Счёт площадей и объёмов → .04 Площадь ортогональной проекции

Построим сечение пирамиды. В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит прямой Тогда будет средней линией треугольника следовательно, где — сторона основания пирамиды.

Плоскость содержит прямые и которые параллельны плоскости сечения, следовательно, по признаку плоскость параллельна плоскости сечения.

Через точку проведем прямую параллельную где принадлежит прямой Т.к. и значит, — параллелограмм, следовательно, Учитывая, что — середина а также можем сказать, что

Пусть — точка пересечения прямых и Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку

Пусть — точка пересечения и Заметим, что углы И равны как вертикальные, а углы и как накрестлежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны, поэтому

Т.к. является правильным шестиугольником, значит, Учитывая, что получаем, что Т.к. и углы и равны, аналогично, т.к. и углы и равны, а также следовательно, треугольники и равны, поэтому

Пусть точка — точка пересечения прямых и а точка — точка пересечения прямых и Из-за того, что — правильный шестиугольник, можно сделать вывод, что Т.к. треугольники и подобны, поэтому

В плоскости через точку проведем прямую параллельную принадлежит ребру — точка пересечения прямой с ребром параллельны друг другу, поэтому по теореме Фалеса имеем

В плоскости точка — точка пересечения прямых и Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Искомое сечение - это Для нахождения площади сечения используем формулу

где — площадь проекции сечения на плоскость основания, — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания.

Проекцией является пятиугольник Площадь проекции сечения вычисляется по формуле

Обозначим расстояние от точки до плоскости сечения Т.к. точка принадлежащая плоскости сечения является серединой расстояние от точки до сечения тоже равно В треугольнике проведем высоту обозначим ее длину Тогда

Т.к. — правильный, Тогда найдем по теореме косинусов:

Используя различные формулы для нахождения площади треугольника имеем

Тогда

Окончательно имеем

Пусть это углы при вершине в тетраэдре . То есть нужно доказать, что

Пусть . Отсюда (по сути это сумма квадратов проекций на “оси координат” — стороны тетраэдра, делённая на само , что равно единице из теоремы Пифагора).

По теореме о площади ортогональной проекции Выписывая аналогичные равенства для оставшихся граней, получаем нужное соотношение

В плоскости основания проводим прямую параллельную , , и прямую параллельную лежит в плоскости сечения. В плоскости основания проводим прямую, соединяющую точку с серединой стороны , точка — точка пересечения этой прямой со стороной . В плоскости основания проводим прямую , параллельную Точка — точка пересечения прямой со стороной Трапеция — искомое сечение.

Найдём площадь проекции сечения на плоскость основания призмы. Обозначим сторону основания через . Тогда . Пусть — проекция точки на основание . Пусть — проекция точки на основание . Поскольку и параллельны, то , и . Проекцией сечения на плоскость основания является трапеция , её площадь

Найдём косинус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания призмы. Расстояние от прямой до плоскости сечения равно расстоянию от точки до плоскости сечения, которое, в свою очередь, равно расстоянию от точки до плоскости сечения (так как , принадлежит плоскости сечения).

Построим плоскость проходящую через точку и перпендикулярную линии пересечения основания и плоскости сечения ( и перпендикулярны ). Проведем прямую перпендикулярную , тогда расстояние равно

Угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен углу . Находим:

В треугольнике имеем

Итого по теореме о площади ортогональной проекции

Обозначим через двугранные углы при ребрах соответственно. Поскольку является ортогональной проекцией .

Следовательно, . С другой стороны, , то есть является ортогональной проекцией , откуда

Учитывая, что , получаем

Аналогично,

Далее, поскольку плоские углы при вершине прямые,

Примем сторону тетраэдра за Угол будем искать через косинус, который равен отношению площади треугольника проекции треугольника на плоскость основания, к площади самого треугольника - сечения.

Площадь проекции определяется несложно, так как вершины делят соответствующие радиусы описанной окружности основания (площадь основания ) в тех же отношениях что и соответствующие им точки делят боковые стороны тетраэдра. Тогда площади треугольников и и и с общим углом при вершине относятся, как произведение сторон.

Стороны сечения будем вычислять по теореме косинусов: . Теперь вычислим площадь сечения. Косинус угла , лежащего напротив стороны равен . Тогда . Для площади сечения получим следующий результат

Теперь последнее действие:

Выберем плоскость проекции так, чтобы она проходила через центр куба. Сечением куба этой плоскостью является правильный шестиугольник

Проекцией куба на эту плоскость является шестиугольник

вершины которого являются центрами правильных треугольников, построенных на сторонах шестиугольника поэтому полученный шестиугольник также является правильным, причём вершины и куба проектируются в его центр. Проекцией грани является параллелограмм Его площадь в три раза меньше площади проекции куба.