Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Векторы и координаты в стерео → .01 Базовые операции с векторами в пространстве

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Векторы и координаты в стерео

Базовые операции с векторами в пространстве

Уравнения различных ГМТ

Поиск длин, площадей и объёмов в координатах

Поиск углов через координаты и векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127163Максимум баллов за задание: 7

Дана прямая призма $ABCA B C . 1 1 1$ Известно, что треугольники $A BC, 1$ $AB C, 1$ $ABC 1$ и $ABC$ — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ лежат на одной сфере.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Обозначим через $M$ и $H$ точки пересечения медиан и высот треугольника $ABC,$ а также отметим точку $T$ так, что

−−→ −−→ −−→ −−→ 3MT = AA1 = BB1 = CC1.

Пусть сфера $ω$ построена на отрезке $HT$ как на диаметре. Поскольку прямая $MT$ перпендикулярна плоскости $ABC,$ то точка $M$ лежит на $ω.$ Покажем, что на сфере $ω$ лежит точка пересечения высот $H1$ треугольника $A1BC;$ рассуждение для двух других треугольников аналогично.

$PIC$

Обозначим через $N$ середину отрезка $BC.$ Поскольку $NA = 3NM,$ точка $T$ лежит на отрезке $A1N,$ в частности, она лежит в плоскости $A1BC.$ Пусть $AA ′$ — высота треугольника $ABC.$ Поскольку прямая $AA1$ перпендикулярна плоскости $ABC,$ то $∠A1AA ′ =90∘,$ а также $A′A1 ⊥ BC$ по теореме о трёх перпендикулярах, то есть точка $H1$ лежит на отрезке $A1A′.$ Поскольку точка, симметричная точке пересечения высот $H$ треугольника $ABC$ относительно прямой $BC,$ лежит на его описанной окружности, то $A′H ⋅A′A= A′B⋅A′C.$ Применяя то же рассуждение для треугольника $A1BC,$ мы получаем, что

A ′H1 ⋅A′A1 =A ′B ⋅A′C = A′H ⋅A′A.

Следовательно, четырёхугольник $AHH1A1$ вписанный, поэтому $∠HH1A1 = 180∘− ∠A1AH =90∘.$ Поскольку ещё $HA ′ ⊥BC$ и $H1A ′ ⊥BC,$ вновь применяя теорему о трёх перпендикулярах, мы получаем, что прямая $HH1$ перпендикулярна плоскости $A1BC.$ Значит, $∠HH1T =90∘,$ то есть точка $H1$ лежит на сфере $ω,$ что и требовалось.

Аналогично доказывается, что точки пересечения высот треугольников $AB1C$ и $ABC1$ также лежат на сфере $ω.$ Таким образом, все пять точек (точки пересечения высот четырёх треугольников и точка пересечения медиан треугольника $ABC$ ) лежат на сфере $ω.$

Следующая подтема