Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.05 График обратной пропорциональности (гипербола)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71782

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = -a--+ c. x+ b$ Найдите $f(− 17).$

$xy110$

Показать ответ и решение

При такой формулировке уравнения функции гиперболы коэффициент $c$ отвечает за сдвиг графика по оси $OY$ (горизонтальная асимптота), а $b$ — по оси $OX$ (вертикальная асимптота). По рисунку определяем, что $c =2$ и $b= − 3.$

Коэффициент $a$ найдём, подставив координаты точки ( $2;1$ ) в уравнение $f(x)= --a--+2 : x − 3$

--a- 1= 2− 3 +2,

a= 1.

В таком случае

f(− 17)= --1---+ 2= 1,95. −17− 3

Ответ: 1,95

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#102552

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= a +b. x$ Найдите ординату точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точку $(2;2).$ Следовательно, эта точка удовлетворяет уравнению функции, значит, получаем следующее уравнение:

f(2)= 2 k = 2 2 k =4 4 f(x)= x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(1;−1)$ и $(2;− 2),$ следовательно, система следующая:

{ g(1)= −1 g(2)= −2 ( { a+ b= − 1 ( 1a+ b= − 2 2 {a = 2 b= −3 2 g(x)= x − 3

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

4 = 2 − 3 x x 2 x = −3 2 x =− 3

Тогда ордината точки пересечения графиков равна

( ) f − 2 = -4-= −6. 3 − 23

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#35287

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = k. x$ Найдите значение $f(10).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(2;1),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

f(2)= 1 k = 1 2 k =2

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= 2 x

Найдем $f(10):$

2 f (10)= 10 = 0,2

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#35289

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = k. x$ Найдите значение $f(8).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(− 2;2),$ следовательно, справедливо следующее равенство:

k f(− 2)= 2 ⇔ −2-= 2 ⇔ k = − 4

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

f(x)= − 4 x

Найдем $f(8):$

4 1 f(8)= − 8 =− 2 =− 0,5

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#14247

На рисунке изображен график функции $f (x)= --k--. x + a$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= − 0,2.$

$xy110$

Показать ответ и решение

График функции $-k--- f(x)= x+ a$ — это гипербола $k y = x,$ но сдвинутая на $a$ влево при $a > 0$ и на $− a$ вправо при $a< 0.$ На картинке видим, что график сдвинут на 2 вправо, так как вертикальная асимптота имеет уравнение $x= 2.$ Следовательно, $a = −2.$

Также точка $(−1;−1)$ принадлежит графику функции $f,$ поэтому можем найти $k :$

f(−1) =− 1 ⇔ --k---= −1 ⇔ k = 3 −1 − 2

Значит, функция имеет вид

3 f(x)= x-−-2

Осталось найти $x,$ при котором значение функции равно $(−0,2):$

( -3--- { 3= − 0,2x +0,4 − 0,2= f(x) ⇔ − 0,2 = x− 2 ⇔ ( x⁄= 2 ⇔ x =− 13

Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#15805

На рисунке изображен график функции $f (x)= --k--. x + a$ Найдите значение функции $f(x)$ в точке $x= 14.$

$xy110$

Показать ответ и решение

График функции $-k--- f(x)= x+ a$ — это гипербола $k y = x,$ сдвинутая на $a$ влево при $a> 0$ или на $− a$ вправо при $a< 0.$ На картинке видим, что график сдвинут на 2 вправо, так как вертикальная асимптота по оси $Ox$ имеет координату 2. Следовательно, $a = −2$ и функция имеет вид

f(x)= --k-- x − 2

График $f(x)$ проходит через точку $(−1;−1),$ значит, ее координаты обращают уравнение в верное равенство:

f(−1)= −1 --k---=− 1 −1− 2 -k- −3 = −1 k = 3

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

3 f(x)= x-−-2

Тогда имеем:

3 3 f(14)= 14-− 2 = 12 = 0,25

Ответ: 0,25

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32015

На рисунке изображён график функции $f(x)= k+ a. x$ Найдите $f(25).$

$xy110$

Показать ответ и решение

График функции $k f(x)= x + a$ — это гипербола $k y = x,$ но сдвинутая на $a$ вверх при $a > 0$ и на $− a$ вниз при $a< 0.$ На картинке видим, что график сдвинут на 1 вверх, так как горизонтальная асимптота по оси $Oy$ имеет координату 1. Следовательно, $a = 1.$

Также точка $(1;− 3)$ принадлежит графику функции $f,$ поэтому можем найти $k :$

f(1)= −3 ⇔ k + 1= −3 ⇔ k = −4 1

Значит, функция имеет вид

4 f(x) =− x +1

Осталось найти $f(25):$

4 16 100 100− 16 84 f(25)= − 25 + 1= − 100-+ 100 =-100-- = 100 = 0,84

Ответ: 0,84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32269

Ha рисунке изображён график функции $f(x) = -k--. x+ a$ Найдите $f(− 7).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Коэффициент $a$ функции $f(x)$ отвечает за сдвиг вертикальной асимптоты. По картинке видно, что ей является прямая $x = −2,$ значит, $a= 2.$

Найдем коэффициент $k.$ По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через целую точку $(−4;−1),$ следовательно, справедливо равенство

f(−4)= −1 --k---=− 1 −4+ a --k---=− 1 −4+ 2 -k- −2 = −1 k = 2

Таким образом, мы восстановили уравнение функции:

2 f(x)= x-+2.

Тогда

f(−7)= --2---= -2-= − 2= −0,4. −7 +2 − 5 5

Ответ: -0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32565

На рисунке изображён график вида $f = --1--. ax+ b$ Найдите $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Чтобы определить коэффициенты $a$ и $b$ , подставим точки $(4,2)$ и $(5,− 5)$ в уравнение, получим систему:

( ( ||{ --1-- = 2 |{ 1 ({ 1 { 4a +b = ⇒ 2− 4a = b =⇒ 2− 4a= b =⇒ b= 3,3 ||( --1-- = −5 |( − 1= 5a+ 1 − 4a ( a= −0,7 a =− 0,7 5a +b 5 2

Получаем уравнение графика: $1 f = −0,7x-+-3,3-$
Получаем ответ: $1 1 f(−1)= −-0,7⋅(−1)+-3,3 = 4= 0,25$ .

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#23740

На рисунке изображен график функции $kx+-a- f(x) = x +b .$ Найдите $a.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Определим уравнение функции в стандартном виде: $-A-- f(x)= x−x0 + y0.$ По асимптотам видно, что $x0 = 2,$ $y0 = − 1.$ Чтобы найти $A,$ рассмотрим точку $(−2;− 2) :$