Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Экстремальные задачи в стерео → .02 Введение целевой функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Экстремальные задачи в стерео

Неравенство треугольника в стерео

Введение целевой функции

Оптимальная конструкция

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80773

Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ ( $S$ — вершина) со стороной основания $2$ и боковым ребром $4.$ Точка $X$ лежит на прямой $SF,$ точка $Y$ — на прямой $AD,$ причём отрезок $XY$ параллелен плоскости $SAB$ (или лежит в ней). Найдите наименьшую возможную длину отрезка $XY.$

Источники: Физтех - 2024, 11.7 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала поймем, где находится отрезок XY. Так как XY параллелен плоскости SAB, попробуем провести через X прямую, параллельную плоскости SAB, такая прямая будет параллельна SA. Пусть эта прямая пересекает AF в точке T.

Подсказка 2

Нас просят найти наименьшее значение. Нужно ввести неизвестную и искать XY через неё. Если принять AT за а, то XT, YT и угол XTY легко посчитать.

Подсказка 3

XT можно найти через подобие, TY из равностороннего треугольника, угол XTK можно найти через подобие тоже.

Подсказка 4

Не забудьте, что T может не попасть на отрезок AF, а может быть больше AF. Нужно рассмотреть 2 случая, чтобы TF не был отрицательным. Также угол XTK выражается по-разному.

Подсказка 5

По теореме косинусов можно выразить XY через а. Осталось только найти наименьшее значение полученного выражения!

Показать ответ и решение

За $(ABC )$ будем обозначать плоскость, проходящую через точки $A$ , $B$ и $C.$

Возьмем на прямой $SC$ такую точку $Z$ , что $SZ =SX$ . Тогда

XZ ∥FC ∥AB ∥(ABS )

На прямой $AF$ же возьмём точку $T$ такую, что $XT ∥AS ∥(ABS)$ . Получается, что плоскость $(XZT )∥ (ABS )$ Тогда $XY$ лежит в плоскости $(XZT )$ . $(XZT )$ пересекает плоскость основания по прямой $TK$ ( $K ∈ BC$ ), параллельной $AB.$

$PIC$

Пусть $AT = a$ . Тогда $TF = |2− a|$ , $TX = 2TF =2|2− a|$ . Треугольник $ATY$ будет правильным (есть 2 угла по $60∘$ ), т.е. $TY = AT =a$ .

( { ∠SAB =arccos14, a <2 ∠XT Y = ( 180∘− ∠SAB = 180∘− arccos1, a> 2, 4

т.к. это 2 угла с параллельными сторонами.

Рассматриваем треугольник $XT Y$ . $XY 2 = XT2 +YT 2− 2XT ⋅TY ⋅cos(∠XT Y)$ . Подставляем найденные значения.

4(2− a)2+a2− a|2− a|= XY2

Минимум выражения слева достигается при $a =− −21⋅68= 1,5$ и равно $XY2 =2,5$ . Тогда $min(XY )= √2,5-$

Ответ:

$∘ 5 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82292

Сфера $S$ касается основания $ABC$ тетраэдра $ABCD$ в точке $H$ и проходит через вершину $D$ . Рёбра $AD,BD$ и $CD$ эта сфера пересекает в точках $A1,B1$ и $C1$ . Центр описанной окружности треугольника $A1B1C1$ лежит на отрезке $DH$ . Радиус сферы $S$ равен $R$ .

Пусть $V$ - объём тетраэдра $ABCD$ , а $V1$ - объём тетраэдра $A1B1C1D$ . Какое наибольшее значение может принимать $V ⋅V1?$

Источники: ИТМО-2024, 11.7 (см. olymp.itmo.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $H 1$ — центр описанной окружности треугольника $A B C 1 11$ , лежащий на $DH,O$ — центр сферы. Очевидно, $O$ — середина $DH$ . Так как точки $A1,B1$ и $C1$ лежат на сфере, $OH1$ перпендикулярно плоскости $A1B1C1$ . С другой стороны, $OH1$ и $DH$ — это одна и та же прямая, а $DH$ перпендикулярна плоскости $ABC$ . Значит, плоскости $ABC$ и $A1B1C1$ параллельны, а тетраэдры $ABCD$ и $A1B1C1D$ подобны.

$PIC$

Пусть $h$ — длина $DH1$ , то есть высота маленького тетраэдра. Высота большого тетраэдра равна $2R$ , а коэффициент их подобия $− 2Rh$ .

$OH1A$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $H1,OH1 = |R − h|,OA1 = R$ , значит, радиус описанной окружности треугольника $A1B1C1$ , то есть $OH1$ , равен

r= ∘R2-− (R-− h)2 = ∘2Rh-− h2

Как известно, среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний. Для окружности радиуса $r$ эта площадь составляет

3√3r2 4

Значит, объемы тетраэдров составляют

h 3√3r2 √3hr2 √3h(2Rh− h2) √3h2(2R − h) V1 = 3 ⋅-4- = -4---= -----4------= -----4-----

( )3 √- √- V = 2R-- ⋅V1 = 8R3 ⋅-3h2(2R-− h)= 2-3R3(2R−-h), h h3 4 h

а их произведение равно

3R3h(2R-−-h)2 2

Чтобы максимизировать эту величину, достаточно максимизировать $2 f(h)= h(2R − h) .$

f′(h) =(2R− h)2 − 2h(2R − h)=(2R− h)(2R − 3h)

′ 2R f = 0 ⇐⇒ h= 2R или h= -3-

В первой точке достигается минимум, равный нулю, а во второй — максимум. Подставив $2R h= -3$ в формулу для объёма, получим

16R6 max(V V1) = 9

Ответ:

$16R6 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83857

Коническое (пожарное) ведро было заполнено водой до самого края.

$PIC$

В него положили шар, причем он полностью покрылся водой. Покажите, что при этом из ведра вылилось не более половины бывшей там воды.

Источники: КФУ - 2024, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?

Подсказка 2

Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?

Подсказка 3

Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.

Показать доказательство

Обозначим радиус шара через $r,$ радиус основания конуса через $R,$ а высоту конуса — через $h.$ Тогда объём конуса равен

1 2 V = 3πR ⋅h

Объём шара

4 v = 3πr3

Отношение этих объемов равно

3 v-= 4r2- V R h

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

$PIC$

Из подобия прямоугольных треугольников $AF O$ и $AMB$ имеем

h− r √h2-+R2 -r--= ---R----

Возведем равенство в квадрат, получим

( )2 2 2 2 h − 1 = h-+R2--= 1+ h2- r R R

1− 2h + h2 =1 + h2 r r2 R2

h2−-2rh- h2- r2 = R2

h2r2 R2 =h2-− 2rh

Значит, отношение объёмов равно

( ) v-= 4r3-h2−-2rh-= 4r(h−-2r)= 4(t− 2t2)= 4t(1− 2t), V h2r2h h2

где $t= r < 1. h 2$ Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при $t= 1 4$ и составляет

4t(1− 2t) =4⋅ 1 (1− 1) = 1 4 2 2

Заметим, что максимум достигается при $h = 4r;$ при этом

16r4 R2 = 16r2−-8r2-=2r2

l2 = h2+ R2 = 18r2 =9R2

l= 3R

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88711

В куб с ребром $a= 60$ вписаны три сферы одинакового радиуса $r$ так, что сферы попарно касаются друг друга, каждой грани куба касается какая-то сфера и каждая сфера касается как минимум двух граней куба. Найти возможные значения радиуса $r$ , если известно, что $r$ — натуральное число.

Источники: САММАТ - 2024, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть одна точка, с помощью которой можно описать положение сферы в пространстве – это центр. Подумайте, как выглядит множество точек, в которых могут находиться центры сфер. В вам поможет тот факт, что каждая сфера касается хотя бы двух граней.

Подсказка 2

Центры всех трех сфер могут лежать только на ребрах куба, центр которого совпадает с центром исходного, а длина ребра равна a – 2r. Рассуждать про задачу в пространстве достаточно неудобно, хотелось бы получить какую-нибудь явную функцию, описывающую r, и исследовать ее значения. Подумайте, как её получить, пользуясь тем, что мы знаем, где находятся центры сфер.

Подсказка 3

Все три сферы касаются друг друга, значит, их центры образуют равносторонний треугольник со стороной 2r. Попробуйте посчитать длину стороны этого треугольника как расстояние между двумя центрами.

Подсказка 4

Давайте введем систему координат с началом в вершине куба из условия, а центры сфер расположим так, чтобы они находились на расстоянии x от каких-то трех граней куба, тогда их координаты будут (x, r, r) (r, a – x, a - x) и (a-r, x, a-r). При этом важно отметить, что r ≤ x ≤ a – r. Отсюда мы легко находим расстояние между центрами и, приравняв его к 2r, получаем квадратное уравнение относительно 2r.

Подсказка 5

Из уравнения мы получили, что r = (3a ± √(5a² - 4x² + 4ax)) / 2. Знак + точно не может быть перед корнем, так как радиус не может быть больше, чем сторона куба. Значит, нам нужно исследовать на наибольшее и наименьшее значение данную функцию относительно x, но с минусом.

Подсказка 6

Выделим под корнем полный квадрат и получим r = 3a/2 + √(3a²/2 – (x - a/2)²). Как можно заметить, значение нашего радиуса будет зависеть от (x - a/2)², когда выражение принимает свое наименьшее значение, то радиус будет наибольшим, а когда выражение принимает наибольшее значение, то радиус – наименьший. Остается только найти эти наибольшее и наименьшее значения. Не забудьте, что x находится в каких-то границах.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — ребро куба. Рассмотрим множество точек, которому могут принадлежать центры сфер.

Так как каждая сфера касается минимум двух граней куба, тогда центры сфер принадлежат рёбрам куба с ребром $b= a− 2r$ , центр которого совпадает с центром исходного куба и грани которого параллельны соответствующим граням исходного куба и находятся на расстоянии $r$ от них.

$PIC$

Поскольку сферы попарно касаются друг друга, центры сфер образуют правильный треугольник со стороной $c= 2r$ . При этом каждой грани куба касается какая-то сфера, поэтому рёбра, на которых лежат центры сфер, в совокупности являются границами всех шести граней куба с ребром $b= a− 2r$ .

Введём систему координат с началом в вершине исходного куба и расположим вершины правильного треугольника так, чтобы они находились в трёх скрещивающихся рёбрах меньшего куба, а также находились на расстоянии $x$ от некоторых трёх граней исходного куба. Тогда координаты вершин правильного треугольника имеют вид $(x;r;r),(r;a − r;a− x),(a− r;x;a − r)$ , где $r≤ x≤ a− r$ , то есть $x ∈[r;a− r]$ . Нетрудно проверить, что стороны треугольника одинаковы и равны

∘ ------------------------- (r− x)2+ (a− 2r)2+ (a− x− r)2 = 2r,

откуда получаем уравнение, квадратное относительно $r$ , имеющее корни:

∘ ------------ r = 3a ± 3a2− (x − a)2. 1,2 2 2 2

Так как радиус $r$ не может быть больше $a$ , и тем более больше $3a- 2$ , тогда знак $+$ невозможен.

Поскольку функция $a 2 (x− 2)$ монотонно возрастает, тогда наименьшее значение $r$ будет при $a x = 2$ . В этом случае получим $3−√6 r= --2-a$ .

Наибольшее значение $r$ будет при наибольшем значении $a 2 (x− 2)$ . На отрезке $[r;a− r]$ функция принимает одинаковое наибольшее значения в точках $x =r,a− r$ . Тогда наибольшее значение $r$ можно найти из уравнения $r2 − 3ra+ x2− ax+ a2 = 0$ при $x = r$ . Получим $√- r1,2 = 2±22a$ . Так как радиус $r$ не может быть больше $a$ , тогда знак $+$ невозможен.

Заметим, что во втором случае все три сферы касаются трёх граней куба, поэтому радиус сферы больше, чем $√ - r = 2−2-2a$ , быть не может (иначе сферы выйдут за границу куба). А в первом случае центр равностороннего треугольника, образованного центрами трёх сфер, находится в центре исходного куба, поэтому радиус сферы меньше, чем $√- r= 3−26a$ , тоже быть не может.

$PIC$

Наконец, поскольку функция $r= 3a2 − ∘-3a22−-(x−-a2)2$ непрерывна на отрезке $x ∈[r;a− r]$ , то радиус сфер $r$ принимает значения на отрезке $3−√6 2− √2 [--2-a;-2--a]$ .

Подставим $a= 60$ , тогда получим неравенство $√- √ - 90 − 30 6≤ r≤ 60− 30 2$ . Заметим, что $√- 16< 90 − 30 6< 17$ и $√- 17<60− 30 2< 18$ . Таким образом, единственное возможное натуральное значение — $r= 17$ .

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67955

На сфере расположены точки $A,B,C$ таким образом, что минимальные расстояния по поверхности сферы от точки $A$ до точки $B,$ от точки $A$ до точки $C$ и от точки $B$ до точки $C$ равны $4π,3π$ и $5π$ соответственно. Найдите минимальный возможный при таких условиях периметр треугольника $ABC.$

Источники: ПВГ-2023, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала представим, что такое расстояние на сфере? Это дуга наименьшей длины окружности с центром, совпадающим с центром сферы. Тогда какую оценку на радиус сразу можно понять из условия?

Подсказка 2

Верно, радиус не может быть меньше 5, как тогда получается наибольшая длина окружности 10π, а половина меньше 5π. Давайте теперь поймём, как можно посчитать стороны треугольника ABC. Любые две точки на сфере лежат также на окружности с радиусом сферы. Какую тогда теорему можно вспомнить, связанную с этими величинами?

Подсказка 3

Точно, это теорема синусов. Но проблема с углом напротив стороны, кажется, что мы его не знаем. А что такое угол напротив стороны с точки зрения длины дуги в радианах и радиуса?

Подсказка 4

Верно, это по формуле отношение длины дуги к радиусу. Причём помните, что у нас есть ограничение на длину дуги. Мы берём наименьшую, а значит, не больше, чем половину длины окружности. Сложив теперь аналогичные длины сторон, получим периметр нашего треугольника. Мы должны найти его минимальное значение. Посмотрим, от какой переменной зависит это выражение и не можем ли мы тогда проанализировать его как функцию?

Подсказка 5

Точно, оно зависит только от радиуса, а значит, можно исследовать выражение как функцию, взять производную и что-то понять про него. Например, что она возрастающая на некотором подходящем нам интервале. После этого мы переформулируем задачу на нахождение минимального радиуса. Как тогда можно понять, что функция возрастает? Попробуйте вынести косинус и вспомнить, что отношение дуги к радиусу у нас может быть равно только от 0 до π/2.

Подсказка 6

Ага, функция возрастает, потому что tgx>x, x ∈ (0; π/2). А у нас как раз такого вида выражение. Ура, уже хорошо! Теперь осталось оценить радиус. Какие есть мысли по этому поводу? Так как у нас должен быть минимальный радиус, то можно по минимуму "сжать" сферу. Тогда какой вариант радиуса подойдёт?

Подсказка 7

Верно, можно взять сферу радиуса 6, так как сложив наименьшую длину всех дуг по условию, то получим, что это длина окружности с радиусом 6. Осталось понять, почему нельзя взять меньший радиус. Попробуем взять на сфере радиуса 6 произвольную точку А. Тогда где могут находиться точки С, если смотреть на сферу с точки зрения глобуса? А исходя из этого, где лежат точки B?

Подсказка 8

Верно, так как расстояние 3π, то эти точки будут расположены где-то на "экваторе". Теперь если рассмотрим возможные расстояния от С до B, то они снова будут лежать где-то на параллели. Осталось только рассмотреть, какое максимальное расстояние в принципе возможно от А до В, и понять, почему любые смещения по "параллелям" и "меридианам" будут плохи. Победа!

Показать ответ и решение

Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы. Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем $5.$ В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем $10π$ , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем $5π,$ что противоречит условию задачи.

$PIC$

Обозначим радиус сферы за $R,$ ее центр обозначим буквой $O.$ Рассмотрим две произвольные точки $M, N,$ пусть длина дуги $MN$ равна $d,$ отметим, что $0< d≤ πR.$ Из сектора и треугольника $OMN$ имеем:

d d α= ∠MON = R,MN =2R sin2R-

Из этой формулы следует, что периметр треугольника $ABC$ равен:

2R(sin 3π-+sin 2π+ sin 5π) 2R R 2R

Рассмотрим функцию одной переменной:

f(R)= Rsin q- R

Тогда $f′(R)= sin q-− qcos q-=cos q(tg q− q-), R R R R R R$ что положительно при $0< q-≤ π , R 2$ так как $tgx> x,x∈(0;π). 2$
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус $R$ не может быть меньше, чем 5 и, следовательно, величина $t= q∕R$ во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу $(0,π∕2].$ Поэтому периметр треугольника $ABC$ является возрастающей функцией параметра $R$ и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки $A,B,C,$ удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен $6,$ состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса $6$ расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять экватор сферы, его длина равна $12π,$ что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку $A$ на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние $4π,$ отмечаем точку B, проходим еще $5π,$ отмечаем точку $C.$
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем 6, точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка $C$ это северный полюс планеты радиуса 6. Тогда геометрическим местом точек $A,$ кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки $C$ равно $3π,$ будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек $B,$ кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки $C$ равно $5π,$ будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно $4π,$ и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки $A$ и $B,$ сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем $4π.$ Итак, минимально возможный радиус сферы равен 6, откуда получаем ответ: $π π 5π 12(sin4 + sin 3 + sin12).$

Ответ:

$12(sinπ+ sin π+ sin5π) 4 3 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#48862

По диагоналям оснований $AC$ и $B D 1 1$ куба $ABCDA B C D 1 1 1 1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши и закончили, когда Леша оказался в точке $D1$ . Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.6 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Фиксируем момент времени $t$

$M, N$ — положение муравьёв в момент $t$ .
$K$ — проекция точки $N$ на диагональ $BD$ .
$ν$ — скорость движения Гоши, $2ν$ — скорость Леши.

Тогда имеем

B1N = BK = 2νt

2 2 ( a )2 ( a )2 AM = νt,KD = 2νt =⇒ OM + OK = √2 − νt + √2-− 2νt

Наконец,

( )2 ( )2 MN2 = f(t)= MK2 + NK2 =a2+ a√-− νt + a√-− 2νt 2 2

Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при $t= √a2ν$ . Относительно $t$ функция $f(t)$ является квадратным трёхчленом с положительным коэффициентом при $t2$ . Вершина находится в точке $t= t = -a√-⋅ 3 ≤-a√- верш μ 2 5 μ 2$ . Отсюда $2( ) 2 ∘-- fmin = f(tверш)= a2 3− 45 = a1110 =⇒ dmin = a 1110-$ .

Ответ:

$a∘ 11 10$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74506

В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.

Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке линия проходит через точку Г:

$PIC$

a) Определите площадь земной поверхности ( $в км2$ ), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H = 500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R = 6400$ км с центром в точке $O.$

б) Найдите все значения $n >1,$ для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C1,...,Cn,$ каждая из которых внешним образом касается окружности $C0,$ с центром в точке $A$ и радиусом $r< R,$ каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$ , что и спутник с зоной покрытия $C0.$ Каждая из зон покрытия $Ci$ должна внешним образом касаться окружностей $C0$ и $Ci+1,i=0,1,...,n− 1,$ т.е. первая касается $C0$ и $C2,$ вторая — $C0$ и $C3,$ и т.д. Окружность $Cn$ должна касаться $C0$ и $C1.$

Источники: ШВБ-2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Вспомним формулу площади шарового сегмента: S = 2πR*h, где h = АЗ. Осталось только найти h и посчитать

Пункт б, подсказка 1

Пусть В — точка касания C₀ и C₁, а З, З₁, З₂ — точки пересечения радиусов сферы, проходящих через центры окружностей. sin(а) можно найти из треугольника АВО. Заметим равенство углов ЗОВ и ВОЗ₁, что делает угол ЗОЗ₁ равным 2а. Найдем ЗЗ₁ через равенство треугольников ОГВ и ОЗ₁З(по двум сторонам и углу). Как нам связать это с количеством окружностей?

Пункт б, подсказка 2

Через двугранный угол при ребре ОЗ. Он будет зависеть от количества таких окружностей и равняться 360°/n

Пункт б, подсказка 3

Чтобы его выразить, опустим перпендикуляры из точек З₁ и З₂ на ребро ОЗ. Пирамида ОЗЗ₁З₂ правильная, поэтому З₁Н и З₂Н пересекутся в одной точке Н и будут равны. Теперь нам нужно их найти.

Пункт б, подсказка 4

Рассмотрим треугольник З₂НЗ₁. Выразим З₂З₁, которую мы уже знаем, через З₁Н и половину угла З₂НЗ₁. Из уравнения выразим sin(180°/n). Осталось только его оценить и получить из этого оценку на n!

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. $S = 2πR⋅h$ , где $h= A3$ — высота сегмента. $h =R − R cosα$ , здесь угол $α$ — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

( ) S = 2πR2(1− cosα)= 2πR2 1−--R-- = 2πR2⋅--H-- ≈ R +H R + H

2 500- 2 10 4096- 5 5 2 ≈6 ⋅6400 ⋅6900 =6400 ⋅23 ≈ 23 ⋅10 ≈178,09⋅10 = 17809000 км

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и $A1$ их центры этих окружностей, $З,З1,З2$ — точки пересечения радиусов $R$ со сферой. Обозначим $α$ — угол между ОЗ и ОВ. Тогда $r- sinα = R,ЗЗ1 = 2r.$

$PIC$

В правильной пирамиде О $ЗЗ1З2$ плоские углы при вершине равны $2α,$ двугранный угол при ребре О3 равен $360∕n.$ Опустив перпендикуляры из точек $З1$ и $З2$ на ребро О3 в точку H, треугольники О $З,З1$ и О $ЗЗ2$ равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны $R,$ а третья $2r.$

$PIC$

∘ -------- НЗ1 =Н З2 = 2rcosα= 2r∘1−-sin2α =2r 1− ( r)2 R

∘----r2- ⇒ 2r=ЗЗ1 =ЗЗ2 =2⋅Н З1⋅sin(180∕n)= 4r 1− R2-sin(180∕n)

∘ ------ ( ∘ -----) r2 r2 2 1− R2 sin(180∕n)= 1⇒ sin(180∕n)= 1∕(2 1− R2) > 1∕2⇒ n< 6

Ответ:

а) $17809000$

б) $2,3,4,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99649

Два куба с ребром $12∘4-8 11$ имеют общую грань. Сечение одного из этих кубов некоторой плоскостью — треугольник площади $16.$ Сечение другого той же плоскостью — четырёхугольник. Какое наибольшее значение может принимать его площадь?

Источники: ИТМО - 2021, 11.7 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы правильно построили сечение, то плоскость должно пересекать кубы по треугольнику (будем его называть большим), на первый куб приходится треугольник (будем его называть маленьким), а на второй — трапеция. Притом площадь маленького треугольника фиксирована. Значит, максимизация площади трапеция равносильна максимизации площади большого треугольника, или же максимизации коэффициента подобия большого треугольника к маленькому.

Подсказка 2

Попробуйте выразить этот коэффициент с помощью теоремы Фалеса через некоторые отрезки, чтобы большинство отрезков были фиксированной длины. Тогда вы поймёте, какие отрезки нужно максимизировать или минимизировать.

Подсказка 3

Пусть есть треугольник, вершины которого расположены на трёх рёбрах куба на расстояниях x, y, z от вершины. Попробуйте записать его площадь в виде какого-то не очень сложного выражения от x, y, z, используя формулу Герона.

Подсказка 4

Если вы правильно исследовали коэффициент подобия и получили правильное выражение площади KPQ, то вы понимаете, что одну из переменных нужно минимизировать, а две остальные — максимизировать. Значит, две переменные будут равны ребру. Попробуйте выразить третью через длину ребра и коэффициент подобия, о котором говорили выше. И поставьте полученные выражения в формулу площади.

Показать ответ и решение

Пусть наши кубы — это $ABCDA B C D 1 1 1 1$ и $ABCDA B C D 2 2 2 2$ с общей гранью $ABCD$ . Пусть также треугольное сечение первого куба — это $KLM$ , где точка $K$ лежит на $AA1$ , точка $L$ на $AB$ , а точка $M$ — на $AD$ . Одна из сторон четырёхугольного сечения второго куба — отрезок $LM$ . Две другие — продолжения отрезков $KL$ и $KM$ на грани второго куба, назовём эти отрезки $LP$ и $MQ$ . Чтобы сечение было четырёхугольным, точки $P$ и $Q$ должны находиться на одной грани второго куба, а это может быть только грань $A2B2C2D2$ .

$PIC$

Значит, четырёхугольное сечение второго куба — это трапеция $LMQP$ . Нахождение её наибольшей площади равносильно нахождение наибольшей площади треугольника $KP Q$ , который подобен треугольнику $KLM$ . Обозначим этот коэффициент подобия $k = KKPL-$ . Тогда $S S k2 = SKKPLQM-=-KPSQ-$ . То есть наша задача равносильна задаче о нахождении максимального коэффициента подобия.

С другой стороны, по теореме Фалеса $k = KKPL-= KAK2A-= KA+KAAA2-= 1+ AKAA2$ . То есть коэффициент подобия тем больше, чем меньше $KA$ , а значит, наша задача — минимизировать $KA$ , или, что то же самое, минимизировать $KA2$ .

Пусть у нас есть треугольник, вершины которого расположены на трёх рёбрах куба, выходящих из одной точки, на расстояниях $x,y$ и $z$ . Найдём формулу площади этого треугольника. Это можно делать по-разному, например, через векторное произведение, или посчитав двумя способами площадь тетраэдра, образованного вершинами треугольника и вершиной куба, но мы вычислим эту площадь по формуле Герона, зная стороны треугольника: $∘ ------ √------ a = x2+ y2,b= x2+ z2$ и $∘ ------ c= y2+z2$ .

∘--------------------------------- ∘ --------------------- S = -(a+-b+c)(a-+b−-c)(c+-(b−-a))(c− (b−-a))=--((a+-b)2-− c2)(c2−-(b−-a)2) = 4 ∘ ----4------------ ∘ (a2+b2+-c2− 2ab)(c2−-a2− b2+-c2-+2ab) 4a2b2− (a2 +b2− c2)2 =-----------------4---------------- = ---------4--------- = Эту формулу◟тожеиногда◝◜называют фор◞мулойГерона

∘------------------------------------------- ∘ ---------------------------- -4-(x2+-y2)(x2+-z2)−-((x2+-y2)+-(x2+z2)−-(y2+-z2))2 --4x4+4x2y2+4x2z2+-4y2z2−-(2x2)2 = 4 ∘------------=- 4 = -x2y2+-x2z2+-y2z2- = 2

Посмотрим на эту формулу для треугольника $KPQ$ и отрезков $x= A2P,y = A2Q,z = A2K$ . С одной стороны, нам надо минимизировать $z$ , а с другой - максимизировать площадь. Очевидно, для этого $x$ и $y$ должны быть максимальны, то есть равны ребру $ℓ$ .

Как мы знаем, $KA+AA2- KA+-ℓ k= KA = KA$ , то есть $KA ⋅k= KA + ℓ$ , откуда

KA = -ℓ--, KA2 = KA +ℓ=-kℓ- k− 1 k − 1

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

1∘ ------(-kℓ-)2-----(-kℓ-)2- ℓ2 ∘ ----------- SKPQ = 2 ℓ4+ ℓ2⋅ k−-1 + ℓ2⋅ k−-1 = 2(k− 1) (k − 1)2+2k2

Соответственно,

∘ ----------- S = SKPQ-= ℓ2--(k− 1)2+-2k2, k2 2k2(k− 1)

откуда

4S2 (k− 1)2+ 2k2 1 2 ℓ4-= -k4(k−-1)2--= k4 + k2(k−-1)2

Правая часть этого равенства убывает при $k> 1$ , а значит, данное уравнение на $k$ имеет не больше одного решения. Конкретное решение в большинстве вариантов легко подбирается из этого равенства, так как оно целочисленное.

При $∘-- l= 124181,S = 16$ мы получаем уравнение

2 -14 +-2--2--2 = 4⋅4168-= -114, k k (k− 1) 12 ⋅11 2⋅3

откуда сразу возникает желание проверить $k= 3$ , что оказывается верным.

Ответ получается как разность площадей двух треугольников и равен $(k2− 1)S =8 ⋅16= 128.$

Ответ:

$128$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105075

Найти радиус цилиндра с наибольшей полной поверхностью, вписанного в круговой конус высотой $20$ см и радиусом основания $10$ см.

Источники: Газпром - 2020, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, как выражается площадь полной поверхности цилиндра. Так... Нужно теперь воспользоваться условием на максимальную площадь. Как это сделать?

Подсказка 2

Конечно! Нужно выразить площадь через известные константы и радиус основания цилиндра. Для этого давайте рассмотрим осевое сечение нашей конструкции. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 3

Пусть осевое сечение конуса это треугольник ABC с вершиной С, а цилиндр пересекает боковые стороны треугольника в точках M и N соответственно. Давайте распишем подобие треугольников ABC и MNC. Как, используя подобие, выразить высоту цилиндра через r и известные константы?

Подсказка 4

Да! Если H — высота конуса, h — высота цилиндра, r — радиус основания цилиндра, а R — радиус основания конуса, то из подобия получаем: R/r = H/(H-h). Отсюда легко выразить h. Подставьте это в первую формулу. Как теперь максимизировать r?

Подсказка 5

Правильно! Давайте продифференцируем S(r) и найдем максимум этой функции!

Показать ответ и решение

Площадь полной поверхноcти цилиндра выражается формулой

S =2πr(r+h)

где $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Изобразим осевое сечение цилиндра, вписанного в конус, и введём обозначения (см. рис.). Из подобия треугольников $ABC$ и $NCM$ по двум углам получим $R-= -H--, r H−h$ отсюда $h =H − rH. R$

$PIC$

Подставим выраженное $h$ в первую формулу. Таким образом, получили функцию площади поверхности в зависимости от радиуса основания цилиндра:

( ) ( ( )) S(r)= 2πr H− rH-+ r = 2πr H +r 1− H- R R

Необходимо подобрать такое значение $r,$ чтобы $S$ была максимальной. Продифференцируем это выражение:

S′(r)= 2π(H + 2r(1 − H) ) R

( H) --HR--- --20⋅10-- H + 2r 1− R = 0 =⇒ r= 2(H − R) = 2 ⋅(20− 10) = 10

Убедимся, что найден максимум функции проверкой знака производной: $r< 10,$ $S′(r)> 0,$ $S(r)$ — возрастает; $r> 10,$ $S′(r)< 0,$ $S(r)$ — убывает. Значит, искомое значение $r$ равно $10.$

Ответ:

$r= 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91388

Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$ , причем длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $β,cosβ =0,6.$ Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $α$ к горизонту его скорость равна $2 4cosα$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$ , успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$ , если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии нам дан угол наклона, как им можно воспользоваться?

Подсказка 2

Надо перейти к прямоугольному треугольнику, для этого стоит рассмотреть центр основания пирамиды.

Подсказка 3

Пусть М — середина пути. Проведите из нее перпендикуляр к стороне основания.

Подсказка 4

Выразите стороны в прямоугольных треугольниках.

Подсказка 5

Запишите вопрос задачи в виде неравенства и выясните, выполняется ли оно.

Показать ответ и решение

Пусть точка $O$ — центр основания горы $SABCD$ , точка $H$ — основание перпендикуляра к стороне $AB$ из вершины $S$ . Тогда

OH 13∕2 65 SH = cosβ-= -3∕5-= 6-

Ребро пирамиды

√ -- SA = ∘AH2-+-SH2-= 13--34- 6

$PIC$

Пусть точка $M$ — середина пути туриста, точка $N$ — основание перпендикуляра из $M$ к $AB,∠MAB = α,∠SBA =φ,AM =x.$ Тогда из прямоугольных треугольников $AMN$ и $BMN$ :

AN =xcosα, BN = 13− xcosα, MN = BN ⋅tgφ= xsinα xsinα = (13− xcosα)tgφ, x= ---13tgφ---- sinα +cosαtgφ

Необходимо проверить существование решения неравенства

--2x-- 15 9- 4cos2α ≤ 6+ 60 − 60 = 6,1 ---13tgφ----≤ 12,2cos2α sinα+ cosαtg φ -----65---- ≤12,2cos2α 3s2in0 α+ 5cosα 561 ≤ cos2α(3sinα+ 5cosα) SB- -3- cos∠SBA = HB = √34- √3- ≤cosα≤ 1, 0≤ sinα ≤√5--, -9≤ cos2α ≤1 34 34 34

15 15 0 ≤3sin α≤ √34, √34 ≤ 5cosα≤ 5 -15 15- √34-≤ 3sinα+ 5cosα ≤ 5+ √34 9- -15- 2 -15 34 ⋅√ 34 ≤cos α(3sinα+ 5cosα)≤ 5+ √34

Отметим, что

√-- 15 20 5< 34< 6, √34 >1 > 61-

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64566

Высота правильной треугольной пирамиды, проведенная из вершины основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правильная фигура – это всегда хорошо, так что нарисуйте рисуночек, отметьте равные отрезки и подумайте, можно ли все стороны пирамиды выразить через данную нам высоту? Возможно стоит ввести еще какую-то переменную?

Подсказка 2

Попробуйте обозначить какой-нибудь угол на рисунке переменной и выразить площадь поверхности через высоту и этот угол. Результат можно записать как функцию одной переменной, тогда Вам останется просто найти область значений этой функции.

Показать ответ и решение

Пусть $AE = 4$ высота из вершины $A$ на грань $BCD$ , а $DH$ из вершины $D$ на грань $ABC$ . Так как тетраэдр правильный, то $AH$ и $DE$ пересекаются на стороне $BC$ в середине $F$ .

$PIC$

Пусть $∠AFD = α$ . Тогда

AF = -AE- sinα

Поскольку $ABC$ равносторонний, то $BC = 2A√F = √-8-- 3 3sinα$ .

Так как $AH = 2HF$ , то

DF = -HF-= -AF-- =----4---- cosα 3cosα 3 sinαcosα

-----16----- SCBD = 3√3cosαsin2α

---16-- SABC =√3 sin2α

16 16 16 SВсего = √3-sin2α + √3-cosαsin2α-= √3cosαsin2α-(1+ cosα) =

= √------16------(1+cosα)= √-----16------ 3cosα(1− cos2α) 3cosα(1 − cosα)

Функция $f(α)= cosα(1− cosα )$ достигает максимума при $cosα = 1 2$ и может быть бесконечно близко к 0, поэтому площадь может быть в интервале $64√3 [ 3 ,+∞)$ .

Ответ:

$[64√3,+∞ ) 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64567

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен $R$ . Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой пирамиды, при котором максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется понять, что хорошего мы можем сказать о маленькой пирамидке?

Подсказка 2

Она правильная! А как должны соотноситься между собой длины стороны основания и боковой стороны, чтобы объем правильной пирамиды был максимален?

Подсказка 3

Если а – сторона основания, а b – длина боковой стороны, мы без проблем можем записать выражение для объема пирамиды, рассмотреть это как функцию от а и через производную найти максимум! Какой в этом случае будет угол при вершине маленькой пирамиды? А чему равен искомый угол?

Показать ответ и решение

Пусть у некоторой правильной пирамиды $XY ZT$ с основанием $XY Z$ известно боковое ребро $b.$ Давайте посчитаем, при какой длине стороны основания $a,$ пирамида будет обладать наибольшим объемом.

a2√3 SXYZ = -4--

Пусть $M$ — центр основания $XYZ$

2 TM2 = XT2 − XM2 =b2− a- 3

∘ ------ ∘-------- 1 2 a2- a2√3 √3- 2 4 a6 V = 3 ⋅ b − 3 ⋅ 4 = 12 b a − 3

Теперь $V 2$ это функция от $a.$ Возьмем производную по $a.$ Она зануляется при $√ - a= b 2$ и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при $√ - a= b 2$ .

Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром $R$ . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была $√ - R 2$ .

Пусть исходная пирамида $ABCD$ с основанием $ABC.$ $O$ — центр вписанной сферы. $N,K,T$ точки касания сферы с плоскостями $ABD$ , $BCD$ , $CAD$ соответственно.