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74582

Дана четырёхугольная пирамида $OABCD,$ в основании которой лежит параллелограмм $ABCD.$ Плоскость $α$ пересекает рёбра $OA,$ $OB,$ $OC$ и $OD$ пирамиды в точках $′ A ,$ $′ B,$ $′ C$ и $′ D$ соответственно. Известно, что

OA′ 1 OB ′ 1 OC′ 1 OA-= a,OB--= b,OC--= c

Найдите

V V-OA′BC′D′-′ OA BC D

Источники: ИТМО-2022, 11.6 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уже есть три отношения, но очень хочется заполучить еще и четвертое... Давайте попробуем найти t = OD'/OD. Для этого введем систему координат с центром O и базисными векторами OA, OB и OC. Какие координаты имеют наши точки в этой системе?

Подсказка 2

Очевидно, что A (1, 0. 0), B (0, 1, 0) и C (0, 0, 1). Значит A' (1/a, 0, 0), B' (0, 1/b, 0), C' (0, 0, 1/c). Т.к. ABCD- параллелограмм, то вектор CD = BA = OA-OB. Чему тогда равен вектор OD?

Подсказка 3

Верно, OA-OB+OC! Тогда D (1, -1, 1) ⇒ D' (t, -t, t). Можно заметить, что плоскость α задается в нашей системе координат уравнением ax + by + cz = 1. Поэтому верно равенство at - bt + ct = 1 (Просто подставили точку D' в это уравнение). Итого, t = 1/(a - b + c). А что мы вообще хотели...

Подсказка 4

Нам нужно найти отношение объемов. Мы умеем легко это делать для тетраэдров, поэтому предлагаю разбить нашу пирамиду OA'B'C'D' на два тетраэдра OA'B'C' и OA'C'D'. Тогда V(OA'B'C'D')/V(OABCD) = V(OA'B'C')/V(OABCD) + V(OA'C'D')/V(OABCD). Т.к. ABCD- параллелограмм, то V(OABCD) = 2V(OABC) = 2V(OACD). А чему равно отношения V(OA'B'C')/V(OABC) и V(OA'C'D')/V(OACD)?

Подсказка 5

Т.к. тетраэдры с общим трехгранным углом относятся так же, как произведение отношений соответствующих сторон, то V(OA'B'C')/V(OABC) = 1/abc. Найдите оставшееся отношение и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Отношение объём пирамид с общим трёхгранным углом равно произведению отношений длин рёбер, исходящих из этого угла,

VOA′B′C′= -1- VOABC abc

VOA′C′D′= -t, VOACD ac

где $OD-′ t= OD .$ Поскольку треугольники $ABC$ и $ACD$ равны, $1 VOABC = VOACD = 2VOABCD.$ Значит,

VOA′B ′C′D′ VOA′B′C′ VOA ′C′D′ -VOABCD--= VOABCD- +-VOABCD-=

VOA′B′C′ VOA′C′D-′ -1-- -t- = 2VOABC + 2VOACD = 2abc +2ac

Дальше можно было бы строить сечение и использовать для подсчёта отношений теоремы Фалеса и Менелая, но мы воспользуемся координатно-векторным методом с базисными векторами $−→ −−→ −−→ OA,OB,OC.$

$ABCD$ — параллелограмм, поэтому $−−→ −→ −→ −−→ CD =BA = OA −OB,$ и, следовательно, $−−→ −−→ −→ −−→ OD =OC + OA −OB.$

Если точка $X$ принадлежит плоскости $A′B′C′,$ а $−−O→X = x−O→A + y−−O→B +z−O−→C,$ коэффициенты $x,y$ и $z$ удовлетворяют уравнению $ax+ by+ cz = 1$ (это, как известно, уравнение плоскости, даже если система координат не декартова, а точки $A′,B ′$ и $C ′$ этому уравнению, очевидно, удовлетворяют).

−O−D→′ = t−O−→D = t−−O→C +t−O→A − t−−O→B

at− bt+ ct= 1

1 t= a−-b+c-

Получаем

VOA′B′C′D′ -1-- ----1----- -a−-b+-c+b- ----a+-c--- VOABCD = 2abc + 2ac(a− b+c) = 2abc(a− b+c) = 2abc(a− b+ c)

Обратная величина является ответом к задаче.

Ответ:

$2abc(a−-b+-c) a+ c$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74591

Плоскость, параллельная основанию $ABC$ пирамиды $MABC$ , отсекает пирамиду $MA B C 1 1 1$ (вершины $A ,B ,C 1 1 1$ расположены на рёбрах $MA,MB, MC$ соответственно). Объём пирамиды $MABC$ равен 375 , объём пирамиды $MA1B1C1$ равен 81. Найдите объём пирамиды $MAB1C1$ .

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Т.к. плоскости (A₁B₁C₁) и (ABC) параллельны, то MA₁/MA=MB₁/MB=MC₁/MC=k. Тогда объемы тетраэдров MA₁B₁C₁ и MABC относятся как коэффициент подобия k в кубе. Чему же равен k?

Подсказка 2

Верно, 3/5! Мы видим, что объем тетраэдра MAB₁C₁ состоит из объемов тетраэдров MA₁B₁C₁ и AA₁B₁C₁, у которых есть общее основание. Как же тогда относятся их объемы...

Подсказка 3

Они относятся как высоты, которые, в свою очередь, относятся как MA₁/A₁A=3/2. Посчитайте объем AA₁B₁C₁ и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как плоскость $(A1B1C1)$ параллельна плоскости основания $ABC,$ то

MA1-= MB1- = MC1 = k MA MB MC

Пирамиды $MA1B1C1$ и $MABC$ подобны, тогда их объёмы относятся как коэффициент подобия $k$ в кубе:

VMA1B1C1 = 81-= 27-=k3 =⇒ k= 3 VMABC 375 125 5

Пусть $MA =3x, 1$ тогда $A A= 2x. 1$ Заметим, что объём пирамиды $MAB C 1 1$ складывается из двух кусочков: $MA B C , 1 1 1$ объём которой мы знаем, и $AA1B1C1.$ Причём эти 2 пирамиды имеют общее основание $A1B1C1,$ тогда их объёмы относятся так же, как относятся их высоты к $(A1B1C1).$ А высоты относятся так же, как относятся $MA1$ и $AA1,$ то есть высота пирамиды $MA1B1C1$ больше высоты пирамиды $AA1B1C1$ в $MA1- 3x- 3 AA1 = 2x = 2.$ Значит,

VAA1B1C1 2 2 VMA1B1C1 = 3 =⇒ VAA1B1C1 = 3 ⋅81= 54

VMAB1C1 =VMA1B1C1 +VAA1B1C1 = 81+ 54 =135

Ответ: 135

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76531

$A′,$ $B′$ и $C′$ — проекции вершины $S$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ на биссекторные плоскости двугранных углов при рёбрах $BC,$ $AC$ и $AB.$ Найдите тангенс каждого из этих углов, если объём пирамиды $′ ′ ′ SA BC$ в $10$ раз меньше объёма пирамиды $SABC.$

Источники: Миссия выполнима - 2022, 11.4 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, что делать с условием на перпендикуляры к плоскостям, может, попытаться сделать какое-то дополнительное построение, связанное с вершиной S и одной из этих плоскостей?

Подсказка 2

Правильно, сделать симметрию точки S относительно плоскости A'BC и получить точку S₁. Попробуйте получить точки S₂, S₃ по такой же симметрии, только относительно AB'C и ABC'.

Подсказка 3

Мы получили треугольник S₁S₂S₃, кажется, что он концентричен с треугольником ABC (докажите это, используя поворот относительно высоты пирамиды).

Подсказка 4

Треугольник PSS₁ равнобедренный (P - середина BC), так как PA' - высота и биссектриса, а значит SA'=A'S₁, следовательно, пирамида SS₁S₂S₃ является образом SA'B'C' при гомотетии с коэффициентом 2 и центром в S, а значит, как относятся их объемы?

Подсказка 5

Правильно, в 8 раз. Теперь мы можем использовать условие с отношениями объемов SABC и SA'B'C', найдя отношение объемов SABC и SS₁S₂S₃ и отношение площадей их оснований.

Подсказка 6

Проведём высоту SO нашей пирамиды и найдем отношение S₁O/AO с помощью отношения площадей.

Подсказка 7

Выразим S₁O и OA через SO и найдем тангенс угла, который нужно вычислить в задаче с помощью найденных отрезков.

Показать ответ и решение

Точки $S ,S , 1 2$ и $S 3$ симметричные $S$ относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости $ABC.$ А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на $∘ 60$ вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек $S1,S2,S3.$ Следовательно, треугольник $△S1S2S3$ — правильный, и его центр, который мы обозначим через $O,$ совпадает с центром треугольника $△ABC.$

$PIC$

Заметим, далее, что пирамида $SS1S2S3$ —- образ пирамиды $SA′B ′C ′$ при гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $2.$ С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид $SABC$ и $SS1S2S3$ равно $10:23 =5 :4.$ А поскольку у этих пирамид общая высота $SO,$ то и отношение площади треугольника $△ABC$ к площади треугольника $△S1S2S3$ равно $5:4.$ В качестве следствия получается равенство $OA :OS1 = √5 :2,$ которое будет нами использовано.

Обозначив величину двугранного ребра при ребре $BC$ через $φ$ , точкой, симметричной $S$ относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать $S1.$

$PIC$

Тогда $φ= ∠SPA = ∠SPS1,$ где $P$ — середина ребра $BC$ ; треугольник $△SP S1$ — равнобедренный $(SP = PS1),$ откуда

180∘ − φ φ ∠SS1P = ---2--,OS1 =SO ctg∠SS1P = SOtg2-

А поскольку

OA = 2⋅AP = 2⋅SOctg φ, 2

то

√5 OA 2ctgφ -2-= OS1 =-tg φ2

tg φtgφ = 4√- 2 5

При $0∘ < φ< 90∘$ левая часть последнего равенства равна $∘1+-tg2φ− 1,$ что позволяет найти

∘16+-8√5- tgφ = ---5---

Ответ:

$∘ 16+-8√5 ---5---$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79218

Основанием пирамиды $TABCD$ является трапеция $ABCD$ $(BC ∥AD).$ Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $TCD$ равны $r 1$ и $r2$ соответственно. Площадь треугольника $T CD$ равна $S.$ Найдите объем пирамиды $TABCD.$

Источники: Межвед-2020, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала поработаем с тем, что уже есть. Мы имеем r₁ — расстояние от точки A до плоскости TCD, а также площадь треугольника △TCD. Чему же равен объём тетраэдра TACD?

Подсказка 2

Он равен r₁S/3. Из аналогичных рассуждений мы можем получить, что объём тетраэдра TBCD равен r₂S/3. Нам необходимо найти объём пирамиды TABCD. C учетом найденных объёмов логично будет разбить его на две части: V(TABCD)=V(TABD)+V(TBCD). Какое равенство хочется доказать, чтобы завершить решение?

Подсказка 3

Конечно, V(TABD)=V(TACD). Это равенство равносильно равенству площадей треугольников △ABD и △ACD. Докажите это, учитывая, что у них есть общее основание AD, и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Объем пирамиды $TABCD$ равен сумме объемов пирамид $TBCD$ и $TABD$

VTABCD =VTBCD + VTABD

Причем $VTABD =VTACD$ , так как у этих пирамид общая высота(из вершины $T$ ), а также равны площади оснований: $SABD = SACD$ (у этих треугольников общее основание $BC$ и равные по длине высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ , поскольку $ABCD$ — трапеция по условию). Итак,

VTABCD = VTBCD + VTACD = 1 ⋅S⋅r2 + 1⋅S⋅r1 3 3

Ответ:

$S-(r1+-r2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#107092

Плоскость проходит через точку $K,$ лежащую на ребре $SA$ пирамиды $SABC,$ делит биссектрису $SD$ грани $SAB$ и медиану $SE$ грани $SAC$ пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если $SK :KA =SA :SB = 2?$

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, как относятся объёмы пирамид с общим трёхгранным углом. Отношения каких сторон нам нужно найти для нахождения отношения объёмов?

Подсказка 2

Итак, нам нужно ввести обозначения для точек пересечения плоскости и ребер SB и SC, пусть это L и M. Хотим получить отношения SK/SA, SL/SB, SM/SC. Как мы можем их найти?

Подсказка 3

SK/SA легко находится из условия, SM/SC по теореме Менелая в два этапа (в двух треугольниках), SL/SB ищется из теоремы о биссектрисе и также теоремы Менелая.

Подсказка 4

Теорему Менелая применяем сначала для треугольников ASE и SAC, потом для треугольников ASD и SAB.

Показать ответ и решение

Пусть $L$ и $M$ — точки, в которых плоскость пересекает ребра $SB$ и $SC,$ соответственно.

$PIC$

Тогда по теореме об отношении объемов пирамид с общим трехгранным углом

VSKLM SK ⋅SL ⋅SM -VSABC = SA-⋅SB-⋅SC-

Пусть $KM$ пересекает прямую $AC$ в точке $X,$ тогда по теореме Менелая для треугольника $ASE$ и секущей $KX$

1 ⋅1⋅ EX-= 1 2 XA

EX = 2XA

Но $E$ — середина $AC,$ следовательно, $AE =EC = CX.$ Тогда по теореме Менелая для треугольника $SAC$

1⋅ SM ⋅3= 1 =⇒ SM- = 2 =⇒ SM-= 2 2 MC MC 3 SC 5

Пусть $KL$ пересекает прямую $AB$ в точке $Y,$ тогда по теореме Менелая для треугольника $ASD$ и секущей $KY$

1 DY- 2 ⋅1⋅YA = 1

DY =2YA

Но $SD$ — биссектриса $∠ASB,$ следовательно, $AD-= SA= 2, DB SB$ тогда $AY-= 2. YB 5$ Тогда по теореме Менелая для треугольника $SAB$

1 SL- 5 SL- 4 SL- 4 2 ⋅LB ⋅2 = 1 =⇒ LB = 5 =⇒ SB = 9

Значит,

VSKLM SK ⋅SL ⋅SM 2⋅4⋅2 16 VSABC- =-SA⋅SB-⋅SC = 3⋅9⋅5 = 135

Поэтому отношение частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду $ABCD,$ равно $13516−16 = 11619.$

Ответ: 16 : 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91453

В пирамиде $ABCD$ проведено сечение $KMLN$ так, что точка $K$ лежит на ребре $AD,$ точка $M$ — на ребре $DC,$ точка $N$ — на ребре $AB,$ точка $L$ на ребре $BC,$ и $O$ — точка пересечения диагоналей $KL$ и $MN$ четырехугольника $KMLN.$ Сечение $KMLN$ делит пирамиду на две части. Найти отношение объемов этих частей, если известны следующие соотношения между длинами отрезков:

4⋅OL = 3⋅OK,25⋅ON = 24⋅OM,DK ⋅NA − KA ⋅BN = KA ⋅NA.

Источники: Вступительные на ВМК МГУ - 1987 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из соотношений в условиях выглядит немного страшным, может быть, его можно как-то преобразовать в более приятный вид?

Подсказка 2

Заметим, что в нем два отрезка повторяются особенно часто, почему бы не поделить всё равенство на них?

Подсказка 3

Оба многогранника, отношение объёмов которых нужно найти, имеют на самую приятную форму, а значит, и их объёмы будет искать весьма неприятно, может быть, как-то можно сократить количество "неприятных" работ?

Подсказка 4

Если один из объёмов сможем выразить через объем пирамиды ABCD, то сможем сразу получить и второй! Самое время подумать, как можно выразить, например, объем многогранника DBKMLN через объем ABCD. Может быть, помогут какие-то доппостроения?

Подсказка 5

Объем сложных многогранников часто легко найти через сумму/разность более "простых", например, тетраэдров. Какими должны быть эти тетраэдры, чтобы можно было легко выразить один объем через другой?

Подсказка 6

Если два тетраэдра имеют общий трёхгранный угол, то отношение их объёмов будет равно отношению произведения трёх соответствующих рёбер, образующих трёхгранный угол. Поэтому давайте достроим наш многогранник DBKMLN до тетраэдра, имеющего общий угол с нашей пирамидой ABCD, соединив, например, прямые KN и ML в точке Р (не забудьте проверить, с какой стороны они будут пересекаться).

Подсказка 7

Получается, что мы сможем выразить объем DBKMLN через объем ABCD, если сможем выразить объем DKMP через объем ABCD, а объём DBKMLN через объём DKMP (что тоже можем сделать через разность "приятных" объёмов!). Значит, что необходимо знать, чтобы получилось выразить необходимые отношения объёмов?

Подсказка 8

Теперь осталось посчитать, в каких отношениях точки N, L, K, B и M делят соответственно отрезки PK, PM, AD, PD и CD, на которых они лежат. И тогда легко найти отношения длин рёбер, образующих нужные нам трёхгранные углы. А какая теорема лучше всего подходит для поиска отношений?

Подсказка 9

Да, именно теорема Менелая — у нас просто огромное количество треугольников и секущих, подходящих для её применения! Почему бы тогда не записать её для тех треугольников и секущих, для которых получатся нужные нам отношения или отношения, из которых легко получится посчитать нужные нам?

Подсказка 10

Почему бы не начать с треугольника KLP и секущей MN, для которых мы знаем по крайней мере одно из отношений сторон? Очевидный, но неочевидно полезный факт: (a+b)/b=a/b+1. Попробуйте записать равенство так, чтобы получилось его использовать.

Подсказка 11

Одно отношение мы знаем, но все равно остается еще два неизвестных нам отношения. Тогда почему бы не записать теорему Менелая для другого треугольника, в которой тоже будут участвовать эти же или связанные с ними отношения? (не забываем про неочевидно полезный факт)

Подсказка 12

С помощью неочевидно полезного факта из одной теоремы для треугольника KLP можно выразить PN/NK через PL/LM, а из второй для треугольника NMP — PL/LM через PN/NK. Осталось подставить одно в другой и найти PL/LM и PN/NK!

Подсказка 13

Теперь можно сделать что-то похожее для точек K, B и M. Какие треугольники стоит выбрать? Стоит обратить внимание на то, про какие отношения нам известно больше всего информации.

Подсказка 14

Из условия, преобразованного чуть ранее, известна связь между DK/KA и BN/NA, поэтому стоит выбрать треугольник, в котором участвует хотя бы одно из них (если не оба). И сразу по аналогии с нашими предыдущими действиями запишем и теорему Менелая для "парного" треугольника (не забудем про неочевидно полезный факт)

Подсказка 15

Получилось два равенства: одно для треугольника KDP, а второе для треугольника ADB. Как можно использовать равенство из условия, чтобы максимально сократить количество неизвестных отношений?

Подсказка 16

В отличие от DK/KA отношение BN/NA встречается только один раз, поэтому давайте избавимся от него! Теперь осталось два уравнения с двумя неизвестными отношениями DB/BP и DK/KA, которые можно и нужно найти :)

Подсказка 17

Осталось найти только, в каком отношении точка М делит CD, почему бы еще раз не "поменелаить"?) Считаем и легко выражаем нужные объёмы!

Подсказка 18

Наконец, зная все отношения, легко выразить объемы DKMP через ABCD, BLNP через DKMP и DBKMLN через разность DKMP и BLNP. Находим отношение объёмов ACKMLN и DBKMLN и празднуем победу!

Показать ответ и решение

$PIC$

Преобразуем соотношение из условия:

DK ⋅NA − KA ⋅BN = KA ⋅NA

DK BN KA-− NA- =1

BN-= DK- − 1 NA KA

Рассмотрим плоскость $KML.$ Проведем прямую $NT$ такую, что $NT$ || $ML,$ где $T$ — точка пересечения прямых $NT$ и $KL.$ Тогда $△NOT$ подобен $△MLO,$ откуда $TO= NO- ⋅OL = 18OK <OK, OM 25$ следовательно, точка $T$ лежит внутри отрезка $KL,$ откуда понимаем, что прямые $KN$ и $ML$ пересекутся под прямой $NL$ в точке $P.$ Кроме того, плоскости $PMD,$ $P DK$ и $PMK$ попарно пересекаются, значит, прямая $BD$ тоже пройдет через точку $P.$