Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Векторы и координаты в стерео → .02 Уравнения различных ГМТ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Векторы и координаты в стерео

Базовые операции с векторами в пространстве

Уравнения различных ГМТ

Поиск длин, площадей и объёмов в координатах

Поиск углов через координаты и векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77211

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде $ABCDA B C D 1 1 1 1$ даны ребро $AB =2$ и $∠A AC = 45∘ 1$ . Диагональ $A C 1$ пирамиды служит осью конуса, вершина которого находится в $A1$ , а окружность основания касается трех граней угла $C$ , причем грани $ABCD$ в ее центре. Найдите радиус $r$ основания конуса.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точка $H$ — центр $ABCD$ , а $O$ — центр окружности основания конуса. $AA1 = k,A1P = 2− k$ . Продлим стороны $AA1,BB1,CC1,DD1$ до пересечения в точке $P$ . Введём прямоугольную декартовую систему координат, как на рисунке: $H$ — начало координат, ось $Ox$ направим вдоль $HC$ , $Oy$ вдоль $HD$ , $Oz$ вдоль $HP$ .

Сделаем гомотетию с центром в точке $C$ так, чтобы центр окружности перешёл в точку $A1$ . Сама же точка $( √- ) ( √- ) − 2 +kcos(45∘) |− 2+ k√2| A1 =|( 0 |) = |( 0 |) kcos(45∘) √k2$

Найдём уравнение плоскости $α$ , содержащую окружность конуса с центром в точке $A1$ . Так как $(2√2− √k) A1C = || 0 2|| ( −√k ) 2$ — служит осью конуса, то в качестве вектора нормали возьмём $( ) -- √----- |4− k| nα = 2A1C = ( 0 ) −k$ .

Так как $A ∈α 1$ , то

-k- √- k-- (4− k)(√2-− 2)− k√2 + Dα = 0

√ - √- √- Dα = 2k2 − 3 2k+ 4 2

√- √ - √- α:(4− k)x− kz+ 2k2− 3 2k +4 2 =0

Найдём уравнение плоскости $β = (PBC)$ :

P ∈ β : (| √2C + D = 0 B ∈ β : { − √2βB + βD =0 |( √ - β β C ∈ β : 2A β + Dβ = 0

Возьмём в качестве $Dβ = −√2$ , тогда получим $( Aβ) ( 1 ) nβ = |( Bβ|) =|( −1|) Cβ 1$

√ - β :x− y+ z− 2= 0

Найдём уравнение прямой $l =α ∩β 1$ :

{ x − y +z− √2 =0 (4− k)x − kz+ √2k2− 3√2k+ 4√2-= 0

Сложив первое уравнение, умноженное на $k$ , со вторым и, выразив $x$ , получим $√- x = ky− -2k2+ √2k− √2 4 4$ . Откуда можно подставить в первое уравнение и выразить $z$ . Тогда уравнение прямой $l1$ в параметрическом виде:

( √- 2 √- √- X : ||{ k4t− -24k-+ 2k− 2 Y : | t( ) √- √- √ - Z : |( 1− k4 t+ -24k2− 2k+ 2 2

Её направляющий вектор $( ) | k4 | v1 = || 1 || (1− k) 4$ .

Пусть $T$ — точка касания окружности с плоскостью $β$ , тогда $T$ лежит на прямой $l1$ , $( √-2 ) ---- | k4t− -2k4--+√k2- | A1T =|( ( ) √t √ |) 1− k4 t+ -2k42-−√3k2-+2 2$ , $(A1T,v1)= 0$ :

( - ) ( - ) k k √2k2 -k- ( k) ( k) √2k2 -3k- √- 4 4t− 4 + √2- + t+ 1− 4 1− 4 t+ 4 −√2-+ 2 2 = 0

√ - √- √ - √- t= --2k3-− 6-2k2+-16-2k− 16-2 k2− 4k+ 16

Тогда $( √- ) 2-2k(2− k) --- ||| √- 3k2− 4k2 +16 ||| AT = || -2(k-−26k-+-16k−-16)|| |( 2√k2(−k24k− +6k16+8) |) --k2−-4k-+16--$

Уравнение плоскости $γ = (ABC) :z =0$ :

Найдём уравнение прямой $l2 =α ∩γ$ :

{ z =0 √- √- √ - (4− k)x − kz+ 2k2− 3 2k+ 4 2= 0

Подставляя $z = 0$ во второе уравнение и выражая x, получим параметрическое уравнение прямой $l2$ :

( √- 2 √- √ - X :|||{ -2k-−-3-2k+-4-2 Y :| t k− 4 Z : ||( 0

Её направляющий вектор $(0) v2 = |(1|) 0$ .

Пусть $F$ — точка касания окружности с плоскостью $γ$ , тогда $F$ лежит на прямой $l2$ , $( √2k2) ---- || 2kt−8|| A1F =|( -k-|) −√2-$ , $(------) A1F,v2 = 0⇔ t= 0$

В силу симметрии картинки относительно плоскости $APC$ , если окружность касается плоскости $P BC$ , то она будет касаться и плоскости $P DC$ , поэтому для касания всех трёх плоскостей, содержащих граней необходимо и достаточно выполнения уравнения:

---- ---- |A1T|2 = |A1F|2

( √2k2)2 k2 (2√2k(2− k))2 ( √2(k3− 6k2+ 16k − 16))2 (2√2(k2− 6k +8))2 2k-− 8 + 2-= k2−-4k+16 + ----k2−-4k+-16----- + --k2−-4k-+16--

4k2(k2-− 4k+-8)= 2(k4−-8k3+-28k2−-48k-+32) (2k− 8)2 k2− 4k+ 16

k2(k2− 4k +8) 2(k− 2)2(k2 − 4k+ 8) --(k−-4)2---= ----k2−-4k-+16---

2 2 --k--2 =-22(k−-2)-- (k − 4) k − 4k+ 16

-32- k= k − 4 +12

[ k1 =4(2− √3) k =4(2+ √3)>2 − не подходит 2

Тогда

∘--2k4----k2- ∘ -----√-- R= |AF|= (2k−-8)2 +-2 =2 40− 23 3

Рассмотрим $△CA1F :CH = √2.$

√ - √- √- F =--2k2− 3-2-+4-2 = 8√2-− 5√6-⇒ FH = |F |= 5√6− 8√2 x k− 4 x

R CF ∘-2-----√-- △CA1F ∼ COH ⇒ -r = CH ⇒ r= 13(5− 2 3)

Ответ:

$∘-2----√--- 13(5− 2 3)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76415

Найти точку, симметричную данной точке $A(17;15;22)$ относительно прямой, проходящей через данную точку $B(3;1;8)$ и перпендикулярной данной плоскости $x +2y− 3z+ 12 =0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала из уравнения плоскости получим вектор нормали к плоскости - это коэффициенты при x, y и z. Тогда это вектор (1,2,-3). Как он связан с прямой, перпендикулярной нашей плоскости?

Подсказка 2

Конечно! Он является ее направляющим вектором! Тогда параметрически наша прямая имеет вид x = 3 + a, y = 1 + 2a, z = 8 - 3a. Теперь можно попробовать найти какой-нибудь хороший вектор с началом в точке A, перпендикулярный нашей прямой. Что это за вектор?

Подсказка 3

Это вектор с началом в A и точкой H на нашей прямой! Тогда пусть (x,y,z) - координаты точки H. Они между собой связаны уравнением прямой, а AH - вектор с координатами (x-17,y-15,z-22). Тогда можно записать скалярное произведение вектора AH и направляющего вектора нашей прямой - оно равно 0! Тогда мы сможем найти вектор AH. А как теперь найти нужную точку?

Показать ответ и решение

Найдём параметрическое уравнение прямой, относительно которой будем отражать точку $A$ . Так как наша прямая перпендикулярна плоскости $x +2y− 3z+12= 0$ , то в качестве направляющего вектора $- v$ можно взять вектор нормали этой плоскости, а в качестве стартовой точки возьмём $B$ . Тогда уравнение нашей прямой выглядит так:

( ) ( ) ( ) l:|x| =| 3|+ α| 1 | (y) ( 1) ( 2 ) z 8 −3

Возьмём точку $C$ на прямой $l$ так, чтобы $AC-⊥ l$ , тогда

( 3+ α) ( −14+ α) C ∈ l⇔ C =|( 1+2α|) , AC-= |( −14+2α|) ; 8− 3α −14− 3α

$AC ⊥ l⇔ (AC,v)= 0⇔ (−14+α)+ 2(−14+2α)− 3(− 14 − 3α)= 0⇔ 14α= 0⇔ α =0$

$A′$ , симметричная $A$ относительно прямой $l$ , получается сдвигом $A$ на $( 17− 28) (−11) 2AC-⇒ A ′ =|( 15− 28|) = |(−13|) 22− 28 − 6$

Ответ:

$(−11) |(−13|) − 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76416

Через точку $A(1,2,3)$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскости $5x − 2y+ 5z− 10 =0$ и образующую с плоскостью $x − 4y− 8z+12= 0$ угол $π∕4$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай уравнение нашей плоскости это Kx+My+Nz+L=0. Тогда вектор ее нормали n имеет координаты: n = (K, M, N). Какое условие накладывается на вектор n, если наша плоскость перпендикулярна плоскости 5x-2y+5z-10=0?

Подсказка 2

Верно, скалярное произведение вектора n и вектора v=(5, -2, 5) равно 0. Тогда 5K-2M+5N=0. Надо бы теперь также расписать, какое условие накладывает плоскость x-4y-8z+12=0, но, кажется, все будет не так просто...

Подсказка 3

Угол между векторами n и u=(1, -4, -8) равен π/4. Тогда K-4M-8N=(9/√2)*√(K²+M²+N²). Какое условие мы еще не использовали?

Подсказка 4

Точно, ведь наша плоскость проходит через точку A(1, 2, 3), поэтому K+2M+3N+L=0. Итого у нас три уравнения на 4 неизвестные. Но мы помним, что коэффициенты нам нужны с точностью до пропорциональности, поэтому можно предположить, что L≠0 и положить L=10. Вам осталось лишь решить систему, я в вас верю!

Показать ответ и решение

Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид: $Kx + My+ Nz +L = 0$ , её нормаль $( K) n1 = |(M |) N$ , раз она проходит через точку $A$ , то $A$ удовлетворяет уравнению плоскости:

K + 2M +3N + L= 0

Обозначим нормали плоскостей $5x− 2y +5z− 10= 0$ и $x − 4y− 8z+ 12 =0$ за $( ) -- | 5| n2 = (−2) 5$ и $( ) -- | 1| n3 = (−4) −8$ соответственно. Используем тот факт, что синус угла между плоскостями совпадает с синусом угла между их нормалями. Рассмотрим случай, когда углы между плоскостями совпадают с углами между их нормалями:

{ -- -- -- -- π { 5K− 2M + 5N = 0 (n1,n2)=|n1||n2|cos(2π) ⇔ √ -2----2---2∘-2-----2-----2√1 (n1,n3)=|n1||n3|cos(4) K − 4M − 8N = K + M +N 1 + (− 4) + (− 8) 2

Мы получили систему с $3$ уравнениями и $4$ неизвестными:

(| K+ 2M + 3N + L= 0 |{ 5K − 2M +5N = 0 ||( √9√ -2----2---2 K− 4M − 8N = 2 K + M +N

Пусть $L =10$ , рассмотрим первые $2$ уравнения, после их сложения получим:

6K + 8N + 10= 0⇔ N = − 3K-+5 4

Подставим в первое уравнение:

K +2M − 9K-+15+ 10= 0⇔ M = 5K-− 25 4 8

Теперь подставим $N$ и $M$ в третье уравнение:

5K − 25 9 ∘-----(5K-−-25)2--(3K+-15)2- K − (--2--)+ (6K + 10)= √2- K2 + ---64---+ ---16---

√ - 9K + 45 = 9-2∘64K2-+(25K2−-250K-+-625)+-4(9K2-+30K-+25) 8

∘ ---2------------ 8K +40= 250K − 260K +1450,K >= −5

93K2 − 450K− 75= 0

K1 = 5, K2 =− 5- 31

Возьмём $K = 5$ , тогда $M =0$ , $N = −5$ и наша искомая плоскость: $5x− 5z+ 10 =0.$

Ответ:

$x − z+ 2= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91356

Докажите, что расстояние от точки $(x ,y ,z ) 0 0 0$ до плоскости $Ax + By+ Cz+ D =0$ равно

Ax0+By0-+Cz0+-D- √A2+-B2-+C2-

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала вспомните, как из уравнения плоскости получить координаты вектора нормали. Подумайте, как его применить.

Подсказка 2

Теперь нужно найти сам перпендикуляр от точки до плоскости. Понятно, что вектор этого перпендикуляра будет коллинеарен с вектором нормали.

Показать доказательство

Докажем, что вектор $v = (A,B,C)$ перпендикулярен данной плоскости. Для этого возьмем любой вектор $A A = (x ,y,z), 1 2 1 1 1$ такой что $A1$ и $A2$ лежат на плоскости и покажем, что он перпендикулярен $v$ . $Ax1+ By1+Cz1 =0$ $(A1$ и $A2$ лежат на плоскости), и значит, скалярное произведение $A1A2$ и $v$ равно $0,$ что значит, что они перпендикулярны.

Итого, мы доказали, что $v$ перпендикулярен плоскости. Теперь пусть

v v v1 =|v| = √A2-+B2-+C2

k= Ax0√+-B2y0+2Cz0+2-D A + B + C

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам нужно опустить перпендикуляр. Заметим, что точка $A(x2,y2,z2)= (x0,y0,z0)− v1k$ лежит на плоскости, так как

Ax +By +Cz =Ax − √----A2k----+ Bx − √---B2k-----+ Cz − √---C2k-----+ D= D 2 2 2 0 A2+ B2+ C2 0 A2+ B2+ C2 0 A2 +B2 +C2

Тогда если $B (x0,y0,z0),$ то $AB$ перпендикуляр к плоскости из $B.$ Значит, расстояние от $B$ плоскости равно длине $′ AB = |v k|=|k|.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51634

Боковые рёбра $SA,$ $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $√- 5$ от ребра $SA,$ на расстоянии $√-- 13$ от ребра $SB$ и на расстоянии $√-- 10$ от ребра $SC.$ Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?

Источники: ПВГ-2015 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала надо поработать с расстояниями от D до ребер, которые даны по условию. Удобнее всего будет работать через расстояния от D до боковых плоскостей, их можно вычислить.

Подсказка 2

В этой задаче нельзя не ввести координаты. Пусть основанием будет точка S. Угадайте, какие прямые будут осями?

Подсказка 3

Чтобы оценить объём, в данном случае нужно оценить произведение боковых рёбер. Чтобы получить про них какую-то информацию, поработайте с уравнением плоскости основания. На ней лежат целых четыре точки с красивыми координатами.

Показать ответ и решение

Опустим перпендикуляры $DD ,DD ,DD 1 2 3$ из точки $D$ на плоскости $SBC$ $SAC$ и $SAB$ соответственно. Обозначим $DD = x. 1$ $DD2 = y,$ $DD3 =z.$ Согласно условию составим систему уравнений

( 2 2 |{ y2 +z2= 5 |( x2 +z2= 13 x +y = 10

Отсюда находим $x= 3,$ $y = 1,$ $z = 2.$ Обозначим длины рёбер $SA,$ $SB$ и $SC$ через $a,b$ и $c$ соответственно.

$PIC$

Лемма: $3 1 2 a + b + c = 1.$

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке $S$ как на рисунке. Запишем уравнение плоскости $ABC.$

A1x+ B1y+ C1z+ D= 0

Так как плоскость не проходит через начало координат, то $D ⁄= 0.$ Значит, можно поделить на $− D.$ Получим:

Ax+ By+ Cz =1

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты $A,$ $B,$ $C.$ Итого получим, что $A = 1, a$ $B = 1, b$ $C = 1. c$ А значит уравнение плоскости

x + y+ z= 1 a b c

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки $D,$ получим $3a + 1b + 2c =1.$ Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

------ --- 3a+1b+2c-≥ 3∘ 3⋅ 1⋅ 2 = 3∘-6-⇐⇒ abc≥ 6⋅27 ⇐ ⇒31= (3+ a1+b2c)3 ≥ 6a⋅2b7c⇐⇒ abc≥ 6⋅27 a b c abc

причём равенство имеет место при $3 = 1 = 2= 1. a b c 3$ Объём пирамиды $V = abc, 6$ поэтому $V ≥27.$ Равенство имеет место при $a= 9,$ $b= 3,$ $c= 6.$

Ответ:

$27$

Предыдущая подтема

Следующая подтема