Тема Признаки делимости и равноостаточности

Остатки и делимость по модулю 7

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела признаки делимости и равноостаточности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32148

На доске было написано число вида $77...77$ . Петя стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на $3$ и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал такую же операцию, и так далее. В конце осталось однозначное число. Чему оно может быть равно?

Показать ответ и решение

Пусть в некоторый момент у нас было записано число $10a+ b$ , где $b$ — последняя цифра. Тогда следующее написанное число $3a+ b$ , то есть остаток от деления числа на $7$ не поменялся. Изначально он был равен $0$ , но тогда в конце он тоже $0$ . Число $0$ получиться не могло, поэтому осталась цифра $7$ .

Ответ:

$7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32154

Можно ли натуральные числа от $1$ до $2017$ расположить в ряд так, чтобы сумма любых четырех из них, стоящих через одно (например, первого, третьего, пятого и седьмого или второго, четвертого, шестого и восьмого), делилась на $7?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что можно сделать как по условию. То есть, к примеру, сумма первого, третьего, пятого, седьмого делится на 7, при этом сумма третьего, пятого, седьмого и девятого тоже делится на 7. Какой вывод из этого можно сделать про первое и девятое числа?

Подсказка 2

Да, что числа с номерами 1 и 9 имеют одинаковый остаток по модулю 7. Но ведь нам ничего не мешает сдвинуть всю нашу выборку на 1, или 2, или еще на сколько-то? Попробуйте обобщить этот вывод.

Подсказка 3

Общий вывод таков: числа, номера которых сравнимы по модулю 8, сравнимы по модулю 7. На какие группы тогда разбиваются числа из нашего набора?

Подсказка 4

На 8 групп в каждой из которых все числа имеют одинаковый остаток по модулю 7. Но ведь тогда по принципу Дирихле какой-то из остатков по модулю 7 повторяется(есть две группы, объединив которые, получится одна. Все числа в ней будут иметь одинаковые остатки по модулю 7). Как тогда можно оценить снизу наибольшее из этих чисел? Найдите противоречие!

Показать ответ и решение

Заметим, что числа, номера которых дают одинаковый остаток по модулю $8,$ дают одинаковый остаток по модулю $7.$ Поскольку $2017= 8⋅252+ 1,$ то мы имеем $8$ групп с, как минимум, $252$ числами и одинаковым остатком по модулю $7$ в каждой. Отсюда найдутся две группы с одинаковым остатком ( $8> 7⋅1$ ), то есть чисел с таким остатком по модулю $7$ будет не менее $2017 2⋅252> 7 +1$ — чисел с любым остатком по модулю $7$ не больше, чем столько, противоречие.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35422

Даны натуральные числа $a$ , $b$ и $c$ . Число $a3+ b3+c3$ делится на 63. Докажите, что $abc$ делится на $21$ .

Показать ответ и решение

Чтобы доказать делимость произведения на 21, нам нужно доказать делимость на 3 и на 7. Рассматривая таблицу остатков кубов при делении на 7, мы видим, что кубы дают только остатки 0, 1 и 6. Тремя остатками 1 или 6 не получить сумму, делящуюся на 7, поэтому одно из чисел делится на 7.

Аналогично с остатком при делении на 9: кубы дают остатки 0, 1 или 8 при делении на 9. Опять же без остатка 0 не обойтись, ведь тремя числами, дающими остатки 1 или 8, не получить число, делящееся на 9. Значит, один из кубов делится на 9, поэтому и одно из чисел делится на 3.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37808

Сколько существует натуральных чисел $n$ , меньших $10000$ , для которых $2n− n2$ делится на $7?$

Показать ответ и решение

Заметим, что $2n$ даёт только остатки $1,2,4$ по модулю $7$ для $n = 3k,3k+ 1,3k+ 2,k ∈ℕ ∪{0}$ соответственно.

Для $2 n$ имеем

2 n ≡7 1 при n ≡7 ±1

n2 ≡7 2 при n ≡7 ±3

n2 ≡ 4 при n ≡±2 7 7

По условию нам нужно $2n ≡ n2 7$

В качестве примера рассмотрим $2n ≡ n2 ≡ 1 7 7$ . Здесь накладываются два условия $n≡ 0,n≡ ±1 3 7$ . Уместно воспользоваться Китайской теоремой об остатках, которая говорит нам, что таких чисел будет ровно два в наборе ${1,2...21= 3⋅7}$ , но можно и явно найти эти числа — $15,6$ . Здесь легко видеть, что от сдвига набора ничего не поменяется, поскольку нам важно только наличие всех остатков по модулю $21$ ровно по одному разу.

Абсолютно аналогично по два числа в каждом наборе из $21$ подряд идущего подойдут для остатков $2$ и $4$ , то есть в итоге из каждых $21$ нам подойдут $6$ чисел.

Поскольку $10000= 476⋅21+4$ , то из первых $476$ групп подойдут $476⋅6$ . Остаются числа чисел $9997,9998,9999$ , из которых подходит $9998≡7 2$ . Получаем ответ

6⋅476+ 1= 2857

Ответ: 2857

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80195

Число $abccba$ состоит из попарно не совпадающих, отличных от нуля цифр $a,b,c$ и делится на $231.$ Сколько существует таких чисел?

Источники: САММАТ - 2021, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично, что рассматривать делимость на число 231 будет неразумно, поскольку оно слишком большое. Давайте разложим 231 на множители и рассмотрим делимость для них.

Подсказка 2

231 = 3 * 7 * 11. Обратите внимание, что для делимости на 11 нам подойдут любые a, b, c, так как a – b + c – c + b – a = 0. Но для делимости на 7 нам необходимо, чтобы число abc – cba делилось на 7. Как можно переписать это условие?

Подсказка 3

Распишем по разрядам числа abc и cba. abc = a*10² + b*10 + c и bca = с*10² + b*10 + a. Разность таких записей должна будет делиться на 7. Какие тогда мы получаем ограничения на a, b, c?

Подсказка 4

Из разности abc – cba следует, что |a – c| должно делиться на 7, а b – любое. Осталось только рассмотреть подходящие случаи a и c, и такие b для них, чтобы число делилось на 3.

Показать ответ и решение

Так как число должно делиться на $231= 3⋅7⋅11,$ то оно должно делиться на $3,7$ и $11.$

a− b+c− c+ b− a =0

делится на $11$ при любом выборе $a,b,c,$ поэтому число $abccba-$ делится на $11.$

По признаку делимости на $7$ разность $|abc− cba|$ должна делиться на $7.$

--- --- || 2 2 || || 2 || |abc− cba|= a ⋅10 + b⋅10 +c− c⋅10 − b⋅10− a = (a − c)10 − (a− c) =|a− c|⋅99

т.е. $|a− c|$ должно делиться на $7.$

Это возможно лишь, если $(a= 9,c =2),(a= 8,c= 1),(a =1,c= 8),(a= 2,c= 9),$ при произвольном $b.$ Осталось выяснить, сколько возможных значений $b$ приходится на каждую из перечисленных пар.

Для нахождения достаточно выяснить делимость на $3$ числа $abc.$

1) $a= 9,c= 2⇒ 9+ b+ 2= 11 +b.$ Делимость на 3 числа $9b2-$ возможна в трех случаях: $b1 =1;b2 = 4;b3 = 7;$

2) $a= 8,c= 1⇒ 8+ b+ 1= 9+b.$ Делимость на 3 числа $8b1$ возможна в трех случаях: $b = 3;b = 6;b = 9;(b⁄= 0). 1 2 3$

Остальные случаи симметричны рассмотренным. Таким образом, на каждую из найденных пар $a$ и $c$ приходится по 3 возможных значения $b.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31503

Дано восемь трехзначных чисел. Выписываются все возможные шестизначные числа, получаемые приписыванием одного из наших трехзначных чисел к другому. Докажите, что хотя бы одно из полученных шестизначных чисел делится на $7.$

Источники: Лига открытий - 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче полезно подумать про то, какие остатки при делении на 7 могут давать эти трёхзначные числа. Возможно, нам поможет замечательный принцип Дирихле!..

Подсказка 2

Конечно, из принципа Дирихле следует, что у двух трёхзначных чисел совпадают остатки при делении на 7. Пусть это числа a и b. Тогда при их приписывании друг к другу получится число 1000a + b. Можем ли мы как-то воспользоваться предыдущими рассуждениями, чтобы показать, что это число делится на 7?

Подсказка 3

Естественно, если два числа a и b дают одинаковые остатки при делении на 7, то их разность b-a делится на 7. А теперь преобразуем выражение, чтобы оно использовало этот факт: 1000a + b = 1001a + (b-a). Ура, это число делится на 7!

Показать доказательство

Заметим, что среди этих чисел есть два числа, которые дают одинаковый остаток при делении на $7.$ Пусть это $a$ и $b.$ Тогда получившееся из них число равно

.. 1000a+ b=1001a+ (b− a).7

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92663

В понедельник, $1$ января, Робин-Бобин съел одну конфету, $2$ января — две конфеты, и весь год каждый день он ел на одну конфету больше, чем в предыдущий день. Однажды Робин-Бобин съел за два подряд идущих дня в $7$ раз больше конфет, чем в свой день рождения. На какие дни недели выпали эти два дня?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Пронумеруем дни в году, начиная с $1$ января. Тогда сумма двух соседних номеров, соответствующих дням, которых идёт речь в условии, должна делиться на $7.$ Два последовательных числа могут давать такие пары остатков от деления на $7:0$ и $1,1$ и $2,2$ и $3,3$ и $4,4$ и $5,5$ и $6,6$ и $0.$ Перебором убеждаемся, что единственная пара, удовлетворяющая условию, — это $3$ и $4.$ Так как нумерация началась с понедельника, то искомые дни — среда и четверг.