Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Экстремальные задачи в стерео → .01 Неравенство треугольника в стерео

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Экстремальные задачи в стерео

Неравенство треугольника в стерео

Введение целевой функции

Оптимальная конструкция

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37329

Дан куб $A...D 1$ с ребром $a$ . Точка $O$ — центр грани $ABCD$ . Найдите наименьшее значение суммы длин $|OE |+|EA | 1$ , если точка $E$ лежит на отрезке $AB$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти наименьшее значение суммы длин двух отрезков. Но... Они лежат вообще в разных плоскостях- это неудобно. Совсем непонятно, что делать с ними в таком виде. Когда есть неудобство, пробуем от него избавиться! Как это можно сделать?

Подсказка 2

Верно, мы же можем расположить их в одной плоскости. Уже ситуация полегче. Вспомним о том, что нам надо найти - наименьшую сумму длин. Обычно это делается с помощью неравенства. А какое самое простое неравенство есть для двух отрезков?

Подсказка 3

Да, это неравенство треугольника! Ведь по нему сумма двух сторон должна быть больше третьей. Хм... Но тогда же получается, что если Е попадёт на третью сторону, то это и будет минимум. Осталось только подумать, зачем нам дали такую хорошую точку О.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим $A′B ′ ∥AB,A′ ∈ AD,B′ ∈ BC$ и $AA′ = BB′ = A′B′ = AB$ . Тогда $EA1 =EA ′$ для произвольной $E ∈AB$ ( $A′E$ получается из $AE$ поворотом $A1B1$ на $90∘$ относительно $AB$ ). Но отсюда нам надо найти минимум $OE +EA ′$ , который достигается только при $E ∈ OA′$ и будет равен $OA′$ , то есть

∘-------- ′ ∘-------2-------′-′2 a2- 9a2- ∘ 5- min(A1E +OE )= OA = h(O,AD )+ h(O,AB ) = 4 + 4 = 2a

Ответ:

$a∘ 5 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#108623

Длины диагоналей граней $ABCD, ABB A 1 1$ и $ADD A 1 1$ параллелепипеда $ABCDA B C D 1 11 1$ выражаются различными целыми числами. Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии можно зацепиться за целочисленность и различие диагоналей. Давайте попробуем их как-то оценить!

Подсказка 2

Подумайте, насколько маленькими могут быть указанными диагоналями?

Подсказка 3

Возьмите какую-то из указанных диагоналей и оцените её при помощи неравенства треугольника для некоторой грани.

Подсказка 4

Докажите, что длина каждой из указанных диагоналей хотя бы 2.

Показать ответ и решение

$PIC$

Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство $AB1 = 1$ , поскольку в треугольнике $AB1D1$ (сторона $B1D1$ которого равна $BD$ ) должно выполняться неравенство

AB1 >|AD1− B1D1|≥ 1.

Аналогично доказывается для диагоналей граней $ABCD$ и $ADD1A1$ .

Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2.

Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны $2,3,4,5,6$ и $7.$ Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:

AB1 = 2, AC =4, AD1 = 6, A1B = 3, A1D =5, BD =7.

$PIC$

Таким образом, наименьшая сумма длин граней $ABCD, ABB1A1$ и $ADD1A1$ равна 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64564

Пять рёбер тетраэдра имеют длины $2,4,5,9$ и $13.$ Определите, может ли при этом длина шестого ребра:

a) равняться $11;$

б) равняться $11,1.$

Источники: ПВГ-2013, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Первое на что хочется в такой задаче обратить внимание — это неравенства треугольника. С них и начнём: две грани имеют общее ребро длиной 2, но можем ли мы составить из имеющихся длин два треугольника, у которых будет сторона 2?

Пункт б), подсказка 1

Много ли у нас вариантов составить треугольники-грани со стороной 2? Выходит что существует всего два треугольника. Будем пробовать построить наш тетраэдр!

Пункт б), подсказка 2

Назовём тетраэдр SABC. Пусть ребро АС = 2. Мы однозначно можем определить и противоположное ему ребро SB. Также, пусть AB = 5, BC = 4. Поработайте с неравенством треугольника для каждой грани, чтобы определить однозначно длины оставшейся пары рёбер.

Пункт б), подсказка 3

На первый взгляд всё сходится, все треугольники-грани существуют, но удастся ли совместить их так, чтобы получился тетраэдр?

Пункт б), подсказка 4

Попробуем оценить длину SC! Для этого построим сначала высоты из вершин S и C в треугольниках △SAB и △CAB соответственно. Затем проведём плоскость перпендикулярную АВ — ребру противоположному SC. Теорема Пифагора поможет нам посчитать длины этих высоты SH и CK, а также определить положение точек Н и К на АВ

Пункт б), подсказка 5

Попробуйте оценить теперь, какую длину может иметь S'C' — проекция ребра SC на проведённую плоскость?) Используйте для этого то, что т.к. проведённые ранее высоты также перпендикулярны AB, их проекции на эту плоскость будут равны самим высотам.

Пункт б), подсказка 6

Итак, получается, что S'C' лежит между |SH - CK| и |SH + CK|. Теорема Пифагора и значение НК помогут нам окончательно, числами, ограничить SC. Вписывается ли известное значение 11.1 в эти ограничения?

Показать ответ и решение

(a) У нас есть 2 грани со стороной 2, но вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5?!

(b) У нас есть 2 грани со стороной 2. Вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5 или 11,1 и 13. Значит, противоположная сторона равна 9. Пусть нам дан тетраэдр $SABC$ и $AC = 2$ , $AB =5$ , $BC = 4$ . Тогда $SB =9$ и по неравенству треугольника для $CBS$ сторона $SC = 11.1$ . Значит, последняя сторона $SA= 13$ .

$PIC$

По формуле Герона площадь $ABC$ равна

∘ 11-7--1-3- 1√--- 2-⋅2 ⋅2 ⋅2 = 4 231.

Тогда если $CK$ — высота в этом треугольнике, то $√--- CK = -21310-$ . По теореме Пифагора $√ --------- AK = AC2− CK2 = 1.3$ и $√ --------- BK = BC2− CK2 = 3.7$ . Отсюда следует, что $K$ лежит на отрезке $AB$

Аналогично, $√-- SABS = 94 51$ , высота $SH$ в этом треугольнике длиной $√-- 190 51$ , $BH = 6,3$ , $AH = 11,3.$ Значит, $H$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$ . Отсюда $HK = HB + BK =10.$